华师2024届高三数学选填专项训练(十)带答案

华师2024届高三数学选填专项训练（10）

一、单选题

1.已知°为实数，若复数Z=Q-1）+（0+l）i为纯虚数，则"。2。=（）

1+1

A.1B.0C.1+iD.1-i

2.公司邀请用户参加某产品的试用并评分，满意度为10分的有1人，满意度为9分的有1

人，满意度为8分的有2人，满意度为7分的有4人，满意度为5分和4分的各有1人，则

该产品用户满意度评分的平均数、众数、中位数、85%分位数分别为（）

A.8分，7分，7分，9分

B.8分，7分，7分，8.5分

C.7.2分，7分，7分，9分

D.7.2分，7分，7分，8.5分

3.已知不等式（的解集为关于x的不等式-x+l>0的解集为N,且

X—I2

MUN5,则实数〃的取值范围为（）

A.（0,-HX,）B,C.（•1,+00）D.

4.函数/（x）=sin（3x+［卜）>0）在区间上是增函数，在区间1%?上是减函数，则

3的最小值为（）

3214

A.B._C.D.

432

5.设x=log0.5y=iog0.5,贝ij()

0.41.5

A.xy<x+y<0B.x+y<xy<0

C.x+y<0<xyD.xy<0<x+y

6.设点加沙），若在圆03产=1上存在点N，使得N°MN=45。，则）的取值范围是

()

A.-‘—^―B.(-co,-1]|J[1,+00)c.[-AV2]D.[-1,1]

7.已知三棱锥。-/3C,点尸为平面/3C上的一点，且SP=g®+加。2+〃阮⑺,«€R）

则内〃的值可能为（）

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A.m=l,n=B.m=—,n=1C.m=-_,«=-1D.m=—,n=-1

2222

8.已知数列、｝：1—23123456712

"2'22’27'27'27'-27"27'方，27"27'27'27'芳…

7，,_i

的前〃项和为S,正整数〃，〃满足：①a=_,②〃是满足不等式S>1019的最小

n122112"

正整数,则4+%=（）

A.6182B.6183C.6184D.6185

亚,则下列说法正确的是（

9.已知0vavb且满足ea-b)

A.B.lna+2“=lnZ?+26

D,不存在满足〃+b=l

二、多选题

10.下列四个命题正确的有（）

A.若a>b,c>d,贝!—dB.若acvbe,0>0贝!]〃</?

C.若a>b,贝D.若贝(J62

a-baab

11.已知正项数列0｝的前〃项和为S,若对于任意的加〃EN*,都有。=a+。，则

nn'm+nmn

下列结论正确的是（）

A.=a+a

11285

B.aa<aa

56110

c.若该数列的前三项依次为X,1-x,3x,贝吗=当

D数列［1｝为递减的等差数列

12.如图是一个装有水的全封闭直三棱柱容器43C-Z3C,N/2C=?,

1112

AC=AAl=8,若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不

计，则（）

A.转动容器，当平面/ZCC水平放置时，容器内水面形成的截面为

11

DEFG,则D,E,F,G都是所在棱的中点

B.当底面44CC水平放置后，将容器绕着CC转动（转动过程中CC始终保持水平），有

1111

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水的部分是棱柱

C.在翻滚转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥

D.容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为王

16兀

三、填空题

13.有两个家庭共8人暑假到新疆结伴旅游（每个家庭包括一对夫妻和两个孩子），他们在

乌鲁木齐租了两辆不同的汽车进行自驾游，每辆汽车乘坐4人，要求每对夫妻乘坐同一辆汽

车，且该车上至少有一个该夫妻自己的孩子，则满足条件的不同乘车方案种数为.

14.已知双曲线E的焦点在x轴上，中心为坐标原点，尸为E的右焦点，过点/作直线/与

1

£的左右两支分别交于aB两点,过点尸作直线/与£的右支交于C,。两点，若点3恰

2

为ANCA的重心，且A/Q?为等腰直角三角形，则双曲线E的离心率为.

15.已知函数〃x）=|lnx|,直线1是的两条切线，14相交于点。，若/J"，则

。点横坐标的取值范围是

16.如图，水平放置的正四棱台形玻璃容器的高为27cm,

两底面对角线EG,E/G/的长分别为25cm和97cm.在容器

中注入水，水深为8cm.现有一根玻璃棒/,其长度为

39cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计），将I放在容器

中，/的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG/上，贝h

浸没在水中部分的长度为cm，

华师一附中2024届高三数学选填题专项训练（10）答题卡

姓名分数

一、选择题

123456789101112

二、填空题

13.14.

