2024年广东省广州大学某中学中考二模数学试题

2024年广东省广州大学附属中学中考二模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮

助人们预防传染病.“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003"?的

非油性颗粒.其中，0.0000003用科学记数法表示为（）

A.0.3x10-6B.0.3x107C.SxlO_6D.3xl0-7

2.下列计算正确的是（）

A.34+a=4/B.（-*=（-°丫C.（a-b）2=a2-b2D.（a+b）2=a~+b2

3.下面是某同学在九年级期中测试中解答的几道填空题：（1）若/=/,则x=。；仅）方程

2x（x-l）=x7的根是x=0；（3）若直角三角形的两边长为3和4,则第三边的长为5.其中

答案完全正确的题目个数为（）

A.0B.1C.2D.3

4.反比例函数>的图像的每一支上,y随着x的减小而增大，那么根的取值范围（）

X

A.m>4B.m<4C.m<0D.m>0

6.如图河堤横断面迎水坡48的坡比1:3,堤高5c=6m,则坡面43的长度是（）m

C.2V10D.6y/10

试卷第1页，共6页

7.如图，四边形/BCD为。。的内接四边形，AO1BC,垂足为点E,若乙4DC=130。,

则N8DC的度数为（）

8.如图，在三角形4BC中，D、F是48边上的点，E是/C边上的点，DE//BC,

EF\\DC,则下列式子中不正确的是（）

AFAEADAEC里=空

A.-B.-D.AD2=AB-AF

ADACABAC'CDFD

9.已知抛物线G：y=-x2+2mx+l（加为常数，且加加）的顶点为力,与了轴交于点C；抛

物线与抛物线。关于y轴对称，其顶点为&若点P是抛物线。上的点，使得以4B、

C、尸为顶点的四边形为菱形，则加为（）

A.±73B.也C.±72D.41

10.如图，等边三角形4BC的边长为4,点。是△ABC的中心，NFOG=120。.绕点。旋转

NR9G,分别交线段BC于D、£两点，连接。£,给出下列四个结

论:①OD=OE-®S、ODE=S.E;③四边形ODBE的面积始终等于］百;@A3DE周长的最小

值为6,上述结论中正确的个数是（）

试卷第2页，共6页

A

C.3D.4

二、填空题

11.函数产二^中，自变量x的取值范围是__.

x-2

12.点P（jn+2,加-1）在坐标轴上，则点P的坐标是

13.清明缅怀英烈，某校计划组织540名学生外出祭奠.现有4B两种不同型号的客车可

供选择，在每辆车刚好满座的前提下，每辆2型客车比每辆/型客车多坐15人，单独选择

8型客车比单独选择N型客车少租6辆（每辆车刚好满座），设/型客车每辆坐x人，则根据

题意可列方程为_______________________

14.已知扇形的弧长为6万，半径为3,则这个扇形的面积为.

15.如图，六边形N3CZ）即是圆。的内接正六边形，设四边形的面积为E，“CE

16.对于平面直角坐标系中的点尸和图形"，给出如下定义：若在图形M上存在一点

Q，使得P，。两点间的距离小于或等于1,则称P为图形M的关联点.当O。的半径为2

在点41心［g告］中，°。的关联点是.

时,；点尸在直线）=—x上，若尸为

2

OO的关联点，则点P的横坐标x的取值范围是.

试卷第3页，共6页

5-

4-

三、解答题

17.计算：-1M24+(-2)3X1-^27X.

18.给出6个整式：x+2,x-2,2x+l,2,x2+x-l>x2-x-11.

(1)从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式；

(2)从上面的6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一个不含有一次

项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程.

3x-|~1>—2//?—1

19.关于x,y的方程组的解满足x+y=l,求#+2”的值.

[x-y=n

20.如图在平面直角坐标系》。了中，直线y="x+2也与圆。相交于/、3两点，且

-33

点N在x轴上，求弦的长.

21.如图，一架飞机以每小时900千米的速度水平飞行，某个时刻，从地面控制塔O(塔高

试卷第4页，共6页

300〃?)观测到飞机在A处的仰角为30°,5分钟后测得飞机在3处的仰角为45°,试确定飞

机的飞行高度.(6=1.732,结果精确到1加

(1)作点A关于8。的对称点C；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)所作的图中，连接3C,DC,连接/C,交BD于点、O.

①求证：四边形/BCD是菱形；

13

②取的中点连接若。£=§,BD=10,求点E到/。的距离.

