知识点大全-第16章《空间向量及其应用》-分享

千里之行，始于足下朽木易折，金石可镂Word-可编辑沪教版高中数学知识点大全一第16章空间向量及其应用第16章空间向量及其应用.116.1空间向量及其运算.116.2空间向量基本定理.116.2.1向量共面的充要条件.116.2.2空间向量基本定理116.3空间向量的坐标表示.116.3.1空间直角坐标系.216.3.2空间向量的坐标表示.216.4空间向量在立体几何中的应用.316.4.1判断空间直线、平面的位置关系.316.4.2求距离.416.4.2.1求点到直线的距离.416.4.2.2求点到面的距离.416.4.2.3求异面直线间的距离.416.4.3求角的大小.416.4.3.1求异面直线所成的角.416.4.3.2求直线与平面所成的角.516.4.3.3求二面角的平面角.5第16章空间向量及其应用16.1空间向量及其运算在必修课程第8章“平面向量”中,有关的概念实际上都相宜于本章的研究,这些概念包括:向量的模、单位向量、零向量、平行向量、相等向量、负向量等.共面向量的概念:倘若一组向量可以平移到同一个平面上,那么称这组向量是共面的.显然,随意两个向量都是共面的.没有异面向量的概念,即随意两个向量都是共面的;但是,表示两个向量的有向线段可以是异面的.空间向量平行(共线)的充要条件(亦可称“向量共线定理”):空间中的向量b与非零向量a平行的充要条件是存在实数λ,使得b=λ16.2空间向量基本定理16.2.1向量共面的充要条件向量共面的充要条件倘若e1与e2是两个不平行的向量,那么空间中的向量a与e1、e2共面的充要条件是,存在唯一的一对实数λ与μ拓展:空间一点P在平面ABC上的充要条件是对平面ABC外随意一点有OP=xOA+16.2.2空间向量基本定理空间向量基本定理倘若e1、e2与e3是不共面的向量,那么对空间中随意一个向量a,存在唯一的一组实数λ、μ与16.3空间向量的坐标表示16.3.1空间直角坐标系点O叫做坐标原点,三条坐标轴分离是横轴(即x轴)、纵轴(即y轴)与竖轴(即z轴).约定坐标系采用右手制,即右手翘起拇指、其他四指握拳做“点赞”状,当四指所指的方向是x轴正方向到y轴正方向的旋转方向时,拇指所指为z轴正方向.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分离称为xOy平面、yOz平面与给定空间一点P,过点P分离作与坐标平面yOz、zOx与xOy平行的平面,与坐标平面一起围出一个长方体,所作的三个平面与x轴、y轴、z轴的交点在轴上的坐标,给出了点P的坐标x,y,16.3.2空间向量的坐标表示给定随意一个向量p,我们先通过平移把p的起点放到坐标原点O,这时得到的向量OP称为p的位置向量.设OP的尽头坐标是Px,y,设i、j、k分离是x轴、y轴、z轴正方向的单位向量.因为三个坐标轴两两互相垂直.因此这些向量之间的数量积为OP=OA+AD+DP=OA+OB（1）倘若x1,y1,z1、x2x这说明:两个向量相加(减),等于把它们的对应坐标相加(减);一个实数乘一个向量.等于把这个实数乘它的坐标.（2）OP=（3）设有空间随意两点Px1,y1,PPOOOP//OQ⇔存在λ（4）空间向量的定比分点公式:设Ax1,y1,z1,Bx2,y2,则OP=x1+λ16.4空间向量在立体几何中的应用直线的方向向量:与直线平行的任何非零向量.平面的法向量:垂直于平面的任何非零向量.用向量主意解决有关直线和平面的问题,普通先把相应的问题化为关于上述这些向量的问题然后加以解决.空间中平面的法向量的求解主意:在给定的空间直角坐标系中,设平面α的法向量n=x,y,z,在平面α内任找两个不共线的向量a,b.由n⊥α,得n⋅a=016.4.1判断空间直线、平面的位置关系（1）两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行;两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直.（2）直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量;不在平面上的一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量（3）两个平面垂直的充要条件是它们的法向量垂直;两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行.16.4.2求距离16.4.2.1求点到直线的距离空间点到直线的距离:AQ=APcosθ16.4.2.2求点到面的距离倘若A、B是空间中的两个点,其中点B在平面α上,n是平面α的一个法向量,那么点A到平面α的距离d求平面的平行线与平面的距离,只要求平行线上一点到平面的距离;求两个平行平面的距离,也只要求其中一个平面上的一个点到另一个平面的距离.16.4.2.3求异面直线间的距离空间中两条异面直线a、b的距离d16.4.3求角的大小16.4.3.1求异面直线所成的角若异面直线l1,l2的方向向量为d1,d2,l1与16.4.3.2求直线与平面所成的角已知直线l的方向向量为d,平面α的法向量n,l与平面α所成的角为θ则sinθ=16.4.3.3求二面角的平面角已知二面角α−l−β的两个半平面α和(