2024年中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析

中考数学《几何综合》培优拔高专项复习讲义及解析

1.如图，△ABC是等边三角形，D,E分别是AC,BC边上的点，且AD=CE,连接8。，AE相交于点?

(1)/瓦芭的度数是;

(2)如果世=工，那么"=；

AC2BF

(3)如果改=工时，请用含〃的式子表示AF的数量关系，并证明.

ACn

DA

2.如图，ZBAD=k90°,CAB=AD,CB=CD,一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与BA,D4交于

点M,N,与BA,D4的延长线交于点E,F,连接AC.

(1)在/fCE旋转的过程中，当/尸CA=/ECA时，如图1,求证：AE=AF-,

(2)在/fCE旋转的过程中，当乙FCAW/ECA时，如图2,如果/8=30°,CB=2,用等式表示线段AE,

A歹之间的数量关系，并证明.

3.已知：如图，矩形ABC。中，AB>AD.

(1)以点A为圆心，A8为半径作弧，交DC于点E,且AE=AB,联结AE,BE,请补全图形，并判断乙4£8

与/CEB的数量关系；

(2)在(1)的条件下，设.=EC,q里试用等式表示a与6间的数量关系并加以证明.

4.已知：△42。和关于直线80对称(点A的对称点是点C),点E,歹分别是线段BC和线段20上的点,

且点尸在线段EC的垂直平分线上，连接Ab,AE,AE交BD于点G.

(1)如图1,求证：ZEAF=ZABD；

(2)如图2,当A8=A。时，M是线段AG上一点，连接BM,ED,MF,MB的延长线交即于点N,ZMBF

=^ZBAF,试探究和8V之间的数量关系，并证明你的结论.

23

5.以A8为直径作半圆。，AB=10,点C是该半圆上一动点，连接AC、BC,并延长8C至点£>,使。C=8C,过

点。作。ELA8于点E、交AC于点/，连接。足

(1)如图①，当点E与点。重合时，求NBAC的度数；

(2)如图②，当DE=8时，求线段即的长；

(3)在点C运动过程中，若点E始终在线段上，是否存在以点£、。、F为顶点的三角形与△ABC相似?

若存在，请直接写出此时线段。£的长；若不存在，请说明理由.

6.如图①，P为Z\ABC内一点,连接力、PB、PC,在△RIB、APBC和△必C中，如果存在一个三角形与AABC

相似，那么就称P为△ABC的自相似点.

(1)如图②，已知Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABOZA,CD是AB上的中线，过点8作8E_L.CZ),垂

足为E.试说明E是△ABC的自相似点；

(2)在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点尸(写出作法并保留作图痕迹)；

②若AABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.

7.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,CO_LAB于点。，点£■为AC边上一点，连接BE交CD于点尸，过

点E作EG±BE交AB于点G,

（1）如图1,当点E为AC中点时，线段EP与EG的数量关系是

（2）如图2,当支=工，探究线段£尸与EG的数量关系并且证明；

AE2

8.如图，已知点尸是边长为4的正方形ABC。内一点，且PB=3,BF1BP,垂足是8.请在射线BP上找一点M,

使以点8、M、C为顶点的三角形与△48P相似.（请注意：全等图形是相似图形的特例）

参考答案与试题解析

1.如图，△ABC是等边三角形，D,E分别是AC,BC边上的点，且AO=CE,连接BO,AE相交于点尺

⑴/BFE的度数是60°

如果世，那么空=

(2)=!1

AC2BF

如果改=工

(3).时，请用含〃的式子表示A后8月的数量关系，并证明.

【分析】(1)易证△A3。/△ACE,可得根据外角等于不相邻两个内角的和即可解题.

(2)如图1中，当图=工时，由题意可知：AD=CD,BE=CE.利用等腰三角形的性质即可解决问题;

AC2

(3)设Af=x,BF=y,AB=BC=AC=n.AD=CE=1,由△ABOgZ\CAE,推出BD=AE,设8D=AE=ni,

利用相似三角形的性质，列出关系式即可解决问题;

【解答】解：(1)•••△ABC是等边三角形,

：.AB=AC,ZBAD=ZC=60°,

在△A3。和"CE中，

fAB=AC

<ZBAD=ZC>

AD=CE

:.△ABDWAACE(SAS)

：.ZDAF=ZABD,

：.ZBFE=ZABD+ZBAF=ZDAF+ZBAF=/BAD=60°,

故答案为：60°.

