教师资格认定考试高级中学数学模拟题18

教师资格认定考试高级中学数学模拟题18一、单项选择题1.

已知U={y|y=log2x，x＞1}，，则

A．

B．

C．(0，+∞)

D．正确答案：D[解析]∵x＞1，∴log2x＞0，∴U={y|y＞0}，∵x＞2，∴，∴，∴，故选D。

2.

设P(A)=a，P(B)=b，P(A∪B)=C，则A.a-bB.c-bC.a(1-b)D.c-a正确答案：B[解析]。故选B。

3.

曲线x=t，y=t2，z=t3在点(1，1，1)处的法平面方程是______

A．

B．x+2y+3z-6=0

C．

D．x+y+z-3=0正确答案：B[解析]曲线x=t，y=t2，z=t3在点(1，1，1)处的切向量为(1，2．3)，所以曲线在点(1，1，1)处的法平面方程为1·(x-1)+2·(y-1)+3·(z-1)=0，化简得x+2y+3z-6=0，故正确答案选B。

4.

在区间[0，1]上，函数f(x)=nx(1-x)n的最大值记为M(n)，则的值为______A.e-1B.eC.e2D.e3正确答案：A[解析]f'(x)=n(1-x)n-n2x(1-x)n-1=n(1-x)n-1(1-x-nx)，令f'(x)=0，得x=1或，且是函数的唯一极大值点，在闭区间[0，1]上，也是最大值点。所以。

5.

已知△ABC和点M满足。若存在实数m使得成立，则m=______A.2B.3C.4D.5正确答案：B[解析]由知M是△ABC的重心，且重心M分中线AE为AM:ME=2:1，所以，所以，所以m=3。

6.

矩阵的属于特征根4的特征向量是______A.x=(a，a，-a)，a≠0B.x=(2a，a，-3a)，a≠0C.x=(a，-a，a)，a≠0D.x=(-2a，3a，a)，a≠0正确答案：A[解析]对λ=4求相应的线性方程组(λE-A)x=0的一个基础解系，有化简求得此齐次线性方程组的一个基础解系为(1，1，-1)，则对应特征值4的特征向量为x=(a，a，-a)，a≠0。

7.

下列关于数学的抽象性中，表述不正确的一项是______A.在程度上具备不彻底性B.从对象的具体性质进行抽象C.从具体的数量进行抽象D.从数学对象之间的相互关系进行抽象正确答案：A[解析]数学具有高度的抽象性，在程度上具备彻底性。

8.

“在同一时间内，从同一个方面，对于同一个思维对象，必须做出明确的肯定或否定”是逻辑思维的______A.排中律B.同一律C.矛盾律D.充足理由律正确答案：A

二、简答题(每小题7分，共35分)1.

设f(x)的导数f'(x)的图象为过原点和点(2，0)的抛物线，开口向下，且f(x)的极小值为2，极大值为6，求f(x)。正确答案：解：设f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a＜0)，由于导函数的图象过原点与点(2，0)，则f'(x)=ax(x-2)。f"(x)=2ax-2a，

∵f"(0)=-2a＞0，∴x=0为极小值点，

∴f(0)=2，

∵f"(2)=2a＜0，∴x=2为极大值点，

∴f(2)=6，

，

由

∴f(x)=-x3+3x2+2。

设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1。2.

求概率P(ξ=0)；正确答案：解：若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，所以共有对相交棱，所以。

3.

求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)。正确答案：解：若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，

∴，。

∴随机变量ξ的分布列是：

∴其数学期望。

4.

设，且方程组AX=0的解空间的维数为2，求AX=0的通解。正确答案：解：由于解空间的维数等于AX=0的基础解系中所含解向量的个数，所以4-r(A)=2，即r(A)=2。

将A化为阶梯形矩阵：

由r(A)=2知，(t-1)2=0，即t=1，

则即

分别取(x3，x4)T=(1，0)T，(x3，x4)T=(0，1)T，

得方程组的通解为，其中k1，k2∈R。

5.

传统教育非常偏重数学的思维训练价值，而忽视了数学的应用价值。在新课程改革的今天，《普通高中数学课程标准》(实验)把培养学生的数学应用意识作为数学教育的主要目标。教师在实施教学中，应如何发展学生的数学应用意识?正确答案：发展学生的数学应用意识，教师可以从以下五方面进行问题情境的设计。(1)鼓励学生运用所学过的数学知识解决数学自身的问题；(2)引导学生解决日常生活中与数学相关的问题；(3)启发学生思考其他学科与数学相关的问题；(4)鼓励学生用数学的眼光来审视周围的世界，学会数学的思考；(5)让学生从传媒的大量信息中找出明显的或隐含的数学问题。例如，从天气的变化，环境的保护，经济的增长，各种信贷等都可以找到与数学相关的问题。

6.

