高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换

■他知溟工打牢

1强双基I固本源I得基础分I掌握程度

［知识能否忆起］

半角公式（不要求记忆）

_aaa

1.用cosa表示sin2-,cos2-,tan2—

cosa2a1+cosa2(71-cosa

si.n2-=------；cos-=----------；tan-=---------

2'22'21+cos。

_aaa

2.用cosa表示sin-,cos-,tan-

a

sin-=±

a

tan-=±

3.用sinQ,cosQ表示tan-

a(ina1-cosQ

21+cosasinc

［小题能否全取］

1a

1.(教材习题改编)已知COSa=-,aG(n,2n),贝(］cos5等于()

A亚更

A.3BR一3

C电D

L-3-3

解析：选B-.'cosa=1,aE(n,2Ji),.•.55，nJ,

o

2.已知函数f(x)=cos仔+x)-cos仔-，则(总等于(

11

B±

2---

c.f2

1

兀

-S•n--

解析：选Bf(x)-sin2x,-1-6--2

1cos2q+sin2a+1

3.已知tana=-,则-------—r--------等于()

乙C、a

A.3B.6

3

C.12D."

cos2。+sin2。+12cos2a+2sina•cosa

用牛忻,2--2

COSaCOSa

=2+2tana-3.

sin20°cos20°

4-----------------

cos50°

sin20。cos20。340。1in40。,

cos50°=cos50°=sin40°二2,

金塞•工

口木•2

1+tana

二2013,则cos2+tan2”.

。.右1-tanaa

2

11+sin2acosQ+sinQ

解析十xan2a2.2

,cos2acos2acosQ-SinQ

cosci+sina1+tana

-----------------------------2013

cosci-sinQ1-tana*

答案：2013

三角恒等变换的常见形式

三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明.

(1)三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角

公式进行转化求解.

(2)三角函数求值分为给值求值(条件求值)与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转

化求解.

(3)三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同

角，利用公式求解变形即可.

后高频考点要通关抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

*三角函数式的化简

典题导入

2cos2COS2JT+-

[例1]

［自主解答］

~1-sir?2x5cos22x

1

=­cos2x.

由题悟法

三角函.数式的化简要遵循“三看”原则

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确

使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等.

以题试法

(1

-tan—a

1.化简a1+tana•tan-

tan-

a・6a\

cos-

Sln2sinasm万

解：法一：原式=1+

aaCOSQa

sin-cos-cos口

/乙J

2a2aaa

cos--sin-cosacos-+sinasin-

aaa

sinT*cos-cosacos-

a

cosa

2cosa~~2

sinQa

cosQcos-

a

C0S

2cosQ~22

sinaasinQ

cosQcos-

oQ.0、

1-tan-sinasin-

法二：原式1+

aa

tan-cosQcos-

2J

aa

coscos—+sinasin-

2

tanaa

cosacos-

a

cos-

2cosa2

sinaa-sina

cosQ,cos-

三角函数式的求值

典题导入

sin47°-sin17°cos30°

［例2］(1)(•重庆高考)

cos17°

1

AV3B

-2-2-

-

1V3

c-2

2D.

4=E，COS(4+£)4

⑵已知a、£为锐角，sin7,则2a+£=

0U

sin300+17°-sinl70cos300

［自主解答］(1)原式=—

cos17°

sin30°cos170+cos30°sin17°-sin17°cos30°

cos17°

sin30°cos17°1

二----------------二sin30o=-

cos172

(2),「sina二|,aE(0,，

4

cosa

u

4

•.,cos(a+0)=q+£E(0,兀)，

o

3

sin(a+£)二己

J.sin(2a+£)=sin[a+(a+£)]=sinacos(a+£)+cos

0.

r.2a+£=m.

［答案］(DC(2)JI

由题悟法

三角函数求值有三类

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与

特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角

函数而得解.

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变

角”，使其角相同或具有某种关系.

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.

以题试法

2.(2.012•广州一测)已知函数f(x)=tan(3x+?.

(1)求行■)的值；

⑵设a,与B，若(d)=2,求cos(。-2)的值.

JIJI

tan。=2,

一,,sina

所以87^=2,即sina=2cosa,(1

又sin2a+cos24=1,②

1

由①②解得cos2a-5-

3Ji亚.2^5

因为aEJI——,所以cosa--sina-一二.