由题意可知：AD=CD,BE=CE.

图1

：△ABC是等边三角形，BE=EC,AD^CD,

/.ZBAE=—ZBAC=^X60°=30°,ZABD—ZABC=30°,

222

:./FAB=/FBA,

：.FA=FB,

故答案为1.

(3)设BF=y,AB^BC=AC=n.AD=CE=l,

:AABD咨ACAE,

：.BD=AE,ZDAF=ZABD,设BO=AE=nj,

ZADF=ZBDA,

AADF^ABDA,

.AF=_AD

"AB丽，

①，

nm

'：ZFBE=ZCBD,ZBFE=ZC=60°,

.,.△BFES^BCD,

.BF=BE

"BCBD"

••.X=22Z1②，

nin

①+②得到：工=1一，

yn-1

.AF=1

"BFn7?,

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是

正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.

2.如图，ZBAD=90°,AB=AD,CB=CD,一个以点C为顶点的45°角绕点C旋转，角的两边与R4,D4交于

点M,N,与BA,ZM的延长线交于点E,F,连接AC.

(1)在/fCE旋转的过程中，当/尸C4=/ECA时，如图1,求证：AE=AF；

(2)在/BCE旋转的过程中，当时，如图2,如果48=30°,CB=2,用等式表示线段AE,

AF之间的数量关系，并证明.

【分析】(1)首先证明△ABC名△AOC(SSS),推出/R4C=/DAC=45°,推出乙E4C=/EAC=135°,再证

明△ACF乌/XACECASA)即可解决问题；

(2)由△ACf's△&£(7,推出尤="，可得AC2=AE・Af,求出AC即可解决问题；

AEAC

【解答】(1)证明：'：AB=AD,CB=CD,AC=AC,

：.AABC^AADC(SSS),

：.ZBAC=ZDAC=45°,

：.ZFAC=ZEAC=135°,

'：ZFCA=ZECA,

：.AACF^AACE(ASA),

：.AE^AF.

(2)证明：作CG_LAB于G.

VBC=2,48=30°,

：.CG=^-BC=],

2

'：AG=AC=1,

'.AC=42,

VZFAC=ZEAC=135°,

：.ZACF+ZF=45°,

VZACF+ZACE=45a,

：.ZF=ZACE,

：.AACF^AAEC,

.AC=AF

"AEAC'

：.AC2=AE'AF,

：.AE-AF=2.

E

【点评】本题考查旋转变换、全等三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角

形解决问题，属于中考常考题型.

3.已知：如图，矩形4BCD中，AB>AD.

(1)以点A为圆心，为半径作弧，交。C于点E,且联结AE,BE,请补全图形，并判断匹

与/CEB的数量关系;

(2)在(1)的条件下，设°="；,6=理，试用等式表示a与b间的数量关系并加以证明.

BEAB

【分析】(1)根据题意画出图形，根据等腰三角形的性质即可得出结论；

(2)作过点A作于点R根据4B=AE可知8歹=18£,由/AfB=/C=90°,ZABE=ZCEB,得

2

出△ABbs△BEC,再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论.

【解答】解：(1)如图b

'：AE=AB,

：.NAEB=/CEB.

(2)a=—b.

2

证明：如图2,作过点A作Ab,BE于点R

'：AB^AE,

:.BF=LBE,

2

VZAFB=ZC=90°,NABE=/CEB,

：.AABFs4BEC

.EC=BF

"BEAB'

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质求解是解答此题的

关键.

4.已知：△A3。和△C8。关于直线8。对称(点A的对称点是点C),点E,歹分别是线段8C和线段8。上的点,

且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AFAE,AE交BD于点G.

(1)如图1,求证：ZEAF=ZABD；

(2)如图2,当时，M是线段AG上一点，连接ED,MF,1的延长线交ED于点N,ZMBF

=^ZBAF,AF^^AD,试探究和AV之间的数量关系，并证明你的结论.

23

【分析】(1)如图1,连接在i、FC,构建全等三角形(SAS),则易证FA=FC；根

据垂直平分线的性质、等量代换可知在=硒，Z1=ZBAF,则/5=/6.然后由四边形内角和是360。、三角

形内角和定理求得/5+/6=/3+/4,则/5=/4,即/£4歹=/480；

(2)FM/FN.理由如下：由△AFGs/XBfA,易得/AGP=所以结合已知条件和图形得到

2

ZBMG.易证△AGf's2\DG4,则对应边成比例：「=」门=空.

