教师资格认定考试高级中学数学分类模拟9

教师资格认定考试高级中学数学分类模拟9解答题设变换Y=AX+B，其中变换矩阵1.

写出椭圆在该变换下满足的曲线方程．正确答案：解：已知Y=AX+B，将x1、x2代入椭圆方程得化简得(y1-3)2+(y2-5)2=1．[考点]线性空间与线性变换

2.

举例说明在该变换下什么性质保持不变，什么性质发生变化(例如距离、斜率等)．正确答案：解：在该变化条件下：①不变的性质为都是中心对称和轴对称图形；②变化的性质为得到的新方程是圆的标准方程，其中图形的大小、形状、几何中心的位置都发生了变化．[考点]线性空间与线性变换

3.

，求x的值．正确答案：解：因为的值为0，所以1×9x+2×4×1+1×(-3)×4-1×4x-1×2×9-(-3)×4×1=0，即5x-10=0，解得x=2．[考点]行列式

4.

求由曲线y=x2，直线y=2x和y=x围成的图形的面积．正确答案：解：如图所示，由方程组和方程组解出O，A，B三点的横坐标分别是0，1，2．故所求图形的面积

[考点]积分

5.

求由曲线所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．正确答案：解：曲线所围成的平面图形如图阴影部分所示，设所求旋转体的体积为V，由图象可知V等于曲线，直线x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V1)减去曲线，直线x=2与x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积(设为V2)，

[考点]积分

某商场开业做抽奖活动，活动规则如下：

奖项摸出红、蓝球个数奖金一等奖3红1蓝200二等奖3红0蓝50三等奖2红1蓝10说明：从3个红球与4个白球的袋子中，摸出3个球，再从现有的1个蓝球与2个白球的袋中摸出1球，根据摸出的4个球中的红蓝球个数开奖．6.

求一次抽奖恰好摸到1个红球的概率．正确答案：解：Ai表示摸到i个红球，Bj表示摸到j个蓝球，则恰好摸到1个红球的概率为．[考点]概率论与数理统计

7.

求抽奖者在一次抽奖中获奖金额的X的分布列与期望E(X)．正确答案：解：X的所有可能取值为0，10，50，200，则综上，分布列如下表：

[考点]概率论与数理统计

8.

求椭圆在矩阵对应的变换作用下所得的曲线方程．正确答案：解：设椭圆C上的点(x1，y1)在矩阵A对应的变换作用下得到点(x，y)，则代入椭圆方程C：，得到x2+y2=1，所以所求曲线的方程为x2+y2=1．[考点]线性空间与线性变换

9.

射手向区间[0，1]射击一次，落点服从均匀分布，若射中区间，则观众甲中奖；若射中区间，则观众乙中奖．若甲中奖和乙中奖这两个事件独立，求x的值．正确答案：解：因为两个事件独立，所以P(AB)=P(A)·P(B)，则．所以[考点]概率论与数理统计

设坐标平面上全部向量集合为A，已知由A到A的映射f由f(x)=x-2(x·a)a确定，其中x∈A，α=(cosθ，sinθ)，θ∈R.10.

当θ的取值范围变化时f[f(x)]是否变化?试说明你的理由．正确答案：解：f[f(x)]=x-2(x·a)a-2{[x-2(x·a)a]a}a=x-2(x·a)a-2[xa-2(x·a)]a=x-2(x·a)a+2(x·a)a=x，∴当θ的取值范围变化时，f[f(x)]不发生变化．[考点]数与代数

11.

若与f[f(2m-n)]垂直，求m与n的夹角．正确答案：解：由第一小题知f[f(m+2n)]=m+2n，f[f(2m-n)]=2m-n，∵m+2n⊥2m-n，即(m+2n)·(2m-n)=0，∴2m2+3mn-2n2=0，解得，设m，n夹角为β，则∴m与n的夹角为π．[考点]数与代数

12.

设向量组α1=(1，1，1，3)T，α2=(-1，-3，5，1)T，α3=(3，2，-1，p+2)T，a4=(-2，-6，10，p)T．求当p为何值时，该向量组线性相关?此时，求出它的秩和一个极大线性无关组．正确答案：解：，所以，当p=2时，该向量组线性相关，此时，R(α1，α2，α3，α4)=3，一个极大线性无关组为α1，α2，α3．[考点]向量组的线性相关性

“精讲多练与自主建构相结合”是数学教学的基本原则．13.

简述精讲多练与自主建构相结合教学原则的内涵．正确答案：精讲多练是当前数学课堂教学中采用的主要做法．精讲，是针对教师讲解提出的，要求教师要精选典型问题做出讲解，如对数学概念、定理中的关键点做出精辟讲解，讲解要少而精，要有针对性、代表性、普遍性，不能搞一言堂，对个别问题要做个别教学，多练，是要求学生在进行巩固练习时必须达到一定的数量．

建构性是数学学科的又一基本特性．所谓建构，就是“建立”和“构造”．“建立”一般是从无到有的新建；“构造”则是对已有资料、结构、框架加以调整、整合或重组．建构主义理论认为，学习是一个学生依据自己已有的知识经验主动建构的过程，知识不是被动接受的，也不能被传递．就数学学习而言，有意义的接受学习和有意义的发现学习是数学建构性学习的两个基本过程．[考点]教学原则

14.

