2024年山西省运城市高三年级下册二模数学试题及答案

运城市2024年高三第二次模拟调研测试

数学

试卷类型：A

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区

域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的。

1.已知复数z满足（43iz1*21,则U

2.已知圆锥的侧面积为12n，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（）

16扃c16后

C.6&TIU.------------

-3-3

3.已知向量,和万满足忖3,|5|2,♦5|y/1,则向量方在向量万上的投影向量为（

A.——aB.一〃C.6ZD.ci

31

4.已知双曲线乌一今1a0,b02+y2+8x+7=0相切，且双曲线的左

ab（>>）的两条渐近线均和圆C:x

焦点为圆。的圆心，则该双曲线的方程为（）

x2y21B兰El

A.——I

9797

22

r4#4y2xy1

C.--------------1D.———I

7979

5.将函数-2sin|3x+：］的图象向右平移1Pg3个单位长度，得到函数g（x）的图象，若函数

g”）在区间（0,炉）上恰有两个零点，则0的取值范围是（）

57r3n；3n137r)

15K3J(I/3n13”

012UI

6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共五条旅游线路

可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、小李、小郭这

四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同的报名情况总

共有（）

A.360种B.316种C.288种D.216种

7.已知等差数列"J的前"项和为S.,若85」0,5I6.0,则包的取值范围是（）

a\

676131

A.—,—B.1

78?15

（6）/7）（61/13）

8.已知正方形A3CD的边长为2,点尸在以A为圆心，1为半径的圆上，则|P叫2/。卜|尸可最小值为

（）

A.18—8yjTB.18-8忑'

C.198^/3D.19872

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基地

有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续试

验5次，水稻的产量如下：

甲（单位：kg）250240240200270

乙（单位：kg）250210280240220

则下列说法正确的是（）

A.甲种水稻产量的极差为70

B.乙种水稻产量的中位数为240

C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数

D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差

10.已知函数/（x）的定义域为R,且对任意的羽丁€R,都有/（移）-犷（乃+球（町，若/（2）-2,则

下列说法正确的是（）

()=0B./(x)的图象关于y轴对称

A.71

20242024

,2025

C.V/,(2)-2023,：2+2D•三八2')-2024.22。26+2

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-44GB中，点尸是侧面ADD1A内的一点，点E是线段eg上

的一点，则下列说法正确的是()

A.当点P是线段AQ的中点时，存在点E,使得4E一平面PBQ

1

9

B.当点E为线段Cg的中点时，过点A,E,的平面截该正方体所得的截面的面积为I

C.点E到直线BDi的距离的最小值为V2

D.当点E为棱CG的中点且PE-2"时，则点P的轨迹长度为年

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知集合A-：X£N；＜3U,3-产产一3%+机一0；,若&An^,则AuB的子集的个数

3XI27|

为.

13.已知tan鼠-2tan口，sin(a+R)=；,贝iJsin(R«)

14.已知椭圆C：/+*l(»＞。)的左、右焦点分别为『耳，过万的直线与。交于A,B两点,

且悭引\AB\,若△。%的面积为£廿，其中。为坐标原点，则吊胃的值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

B+C巧

在/XABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,csin----------Z?sin2C——csinCcosB.

242

(1)求sinA的值；

(2)如图，a-6指，点。为边AC上一点，且2DC-5D3,二ABD-今,求△ABC的面积.

B.

A

16.(本小题满分15分)

长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧

气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加

快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生

是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200,统计得到以下2x2列联表：

喜欢不喜欢合计

男生12080200

女生100100200

合计220180400

(1)试根据小概率值，-0.050的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？

(2)为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9

人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；

(3)将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为匕

求y的数学期望.

----a—b-c—d-a-e~~b-r-d-

a0.1000.0500.0250.0100.001

2.7063.8415.0246.63510.828

羽

17.(本小题满分15分)

如图1,在△ABC中，ACBC4,AB4/，点。是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点,

且DE_A5,将△ADE沿DE翻折到的位置，使得PE一BD,连接PB,PC,如图2所示,

点歹是线段P3上的一点.

图1

(1)若BF-2PF,求证：Cfl平面PDE;

(2)若直线CT与平面PBD所成角的正弦值为,求线段BF的长.

18.(本小题满分17分)

已知抛物线C:V-2pM?-0)的准线与圆。：％2+>2T相切.

(1)求C的方程；

(2)设点尸是C上的一点，点A,8是C的准线上两个不同的点，且圆。是△出3的内切圆.

