带电粒子在电磁组合场中运动（解析版）-2024年高考物理压轴题专项训练

惑”墓带电裁，衣电球曾舍场中也勃

NO.1

压轴题解读

i.带电粒子在电磁组合场中的运动是高考物理中的一个重要考点,它涵盖了电学和力学的核心知识,是考查学

生综合应用能力的关键。

2.在高考命题中，这一考点通常以综合性较强的题目形式出现，涉及电场、磁场和粒子运动等多个方面。题目

可能要求考生分析带电粒子在电磁组合场中的运动轨迹、速度、加速度等物理量,也可能要求考生运用动量定

理、能量守恒等原理解决复杂问题。

3.备考时，考生应首先深入理解电磁组合场的基本原理和带电粒子在其中的运动规律，掌握电场力、洛伦兹力

等基本概念的计算和应用。同时，考生需要熟悉相关的物理公式和定理，并能够灵活运用它们解决具体问题。

此外，考生还应注重实践练习，通过大量做题来提高自己的解题能力和速度。

N0.2

压轴题密押

解题要领归纳

考向一:带电粒子在电磁组合场中的基本规律

1.带电粒子在组合场中运动的分析思路

第1步:粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段。

第2步:受力分析和运动分析,主要涉及两种典型运动,如第3步中表图所示。

第3步:用规律

匀变速求法牛顿定律、运动学公式

带

电直线运动一

粒子电场中

分

在常规分解法

的

离求法

J类平抛运动特殊分解法

场

电

场

磁功能关系

运

中求法

匀速直线运动匀速运动公式

动磁场中

求法圆周运动公式、牛顿

匀速圆周运动

定律以及几何知识

2.“电偏转”与“磁偏转”的基本规律

垂直电场线进入垂直磁感线进入

匀强电场（不计重力）匀强磁场（不计重力）

电场力既=招，其大小、方向不变，与洛伦兹力凡=quB,其大小不变,方向随”而

受力情况

速度。无关，用;是恒力改变，塌是变力

轨迹抛物线圆或圆的一部分

•；

运动轨迹示例、y•!••••*1••

0

利用类平抛运动的规律求解：v=v,

x0半径：/=*，•周期：T=2^

2qBqB

X=vot,vy=—-t,y=-^---t

求解方法m2m偏移距离U和偏转角0要结合圆的几何关系

偏转角9满足：tan^=-=利用圆周运动规律讨论求解

Vx口Wo

卫电

运动时间t=—

Vo2兀Bq

动能变化不变

考向二:先电场后磁场

(1)先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动。如图甲、乙所示,在电场中利用动能定理或运动学

公式求粒子刚进入磁场时的速度。

112

qU=^mvQ

乙

(2)先在电场中做类平抛运动,然后进入磁场做圆周运动。如图丙、丁所示,在电场中利用平抛运动知识求粒子

进入磁场时的速度。

%=W=JW+%2EM+*tana焉

丙丁

考向三;先磁场后电场

对于粒子从磁场进入电场的运动,常见的有两种情况:

(1)进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反，如图甲所示，粒子在电场中做加速或减速运动，用动能定

理或运动学公式列式。

（2）进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直,如图乙所示,粒子在电场中做类平抛运动，用平抛运动知识分

