第五单元：圆（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第1页（共1页）圆(思维导图+知识梳理+典例分析+高频真题+答案解析)【圆的认识与圆周率-知识点归纳】1．圆的认识：圆是一种几何图形．当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆．2．圆周率：圆周率符号一般以π来表示，是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数．它定义为圆形之周长与直径之比．它也等于圆形之面积与半径平方之比．【扇形的认识-知识点归纳】一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形（半圆与直径的组合也是扇形）。显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。《几何原本》中这样定义扇形：由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形。扇形弧长计算公式，l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，R是扇形半径。弧长＝圆心角度数/360°×2×圆周率×半径【圆及其性质-知识点归纳】一、圆的概念：1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母r表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母d表示。直径是一个圆内最长的线段。直径的长度是半径的2倍。二、圆的性质：1、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。如果已知的是直径，我们要把直径除以2换成半径，确定圆心，然后才开始画圆。要比较两个圆的大小，就是比较两个圆的直径或半径。2、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。同圆中所有的半径、直径都相等。3．在同圆或等圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。4、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。【圆、圆环的周长-知识点归纳】圆的周长＝πd＝2πr，半圆的周长等于圆周长一半加上直径，即；半圆周长＝πr+2r．圆环的周长等于两个圆的周长，即：圆环的周长＝πd1+πd2＝2πr1+2πr2．【圆、圆环的面积-知识点归纳】圆的面积公式：S＝π圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πr22﹣πr12＝π（【扇形的面积-知识点归纳】扇形面积可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度nS=nπ【典例1】小明和小红经常到公园里的圆形露天舞台散步。一天，他们从圆形露天舞台边沿同一地点同时出发，沿着圆形露天舞台的边沿背向而行，2分钟后，两人相遇，小明每分钟走75米，小红每分钟走82米。（1）这个圆形露天舞台的周长是多少米?（2）这个圆形露天舞台占地多少平方米?【答案】（1）解：（75＋82）×2

=157×2

=314（米）

答：这个圆形露天舞台的周长是314米。（2）解：314÷3.14÷2

=10÷2

=5（米）

3.14×52=78.5（平方米）

答：这个圆形露天舞台占地78.5平方米。【思路分析】（1）这个圆形露天舞台的周长=（小明的速度＋小红的速度）×相遇时间；

（2）这个圆形露天舞台的占地面积=π×半径2。其中，半径=圆形露天舞台的周长÷π÷2。【典例2】如图正方形边长为2厘米.以顶点A为圆心边长AB为半径作14【答案】解：3.14×22×14-2×2÷2

=3.14-2

=1.14（平方厘米）

【思路分析】如图，因为∠DAB=∠DBA，所以①的面积等于②的面积；同理可得④的面积等于③的面积；因此阴影部分的面积=14圆的面积－三角形ABC的面积=圆周率×半径的平方×14【典例3】修配厂有两块边长为80cm的有机玻璃，要从其中-块上割下两个半圆拼成跑道的模型(如图)。分别计算完工后这两块有机玻璃的周长和面积，根据结果说说你的发现。【答案】解：左图周长：

3.14×80+80×2

=251.2+160

=411.2(cm)

面积：80×80-3.14×402

=6400-5024

=1376(cm2)

右图周长：

3.14×80+80×2

=251.2+160

=411.2(cm)

面积：80×80+3.14×402

=6400+5024

=11424（cm2）

答：发现：两个图形的周长相同，右图比左图多两个以80cm为直径的圆的面积。【思路分析】左图：阴影部分的周长包括直径80厘米的圆周长和两条80厘米的线段长度；面积是正方形面积减去直径80厘米的圆的面积；

右图：阴影部分的周长是直径80厘米的圆的周长加上两条80厘米的线段长度；面积是直径80厘米的圆面积加上中间正方形的面积。计算后说出自己的发现即可。【典例4】在旧城改造中，幸福小区准备修建一个花坛(如图)，它的四周是直径相等的半圆。（1）如果给花坛的周围围上栏杆，需要多少米的栏杆？（2）这个花坛的面积是多少平方米？【答案】（1）解：6×3.14×2

=18.84×2

=37.68（米）

答：需要37.68米的栏杆。（2）解：6÷2=3（米）

3.14×32×2＋6×6

=56.52＋36

=92.53（平方米）

答：这个花坛的面积是92.53平方米。【思路分析】（1）需要栏杆的长度=直径6米的圆的周长×2；其中，圆的周长=π×直径；

（2）这个花坛的面积=圆的面积×2＋正方形的面积；其中，圆的面积=π×半径2，正方形的面积=边长×边长。【典例5】公园里有一片梯形草地（如图），梯形上底是20米，下底是30米，高是10米，园艺设计师想在这片草地上设计一个面积最大的半圆形花圃，请你画出来，并求这个花圃的面积。【答案】解：