①若|A却-2君，求点尸的横坐标；

②求△出3面积的最小值.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(x)-(x_a)ex+x.+a(a<R)

(1)若a4,求/(x)的图象在尤0处的切线方程；

(2)若/(%)乂)对于任意的％目0,+,)恒成立，求。的取值范围；

*

(3)若数列｛an\i1且以i-------(

。〃十2N,记数列‘a'的前〃项和为S,求证

nn

S„-Inn\n2

3

+<(+)(+)

运城市2024年高三第二次模拟调研测试•数学

参考答案、提示及评分细则

l+2i(l+2i)(4+3i)211.cr.,,

(-)=+---------------1,所以

LA因为复数z满足43iz12i,所以z4-312525

431431

2.B设圆锥的底面半径为母线长为/,则”'12",",解得厂2,I6,所以此圆锥的

I3

高h-1/_4短,所以此圆锥的体积.22.4JI-空答.故选B.

3.A因为小万卜"，所以忖2+251书2-7,又忖-3,同-2,所以9,2律万.4-7,解得2Z-3,

a-6

设,与方的夹角为什，贝1Jcosfi:3_1所以向量6在向量石上的投影向量为

耶I赛一万

|5|cos0.fL---a.故选A.

।3

b

4.D双曲线的一条渐近线方程为y-—x,所以区ay0.圆C:V十产标,70的标准方程为

a

（+所以圆心为。（.4,0）,r-3,所以卜4J_3,又出“〃二16,解得6,

x4

b-3,所以双曲线的方程为匕t-1.故选口

79

5.C将函数/(x)-2sin(3x4"的图象向右平移)

4'0个单位长度,

得至ijy-2sin3(x-仆)•：―＜；’，：一

LM2si43x34

、

所以g(x)-2sin|3x-3«?•—,

I4"

€(0))时，3%-而+

当x0,

又函数g（x）在区间（0,3）上恰有两个零点,

所以2n<3(P4--TT,解得”•个—，

4124

即。的取值范围是(*，,故选仁

6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情况有144种.

若小张、小胡、小李、小郭这四人中，恰有1人选择“乔家大院”线路，则报名情况有C：(C*A；)

144种

所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C.

1jtza

7.B由题意知S—_—15a、0,所以a0,

15288

ioiia、

c(1416I

又S-----------8(/z1a)0,

16289

a

所以Og十〃90，所以9・一4,0.

设等差数列：为｝的公差为d,则d-纵-。8-0,

|=a1+7d>0,1d2

所以外>o.所以！1]八所以——

%+为一4+7d+q,84-24-15d0,7a\15

aciICl

所以」2—d613；26131°

5即右的取值范围是「故选B-

a\<7i~a^715'U11/13/

8.D以A为坐标原点，AB,AD所在的直线分别为无，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.

设P(x,y),所以/+产=1,又3(2,0),C(2,2),D(0,2),

2222

所以河，|PC|.|PD|(x-2f+/+(x_2f+(y_2f+x+(y-2)

=~(+)

198xy

令x+yt,即x+yt0,所以直线x+yt0与圆r2十好一1有公共点，所以尸_._1,

J1+1

解得V2-t-V2,

所以(|啊2.|PC|2^|PD|2)-19-8".故选D.

9.ABD由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为270-200=70,故A正确；

由表中数据可知,乙种水稻产量从小到大排列为210,220,240,250,280,所以乙种水稻产量的中位数为

240,故B正确；

对于C,甲种水稻产量的平均数为1.(250+240+240+200，270)-240'乙—‘口"“姒”

1*(250,210,280,240+220)-240,所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C

错误；

甲种水稻产量的方差为

；｛(250240,+(240—240,+(240240)\(200240)2+(270-240)^-520,

乙种水稻产量的方差为

22222

1(250240)+(210-240)+(280-240)+(240240)+(220240)]-600

所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.

故选ABD.

10.AC令x=l,*1,得”1)+/。)，解得了(I)-0,故A正确；

令x=_l,y=-l,所以/(1)-一〃_1)一〃」)-0,解得/1)0,令y1,所以

f(x)状-)K才--N,所以/(町是奇函数，所以/(冷的图象关于原点对称，故B错误；

因为"2")_f(ln1.2)-2〃1/(2)+2/(2"1),令a"一/。N*),

则+2,“三2,〃.N*),所以2"扇=2皿乩.1+1,

n-1

，lU

令bn2n,则乩bn\1,

又吃=2121

1n

X二,所以他|是首项为1,公差为1的等差数列，

“b+(n1)-n,所以a”•2",

1

n八

3

令SFf(2、ak-tz2+-••-+an1>2♦2.2~♦3>2।n■2",

贝IJ2S”-1*22+2、2343・2,+…+(〃一1)・2"+〃-2"」，

所以--+2+23+…+2"一小2""

Sn22

2x(J2").