析。

♦题型01先电场后磁场

、题目T］如图所示,竖直直线MN、PQ、将竖直平面分为I、〃两个区域，区域/有竖直向下的匀强电场

（大小未知）,直线AW和PQ间的距离为d,区域〃有垂直于纸面向里的水平匀强磁场，磁感应强度大小B

=子詈（两竖直区域足够长）。现有一质量为加,带电量为q的带正电粒子从AW边界上的4点以速度

。。水平向右飞入,与边界PQ成30°进入区域〃（不计粒子的重力）。求：

（1）带电粒子在区域/内沿电场方向运动的距离；

（2）区域/电场强度的大小；

（3）要使带电粒子能够再次进入区域1,PQ和间的距离至少多大？

MxqHG

x

B

£八

NQ

【详解】（1）（2）根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示

,IIG

XXx[

粒子在电场中做类平抛运动，水平方向上有

d-

竖直方向上有

Eq

a=

m

Uy—at

VBC—

又有

—=tan600

—=sin30°

V

联立解得

vy_VBC

元=Q21

VBC=

v—2g

E-qd

（3）粒子进入磁场之后，做匀速圆周运动，由牛顿第二定律有

n,2

qvB—m—

r

解得

O

由几何关系可得

yen—r=~^~dPQ和GH间的距离最小值为

,=­60。=笆』

0

♦题型02先磁场后电场

题目区如图所示,在忒为平面的第一象限内有半径为兄的圆形区域，该区域内有一匀强磁场，磁场的方向

垂直纸面向里。已知圆形区域的圆心为其边界与田轴、沙轴分别相切于P、Q点。位于P处的质子源

均匀地向纸面内以大小为。的相同速率发射质量为小、电荷量为e的质子，且质子初速度的方向被限定在

两侧与的夹角均为30。的范围内。第二象限内存在沿U轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E,

在t轴3<0）的某区间范围内放置质子接收装置MV。已知沿方向射入磁场的质子恰好从Q点垂

直y轴射入匀强电场,不计质子受到的重力和质子间的相互作用力。

（1）求圆形区域内匀强磁场的磁感应强度大小B；

（2）求夕轴正方向上有质子射出的区域范围；

（3）若要求质子源发出的所有质子均被接收装置接收，求接收装置MN的最短长度3

【详解】⑴沿PO'方向射入磁场的质子恰好从Q点垂直y轴射入匀强电场，则该质子运动半径为R,有

6

eHRv—m—

R

解得

cmv

B=W

(2)如图所示，设在PO左右两侧30°角方向上射入磁场的质子，最终分别有磁场边界上的A、B两点射出，

对应圆周运动的圆心分别为。1、。2,则四边形AO.PO'和BO2PO均为，则粒子由A、B两点水平飞出，且

Q与B点重合。

根据几何关系可知

A(yPB=ZO2PB=60°

AB=BO2=RB点到多轴的距离为•，所以？/轴正方向上有质子射出的区域范围为

R7?3R

(3)若质子由？/=竽处飞入电场时打在V点，由g=专处飞入电场时打在N点，根据类平抛运动的规律,

有

eE—ma

①M=皿

Xf^=vti

解得

3Rm

eE

XN=V.MN的最短长度为

xM—xN—(A/3—1)1；

♦题型03交变电磁组合场

题目—如图甲所示，在直角坐标系中的区域内有沿“轴正方向的匀强电场，右侧有以点（2"0）

为圆心、半径为L的圆形磁场区域，与x轴的交点分别为M、N。在xOy平面内，从电离室产生的质量为

m、带电荷量为e的电子以几乎为零的初速度从P点飘入加速电场中,加速后以速度处。经过右侧极板上的

小孔Q点沿，轴正方向进入匀强电场，已知。、Q两点之间的距离为乎，电子飞出电场后从加点进入圆

形磁场区域，进入磁场时取力=0,在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场（以垂直于纸面向外为正方向，图

中瓦是未知量）,最后电子从N点飞出，不考虑电子的重力。求：

（1）加速电场的电压U；

（2）电子运动到用■点时的速度大小和方向；

（3）磁场变化周期T满足的关系式。

甲乙

【答案】（1）二理；（2）2*,方向与0轴正方向的夹角为60°;（3）7=$9（n=l,2,3…）

2e9no0

【详解】（1）在加速电场中，从P点到。点，由动能定理得

eU=

可得

u=^

（2）电子从Q点到“点做类平抛运动，有

V3L_1,2

亍―万威

电子运动至M点时

N:+（al）.