23.已知：在平面直角坐标系xOy中，点/(-1,2)在函数y=—(x<0)的图象上.

(2)过点4作y轴的平行线/,直线>=-2x+6与直线/交于点8,与函数y=—(x<0)的

x

图象交于点C,与了轴交于点D.

试卷第5页，共6页

①当点C是线段2。的中点时，求b的值；

②当8C<AD时，直接写出6的取值范围.

24.问题提出

(1)如图①，在AABC中，ZA=120°,AB=AC=5,则AABC的外接圆半径R的值为

问题探究

(2)如图②，。。的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点，P是。0上一动点，求PM的

最大值.

问题解决

(3)如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB=6km,AC=3km,ZBAC

=60。，BC所对的圆心角为60。.新区管委会想在BC路边建物资总站点P,在AB、AC路

边分别建物资分站点E、F.也就是，分别在病、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于

总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P-ETF-P的路径进行运输，因此，要在各

物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP

之和最短，试求PE+EF+FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不

计).

图①图②图③

25.已知抛物线y=ax2+bx+c(〃、b、c为常数，且

(1)已知抛物线的对称轴为x=3,若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1:2,求这两个

交点的坐标；

(2)已知对于抛物线上的任意一点卜专力6)，点(4-xG/G)也在此抛物线上，且

16a2一8℃+02=0,若存在一点G(加，加)恰在该抛物线上，求a的取值范围；

(3)已知当时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线y=+c只有一个交点。,

a

若or>>2亚恒成立，求c的取值范围.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.D

【分析】科学记数法的表示形式为"10〃的形式，其中1<|«|<10,〃为整数.确定〃的值时,

要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数

绝对值大于10时，〃是正整数；当原数的绝对值小于1时，〃是负整数.

【详解】解：0.0000003=31107

故选：D

【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为"10〃的形式，其中

l<|a|<10,〃为整数，表示时关键要确定。的值以及〃的值.

2.B

【分析】本题考查了整式的加减运算，幕的乘方运算，完全平方公式，熟练掌握相关计算是

解题的关键.根据整式的加减运算法则，塞的乘方运算法则，完全平方公式的运算法则，即

得答案.

【详解】A、3a+a=4a,所以选项A错误，不符合题意；

B、计算正确，符合题意；

C、(a-by=a2-2ab+b2,所以选项C错误，不符合题意；

D、(tz+Z>)2=a2+2ab+b2,所以选项D错误，不符合题意；

故选B.

3.A

【分析】根据一元二次方程的解法，以及勾股定理即可解答.

【详解】(1)若x2=a2,贝>Jx=±a,故错误；

(2)方程2x(x-1)=xT需要先移项再利用因式分解解方程得，x=g或x=l,故错误；

(3)若直角三角形的两边长为3和4,则第三边的长为5或近，上题中漏掉了4为斜边的

情况，故错误.

故选：A.

【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法和勾股定理的应用.该题反映的三个问题是平时

中解题过程中最容易犯的错误，应该特别注意.

4.B

【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出4-机>0,解不等式即可求解.

答案第1页，共20页

4—

【详解】解：..,在反比例函数〉=t*图象的每一支上，了都随x的减小而增大,

X

...反比例函数〉=土4—”717图象在第一、三象限，

X

4-m>0,

m<4,

故选：B.

5.A

【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及数轴上表示不等式，熟悉掌握运算的法则是

解题的关键.

根据不等式组的运算法则进行运算求解即可.

2-x>3©

【详解】解：,3x+22x—36

[22

由①可得：2-x>3

-x>3-2

-x>l

x«—1,

3x+22x-3

由②可得:-------->--------

22

3x+2〉2x—3

3x—2x〉—3—2

x>-5,

・•・不等式的解集为：-5<x<-l,

故选：A.

6.D

【分析】本题考查了解直角三角形问题，勾股定理，根据迎水坡48的坡比为1:3得出

tanZ^C=1,再根据8c=6m得出/C的值，再根据勾股定理求解即可.

【详解】由题意得tan/A4C=g,

Z.AC=———=6x3=18m,

tanABAC

•*-AB=y]AC2+BC2=V182+62=6A/H）（米）•

答案第2页，共20页

故选：D.

7.D

【分析】根据圆内接四边形的性质得出NABC的度数，利用互余得出NBAE的度数，进而

利用垂径定理和圆周角定理解答即可.