15.16.

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华师一2024届高三数学选填专项训练(10)

参考答案：

1.D

42—1=0。+12020

【解析】结合纯虚数的定义，可得，从而可求出°的值，进而求出丁一的值即

4+1WU1+1

可.

【详解】因为复数2=良-1)+(q+1)1为纯虚数，所以"［IT，解得"1.

IClI1WU

a+i20201+i20201+QI°51+15051+12(1—i).

所以-ra-二-j.

故选：D.

【点睛】本题考查纯虚数，考查学生对基础知识的掌握.

2.C

【分析】根据平均数、众数、中位数和百分位数的定义和计算方法进行解答即可.

【详解】把10个数据从小到大排列：4,5,7,7,7,7,8,8,9,10,

故平均数为：4+5+7X4^8X2+9+10=72(分)，出现次数最多的是7,因此众数为7分，中

位数为?=7(分)，又10x0.85=8.5,所以85%分位数在第9位，即9分.

故选：C.

3.B

【分析】将分式不等式转化为二次不等式，求得分式不等式的解集M=(1,3］，根据集合的关

系得到“是N的子集，进而得到"2-x+l>0在xe(l,3］上恒成立，然后采用分离参数方法

转化为三口利用配方法和二次函数的性质求得右边的最大值，即得。的取值范围.

max

【详解】=9充告产°=>(X-3)Q-1)W。且XNI,故"=(1,3〕

,:MUN三N,：.M三N,由题意可得：g-x+l>0在xe(l,31上恒成立

即〃>3在无e(l,3］上恒成立，故只需0>仕二］

X2\X2J

max

邛当即时，1

3.0Y+L/L+L,A2=1故。〉不

X2(xJx［%214x2I、2J4

故选：B.

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【点睛】本题考查分式不等式的求解，二次不等式的求解，不等式恒成立问题，关键是分离

参数方法处理不等式恒成立问题.

4.A

【分析】根据/G）的单调性、周期性求得3的最小值.

【详解】/（X）在区间卜,1）上是增函数，在区间上是减函数，

/—=sin—to+—=1,—UJ+_=2左ri+—,co=6左+—,左EZ

U）（34J3424

run

—=——>—=>Ovcow3,

2CD3

3

所以3的最小值为a・

故选：A

5.A

【分析】由题意，判断x>0,y<0,可得孙<0,再根据对数换底公式，可得°<丁<1,

即可判断得孙<x+y<0.

【详解】由题意，x=k>g0.5>log1=0,j=log0.5<log1=0,所以孙<0,根据对

KFJT/u心，o.40.41.51.5

数换底公式可知:+[=屋市+礴・=logo50.4+logo51.5=logo50.6e（0,l）；即

0.41.5

x+y1

n0<—T-Cl,所以孙〈无+”（）•

故选：A

6.D

【分析】以OM为一边作正方形OMP。，然后把问题转化为正方形的中心在圆上或圆内，从

而求出％的取值范围.

【详解】以OM为一边作正方形0M。。，若对角线M0与圆有交点，则满足条件的N存在,

此时正方形的中心在圆上或圆内，即|。以佰1,

所以叫W1,所以g/。2+12VI,所以

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【分析】根据给定条件，利用点位于平面内的充要条件，建立关系即可判断作答.

【详解】因为点尸为平面的上的一点，◎=汐+旃+〃玩，贝IJ

0P=（〈+加+〃）力+mAB+nAC

于是:+冽+〃=1,即%+〃=；,显然选项BCD都不满足，A选项满足.

故选：A

8.B

【分析】由题意可知，数列｛*｝的规律为：分母为2人的项有久-1项.将数列｛*｝中的项排

211—1

成杨辉三角数阵且使得第人行每项的分母为久，该行有久T项，那么位于数阵第11

211

行最后一项，通过计算得〃；设数阵中第4行各项之和为6，则人=—,故通过计算可

1%左2

得满足S>1019的最小正整数〃，即可得出最后结果.

n2

【详解】由题意可知，数列句｝的规律为：分母为2a的项有2.1项.将数列包｝中的项排

成杨辉三角数阵且使得第4行每项的分母为久，该行有2«-1项，如下所示：

对于①，W立于数阵第11行最后一项，对应于数列句｝的项数为

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)

24-211

’11=4083

1-2

・n=4083；

i

对于②，数阵中第左行各项之和为％

121（2.1）

一十_______

则公2人2k

22

且数列｛2｝的前左项之和

2Y—2J

_______-k

21—121—1.2人—12左+i—k—2

r=++L+1-2

22222

T2ii-10-2=IOI8〈IOI9,

102

212-11-24083

而T>1019,

1122

故恰好满足S＞1019的项。位于第11行.

nn

假设。位于第加项，则有

m(m+1)

T+J-+3.+L+m

=1018+_______>1019,

io211211212

可得出加（加+1）＞4096.