解得

^M=2*

COS0=-V=J

M2

解得

9=60°

即速度方向与力轴正方向的夹角为60°;

（3）电子在磁场中的运动具有周期性,轨迹如图所示

电子到达N点符合要求的空间条件为

n(2J?sin60°)=3L—L(n=1,2,3••■)

电子在磁场中做圆周运动的轨道半径

解得

B尸土等,2,3…)

eL

电子在磁场变化的半个周期内恰好转过；圆周，同时在儿W间的运动时间是磁场变化周期的整数倍时，可

''4...........4I…………

使粒子到达N点且速度满足题设要求，应满足的时间条件是

所以T应满足的条件为

7=4产％=1,2,3…)

♦题型04三雒空间电磁组合场

题目⑷截至2023年8月底，武威重离子中心已完成近900例患者治疗，疗效显著。医用重离子放疗设备主

要由加速和散射两部分组成，整个系统如甲图所示，简化模型如乙图所示。乙图中，区域/为加速区，加速

电压为U,区域II、III为散射区域，偏转磁场磁感应强度大小均为B,区域II中磁场沿y轴正方向，区域III

中磁场沿轴正方向。质量为电荷量为q的带正电的重离子在。点由静止进入加速电场,离子离开区

域〃时速度偏转了37°,不计离子的重力，sin37°=0.6,cos37°=0.8.

(1)求离子进入磁场区域〃时速度大小；

(2)求磁场〃的宽度d；

时的。点在同一直线上，求当离子到达接收屏时距离接收屏中心0点的距离。

7

【详解】（1）离子在电场中加速，有

qU=-^-rnv2

解得

V=

（2）离子进入磁场区域〃时，速度与磁场方向垂直，做匀速圆周运动，离开时速度偏转了37°,即转过的圆弧

所对的圆心角为37°,则

d=/?sin37°

&v2

qvB—m—

R

解得

d

（3）离子在磁场中等螺距前进：离子进入磁场区/〃时，速度与磁场夹角为37°,则离子在力轴方向做勺速直

线运动,在yOz平面做勺速圆周运动：

vx=fcos370

vz=fsin370

力方向匀速

Vxt=d!

在yOz平面

qvB=m--

z巧

解得

Z=6.25T

即离子转了6.25圈打在接收屏上，夕轴上距离O'的距离

"=八产蚩

Z轴上距离O,的距离

4

z—7?(1—cos37°)+7?i=

5BVq

离子在接收屏上距O'点的距离

NO.3

压轴题速练

［题目□（2024.贵州遵义.一模）在科学探究中，常利用电磁场控制电荷的运动路径，与光的传播、平移等效果

相似，称为电子光学。如图，在①<-L区域中有粒子源和电场加速区；在-L4土40区域中存在方向垂直

力轴向下的匀强电场;在04/<无，一8Vg<+8区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B

的大小可调，方向不变。一质量为山、电荷量为q的带正电粒子由静止开始经加速区加速后，从（-乙，0）处

以水平速度向右射入电场，在（o,-平©处进入磁场，已知加速区电势差为仇，不计粒子的重力。

（1）求粒子进入一LW2W0区域内匀强电场时的速度大小和匀强电场的电场强度大小；

（2）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场,分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的

最小值Bmin；

（3）如果磁感应强度大小为驾，粒子将通过虚线所示边界上的某一点离开磁场，求粒子出射点坐标。

V3L+2V15h-4V3h

6

【详解】（1）加速电场中，根据动能定理有

TT12

qUo=­mv0

解得

在偏转电场中，粒子做类平抛运动,则有

1

L^votl,^-L=qE

2mt?