【详解】解：•・•四边形ABCD为。0的内接四边形，ZADC=130°,

・•・ZABE=180°-130°=50°,

VAO±BC,

AZAEB=90°,

・・・NBAE=40。，

VAO±BC,

・・・BC=2BE,

・・・ZBDC=2ZBAE=80°,

故选D.

【点睛】本题主要考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，求得NABC的度数

是解题的关键.

8.C

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，通过证明

AADC^£\AFE以及平行线分线段成比例可求解.

【详解】解：・.・跖||。。，

LADCS^AFE，

.AF_AEEF_AF

…而一就’而一方

DE//BC,

.AD_AE

・・布一就‘

.ADAE_AF

••AB一AC-AD'

•*-AD?=ABAF，

故只有C选项不正确

故选：C.

9.A

【详解】易知：C(0,1),A(m,加2+i)；

答案第3页，共20页

若以N、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则CP//NB①，CP=AP②;

由①得：点尸与点C纵坐标相同，将y=l代入C/,得：产0或x=2m,即尸（2加，1）；

由②得：（2加2=/+（W-+1-1）2,即加2=3,解得"?=±百；

故选/.

考点：二次函数综合题.

10.C

【详解】分析：连接3。，CO,可以证明△08。0△OCE,得到8Z）=C£,OD=OE,从而判

断①正确；

通过特殊位置，当。与8重合时，£与C重合，可判断的面积与△ODE的面

积的大小，从而判断②错误；

由△08。之△OCE,得到四边形的面积=2\08c的面积，从而判断③正确；

过。作D/_LBC于/.设BD=x,则DI=­x.由BC=4,得至I」2E=4

22

3-43丫________

—x,IE=4--x.在RtZXD/E1中，DE=个DI。+IE?=

2JI2J

=13（尤-2丫+4,△ADE的周长当DE最小时，的周长

最小，从而判断出④正确.

详解：连接3。，CO,过。作O"_L8C于”.

:。为△ABC的中心，：.BO=CO,ZDBO=ZOBC=ZOCB=3Q°,ZBOC=12Q°.

'：ZDOE=nO°,：./D08=NC0£.在△08。和△OCE中，：ZDOB=ZCOE,OB=OC,

/DBO=/ECO,:.AOBD%AOCE,：.BD=CE,OD=OE,故①正确；

当。与3重合时，£与C重合，此时△皮)£的面积=0,△(?£)£的面积＞0,两者不

相等，故②错误；

：。为中心，OHLBC,：.BH=HC=2.

'：ZOBH=30°,：.OH=^-BH=^~,/XOBC的面积=上4、地=迪.

33233

:△OBZ理△OCE,.,.四边形。的面积=Zk02C的面积=拽，故③正确；

3

过。作D/_L2C于/.设AD=x,贝！|3/=』x,DI=&x.

22

3

"：BD=EC,BC=4,；.BE=4-x,IE=BE-BI=4――x.在RtZkD/E中，

2

答案第4页，共20页

DEKDI。+团=j*x[+^4--|x^=73x2-12x+16=j3（x-2）2+4，当x=2时,

。£■的值最小为2,LBDE的周长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE,当DE最

小时，的周长最小，.♦.△出法的周长的最小值=4+2=6.故④正确.

故选C.

点睛:本题是几何变换-旋转综合题.考查了等边三角形的性质以及二次函数的性质.解

题的关键是证明

11.XR2

【详解】解：由题意知：x・2,0,解得力2；

故答案为中2.

12.（0,-3）或（3,0）/（3,0）或（0,-3）

【分析】本题主要考查了直角坐标系，分类讨论，当点尸（加+2,机-1）在y轴上，得优+2=0,

可得〃?=-2；当点尸（加+2,%-1）在x轴上，得〃-1=0,即"7=1,即可得到答案.

【详解】解：当点P（加+2,m-1）在＞轴上，

:.m+2=0,

/.m=-2,

.,.加-1二-3，

点尸的坐标是（0,-3）；

当点产（冽+2,冽一1）在％轴上，

/.m-1=0,

:.m=l,

答案第5页，共20页

/.m+2=3,

...点P的坐标是（3,0）；

故答案为:（0,-3）或者（3,0）.

【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，首先根据4型客车每辆坐x人，得每辆8

型客车每辆坐（x+15）人，根据根据等量关系列出方程即可.