由于64x63=4032,64x45=4160,

贝1J63x64v4096v64x65,...加=64.

因为前10行最后一项位于｛。｝的第

(2i—1)+(22—1)+L+Gio-1)=21-210-10=2036项,

1-2'

因此，满足＞1019的最小正整数"，=2036+64=2100,

所以〃+n=4083+2100=6183

故选:B

【点睛】本题主要考查了等比数列的前"项和公式，考查了学生的归纳推理能力和运算求解

能力.

9.D

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【分析】令Mx)=e，-x-1,利用导数求出单调性可判断A；对ef=J.取对数可得

In。-2q=lnb-26,判断B；令/(x)=Inx-2x,利用导数求出单调性，根据/(〃)=/1)可

求出。的范围；令g(x)=lnx-ln(l-x)-4x+2,利用导数求出单调性可判断D.

［详解］令，(x)=e》一%—1,x<0,贝”(％)=e》—1v0,所以才Q)在区间(一叱。)内单调递减,

所以£(%)>看(0)=0,又Ovavb,所以J^=ef>。一6+1,A项错误;

对e7=区两边取自然对数得a-b=：ln：,即lna-2a=lnb-26,B项错误；

令/(x)=lnx-2%,贝!J/'(%)=--2=-------,故/Q)在区间(0,以内单调递增，在区间

@,+00)内单调递减，因为/(0)=/(6)且0<q<6,所以C项错误；

假设a+b=\,贝(Jb=l—Q,所以lna—ln(l-q)—4a+2=0,

令g(x)=lnx—ln(l—x)—4x+2,则')>0,故g(x)在区间

x1—xx\1—x/\zy

内单调递增，故当xe(0,j时，g(x)<g(j=O,所以不存在。，/,满足a+6=l,D项正

确.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查根据已知条件判断不等式，解题的关键是构造合适的函数，根

据导数求出函数的变化情况判断.

10.BD

【分析】A.举反例说明该选项错误；

B.由不等式的乘法性质得该选项正确；

11b

c-口一7=符合不能确定，所以该选项错误；

D.利用作差法判断得该选项正确.

【详解】A.若"2>6=l,c=-1=-2,/.q-c=3=b-d,所以该选项错误；

B.若acvbc,。>0则。<6,由不等式的乘法性质得该选项正确；

...„,11a-a+bb

C-右”八则口一£=可而=而下符号不能确定，所以该选项错误；

D,若1<lvO,贝!贝！Jab—Z?2=6(。一/?)vb2,所以该选项正确.

ab

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故选：BD

11.AC

【解析】今机=1则a-a=a,根据a>0,可判定/正确；由aa-aa=20（/?>0,

"丁/r'〃+1〃1156110

Sd（dAd

可判定8错误；根据等差数列的性质，可判定。正确；才=根据q>0,可

判定。错误.

【详解】令机=1则。~a=a,因为a>0,所以J｝为等差数列且公差d>0,故/正

4I丁Ay，〃+1〃11n

确；

由qa-aa=（02+9〃d+20d2）-（42+9。d）=2042>0,所以aa>aa,故B错误;根据

田56110111156110

等差数列的性质，可得2（1-x）=x+3x,所以x=；1=：，

故a=1+9XJ=7，故C正确；

io333

几（〃T）』Arc1

cna+______a/\ao

由$=।277因为豆>0,所以丁是递增的等差数列，故。错

nn2I12J

误.

故选：AC.

【点睛】解决数列的单调性问题的三种方法；

1、作差比较法：根据“-”的符号，判断数列L｝是递增数列、递减数列或是常数列；

n+1nn

a

2、作商比较法：根据>0或。<0）与1的大小关系，进行判定；

Unn

n

3、数形结合法：结合相应的函数的图象直观判断.

