抛物线 学案-2025届高三数学一轮复习

基础课48抛物线

考点考向课标要求真题印证考频热度核心素养

抛物线的定义2023年天津卷T12逻辑推理

了解★★☆

和标准方程2019年全国H卷(理)T8数学运算

2023年新高考H卷T10逻辑推理

抛物线的几何

了解2023年全国乙卷(理)T13★★★数学运算

性质

2023年全国乙卷(文)T13直观想象

从近几年高考的情况来看，抛物线一直是高考命题的热点，选择

题、填空题的复习要关注抛物线的定义、焦点弦的性质在解题中

命题分析预测的应用;解答题的复习要关注设而不求以及根与系数的关系在解

题中的应用.另外本基础课内容易设置多选题，所以在备考中，

要注意多选题的训练，做到全面高效的复习

【基础知识・诊断】

i/H夯实基础'

一、抛物线的定义

1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线1(1不经过点F)的距离①相等的

点的轨迹.

2.焦点：②点F叫作抛物线的焦点.

3.准线：③直线1叫作抛物线的准线.

【提醒】定义中易忽视“1不经过点F”这一条件，当1经过点F时，动点的轨迹是

过定点且与定直线垂直的直线.

二、抛物线的标准方程和几何性质

y2=_

标准方程y2=2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)

2px(p>0)

图形

顶点0(4)(0,0)

对称轴⑤_X轴_⑥y轴

隹八'、占八、、F督，°)F得°)F(0,F(。，与

离心率e=©_1_

准线

-p

X=-zyv—2y=2

方程

x>0,x<0,y>0,y<0,

范围

y£Ry£Rx£Rx£R

开口方向向右向左向上向下

焦半径

(其中P(xo)

|PF|=

|PF|=(DJCO±2_

yo)|PF|=(9)-x0+g|PF|=®^o+|

-yo+l

为抛物线上

任一点)

•知识,一拓展・

抛物线的几个常用结论

设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦，则

1.以|AB|为直径的圆M与准线相切；

2.以|AF|为直径的圆C与y轴相切；

3.以|BF|为直径的圆D与y轴相切；

4.圆C与圆D外切，圆C与圆D均与圆M内切.

一AM-诊断自制心」

题组❶走出误区

L判一判.(对的打’7”,错的打“x”)

⑴平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.

⑵方程y=ax2(a邦)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(；，0

),准线方程是x=?()

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()

(4)AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F6，0)的弦，若A(xi,yi),B(x2,yi),

则xiX2=(，yiy2=-p2,弦长|AB|=xi+x2+p.()

答案(l)x(2)x(3)x(4)7

2.(易错题)已知P为抛物线x2=12y上的一个动点，Q为圆(x-4>+y2=l上一个动

点，则点P到点Q的距离与点P到x轴的距离之和的最小值为.

【易错点】本题在将点P到x轴的距离转化为点P到抛物线焦点的距离时容易

出现错误.

答案1

解析设抛物线的焦点坐标为F(0,3),圆心坐标为S(4,0),点P在准线上的射

影为R,

贝［PQ闫PSHQS|=|PS|-1,

因为|PR|=|PF|,所以|PQ|+|PR囹PS|+|PF卜1,

因为|PS|+|PF闫FS|=J(0_4,+32=5,所以|PQ|+|PRR5-1=4,当且仅当F,P,Q,S

共线且依序排列时取等号，所以点P到点Q的距离与点P到x轴的距离之和的

最小值为4-3=1.

题组❷走进教材

3.(多选题)(人教A版选修①P135•思考改编)过点M(2,-2a)的抛物线的标准方程

为().

A.y2=4xB.x2=-4yC.x2=-V2yD.y2=-V2x

答案AC

解析当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则8=4p,

解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x；当抛物线的焦点在y轴上时，设抛物线

的方程为x2=-2py(p>0),将点M(2,-2V2)代入，得4=4VSp,解得p=#,所以抛

物线的方程为x2=-V2y.故选AC.

