常考的规律探究问题-2024年中考数学答题技巧与模板构建（解析版）

本老的楣律糠究冏题

黑m/aim遣

中考•题型他犊

模型01数与式、图形的规律问题

数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系的

数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，探究其中

蕴含的规律,进而归纳或猜想出一般性的结论.

模型02平面直角坐标系中的规律问题（旋转、平移、翻滚、渐变等）

平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、归纳一

般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊——一般-------特殊”.这类问题体现了“特殊与一

般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能力具有很高的

要求.

豆结•牌型的建

模型01数与式、图形的规律问题

者I向I项I测

数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大,需要学生学会分析各式或图

形中的，，变，，与，，不变，，的规律――重点分析，，怎样变，，，应结合各式或图形的序号进行前后对比分析.主要考

查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律,利用规律解决问题.

答I题I技I巧

第一步：读懂题意，标序号；

第二步：根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的"变''与"不变”的规律--重点分

析“怎样变”；

第三步：猜想规律与“序号”之间的对应关系，并用关于“序号”的式子表示出来；

第四步：验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答

I题型：?：<5'1

I（2023•湖南）观察下列按顺序排列的等式：©=1—5,a2=《—J,a3=春一《，@=）一L…，试猜

曲-3243546

想第n个等式（n为正整数）：an=.

【答案】1

n?!+2

【详解】根据题意可知,a产1,

-L।/

_11

电—5―2+2，

_11

53-3+2，

_11

。4=厂干，…

.c=J_____1

"一n一互”.

网］2（2023•安徽）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第⑵个图比第⑴个图

多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推.

（1）第（9）个图中阴影三角形的个数为「非阴影三角形的个数为一

（2）第八个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441：43,求九

（3）能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能,请指出是第几个图形，如果不能说

明理由.

【详解】（1）第（1）（2）（3）个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=2z,1+3+5=32,1+3+5+7

=42,由此可推测第（9）个图中阴影部分小三角形的个数是（9+1）2=102=100（个），空白三角形的个数为

2x（9+2-1=21）;

故答案为：100;21;

（2）第九个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是：万言，y=鬻，

解得，n=20或九■（舍去）

经检验，九=20符合要求，

所以，九二20;

⑶设第（馆）个图形可重新拼成一个菱形，第（山）个图形总的三角形个数为（m+2）2=m2+4m+4,

由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小

2

三角形数为/则有：2/=（m+2）

解得，m=±V2x-2

・・・山不是正整数，

・••不可能拼成一个菱形.

例3.（2023•江西）规律探究与猜想：

2

①方程X—3X+2=0的解为Xi=1,x2—2;

②方程5/+6=0的解为劣产2,力2=3;

③方程力之―76+12=0的解为的=3,力2=4;

④方程——96+20=0的解为为=4,g=5;•••

(1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题：

①方程X2-19X+90=0的解为.

②第n个方程为，其解为.

(2)请用公式法解方程X2-9X+20=0,验证猜想结论的正确性.

【详解】⑴解：

22

方程x—Sx+2=x+(―1—2)x+(―1)x(—2)=(2一1)(a;—2)=0,解为劣产1,x2=2;

方程a?—5a；+6="+(—2—3)+(—2)x(—3)=(a;—2)(a;-3)=0,解为2尸2,aj2=3:

2

方程a?—7c+12=x+(—3—4)+(—3)X(—4)=Q—3)(c—4)=0,解为©=3,a:2=4;

①X2-19X+90=x2+(-9-10)+(-9)X(-10)=(s-9)(a;-10)=0,

解为Zi=9,22=10;

②第fl个方程为x2+[—n—(n+l)]a?+(—n)X[—(n+1)]=(®—n)[x—(n+1)]=0

22

第八个方程为x—(2n+1)，+n+n=0,解为x1=n,x2=n+1.

(2)解：X2-9X+20=0

A=(-9)2-4X1X20=1,

.9—VT.9+vTK

••Xi=---=4,22=—2—=5•

故结论正确.