AGGDAD

设GF=2a(a>0),AG=3a,则GO=2a,FD=^-a-,利用平行线(BE//AD)截线段成比例易得幽=幽，则

22GDAG

三=也=2.没EG=2k(k>0),所以8G=MG=3左.如图2,过点尸作交AE于点0.则医=处

BGGD3QEFD

喷缁又由世〃皿易证嘴谭二方

所以FM=—FN.

2

2

【解答】(1)证明：如图1,连接FE、FC.

:点尸在线段EC的垂直平分线上,

：.FE=FC,

.*.Z1=Z2.

,/^ABD和△CB。关于直线BD对称(点A的对称点是点C),

：.AB=CB,Z4=Z3,

;在AAB歹与中，

'AB=CB

-Z4=Z3.

BF=BF

.'.△ABF这4CBF(SAS),

：.ZBAF=Z2,FA=FC,

：.FE=FA,Z1=ZBAF,

：.Z5=Z6.

VZ1+ZBEF=18O°,

：.ZBAF+ZBEF=l?,0o

"：ZBAF+ZBEF+ZAFE+ZABE=360°,

：.ZAFE+ZABE=ISO°.

又,.•/AFE+/5+N6=180°,

/.Z5+Z6=Z3+Z4,

AZ5=Z4,即/EAP=NA8O；

(2)FM=—FN.理由如下：

2

如图2,由(1)知，ZEAF=ZABD.

又：ZAFB=ZGFA,

：.△AFGs^BFA,

：.ZAGF=ZBAF.

又•:ZMBF=^ZBAF,

2

：.ZMBF=—ZAGF.

2

'：ZAGF=ZMBG+ZBMG,

：.ZMBG=ZBMG,

：.BG=MG.

'：AB=AD,

：.ZADB=ZABD=ZEAF.

又,.•/PGA=NAG。，

AAGF^ADGA,

•GF=AG=AF

••而GDAD'

\'AF^^AD,

3

.GF=AG=2

・'AGGD3"

设G尸=2。(a>0),AG=3a,

GD=^~a,

2

5

：.FD=—a

2

'：ZCBD=ZABD,ZABD=ZADB,

：.ZCBD=ZADB,

：.BE//AD,

.BG=EG

"GDAG'

•EG_=AG=2

"BGGD3"

设.EG=2k(%>0),

：.BG=MG=3k.

如图2,过点尸作尸。〃瓦>交AE于点Q.则医=竺=各■="!

QEFD5a5

2

：.GQ=^QE,

：.GQ=—EG=—k,MQ=3k+^-k=~-k.

9999

■:FQ〃ED,

.MF=MQ=1

••丽QE'2f

：.FM=—FN.

2

【点评】本题综合考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形内角和定理以及四边形内角和

是360度等知识点.难度较大，综合性较强.

5.以A8为直径作半圆O,AB=10,点C是该半圆上一动点，连接AC、BC,并延长BC至点。，使。C=BC,过

点。作DELA8于点E、交AC于点忆连接。足

（1）如图①，当点E与点。重合时，求/BAC的度数；

（2）如图②，当DE=8时，求线段所的长；

（3）在点C运动过程中，若点E始终在线段上，是否存在以点E、0、F为顶点的三角形与△ABC相似?

若存在，请直接写出此时线段0E的长；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）连接OC.根据直角三角形的性质和圆的性质可得△08C是等边三角形，再根据等边三角形的性质

和直角三角形两锐角互余即可得到NA4c的度数；

（2）连接D4.根据垂直平分线的性质可得A8=AO=10,根据勾股定理和线段的和差关系可得AE和BE的长,

通过A4证明△AMSADEB,根据相似三角形的性质即可得到EF的长；

（3）分两种情况：①当交点E在。、A之间时；②当交点£在O、B之间时；讨论即可求得线段0E的长.

【解答】解：（1）连接0C.

•；C为DB中点，

OC=BC=OB,

AOBC是等边三角形，

AZB=60°,

'：AB为直径，

AZACB=90°,

：.ZBAC=30°；

(2)连接DA.