如何有效地应用精讲多练与自主建构相结合的原则进行教学?正确答案：第一，确立学生学习的主体地位．学生是学习的主体，所以在实际教学中，可以通过学生学习的积极性、自主性、探索性、深刻性等方面衡量是否真正确立和发挥了学生学习的主体性．

第二，教师要为学生自主建构而精讲．教师要善于创设数学问题情境，引导学生经历观察、实验、归纳、猜想、验证、应用等建构活动，进行民主教学，给学生自主建构留有充分的空间和时间．

第三，注重数学学科的过程教学，学生的认知活动遵循数学知识的历史发生过程，教师的讲解为了促进学生的自主建构，应当创设数学问题的情境，让学生提出问题、分析问题、解决问题，在问题情境一解决过程中学习数学知识，在这个活动中，不是让学生简单地重复人类漫长的认识过程，而是通过教师的“精讲”，减缩其中的曲折，让学生经历“再发现”和“再创造”的自我建构活动．[考点]教学原则

利用定积分的几何意义，证明下列不等式：15.

．正确答案：解：根据定积分的几何意义，定积分表示由直线y=2x，x=1，及x轴围成的图形的面积，该图形是三角形，底边长为1，高为2，因此面积为1，即．

[考点]积分

16.

正确答案：解：根据定积分的几何意义，定积分表示由直线以及x轴、y轴围成的在第一象限内的图形的面积，即单位圆的四分之一，因此有

[考点]积分

17.

问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式．正确答案：解：线性方程组有解，即-λ+1=0，解得λ=1，其通解为，c为任意常数．[考点]线性方程组

18.

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使正确答案：证明：作辅助函数φ(x)=x2f(x)，由已知条件可知φ(x)在[0，1]上满足罗尔定理条件，因此，至少存在一点ξ∈(0，1)，使φ'(ξ)=ξ2f'(ξ)+2ξf(ξ)=由于ξ≠0，可知必有ξf'(x)+2f(ξ)=0，即[考点]导数与微分

19.

设A，B均为3阶矩阵，E为3阶单位矩阵，已知AB=2A+B，求(A-E)-1．正确答案：解：先化简，从AB=2A+B中确定[考点]矩阵

20.

求函数在[0，1]上的值域．正确答案：解：对关于x求导可知，因为在[0，1]上恒大于零，所以f(x)在[0，1]上是增函数，则在x=0处取最小值，x=1处取最大值，[考点]积分

21.

已知a，b，c都是单位向量，且满足a+b+c=0，求a·b+b·c+c·a．正确答案：解：0=(a+b+c)·(a+b+c)=a·a+b·b+c·c+2(a·b+b·c+c·a)=3+2(a·b+b·c+c·a)，所以[考点]空间向量

22.

设3阶矩阵，3维列向量α=(a，1，1)T，若Aα与α线性相关，求a的值．正确答案：解：，由于Aα与α线性相关，因为两个非零向量线性相关，则其中一个可以由另一个线性表出，所以有Aα=kα，即解得：a=-1，k=1．[考点]线性空间与线性变换

已知函数f(x)=ex-2x-1．23.

求曲线在(0，f(0))处的切线方程．正确答案：解：由题可知，f'(x)=ex-2，在x=0处的切线的斜率k=f'(0)=1-2=-1，f(0)=e0-2×0-1=0，∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y=-x．[考点]导数与微分

24.

设g(x)=af(x)+(1-a)ex，若g(x)有两个零点，求实数a的取值范围．正确答案：由题可知g(x)=a(ex-2x-1)+(1-a)ex=ex-2ax-a，g'(x)=ex-2a，当a≤0时，g'(x)＞0，g(x)在R上单调递增，不符合题意；当a＞0时，令g'(x)=ex-2a=0，得x=ln2a，在(-∞，ln2a)上，g'(x)＜0，在(ln2a，+∞)上，g'(x)＞0，∴g(x)在(-∞，ln2a)上单调递减，在(ln2a，+∞)上单调递增，∴g(x)min=g(ln2a)=2a-2aln2a-a=a-2aln2a，又∵g(x)有两个零点，∴g(x)min＜0，即a-2aln2a=a(1-2ln2a)＜0，∴a＞0，∴1-2ln2a＜0，∴实数a的取值范围为[考点]导数与微分

25.

设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，ATη=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量，证明：ξ，η正交．正确答案：解：Aξ=λξ，两边转置得ξTAT=AλT，两边同乘η，得ξTATη=λξTη，ξTμη=λξTη，(λ-μ)ξTη=0，λ≠μ，故ξTη=0，ξ，η正交．[考点]二次型

26.

讨论函数在点x=1及x=2处的连续性和可导性．正确答案：解：连续性：在x=1处，，左右极限存在且相等且等于该点的函数值，∴在x=1处连续；在x=2处，f(2)，左右极限存在且相等且等于该点的函数值．∴在x=2处也连续，可导性：在x=1处，左导数为左右导数存在且相等，故函数在x=1处可导；在x=2处，左导数为，右导数左右导数存在但不相等，因此函数在x=2处不可导．[考点]导数与微分

设二次型(m＞0)，其中二次型的矩阵的特征值之和为1，特征值之积为-12．27.

求k，m．正确答案：解：二次型f的对应矩阵为，设A的特征值是λ1，λ2，λ3，由