模型02平面直角坐标系中的规律问题

考|向|殖|捌

平面亶角坐标系中的规律问题（旋转、平移、翻滚、渐变等）该题型也主要以选择、填空的形式出现，一

般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律（如点变的循环规律或点运

动的循环规律,点的横、纵坐标的变化规律等）.主要考查对点的坐标变化规律，一般我们需要结合所给

图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算.

答I题I技I巧

第一步：观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；

第二步：分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，点

的横、纵坐标的变化规律等）

第三步：周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变化

次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限,或与哪个关键点的横纵坐标

相等；

第四步：利用有理数的运算解题

即型三例

旋转型

吼上（2023・四川）如图所示，矩形ABOC的顶点。为坐标原点，BC=2,对角线OA在第二象限的角平分线

上.若矩形从图示位置开始绕点。以每秒45°的速度顺时针旋转,则第2025秒时，点A的对应坐标为

8

A.(2,0)B.(0,2)C.(V2,V2)D.(―V2,一/2)

【答案】B

【详解】解：•.•四边形480。是矩形，：.OA=BC=2,

•.•每秒旋转45°,8次一个循环，2025+8=253……1,

第2025秒时，点A的对应点42025落在沙轴正半轴上,

.•.点4025的坐标为（0,2）.故选：B.

平移型

吼2（2023•杭州）如图,直角坐标平面加电内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（—1,0）运

动到点（0,1）,第2次运动到点（1,0）,第3次运动到点（2,—2）,……，按这样的运动规律，动点P第2018

.(2018,1)D.(2017,-2)

【答案】B

【详解】解:•••2018+4=504余2,第2014次运动为第505循环组的第2次运动,

横坐标为504x4+2—1=2017,纵坐标为0,

点的坐标为（2017,0）.故选B.

翻滚型

网］3（2023•安徽）如图所示，在平面直角坐标系中，△444,△444,△444,…都是等边三角形，其边

长依次为2,4,6,…其中点4的坐标为（2,0）,点儿的坐标为（1,—遍），点4的坐标为（0,0）,点儿的坐

标为（2,2遍），…，按此规律排下去，则点人1。0的坐标为（）

•••

A.(1.50V3)B.(1,5173)C.(2,5073)D.(2,51V3)

【答案】。

【详解】解:观察所给图形，发现rr轴上方的点是4的倍数，

100+4=25,

:.点、A100在a;轴上方，

44=4,45(4,0),

4入7=6,4?(—2,0),

•••44=8,.•.点4的坐标为(2,473),

同理可知，点Ain的坐标为(2,2nV3),

.•.点人侬的坐标为(2,506).故选：C.

京迪•锦什疝I线

题目1](2023•山东)我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2行

从左到右数第1个定为研2,1)，我们把第4行从左到右数第3个定为矶4,3),由图我们可以知道：矶2,1)=

l,a(4,3)=3,按照图中数据规律，a(8,5)+a(9,6)的值为.

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

【答案】91

【详解】解:如图所示,

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

172135352171

1828567056288

193684126126843691

按照图中数据规律，以8,5)=35,矶9,6)=56,

a(8,5)+a(9,6)=35+56=91,

故答案为：91

题目团(2023•河南)如图，找出其变化的规律，则第1349个图形中黑色正方形的数量是

j|->.■—■■■■■■■■■■■■******

(1)(2)(3)(4)(5)

【答案】2024个

【详解】解：根据题意，可得当"为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为n+宙个，

当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为n+胃工个，

J.n=1349时，黑色正方形的个数为1349+134；+1=2024个.

故答案为：2024个.

题目区(2023•陕西)如图，第1个图用了6枚棋子摆成;第2个图用了9枚棋子摆成;第3个图用了12枚棋子

摆成，……;按图中所示规律，第九个图需要棋子枚.

••••••

••••••••••••

••••••••••••

图1图2图3

【答案】3(九+1)

【详解】根据题意有，

第1个图形棋子数为：3+3x1,

第2个图形棋子数为：3+3x2,

第3个图形棋子数为：3+3X3,

第九个图形棋子数为：3+3xri=3(n+1),

第九个图需要棋子3(九+1)枚，

故答案为：3标+1).