解得

斤_2V3U

EJ--------0------------

3L

（2）粒子带正电，若粒子从沙轴正半轴离开磁场，根据右手定则可知，磁场方向垂直于纸面向里。根据上述

可知,粒子刚刚进入磁场时,令速度与水平方向夹角为仇则有

Vy=,tan。=—,5=J若+若

mv0

解得

1=30。,3=./酗i

3vm

粒子经磁场偏转后穿过g轴正半轴离开磁场，当磁感应强度为最小值时,轨道半径最大，此时粒子轨迹恰好

与磁场右边界相切，作出粒子在磁场中的轨迹示意图如图所示

J?i+J?isin0=h

磁场中粒子圆周运动由洛伦兹力提供向心力，则有

q5±?min=m-

解得

(3)若磁感应强度大小为萼，根据

结合上述，解得

作出粒子在磁场中的轨迹示意图如图所示

根据几何关系可知,粒子在磁场中的出射点与入射点之间的竖直方向的间距为

—2

d=y/7?2(.h—/?2sin0)—i?2cosJ

结合上述解得

7(VT5-2V3)/i

d=3

则粒子出射点的横坐标

x—h

粒子出射点的纵坐标

解得

A/3-L+2〃15九—

y=-

6

10

即粒子出射点的坐标为（hA/3Z/+2，15九—4A/3^I

6

题目0（2024.湖南.二模）如图所示，在竖直平面内建立xOy坐标系，P、A、Q、Q?四点的坐标分别为（

-2L,0）、（一L,0）、（0,乙）、（0,-L）o夕轴右侧存在范围足够大的匀强磁场，方向垂直于cOg平面向里。在

界面PAQ,的上方存在竖直向下的匀强电场（未画出），界面FAQ?的下方存在竖直向上的匀强电场（未画

出）,且上下电场强度大小相等。在（-十乙，0）处的。点固定一平行于"轴且长为苧的绝缘弹性挡板

MN,。为挡板中点，带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿9方向分速度不变。沿，方向分速度反向，大