【详解】解：N型客车每辆坐x人，

;台型客车比每辆/型客车多坐15人

.•.3型客车每辆坐（x+15）人

・・・根据题意的：当540=上5740+6,

xx+15

14.9乃

【分析】根据扇形的面积公式s扇形=（/为扇形的弧长，r为扇形的半径）解答即可.

【详解】解：：扇形的弧长为6兀，半径为3,

S扇形-；lr=；，6p，3=9万,

故答案为：9万.

1%77■尸

【点睛】本题考查求扇形的面积，熟记扇形的面积公式S扇形="（/为扇形的弧长,

〃为半径，〃为圆心角的度数）是解答的关键.

4

15.一

3

【分析】本题考查了圆内接正多边形、全等三角形的判定，等边三角形的判定等知识.连接

OA,OB,OC,OE,证明△40。也△COE也,得到=，*后，证明

=

/\ABC=/\AOC,得到S“BC=SANOC=SACOE=,即可得到H=4S“oc'^2»即

,S、4

可求出U=£・

»2J

【详解】解：如图，连接。4,OB,OC,OE,

答案第6页，共20页

•:六边形4BCDEF是圆。的内接正六边形，

360°

AOA=OC=OE,ZAOC=ZCOE=ZAOE=2ZAOB=NBOC=2x——=12。,

6

"OC均COE%AOE,

・q-v-v

,•U4OC~24coE_2"OE•

・.・OA=OB=OC,ZAOB=NBOC=60°,

・・・△408,△50。都是等边三角形，

：・OA=OB=AB=OC=BC,

BPOA=BA.OC=BC,

又「AC=AC,

・•・AABgAAOC,

••S/^ABC=S丛AOC，

•V—V—V—V

,•2"BC~©AZOC_3COE_Q"0E，

即E=4S“农,S?=3S.A℃，

・县,

e*S23,

故答案为：!4

1UQ3A/2V2-p.V23V2

16.P--J或=4%«二—

22222

【分析】本题主要考查了一次函数的性质，两点间的距离公式，正确理解题目给出的定义是

解答本题的关键.由题意得，只需在以。为圆心，半径为1和3两圆之间即可，由的值

可知鸟为。。的关联点；设点尸的坐标为夕（。,-。），求出点尸到。点的距离，根据关联点

的定义可知，14OPW3,求解即可.

【详解】①。＜=；,叱jm=i,

答案第7页，共20页

13

点月与。。的最小距离为=,

点鸟与O。的最小距离为2-1=1,

。。的关联点为8.

设点P的横坐标为a,

•.•点P在直线>=-x上，

/.P[a,-a),

1

OP=J"2+(_q)~=q2a>

为。。的关联点，

：.1<OP<3,

二1<而743，同时平方得：142/49,

1Q

整理得：—

22

当/==时，解得：a1=—,出=

2”222

当力二时，解得：%=变，?=一旦，

21222

如图：

-4-3-2-IO1234x"%.

-4-

-5・

.•尸横坐标范围是-x/2后卡力/,3五

♦3—<x<--^——<x<-----.

2222

故答案为：P,-豆

屋XV一叵或&CV巫.

一2222

17.-1

答案第8页，共20页

【分析】本题考查了立方根，算术平方根以及实数的混合运算，根据相应的运算法则计算即

可.

［详解］-12024+(-2)3x-^27x-P

oV9

=-1+(-8)x：-(-3)x

oJ

=-l+(-l)-(-3)x|

=—1.

18.(1)选择两个整式为：x+2,x-2,组成的分式为：x二+‘2

x—2

(2)选择两个整式为：x+2,x~2,(x+2)(x-2)=x2-22=x2-4

【分析】本题考查整式的运算.

(1)根据题意，选择两个整式组成一个分式即可；

(2)根据题意，选择的两个整式乘法运算不含1次项即可.

【详解】(1)解：选择两个整式为：x+2,x-2,组成的分式为：匕'

x—2

(2)选择两个整式为：x+2,%-2

其乘法运算：

(x+2)(x—2)=x2—22

=/—4.

19.8

【分析】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幕除法，幕的乘方.

将方程组中两个方程相减，得至lj2x+2y=2加—〃—1,BP2m—n=2(x++l,由x+〉=l求

出2加-〃=3,再根据累的乘方与同底数基的除法即可求解.

3x+y=2m-1®

【详解】解:

x—y=n@

(T)—(2),得12x+2y—2m—n—1,

2m-n=2(x+j^)+l,

Vx+y=l,

答案第9页，共20页

2m—〃=2xl+l=3，

：.4加+2"=22m+2〃=22m~n=23=8.