题目⑷(2023•云南)如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的,按此规律排列，则第九个图形中小

五角星的个数为()

☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆

12

A.n2+lB,n2-lC.2n—1D.2+1

【答案】A

【详解】解：则第1个图形中小五角星的个数为：12+1=2；

则第4个图形中小五角星的个数为：1+22=5;

则第3个图形中小五角星的个数为：1+32=10;

则第4个图形中小五角星的个数为：1+42=17;

则第九个图形中小五角星的个数为：1+/，

故选：A.

（SM5）（2023•广东）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1,若正六边形

ABCDEF绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2,则连续翻转2022次

后,数轴上2022这个数所对应的点是（）

A.A点B.B点C.C点D.。点

【答案】A

【详解】解：当正六边形在转动第一周的过程中，尸、E、D、C、B、A分别对应的点为1、2、3、4、5、6,

二翻转6次为一循环，

2021+6=337,

数轴上2022这个数所对应的点是人点.

故选：A.

题目⑥（2023・辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y^V3x+V3与两坐标轴交于4B两点，以AB为

边作等边△ABC,将等边△4BC沿射线4B方向作连续无滑动地翻滚.第一次翻滚：将等边三角形绕B点

顺时针旋转120°,使点。落在直线，上，第二次翻滚:将等边三角形绕点。顺时针旋转120°,使点A落在直

线，上……当等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是（）

A.(2023,202373)B.(2022,202473)C.(2021,202273)D.(2021,202473)

【答案】。

【详解】解：,直线Z：夕=+V3与两坐标轴交于A、B两点、,

.­.A(-l,0),B(0,V3),

AB=2,OA=1,OB=V3,

tanZBAO—„=V3,

ZBAO=60°,

如图,等边ZVIBC经过第1次翻转后，A(-1,2V3),

过点A2作A2M_Lc轴于点M■，则44=3AB=6,

•：ZA2AM=60°,

AM=AA2COS^A2AM=6x9=3,

A2M—AAiSinZ-AiAM=6X-=3V3,

等边△ABC经过第2次翻转后，A2(3,3A/3),

等边△AB。经过第3次翻转后，点A仍在点A2处,

：,每经过3次翻转，点4向右平移3个单位,向上平移3V3个单位,

•：2023+3=674……1,第2次与第3次翻转后点A处在同一个点,

.•.点A经过2023次翻转后,向右平移了3x674=2022个单位，向上平移了3A/3X674+273=2024四个

单位，

等边三角形翻滚2023次后点A的对应点坐标是(2021,202473),

故选：D.

题目可(2023.河南)如图，矩形4BCD的顶点4B分别在力轴、v轴上,其坐标分别为(-6,0)、(0,-8),

AD=20,将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°,则第2022次旋转结束时,点D的坐标为

()

8

A.(10,12)B.(-10,-12)C.(-12,10)D.(12,-10)

【答案】B

【详解】解:如图，过点。作OT，a;轴于点T.

矩形ABCD的顶点4、B分别在①轴、y轴上，其坐标分别为（一6,0）、（0,-8）,

OA=6,OB=8,

・・.AB=VOA2+OB2=10,

・・・AATD=AAOB=ABAD=90°,

・・・/.DAT+Z.BAO=90°,ABAO+AABO=90°,

・・.ND4T=/ABO,

・・・AATD-ABOA,

.ADATDT日门20ATDT

"AB~OBOA10-86'

AT=16,DT=12,

：.OT^AT-OA=16—6=10,

.­.0(10,12),

•/矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°,

则第1次旋转结束时，点。的坐标为(12,-10);

则第2次旋转结束时，点。的坐标为(-10,-12);

则第3次旋转结束时，点。的坐标为(-12,10);

则第4次旋转结束时，点。的坐标为(10,12);

发现规律:旋转4次一个循环，

20224-4=5052,

则第2021次旋转结束时，点。的坐标为（-10,-12）.