数学归纳法能够解决哪一类问题?试用简明的语言说出运用数学归纳法解题的步骤。正确答案：数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n(n取无限多个值)有关的数学命题。在证明过程中，要分“两个步骤和一个结论”。其中第一步是归纳奠基，只需验证n取第一个值n0(这里n0是使结论有意义的最小的正整数，它不一定是1，可以是2，或取别的正整数)时命题成立；第二步是归纳递推，就是要证明命题的传递性。把第一步的结论和第二步的结论联系起来，才可以断定命题对所有的正整数都成立。因此，用数学归纳法证明命题时，完成了上述两个步骤后，还应该有一个总的结论，否则，还不能算是已经证明完毕。所以，严格地说，用数学归纳法证明命题的完整过程应该是“两个步骤和一个结论”。

三、解答题(10分)我们把由半椭圆(x≥0)与半椭圆(x≤0)合成的曲线称作“果圆”，其中a2=b2+c2，a＞0，b＞c＞0。如图所示，点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2分别是“果圆”与x，y轴的交点。

1.

若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程；正确答案：解：∵F0(c，0)，，，

，，

于是，

所以“果圆”方程为：。

2.

当|A1A2|＞|B1B2|时，求的取值范围。正确答案：解：由题意得：a+c＞2b，即，即a2-b2＞(2b-a)2，得，

又b2＞c2=a2-b2，∴，

∴。

四、论述题(15分)1.

依据《普通高中数学课程标准》(实验)，数学教师应怎样帮助学生注重联系，提高对数学整体的认识?正确答案：数学的发展既有内在的动力，也有外在的动力。在高中数学的教学中，要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系。

高中数学课程是以模块和专题的形式呈现的。因此，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，进一步理解数学的本质，提高解决问题的能力。例如，教学中要注重函数、方程、不等式的联系，向量与三角恒等变形、向量与几何、向量与代数的联系，数与形的联系，算法思想在有关内容中的渗透、在不同内容中的应用等。此外，还要注意数学与其他学科及现实世界的联系。例如，教学中应重视向量与力、速度的联系，导数与现实世界中存在的变化率的联系等。

五、案例分析题(20分)案例：

下面是学生小强在解答一道题目时的解法：

题目：(判断下列命题是否正确，如果正确，证明之；若不正确，请说明理由)

在△ABC中恒满足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

解：命题正确。证明如下：△ABC中∠C=π-(∠A+∠B)，所以有

，整理即得，tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

问题：1.

请指出学生小强的错误，并分析出现错误的原因；正确答案：题干中所述命题成立是有限制条件的，即△ABC的三个角都不能是直角，也就是△ABC不能是直角三角形。错误原因：忽略了正切函数的定义域，即当∠A，∠B，∠C中有直角时，相应角的正切值是不存在的，因而导致等式tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC不能恒成立。

2.

如果你是小强的老师，在教学过程中如何帮助小强避免再出现这样的错误。正确答案：学生出现这样的错误是普遍存在的，主要原因是没有做好对隐含条件的挖掘。教师在教学中要注意在学生知识形成的过程中要让学生知道知识的“来龙去脉”，对知识的背景及相关数学史适当阐述，而不是光秃秃地只讲解知识点。数学概念及数学定理往往会有一些成立的条件，这些条件在学生学习时是重点，做题时是易错点，因此应该在教学中要重点关注这些成立条件(限制条件)，以教学重难点的形式定位，并在练习中有针对性地练习，在测试中有目的地测试，养成第一时间考虑并去挖掘题目中的隐含条件的思维习惯。

六、教学设计题(30分)根据“几何概型”(第一课时)的内容，某教师为本节课的引入设计的一组问题串：

问题1：在4m长的线段PQ上有五个点P1，P2，P3，P4，P5将其六等分，现从这五个点中任取一点，求选取的点与线段两端距离都大于1m的概率。

问题2：这种概率模型你们以前学过吗?叫什么名字?它有什么特点?

问题3：在4m长的线段PQ上任取一点，求选取的点与线段两端距离都大于1m的概率。

问题4：问题3的概率模型是古典概型吗?

问题5：从基本事件的特点来看，它与古典概型有什么相同点和不同点?

问题：1.

请为本节课设计教学目标，以及教学重难点；正确答案：教学目标：

知识与技能：体会几何概型的意义；了解几何概型的基本特点以及与古典概型的异同点，会进行简单的几何概型计算。

过程与方法：学生通过自主探究、讨论交流，经历概念产生与发展的过程，进一步培养学生观察、分析、类比等逻辑推理能力，通过实际应用，感知用图形解决概率问题的方法和渗透化归、数形结合等思想方法。

情感态度与价值观：体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。

教学重点：掌握几何概型的判断及几何概率的计算公式；

教学难点：几何概型的建构及解决实际问题时如何根据具体背景正确判断对应的几何区域和几何量。

2.

请回答古典概型与几何概型的相同点与不同点，并结合上