20.273

【分析】过。作OE，于C,根据垂径定理可得NC=8C=',可求CU=2,。。=独,

23

由勾股定理述，可证ACMCSAD/。，由相似三角形性质可求NC=6即可.

3

【详解】解：过。作OEL48于C,如图，

4B为弦,

：.AC=BC=-AB,

2

•••直线＞+型与O。相交于4,8两点,

33

.•.当y=0时，旦+述=0,解得》=-2,

33

OA=2,

.•.当X=0时，y="，

3

OD=拽，

3

在RtA/OZ）中，由勾股定理4D=JNCP+OD?=

VZACO=ZAOD=90°,NCAO=ZOAD，

AOACSADAO,

AO2

:芈="艮产=AD4GV

AOAD

3

/.AB=2AC=2y/3,

故答案为：26.

答案第10页，共20页

【点睛】本题考查垂径定理，直线与两轴交点，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握以

上知识、正确添加辅助线是解题关键.

21.飞机的飞行高度约为103的1

【分析】首先根据飞机的速度与时间算出AB的长度，再过点。作ODLAB,垂足为D,

设OD=x千米，由NOBD=45。，可得BD=OD=x千米，则AD=(x+75)千米，再利用

三角函数可算出x的值，进而可得到CD的长.

【详解】解：由题意得：48=900x2=75(加)

过点。作0。，48垂足为。

设。。=xkm,在RtAOBD中，

•・・/OBD=45。

BD=OD=xkm

在RtAOAD中，AD=AB+BD=1x+75)km,ZAOD=60°

,/tanZ^OZ)=-----=J3

OD

X

解得Xal02.5(fow).

...CO=OD+OC=102.5+0.3a103(km)

答：飞机的飞行高度约为103的z.

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间

的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高

或垂线构造直角三角形.

22.(1)见解析；(2)①见解析：②1谓20.

【分析】(1)过点A做5。的垂线交5。于点W,在的延长线上截取/M=,即可

求出所作的点A关于BD的对称点C；

(2)①利用=ZC/8。得出5O=DO,利用/O=C。，以及ACJ.BD得

答案第11页，共20页

出四边形/BCD是菱形；

②利用OE为中位线求出N5的长度，利用菱形对角线垂直平分得出的长度，进而利用

放A4O2求出/O的长度，得出对角线/C的长度，然后利用面积法求出点E到的距离

即可.

【详解】（1）解：如图：点C即为所求作的点；

(2)①证明：

:/ABD=NADB,ACJ.BD,

又：月。=/。，

AABO=AADO；

二BO=DO,

XVAO=CO,AC1BD

•••四边形/BCD是菱形；

②解：••,四边形/BCD是菱形，

AAO=CO,BO=DO,AC1BD

又：BD=10,

：.BO=5,

为8c的中点，

CE=BE,

"：AO=CO,

为AABC的中位线，

,?OE=—,

答案第12页，共20页

/5=13,

・,・菱形的边长为13,

u：AC1BD,BO=5

在RtAAOB中,由勾股定理得：AO2=AB2-BO2,即：4。=J13?-5?=12，

：.AC=12x2=24,

设点月到4。的距离为〃，利用面积相等得：

-x24xlO=13/z,

2

铲汨A120

角牛得：，

120

即E到的距离为：.

【点睛】本题考查了对称点的作法、菱形的判定以及菱形的面积公式的灵活应用，牢记菱形

的判定定理，以及对角线乘积的一半等于菱形的面积是解决本题的关键.

23.(1)m=-2；(2)①6=3；②6>-3.

【分析】(1)把/(-1,2)代入解析式即可求解；

(2)①根据题意知点8的横坐标为-1,点。的横坐标为0,由于点。是2。的中点，利用

2

中点坐标公式即可求得点。的横坐标，代入y=—-中可求得点。的坐标，代入函数

X

y=-2x+6中，即可求解；

②先利用①的方法求得2C=AD即点3是CD的中点时6的值，观察图象，即可求得6的取

值范围.

【详解】(1)把/(-1,2)代入函数y='(x<0)中，

X

m=—2；

(2)①如图，

根据题意知：点2的横坐标为-1,点。的横坐标为0,

答案第13页，共20页

.♦•点c的横坐标为匚兽=-!，

22

1?