故选：B.

天天•题型遇冢

题目回（2023•江西吉安・期末）规律探究题:如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去,摆第

2023个图案用几根火柴棒（）

A.8093D.8091

【答案】A

【详解】观察图形的变化可知：

摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5;

摆第2个图案要用火柴棒的根数为：9=5+4=5+4XI；

摆第3个图案要用火柴棒的根数为：13=5+4+4=5+4x2;

则摆第九个图案要用火柴棒的根数为：5+4(九一1)=4n+1;

故第2023个图案要用火柴棒的根数为：4x2023+1=8093

故选：A

题目可(23-24•河南新乡•期末)汉字文化正在走进人们的日常消费生活.如图所示图形都是由同样大小

的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个

圆点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律则图⑩中共有圆点的个数是()

A.63B.75C.88D.102

【答案】。

【详解】解：由题意知，图①中共有12个圆点,

图②中共有12+6=18个圆点，

图③中共有12+6+7=25个圆点，

图④中共有12+6+7+8=33个圆点，

.•.图⑩中共有圆点12+6+7+8+9+10+11+12+13+14=102,

故选：。.

题目(23-24.湖北武汉.期末)已知点4)(—1,3),记儿关于直线”(直线山上各点的横坐标都为0)的对

称点为Ai，4关于直线九(直线八上各点的纵坐标都为1)的对称点为人2,4关于直线P(直线P上各点的

横坐标都为一2)的对称点为人3,4关于直线q(直线q上各点的纵坐标都为3)的对称点为A4,4关于直

线机的对称点为入5,4关于直线八的对称点为46,……依此规律4期的坐标是()

A.(2021,-2021)B.(-2025,-2021)C.(-2021,-2017)D.(-2025,2027)

【答案】B

【详解】解：：直线m上各点的横坐标都为0,即直线m为沙轴，

/.4(1,3),在第一象限,

•/直线"上各点的纵坐标都为1,即直线71为直线夕=1;

4(1,T),在第四象限，

,/直线p上各点的横坐标都为一2,即直线p为直线①=—2,

4(-5,-1),在第三象限，

­.•直线q上各点的纵坐标都为3,即直线q为直线V=3,

A4(-5,7),在第二象限，

4(5,7),在第一象限，4(5,—5),在第四象限，4(一9,—5)在第三象限，

.•.每四个点坐标所在象限为一个循环，

2023=4x505+3,

"1•人2023与/'3在同'一象限，

4(-5,—1),4(—9,—5),

.,.可知，第二象限的点坐标的特征为An(—(n+2),—(n—2)),

.­.AO23(-2O25,-2021),

故选：B.

题目兀(23•山东济宁・期末)如图，OP=L过点P作PPLOP且得。/=方；再过点P,作

，且PB=1,得OP冷血;又过点£作P2P3±OP2且1,得。只=2…依此法继续作下去,得

A.V2023B.V2022C.V2021D.V2020

【答案】B

【详解】解：由勾股定理得：

OP[=y/OP2+OPi=Vl2+12=V2,

OPF=7(V2)2+12=V3,

OP3=Jog+gw=^/(73)2+12=2,

••,，

依此类推可得：

OP=J(ORT)+(2_典)2=V(V^)2+12=V^+1,

：.OP2W1=V2021+1=V2022,

故选：B.

题目电(23・广西贵港・期末)请看杨辉三角，并观察下列等式：

1

11

121

1331

14641

(a+b)i=a+b

(Q+b)2=a'+Zab+62

(a+b)3=o^~\~3o?b+3ab之十匕，

(a+b)4=Q4+4Q3b+6a2fe2+4ab3+64

根据前面各式的规律，则(a+b)6=.

【答案】a6-h6a5b+15aV+20a3b3+15a264+6ab5+b6

【详解】解：(Q+b)6=a6+6a56+15a462+20a363+15a2fe4+6ab5+b6

故本题答案为：Q6+6Q5b+15a4fe2+20a3fe3+15a2b4+6ab5+b6.