12.BD

【分析】根据棱柱和棱台的体积公式计算，即可判断A；根据直观想象，结合棱柱、三棱锥

的概念即可判断BC；根据题意确定棱柱的外接球，结合外接球的体积公式，利用基本不等

式计算即可判断D.

【详解】A：当平面"dqC水平放置时，假设D,E,尸,G都为所在棱的中点，

设水面到底面的的距离为"AB=a,BC=b,

所以水的体积为％=S,CC-1-La-LbCC=4ab-ab=3ab,

△ABC12221

cc1

又转动前水的体积为旷=S•Fabx4=2ab<3ab.

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所以D,E,尸,G不为所在棱的中点，故A错误;

B：当平面N/CC水平放置时（cc始终保持水平），则平面N3C〃平面/8C,

111111

所以有水的部分是棱柱，故B正确；

当平面4产。水平放置时，三棱锥的体积取到最大值，如图，

1114

此时/=—S•力力=_x—xobx8=-ab

JA-ABC3/BC1323

4

而水的体积为，=24?＞百成,所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误;

D：取/C,/C的中点0,。，连接取的中点O,连接04,

11111

则。为RG/BC的外接圆圆心，。为三棱柱/BC-Ngq外接球的球心,

所以CM为外接球的半径，且。/=j4?+42=4#,

所以直三棱柱外接球体积厂=%凡=31右）=当27t.

球333

由选项A可知，容器中水的体积为晨=2"

第7页共11页

又42+/?2=82=64,所以64=。2+62>2ab=>w32,

当且仅当。=8=4"时等号成立，所以晨=2°n64,

2ab64_3_3/

则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为51272"5126%~87271-E,

—3—71—3—71

即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为手，故D正确.

1071

故选：BD.

13.10

【分析】分两种情况考虑，即每个家庭乘坐一辆车和每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩

子，根据分类加法原理即可得答案.

【详解】由题意得当每个家庭各乘坐一辆车时，有2种乘车方案；

当每对夫妻乘坐的车上恰有一个自己的孩子时，乘车方案种数为2xC;C;=8,

故满足条件的不同乘车方案种数为2+8=10,

故答案为：10

14.2

【分析】设双曲线方程为=由重心可知8尸为“C。的一条中线，即可判断点尸为

aibi

。的中点，则分别讨论的两腰，并检验点8为重心，即可求解.

X2V2-

【详解】由题，设双曲线方程为一一1=1,

〃2bi

因为点B恰为“CD的重心，则BF为AACD的一条中线，

所以点尸为CD的中点，则:为无二,

因为A/CD为等腰直角三角形，若4c=4。,则点A为左支的顶点，且/尸=8,

~\C2\a+c）2r”C2ai+2ac+C2,

所以设C（c,a+c）,贝l]—-----=1,即-----------=1,

Q202。2C2—ai

第8页共11页

1+2e+&

所以02一不一=1,因为e>l,解得e=2,即c=2a,

此时8(a,0),/(-a,0),o(c,0+c),所以重心为(卜(一。+C+C),；X+C+Q+C))

即为Q,0),是点3,符合题意;

若4C=CD,则设点A为点C关于了轴的对称点，所以可设C(c,c),

则上.一导=1,即上■-,2=],所以e2--^=1,解得e=!lg,即c=l^¥a,

。2biaiC2-aiei-\22

此时/(-c,c),D(c,-c),贝1J重心为(1x(-c+c+c)，；x(c+c+-c)),即

又Ijc)(3C)即重心不在双曲线上，不符合条件，

U2bi

综上，6=2,

故答案为：2

【点睛】易错点点睛：(D双曲线的离心率大于1;

(2)对于等腰直角三角形，需讨论哪两条边为腰。

15.(011)

【分析】记g(x)=-lnx(0〈尤<1),h(x)=Inx(x>1),不妨设(与g(x)相切于点/(xj-lnq),

/与/?(x)=lnx相切于点8(无，lnx),贝x>1,利用导数求出尤x=1,再求出直

2221212

线0/,的方程，解方程求出。点的横坐标，再利用基本不等式得解.

【详解】记g(x)=-lnx(0<x<l),A(x)=lnx(x>l),

由函数/(x)图象可知，不妨设(与g(x)相切于点/,与"(x)=lnx相切于点

B(x,lnx),贝I]0<x<1,x>1.

221'2

I1.11

：.g\x)=--,A'(x)=_,,-.k=-k=

XX/IX，qX

12

,/I11,/.--•一=-1即xx=1,所以Inx+Inx=0,

12XX'।1