VAC垂直平分BD,

・.•£)£=8,DELAB,

.*.AE=6,

：.BE=4,

VZFAE+ZAFE=90°,NCFD+NCDF=90°,

：.ZCDF=ZEAF,

VZAEF=ZDEB=90°,

，AAEFsADEB,

.EF=AE

"EBDE'

：.EF=3；

(3)①当交点E在。、A之间时，

若NEOF=NBAC,此时胆

ACBC

.•.—AE二—EF，

ACBC

.OEAE

"AC^AC，

OE=AE,

则OE=1

2

若NEOF=NABC,此时堕JL,

BCAC

•.•-A-E-二-E-F-,

EFOE

则OE=$；

3

②当交点E在。、8之间时，0£=-15+5仍7

_4

综上所述，OE=S或5或15+5®7.

234

【点评】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平

分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度.

6.如图①，尸为△ABC内一点，连接B4、PB、PC,在△RIB、△P2C和△必C中，如果存在一个三角形与AABC

相似，那么就称P为△A8C的自相似点.

(1)如图②，已知Rt^ABC中，ZACB=9Q°,ZABOZA,C3是A8上的中线，过点8作BE_LCA,垂

足为E.试说明E是AABC的自相似点;

(2)在△ABC中，ZA<ZB<ZC.

①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点尸（写出作法并保留作图痕迹）;

②若AABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.

①③

【分析】（1）根据已知条件得出以及NBCE=NABC,得出△BCEs△43c,即可得出结论;

（2）①根据作一角等于已知角即可得出AABC的自相似点;

②根据ZBCP=ZABC=Z2ZPBC=2ZA,ZACB=2ZBCP=4ZA,即可得出各内角的度数.

【解答】解：（1）在RtZ\ABC中，ZACB=90°,CD是AB上的中线,

：.CD^—AB,

2

:.CD=BD,

：.ZBCE=ZABC,

'：BE±CD,：.ZBEC=90°,

ZBEC=ZACB,

:.△BCEsAABC,

是△ABC的自相似点；

（2）①如图所示，

作法：①在/ABC内，作NCBD=NA,

②在/ACB内，作ZABC,BD交CE于点P,

则尸为△ABC的自相似点；

②•.•尸是△ABC的内心，AZPBC=1.ZABC,ZPCB=1.ZACB,

22

：AABC的内心尸是该三角形的自相似点，

/.ZPBC=ZA,ZBCP=ZABC=2ZPBC=2ZA,ZACB=2ZBCP=4ZA,

：.ZA+2ZA+4ZA=180°,

.Z="J

7

该三角形三个内角度数为：皿一，迎一，皿一.

777

①②

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及三角形的内心作法和作一角等于已知角，此题综合性较强，注意

从已知分析获取正确的信息是解决问题的关键.

7.在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,CO_LAB于点。，点E为AC边上一点，连接BE交CD于点尸，过

点E作EG上BE交AB于点G,

(1)如图1,当点E为AC中点时，线段与EG的数量关系是EF=EG；

(2)如图2,当更小，探究线段所与EG的数量关系并且证明；

AE2

EG-n-

【分析】(1)根据全等三角形的证明方法利用ASA得出必修/XEGN,即可得出跳'=EG；

(2)根据已知首先求出/ENG=//EM,再得出凡即可得出△£FMS2\£GN,再利用相似三角

形的性质得出答案即可.

【解答】解：(1)证明：如图1,过E作于"，ENLCD于N,

VZACB=9Q°,AC=BC,

：.ZA=ZABC=45a,

：.AD=CD,

:点E为AC的中点，CDLAB,ENLDC,

：.EN=—AD,

2

：.EM=—CD,

2

：.EN=EM,

〈NG即=90°,ZMEN=90°,

・•・NNEF=NGEM,

rZNEF=ZGEM

・・・<EN=EM，

ZENF=ZEMG

:AEGM沿AEFN,(.ASA)

：.EG=EF

⑵里二

EG2

证明如图(2)：过点E作EAf_LC£＞于点M,作EALLAB于点N,

ZENA=ZCME=ZEMF=90°.

.,CO_L4B于点。，

\ZCDA=9Q°.

".EM//AD.ZA=ZCEM.

MEMCSAANE.CE_

AEAN

：EM//AD,:./NEM=90.即Nl+/2=90°.

JEG1.BE,.,.Z3+Z2=90°,

\ZMEF=ZGEN.

MEFMSAEGN.;.E