题目逗(23-24.辽宁沈阳•期中)汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆

点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆

点，图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律,则图⑧中共有圆点的个数是，

图①图⑵图③图㈤

【答案】75

【详解】解:在图①中，圆点个数为%=12个.

在图②中，圆点个数为y2=仍+2+4=18个.

在图③中，圆点个数为为=例+2+5=25个.

在图④中，圆点个数为i/4—明+2+6=33个.

以次类推，在图⑧中，圆点个数为佻=仍+（2+10）=%+（2+9）+12

—窝+（2+8）+11+12

—统+（2+7）+10+11+12

=33+9+10+11+12

=75.

故答案为：75.

版目回（2023•四川资阳・一模）如图,李明从人点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为再

沿直线前进5米,到达点。后，又向左旋转a角度,照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米,

则每次旋转的角度a为.

【答案】40°.

【详解】连续左转后形成的正多边形边数为：45+5=9,

则左转的角度是360°+9=40°.

故答案是：40°.

画直HIK22-23•江苏）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表

（图①），即杨辉三角.现在将所有的奇数记“1”,所有的偶数记为“0”,则前4行如图②，前8行如图③，求前

32行“1”的个数为.

1

11

121

1331

14641

15101051

(图①)

【答案】243

【详解】观察图②和图③可知，前8行中包含3个前4行的图形，中间三角形中的数字均为0,

.•.前8行中“1”的个数是前4行中“1”的个数的3倍，

即前8行中“1”的个数为9x3=27（个），

同理可知前16行中“1”的个数是前8行中"1''的个数的3倍，即前16行中“1”的个数为27x3=81（个）,

前32行中“1”的个数是前16行中“1”的个数的3倍，即前32行中“1”的个数为81X3=243（个）,

故答案为:243.

题目电（2023九年级上•全国・期末）在平面直角坐标系中，抛物线沙="的图象如图所示.己知A点坐标

为（1,1）,过点A作441〃①轴交抛物线于点4，过点4作44〃OA交抛物线于点4，过点A2作44〃,

轴交抛物线于点人3,过点4作A3A4//OA交抛物线于点人4…,依次进行下去，则点4023的坐标为.

【答案】（一1012,10122）

【详解】解：:A点坐标为（1,1）,

直线OA为g=c,Ai（—1,1）,

・・・AXA2//OA9

直线4A2为y=6+2,

解2=/2+2得1=「或f

[y=xh/=iU/=4

・•.A2(2,4),

:.4(—2,4),

44〃OA,

直线为g=/+6,

解卜=,+6得产=12或2=：

[y=x=4[y=9

・•・4(3,9),

：•4(—3,9)

13

.­.AO23(-1O12,1O122),

故答案为：(一1012,10122).

【题目兀(22-23九年级上•全国•期末)(规律探究题)下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察,大胆猜

想，科学推断，完成练习.

序号方程方程的解

1X2—2X—3=071=-1,劣2=3

2X2—4：X—12=021=-2,劣2=6

362—66—27=0劣尸一3,劣2=9

(1)这列方程中第10个方程的两个根分别是2产,电=.

(2)这列方程中第八个方程为.

【答案】⑴-10;30;⑵1一2侬c-3n2=0

【详解】⑴由表格中的规律可知，第10个方程的解为2；i=—10,x2=30;

(2)根据表格中的规律可知，第n个方程的解是立尸一ri,x2=3n,

根据根与系数的关系可知：第九个方程就是a;2—2nrc—3n2=0.

题目逗(22-23•福建莆田•期中)探究规律题

按照规律填上所缺的单项式并回答问题：

(l)a,—2a2,3a3,—4a4,,；

(2)试写出第2017个和第2018个单项式；

(3)试写出第九个单项式；

(4)试计算：当a=-1时，a+(—2a2)+3a3+(—4a4)H---F99a"+(—lOOa100)的值.

【详解】解：⑴由前几项的规律可得：第五项、第六项依次为：5a5,—Ge?；

(2)第2007个单项式为：ZOWa20",第2018个单项式为：一2018a2°i8；