'255

所以cosa

2三角恒等变换的综合应用

典题导入

［例3］(•四川高考)已知函数F(x)=sin(x+q，+cos(x-牛］xER.

(1),求F(x)的最小正周期和最小值；

44兀

⑵已知cos(£-4)二三，cos(£+a)=--0<a<可，求证：［/*(£)/-2=0.

u0乙

［自主解答］⑴f(x)=si{x+手-2n)+cos^jr-Y-yj

=sin(x-高+sin(x-习=2sin(x-，

7=2Ji,f(x)的最小值为-2.

4

⑵证明：由已知得cos£cosQ+sin£sina--

13

c.c.4

cosrPcosa-sinpsina-

5

两式相加得2cos£cos0=0.

j［JXj［

•/0<a,<5，/.£二万.」•［f(£)了-2=4sin2--2=0.

>»一题多变

在本例条件不变情况下，求函数f(x)的零点的集合.

解：由⑴知/V)=2sin^-yj,

，兀、JI

sinl-I=0,.'.x--=k^(^EZ),

JI

/.x-+~(jtEZ).

故函数f(x)的零点的集合为卜卜=An+亍，庄Z'.

由题悟法

三角变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为y=/sin(ox

+0)的形式再研究性质，解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题.

以题试法

3.已知函数广(x)=2cosxcos(x--^j—/sir?x+sinxcosx.

⑴求Ax)的最小正周期；

(2)当。£[0,兀]时，若f(。)=1,求。的值.

解：(1)因为广(分二2cos^cos^--^--\/3sin2jr+sinxcosx

=y[icos2x+sinxcosx-^5sin2x+sinxcosx

二十cos2x+sin2x=2sin(2x+-^j,

所以最小正周期T=n.

⑵由得2sin(2a+高=1,

JI「兀7兀

又aE[0,Ji],所以2。+可6[9，—J,

JI5兀：n:13兀

所以20+Q-A或2O+Q-,

3b3b

JI11JI

故°_4或°_12.

|已|解题训练委局效「、八3抓速度\抓规范

拒绝眼高手低I

A级全员必做题

1.在中，tanB--2,tanC--则/等于()

o

JI3兀

A-TB•丁

JIJI

C•了D-T

解析：选AtanA=tan［兀-(8+。］

1

—2+一

tanB+tanC3

二-tan(8+0二---------=-----------r

1-tan仇an01

1--2X-■

o

JI

=1.故/二不

sin180°+2。cos2a

-----------------•--------------

1+cos2acos90°+a

A.-sinaB.-cosQ

C.sinaD.cosa

-sin2Q•cos2a

解析：选D原式=

1+cos2a•-sinQ

2sina•cosa•cos2a

----------:--------=cosa.

2cosa•sina

3.（*深圳调研）已知直线1：丘ana-y-3tan£=0的斜率为2,在y轴上的截距为1,则tan（a

+£)=()

7

A.--B-i

5

C.~D.1

解析：选D依题意得，tan。=2,-3tan£=1,

1

2-

£-3

1tanQ+tan

即tan£=tan(。+£)7-2-

3,1-tanatan1+-

3

「兀JI~|3s

4.(*山东高考)若。E~.sin20则sin。=()

3

-

4

c.

D.

4

兀n兀

e

e

2

选D

解析因为E所以

-

-

-

兀

4

2

2

El

的吃1

e

e

o

2

2

所以•

cos

s

-

-

-

-

1

-

-

-

8

9

1

二京,

n?。

以si

6，所

。-

2sin2

=1-

2。

又cos

10

o

3

0=~

sin

所以

Q

os2

）•c

+a

tan（~

）

为（

的值

7—

7T——

-―

算-

）计

北质检

（-河

5.

2

fy-

2cos

B.2

-2

A.

D.1

1

C.-

a

os2

）•c

-+a

tanf

--T—

-----

----r

-----

：选D

解析

a\

丁-

2cos（

a

cos2

],

"+a

sin^

2

^+a

cos^

+，

f^

2sin

a

cos2

+a

^Y

）COS

^^+〃

2sin

a

cos2

Q

cos2

a

-+2

sinf

a

cos2

a

cos2

n

3\/3

ina

1s

sinB

ab

cosa

.

-be

=ad

算

义运

6.定