4.(苏教版选修①P104.T5改编)若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,

则点M的纵坐标是.

答案j|

2

解析设点M的纵坐标为yM,抛物线y=4x的焦点坐标为(0,需)，则YM+1=1，

1_15

yM-i市一田

所以点M的纵坐标为，

题组❸走向高考

5.(2023•北京卷)已知抛物线C：y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-

3的距离为5,则|MF|=().

A.7B.6C.5D.4

答案D

解析因为抛物线C：y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=-2,点M在C上，

所以M到准线x=-2的距离为|MF|,又M到直线x=-3的距离为5,所以|MF|+1=5,

故|MF|=4.故选D.

【考点聚焦・突破】

考片一抛物线的定义及应用

1.若动点M(x,y)满足方程5J(x_i，+(y_2)2=|3x+4y+12],则点M的轨迹是().

A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线

答案D

解析由5扃+°一彳邛x+4y+12|得扃，+(y-2:4学与

等式左边表示点(x,y)和点(1,2)之间的距离，等式的右边表示点(x,y)到直线

3x+4y+12=0的距离，整个等式表示的意义是点(x,y)到点(1,2)的距离和到直线

3x+4y+12=0的距离相等，且点(1,2)不在直线3x+4y+12=0上，所以其轨迹为抛

物线.故选D.

2.(2023•全国乙卷)已知A(l,V5)在抛物线C：y?=2px上，则点A到抛物线C的

准线的距离为

答案I

解析因为点A在抛物线上，所以（归2=2pl解得2P=5,则抛物线方程为y2=5x,

其准线方程为x=[,则点A到抛物线C的准线的距离为

3.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B（3,2）,则|PB|+|PF|

的最小值为.

答案4

解析如

图，过点B作BQ垂直于准线，交准线于点Q,交抛物线于点Pi,连接PiF,则

|PiQ|=|PiF|.又F（l,0）,所以|PB|+|PF以PiB|+RQ|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为

4.

。方法总结口口口

抛物线定义应用的三种类型及解题策略

轨迹用抛物线的定义可以确定与定点、定直线的距离有关的动点轨迹是否

问题为抛物线

距离灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离间的等价转

问题化

将抛物线上的点到焦点（准线）的距离转化为该点到准线（焦点）的距离，

最值

构造出“两点之间线段最短”或利用“与直线上所有点的连线中，垂线段

问题

最短”求解问题

【注意】利用定义时一定要验证“定点”是否在“定直线”上Q。。

考广二抛物线的标准方程

典例1求分别满足下列条件的抛物线的标准方程:

(1)顶点在原点，准线方程为y=4；

(2)顶点在原点，且过点(-3,2)；

(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上；

(4)顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5.

解析(1)由顶点在原点，准线方程为y=4,可知抛物线的焦点在y轴负半轴上,

设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),且畀4今p=8,故抛物线的标准方程为x2=-

16y.

(2)由顶点在原点，且过点(-3,2),则抛物线焦点可能在y轴正半轴或x轴负半轴

上，则设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0)或y2=-2p*(p50),分别将(-3,2)代入，

求得PgP'=|，故抛物线的标准方程为x2=|y或y2=gx.

(3)由于直线3x-4y-12=0与x轴的交点为(4,0),由题意可知抛物线焦点为(4,0),

设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则白40p=8,故抛物线的标准方程为y2=16x.

(4)设抛物线方程为y2=2px(p>0),焦点为偿0),准线方程为x=g,由题意知，

抛物线焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3,m)到焦点的距离为5,得3-

=5np=4,故抛物线的标准方程为y2=8x.

。方法总结口口口

求抛物线标准方程的两种方法

定根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合

义

法

焦点位置求出抛物线方程

待若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统

定

系

数一设为y2=ax(a/)),a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方

法

程可设为x2=ay(a#)),这样减少了不必要的讨论

CCC

针对训练

1.(2024•新疆模拟)若抛物线y2=2px(p>0)的焦点也是双曲线x2-y2=p的一个焦点,

则此抛物线的方程为().