2

S----i----o------•

1

n2"(1-n)2ni-

所以S.n122

=(-…+，

2024

所以2'j=2O23,«22。25*2,故C正确，D错误.

故选AC.

1LACD以。为坐标原点，DA,DC,DA所在的直线分别为X轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示.

则。(0,0,0),2(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),

1

当点P是线段4。的中点时，P(I,O,I>,

设E(0,2,a)(0a-2),

所以附(1,0,1),PB^(1,2,1).AE^(2,2,a2)

假设存在点E，使得\E一平面PBR,

则尸"4上,2>u20,P8；•Aj/i2»4t-tz20,

解得a0,

所以存在点E，使得\E1平面PBR,此时点E与点C重合，故A正确；

取3C的中点£连接3G，EF,FA,ADV。足，如图所示.

则ER||3C，iAD||BC,所以AD||铲，

又易得AD1—2\/2,EF-sfl,AFD〔E^/5,

所以梯形ADiER的面积为

AD.，EFJ।叫-EF:28版L,272J：9

fI=2

9

所以过A,E,D点的平面截该正方体所得的截面的面积为一，故B错误；

2

又阳2,2,0),设E(0,2,")(0・m三2),

所以…附、.'(-2"-I22")T^E'(-2,0,m)9

所以点E到直线3。的距离

2

d|jBK|sin（BDVBE^1ylcosBE^

1

~^rBD；BE^、|•（加I）2•2,

所以dmin=",

此时机1,所以点E到直线5。的距离的最小值为a，故C正确；

取。。的中点G,连接EG,EP,GP,

易得GE一平面A4。。，又GP平面A4Q。，

所以GE一GP,所以GP-PE^2GE2:&2百一22-2,

则点尸在侧面A4Q1。内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，

分别交AD,42于6，R，

则.4G2=,PfiD-1则Nppp2-1,

所以点P的轨迹长度为-x2--,故D正确.

33

故选ACD.

]

12.8由题意知A[x。NT3；i•：27'[0,1•又1-ACI3

3

所以1.5所以10,解得机2,

所以3-产产3x+2-0「：l,21,所以Au§：0,1,2]，所以A目的子集的个数为228.

13.--因为tana-2tan|i,即吧—-2巴1_,

12cosacosp

所以sinjcosR-2sinpcos(z

因为sin(u+P).sinacosR+cos(zsin0一；,

所以3cos“sinp-1,解得cos。sinR--,sinacos|3--

4126

所以sin(3-a);sinRcost/-cos0sina—上--.

12612

2也支

22

由余弦定理可得班司2|Af；|♦|AF2|21AF11AFIcost）

212

即4c2=（|A用+性引）-2性同性Ak2性同性引cose

-4tz\(-2^2cosO)|AF||AF|,

12

贝1J(2十2cos())|AFi||A/^|-4a2-4c2-4b2,

所以△耳AE,的面积S-L|A耳人项sin。-Sm'b2@6,

一2111114-cosO3

所以&sim)cost)1,

即sin三）;由于0_襄|[_三,史）所以□二：.

又依用-性回，所以△Af；3是等边三角形，即性用-伊用-性回,

4

由椭圆的定义可得|A耳卜怛耳.|A回-4a,所以|A玛-6Z,

ryc

则|A引-铲，怛引所以A3一耳心，

则3蹲2，皿的鸟弛.

用可产叫123

15.解：(1)因为csinO~——&sin2C.^-csinCcosB,

242

由正弦定理得

sinCsin''°--^-sinBsin2C•^-sin2CcosB

242

-^-sinBsinCcosC-^-sin2CcosB

22

J5

sinC(sinBcosC+sinCcosB)-——(

~T2sinCsinB

兀-AJ5.

又sinC70,所以sin:0-曰(+)，所以sin-y---sin(nA),

22sinBC

,.Ay/5.后•AA

所cr以cos———sinAJ5sin—cos一,

2222

AA75

cosy-0,所以sin万—

AA4

所以sinA—2sin—cos——

225

(•)，又2DC5DB,

(2)设DB2xx0

4

所以DC-5x,cos/BDC-cos|A+—-sinA-y.