小不变。质量为小、电量为q的带负电粒子（不计重力）从，轴上方非常靠近P点的位置以初速度。。沿

7轴正方向射入电场且刚好可以过Q点。求：

（1）电场强度的大小、到达Q点速度的大小和方向；

（2）磁场取合适的磁感应强度，带电粒子没有与挡板发生碰撞且能回到P点，求从P点射出到回到P点经

历的时间；

（3）改变磁感应强度的大小,要使粒子最终能回到P点，则带电粒子最多能与挡板碰撞多少次？

XX

XX

XX

XX

/人XX

\NXXX

xXX

XXX

XX

【答案】（1）E=藜，期=，^0,与v轴正方向成45°角；（2）迈+誓；（3）17

2IQ1JVQ2o（）

【详解】（1）从P到Qi,水平方向

期心=2L

竖直方向

Eq

1g=L

2m

联立①②式可得

E-9

根据动能定理

mv2

EqL—

22

可得

v—V2VQ

与g轴正方向成45°角o

（2）要使带电粒子回到P点，其轨迹必须具有对称性且经过。2,由几何关系可得

r=V2L

在磁场中的偏转角度为

△。=等

在磁场中的运动时间为

,△%3TTL

力2=---------=不一

v2x0

故从P点射出第一次回到P点的时间

⑶当丁最小时带电粒子刚好过M点碰撞次数最多

A/2r2+-^-L-1=L

解得

设最多可以碰n次，则

（Tl+1）—71x2X—2Z/

解得

n=17

题目回（2024.湖北武汉.一模）如图，在c<0的区域存在方向沿夕轴负方向的匀强电场，在2>0的区域存

在方向垂直于力Og平面向里的匀强磁场。一个气核和一个晁核先后从/轴上P、。两点射出，速度大小分

别为自、”0。速度方向与，轴正方向的夹角均为9=53°,一段时间后，气;核和旅核同时沿平行c轴方向到

达"轴上的"点（图中未画出）,并立即发生弹性碰撞（碰撞时间极短）。已知Q点坐标为（―d,0）,不计粒子

重力及粒子间的静电力作用，sin53°=0.8,cos53°=0.6,求：

（1）P点的横坐标。

（2）匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B大小之比。

12

（3）点核和氤核碰撞后再次到达“轴上时的坐标点相隔的距离。

【详解】（1）分析亢核（；H）和鼠核（汨）的运动情况，亢核射出后在磁场中做匀速圆周运动，氤核射出后在电

场中做类平抛运动,两粒子运动轨迹如图所示

研究氤核，根据抛体运动规律有

研究气核，根据数学关系得

xP=rsin。

联立解得

1,

x=­d

PO

（2）设贪核（；H）的质量为m,电荷量为q,则氤核（汨）的质量为3馆，电荷量为qo研究贪核，根据洛伦兹力

提供向心力有

（型）2

v3szI2J

qX--XB=m--------

2r

解得

6mv

BD--------0-

5qd

研究氟核,根据抛体运动规律得

d=vocos0xt

r+rcosO=

qE=3ma

解得

_367m

25qd

—

则有

E_6VQ

（3）碰撞前，氤核的速度为

v=v^cosd

氤核（汨）和亢核（㈤）发生弹性碰撞，设碰撞后氤核、亢核速度分别为3、如根据动量守恒定律有

37rw+mX（一£）=3mv1+mv2

根据机械能守恒定律有

2

X3mv+-^-mX（一?）=XSmvl+^-mvl

联立解得

1

“产药与

_23

4=药比

碰撞后，亢核、氟核均在磁场中做匀速圆周运动，设氟核、气核的运动半径分别为『1、0,根据洛伦兹力提供

向心力，研究氤核有

qvB=3m—

1n

研究先核有

qv2B=m—

/2

氤核和气核碰撞后，均向上运动半个圆再次到达g轴上的点，他们相隔的距离为

Ar=2丁一22『i

联立解得

Ar=-|-d

o

题目⑷（2024・云南曲靖・一模）如图所示，真空中A位置存在一带电粒子发射器，能够瞬间在平面内发射出

大量初速度大小为。。的同种正电荷，以不同的入射角9（9为2与，轴正方向的夹角，且0°V。&90°）射入

半径为R的圆形边界匀强磁场（图中未标出）。圆形磁场刚好与①轴相切于A点，所有电荷均在该磁场的

作用下发生偏转，并全部沿。轴正方向射出。图中第三象限虚线下方一定区域存在着方向沿"轴正方向的

匀强电场,虚线刚好经过。点（。为实线圆最右端的点）且顶点与O点相切，同时观察到进入该电场区域的

所有电荷均从。点射入第一象限。第一象限内存在范围足够大的方向垂直于平面向里磁感应强度大小为

己的匀强磁场，。点上方沿y轴正方向放置足够长的荧光屏，电荷打在荧光屏上能够被荧光屏吸收。已知

电荷的质量为小,电荷量大小为q,OA的距离为2R,不考虑电荷所受重力及电荷之间的相互作用力。求：

（1）圆形磁场磁感应强度5的大小及方向；

（2）匀强电场上边界虚线的函数表达式；

（3）从人点沿垂直立轴向下射入磁场的粒子打在荧光屏上的坐标。

【答案】⑴8=2警;方向垂直于纸面向里；（2均=—1丘⑶（0,2噜）

qrCrtyqb?'