A.y2=32xB.y2=16x

C.y2=8xD.y2=4x

答案B

解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点为6，0),双曲线x2-y2=p可化简为2*1,其

焦点坐标为(土历，0),由题意可得如四，即诉=2q，解得p=8,则此抛物线的

方程为y2=16x.故选B.

2.(2024•浙江模拟)写出一个既与直线x+l=0相切，又和圆x2+y2-4x+3=0外切的圆

的圆心坐标：.

答案(2,4)(答案不唯一，只要圆心坐标(a,b)满足b2=8a即可)

解析设圆心坐标为(a,b),将圆x2+y2-4x+3=0化为(x-2)2+y2=l,其圆心为(2,

22

0),半径为1,由题意得，a+l=J(a_2)+b-l,即a-(-2)=J(a_2,+b2,

故圆心(a,b)到(2,0)的距离与到直线x=-2的距离相等，

所以圆心的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，故b2=8a,圆心坐标满足该式即可.

考V三抛物线的简单几何性质

典例21(1)(多选题)(2023•新高考n卷)设O为坐标原点，直线y=W(x-l)过抛物线

C：y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M,N两点，1为C的准线，则().

A.p=2

B.|MN|=|

C.以MN为直径的圆与1相切

D.AOMN为等腰三角形

(2)(多选题)(2022.新高考I卷)已知O为坐标原点，点A(l,1)在抛物线C：

x2=2py(p>0)±,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则().

A.C的准线方程为y=-lB.直线AB与C相切

C.|OP||OQ|>|OA|2D.|BP||BQ|>|BA|2

答案(1)AC(2)BCD

解析⑴对于A,在y=-6(x-l)中令y=0,得x=l,所以抛物线的焦点为(1,0),

所以§=1,所以p=2,故A正确;

对于B,由A知，抛物线的方程为y2=4x,则由，2匚f(x-D

Z1_

得二张或能12遍不妨设M&竽)，N(3,一2扬,

则由抛物线的定义，得|MN|=XM+XN+P=竽，故B不正确；

对于C,由B可知，以MN为直径的圆的圆心为点仅，-竿)，半径为|,又抛物

线的准线1的方程为x=g=-l,圆心到准线1的距离为|-(-1)吟所以以MN为直

径的圆与1相切，故C正确；

对于D,因为|ON|=[32+(—2例2=VITWMN],所以由抛物线的对称性知△OMN

不是等腰三角形，故D不正确.故选AC.

1

得P-

(2)：点A(l,1)在抛物线C：x2=2py上，.-.l=2p,2

・••准线方程为y=JA不正确.

直线AB的方程为y=2x-L由R二i得x2-2x+l=0,

VA=(-2)2-4xl=0,I.直线AB与抛物线C相切，B正确.

设直线PQ的方程为丫=叁-1,P(xi,yi),Q(X2,y2).

由二：，1x2-kx+1=0,/.A=k2-4>0,得|k|>2,

(y=kx—1,

・.X1+X2=k，X1X2=1.

424

V|0P|-|0Q|-k+y2.++X1X2+X2

22+42+24+44

-X1X2X1X2X1X2X1X2-

22

4+(xj+x2),2x1x2=j2+k_2=|k|>2.

又•.•|OA|2=1+1=2,.-.|OP|.|OQ|>|OA|2,C正确.

|BA|2=1+(1+1)2=5,

|BP|.|BQ|=Jx彳++1)2.Jx,+02+1)2=Jx彳+(X彳+1)2•旧+6+1)2=

Jx；+3x^+1•Jx,+3x5+1=Jxf+X2+6xf+6x5+11=J(X彳+x52+6(x；+x务+9

22

=Lxf++3?=l(xi+x2)-2xiX2+3|=k+l>5,

.,.|BP|-|BQ|>|BA|2,D正确.

故选BCD.

。方法总结口口口

抛物线性质的应用技巧

1.利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方

程；

2.要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线

的问题，注意抛物线上点到焦点的距离与