2'

222

DB-.DC-BC4必425x(J)4

在ABDC中,由余弦定理得cos,BDC

2DBDC2-2x--5^5g

解得x2,

所以8£>u4,DC-10,

,DB44.一

又sinA-----------—,所以DA5,ACDA>DC15,

DADA5

又432^=A。?，所以A33,

_114

所以△ABC的面积S--AB-ACsinA=—x3-15■——18.

225

16.®:(1)零假设为Ho：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.

根据列联表中的数据，经计算得到

2

2400“

XL一出二4.040.3.841=Xo.050,

20(P如肌近到相。99

根据小概率值「0.050的独立性检验，我们推断Ho不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联,

此推断犯错误的概率不大于0.050.

(2)从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，其中男生的人数为：

80

9.-4人,

80♦100

100

女生人数为：9.-5人.

80.100

X的所有可能取值为0,1,2,3,

所以p(xo,-4-—,p(xi),

Cj21'Cg14

P{X2f隼-3，P(X3f4-—'

Cg21v盘42

所以12,茄，所以E(y)=12•方y

17.(1)证明：过点C作CH.ED,垂足为“，

在PE上取一点M，使得1PM-PE,连接,FM,

3

如图所示.

因为PF-PB,所以且RM上B,

333

因为。是AC的中点，且DEAB,所以CH||E3且CH,

所以"II月0且CHFM,所以四边形是平行四边形，所以

又"二平面S'平面PDE,所以5II平面

PDE.

(2)解：因为PE一ED,PE-BD、EDp[BDD,ED,BD「平面BCDE,所以PE一平面

BCDE,

又BE:平面3CDE,所以PEBE,PB』PE—BE?=2小.

又EB-ED,所以E3,ED,EP两两垂直，

故以E为坐标原点，EB,ED,EP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示.

所以3(3嫄,0,0),。(0,展0),P(0,0,y/2),C(y/2,2y/2,0).

设平面尸3。的一个法向量元｛x,y,z),

又BP(-3^,0,V2),5D(-372,72,0),

|n~BP3/x+也z一0,

所以_厂厂

InBD3^/2%-t->J2y-0,

令X1,解得y3,z3,

所以平面P3D的一个法向量五(1,3,3).

设BF-/.UP(3-\/2/.,0,y/2).)(01),

所以CFW(2匝—2立0广(3".,0,回)

_(26_3g_2叵皿、

设直线CR与平面尸3。所成角的大小为I),

LDIM

所以sinB=|cosyi,CF/\=|H||CF|

_472_4^/38

57

Jl,9.9="2遮3伍j,(2霹j+(@j

17177/5

解得--或/.-一，所以BF-—BP小或BF-—BP上.

2102105

18.®:(1)由题意知C的准线为又C的准线与圆。：/+y2=i相切，所以2-1

2-2

解得2-2,所以C的方程为*12.

y=4x.

\o-m

⑵设点尸住0，%）,点A（-l,机），点3（」,〃），直线K4方程为y^m-------（,）

沏1

1%I,

-1

+

化简得(为m)x-(xo+l)y+(yo-m)+m(A-0P0.

又圆。是△出3的内切圆，

vmmx1

乙一oI

所以圆心。（0,0）到直线力的距离为1,即I,

一浦十A"?

22

故(％根="o+DTyom)2m(y0m)(x04I).m(x0♦I),

易知%>1,上式化简得，(/.1)苏+2)w(xo'l)0,

同理有（沏一l）〃2+2yo〃一（妆'1）0,

所以见w是关于/的方程（玉）-1）尸+2则/一（初'1）0的两个不同的根,

—2〉7『”

所以加十〃—----*,mn-----：—.

检-1沏-1

所以|AB|2s()2—(十)2-4mn—"沏",

mnmn(%」)沏一

o

又点尸是。上的一点，所以y4xo.

2

0

1f4(沏下2卜02「。,1

所以|A回(/_1)2X0-1[70」)2

①若|A回=26,则2

解得七一3或%-；（舍），所以点P的横坐标为3.

②因为点尸（玉），丁）到直线关1的距离d-劭

。+i,

所以△出3的面积

S-l|ABp-1.23。-1X八

-2-(0*D2

(X-1)(o-l)

0

令)

0

因为方

当且仅当r2时等号成立，所以Sc/，40+32-46,

即△FAB面积的最小值为46

xx

19.(1)解：若a4,则/(x)-(x-4)e*+x-4,所以/xx4e+e+l-()

'()=(-)x3e1,

所以/003e°12,又门0)(04)e°-»40,

'()=(-)

所以/(x)的图象在0处的切线方程为V02x0,即2x+y=0.