把％=_彳代入函数）=――中，得）=4,

2x

・••点。的坐标为（-[，4）,

2

把点。的坐标为（-；，4）代入函数》=-2%+6中,

得：4=-2X]_,+6,

解得：6=3；

答案第14页，共20页

设点C的横坐标为X,

q=T,

2

解得：x=-2,

2

把x=-2代入函数>=--中，得y=l,

x

.♦.点C的坐标为（-2,1）,

把点C的坐标为（-2,1）代入函数y=-2x+b中，

得：1=-2x（-2）+6,

解得：6=-3；

观察图象，当b>-3时，BC<BD,

故答案为：b>-3.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数

图象交点情况，中点坐标公式的应用，解题关键是正确读图、识图、观察图象，利用数形结

合思想解决问题.

24.（1）5；（2）18：（3）（3721-9）km.

【详解】【分析】（1）如图（1）,设外接圆的圆心为0,连接0A,0B,根据已知条件可得

△A0B是等边三角形，由此即可得半径；

（2）如图（2）所示，连接M0并延长交。0于N,连接0P,显然，MN即

为MP的最大值，根据垂径定理求得0M的长即可求得MN的最大值；

（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的

对称点P'、P"连接PP\PE,PE,P"F,PF,PP",贝IJP'P"即为最短距离，

其长度取决于PA的长度，根据题意正确画出图形，得到点P的位置，根据等

边三角形、勾股定理等进行求解即可得PE+EF+FP的最小值.

【详解】（1）如图（1）,设外接圆的圆心为0,连接0A,OB,

V0是等腰三角形ABC的外心，AB=AC,

ZBA0=Z0AC=vZBAC=-xl20°=60°,

22

VOA=OB,

AAOB是等边三角形，

；.0B=AB=5,

答案第15页，共20页

故答案为5；

（2）如图（2）所示，连接MO并延长交。。于N,连接OP,

显然，MP<OM+OP=OM+ON=MN,0N=13,OM=V132-122=5,MN=

18,

APM的最大值为18；

（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的

对称点P'、「"连接「「‘、P'E,PE,P"F,PF,PP"

由对称T生可知PE+EF+FP=P'E+EF+FP"=P'P",且P'、E、F、P"在一

条直线上，所以P'P”即为最短距离，其长度取决于PA的长度，

如图（4）,作出弧BC的圆心O,连接A0,与弧BC交于P,P点即为使得PA

最短的点，VAB=6km,AC=3km,ZBAC=60°,

答案第16页，共20页

:•△ABC是直角三角形，ZABC=30°,BC=3百，

BC所对的圆心角为60°,AAOBC是等边三角形，ZCBO=60°,BO=BC=3V3,

・・・NABO=90。，AO=3g,PA=35一3百，

NP'AE=NEAP,NPAF=NFAP”，

AZPAP”=2ZABC=120°,P'A=AP"，

・・・NAP'E=NAP”F=30°,

・.・p，p„=2P'ACOSNAP'E=6P'A=3M—9,

所以PE+EF+FP的最小值为3亚一9km.

【点睛】本题考查了圆的综合题，涉及到垂径定理、最短路径问题等，正确添

加辅助线、灵活应用相关知识是解题的关键.

25.(1)(2,0),(4,0)

(2)且aw0

/6v—P-3-J31

(3)。>5或°<------

再+工2=3x2

【分析】(1)设这两个交点的横坐标为为，巧，根据题意有五二工，即可求得这两

、工22

个交点的坐标；

(2)先得出抛物线对称轴为：x=W=x°+：r。=2,即有6=-4。，再由16a?-Wc+c?=0,

可得c=4a,即抛物线解析式为：y="x2-4ax+4a,根据点G(加，加)恰在该抛物线

y=ax2-4ax+4a±.,pS^am2-4am+4a=m,且方程有实数根，再根据方程的判别式可得

结论；

a>0

(3)根据抛物线的性质可得：b,,从而得：b>2a>0,由抛物线与直线>="-工+。

-----<-1a

、2a

相切于点。，可知以2+仅-少+%0,有两个相等实数根，可求得b-a=2,进而可求得点。

坐标，由勾股定理得0£>2=二+(_|一」+]2=2Xi_c)2,令/=!，贝贝IJ

a2{a}a2a')a2

答案第17页，共20页

口工，由于该抛物线

OZ）2=2Z2+2（1-C）/+（C-1）,化为顶点式为：OD2

2

开口向上，且顶点横坐标为卷一，根据2亚恒成立，可得结合二