【详解】⑴根据几何关系可知电荷在实线圆内运动的半径也为凡如图所示，有

qu°Bi=m—

11,

mv（）

qR

由左手定则可知，磁感应强度8i方向垂直于纸面向里。

（2）带电粒子在电场中做类平抛运动且汇聚在。点，如图所示，设电荷进电场时位置的坐标为（/，力，故有

—X=vot

解得

点（—R,—R）是虚线上一点，代入可解得

27n媒

E=

qR

-Xx2

yR

⑶设电荷从。点射入第一象限的速度为O,与⑦轴的夹角为”,如图所示，则

15

y

举、©

V

►X

00

v二----

COSdf

在第一象限内运动半径为

mv

T--------

qB2

粒子被吸收的的位置为g,由几何关系得

y=2rcos(7

该点纵坐标为

该点横坐标为

x=Q

即粒子打在荧光屏上的坐标为（0,2一户

题目可（2024・湖南长沙•二模）电子扩束装置由电子加速器、偏转电场和偏转磁场组成。偏转电场的极板由

相距为d的两块水平平行放置的导体板组成，如图甲所示。大量电子由静止开始，经加速电场加速后速度

为为,连续不断地沿平行板的方向从两板正中间OO'射入偏转电场。当两板不带电时，这些电子通过两板

之间的时间为2友；当在两板间加最大值为伍,周期为2to的电压（如图乙所示）时，所有电子均能从两板间

通过，然后进入竖直长度足够大的匀强磁场中，最后打在竖直放置的荧光屏上。已知磁场的水平宽度为L,

电子的质量为小、电荷量大小为e,其重力不计。

（1）求电子离开偏转电场时到。。'的最远距离；

（2）要使所有电子都能打在荧光屏上，求匀强磁场的磁感应强度B的范围；

（3）在满足第（2）问的条件下求打在荧光屏上的电子束的宽度Ny。

荧U

U。

光

0

%2fo3/4fo

屏0

图甲图乙

【答案】金黑呢⑵B〈卷+⑶电

am

【详解】⑴由题意可知，从0、2书、4书、……等时刻进入偏转电场的电子离开偏转电场时的位置到OO'的

距离最大，在这种情况下，电子的最大距离为

沙max'

加速度大小

_eU0

amd

16

竖直分速度大小

Vy—dtg

解得

=3&）e.

-一石晟。

（2）设电子从偏转电场中射出时的偏向角为仇由于电子要打在荧光屏上，临界情况是与屏相切，所以电子

在磁场中运动半径应满足

R+Rsind>L

设电子离开偏转电场时的速度为%,垂直偏转极板的速度为%,则电子离开偏转电场时的偏向角为仇

sin昨二三

又

eB=m^,Rmvi

V1R~BT

解得

B＜与+

dL

（3）从打3打……等时刻进入偏转电场的电子离开偏转电场时的位置到OO,的距离最小，在这种情况下,

电子的最小距离为

=at

ymln~^0

解得

_1U0e,2

ymin~2其。

由于各个时刻从偏转电场中射出的电子的速度大小相等，方向相同，因此电子进入磁场后做圆周运动的半

径也相同，所以打到屏上的粒子是一系列平行的圆弧，由第（1）问知电子离开偏转电场时的位置到OO,的

最大距离和最小距离的差值为△%，最远位置和最近位置之间的距离

△1/1=VmWmin

所以打在荧光屏上的电子束的宽度为

△y=△%=半■总

题目回（2024高三下•湖南•开学考试）如图甲所示的坐标系中，V0区域有沿y轴负向的匀强电场，电场强

度E=300N/C,,>0区域有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度的大小和方向随时间的变化关系如图乙所

示,当垂直纸面向里时磁感应强度为正，图中瓦=1T,有足够大的荧光屏垂直于。轴放置并可沿，轴水平

移动。现有一带电粒子质量馆=2XIO-2kg,电量q=+3x10-9。的带电粒子从电场的P点（已知P点g

轴坐标为0.3m）,沿平行x轴以某一初速度进入电场，恰好从坐标原点与力轴成60°进入磁场，取带电粒子

进入磁场为t=0时刻,不计粒子重力,答案可用根号表示，求：

（1）带电粒子的初速度；

（2）若要完整研究带电粒子在磁场中的运动轨迹,磁场沿沙轴方向的最小区间的上限坐标幼和下限坐标y2；

（3）若要带电粒子垂直打在荧光屏上，荧光屏所在位置的，轴的可能坐标值。

y

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

甲

2=-

【答案】⑴3x10m/s;⑵==1.3m,y20.2m;(3)a;n=(n—0.8)V3m(n=1,2,3…)或x'n—(n—0.3)

V3m(n=1,2,3•■•)

【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，则有

tanbO=——

的

其中

2

vy=y/2ay=J—3A/3X10m/s

联立解得

v^—3X102m/s

（2）进入磁场的速度为

v=—。=22=6X102m/s

cos60

进入磁场后从图乙可知在0〜普时间内，由洛伦兹力提供向心力得

qvBo=m/

解得轨迹半径为

cmv

R产k0.4m

运动周期为

_2叫—.2nm

TJ-l

V