3.14×102÷2

=314÷2

=157（平方米）

答：这个花圃的面积是157平方米。【思路分析】这个花圃的面积=π×半径2÷2，其中，半径=梯形的高。一．选择题（共8小题）1．下面的图形中，有4条对称轴的是（）A．等腰三角形B．圆 C．正方形 D．长方形2．半径为2cm的圆，周长和面积（）A．相等 B．不相等 C．无法比较3．一个半圆，半径是r，它的周长是（）A．π4 B．πr C．πr+2r D．2π4．一个钟表的分针长10厘米，分针从2时走到5时，分针针尖走过了（）厘米．A．31.4 B．62.8 C．188.45．如图，从甲地到乙地，A、B两条路的长度（）A．路线A长 B．路线B长 C．同样长6．如图，两个图形中的阴影部分周长和面积大小关系是（）A．周长和面积都相等 B．周长不相等，面积相等 C．面积不相等，周长相等7．一个圆的周长是31.4分米，这个圆的面积是（）分米2．A．314 B．78.5 C．15.78．有一块外圆内方的铜镜，铜镜的直径是24cm，外面的圆与内部的正方形之间的面积是（）A．164.16cm2 B．656.64cm2 C．27.36cm2二．填空题（共14小题）9．一个半圆的直径是8cm，计算它的周长时列式是：．10．将一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，周长增加了40cm，原来圆的面积是．11．一个圆的周长、直径、半径相加的和是27.84cm，这个圆的直径是cm，面积是cm．12．如图，圆中的三角形是一个三角形，这是因为同一个圆内所有的都相等。13．个圆心角是90°的相同大小的扇形可以组成一个圆。14．小圆面积和大圆面积的比是4：9，则小圆周长和大圆周长的比是．15．圆是图形，它至少对折次，就可以找到圆心。16．圆的半径扩大到原来的5倍，周长扩大到原来的倍，面积扩大到原来的倍．17．一个车轮的外直径是1.5m，它滚动一周的距离是m．18．把一个圆沿半径平均分成若干份后可以拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于，宽等于．从而得到圆的面积计算公式是．19．当圆规两脚间的距离为4厘米时，画出圆的周长是厘米．20．一个环形的外圆直径是10cm，内圆直径是8cm，它的面积是cm2．21．圆的半径扩大2倍，它的周长扩大倍，面积扩大倍．22．一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的倍，周长扩大到原来的倍。三．判断题（共5小题）23．直径是5厘米的圆，它的周长和面积相等．24．内圆的半径越小，圆环的面积就越大。25．圆的半径扩大到原来的2倍，直径就扩大4倍。26．两个半圆可以拼成一个整圆。．27．面积相等的两个圆，它们的周长也一定相等。四．计算题（共1小题）28．求如图图中阴影部分的面积．（单位：cm）五．应用题（共6小题）29．两块完全一样的半圆形草坪的周长都是82.24m，这两块草坪的占地总面积是多少平方米？30．王大爷是养鸭专业户，他在湖里用628m长的绳子围出一片圆形水域种水草，用作鸭饲料，围成的圆形水域的面积有多少平方米？如果每平方米可收水草40kg，一共可收水草多少吨？31．小乐响应学校“绿色出行”的号召，骑自行车上学。自行车轮胎的外直径是80厘米，从家到学校用了15分钟。如果车轮每分钟转80圈，小乐家离学校有多少米？（车身长度忽略不计）32．李伯伯的养鸡场呈圆形，半径为8m．今年他准备把原养鸡场的半径增加2m，面积会增加多少平方米？33．原产非洲的“猴面包树”，它的树干非常粗，其中一棵“猴面包树”的直径为15.7m，如果用绳子绕它的树干一周，至少需要准备多长的绳子？34．如图，环宽为1cm的小铁环从左侧6cm的位置滚动一周刚好到达右侧37.4cm的位置．环形的面积是多少？

一．选择题（共8小题）1．【答案】C【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可进行选择．【解答】解：A：等腰三角形有3条对称轴；B：圆有无数条对称轴；C：正方形有4条对称轴；D：长方形有2条对称轴；故选：C．【点评】解答此题的主要依据是：轴对称图形的定义及其对称轴的条数．2．【答案】C【分析】圆的周长是指围成圆的曲线的长度之和，而圆的面积是指整个圆面的大小，二者的概念不一样，不能进行比较．【解答】解：圆的周长：3.14×2×2＝3.14×4＝12.56（cm）；圆的面积：3.14×22＝3.14×4＝12.56（cm2）；因为圆的周长是指围成圆的曲线的长度之和，而圆的面积是指整个圆面的大小，尽管可能在数值上一样，但是二者的概念不一样，单位不同，不能进行比较．故选：C。【点评】此题主要考查对平面图形周长与面积的概念的理解；考查了圆的周长公式：C＝2πr．同时考查了圆的面积公式：S＝πr2．3．【答案】C【分析】半圆的周长＝圆周长的一半+直径，据此列式即可得解．【解答】解：2πr÷2+2r＝πr+2r答：它的周长是πr+2r．故选：C．【点评】此题考查半圆周长的计算方法，要记住半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径的长度，推出公式为C＝πr+2r．4．【答案】C【分析】从2时走到5时，分针针尖走过3圈的长度正好是3个圆的周长，已知分针的长度也就是半径，根据圆的周长公式：C＝2πr，把数据代入公式解答即可．【解答】解：5时﹣2时＝3小时2×3.14×10×3＝6.28×30＝188.4（厘米）答：分针的针尖走过了188.4厘米．故选：C．【点评】此题主要考查圆的周长公式C＝2πr的灵活运用．5．【答案】C【分析】由图知道小圆的直径是大圆的半径，利用圆的周长公式C＝2πr或πd分别求出半圆弧长，即可分别求得两个路径的长，然后进行比较即可．【解答】解：设小圆的直径为d，则大圆的半径为d，A路线的长度为：2πd÷2＝πd，B路线的长度为：πd÷2+πd÷2＝πd；所以A、B两条路的长度一样长．故选：C．【点评】本题主要是灵活利用圆的周长公式解决问题．6．【答案】B【分析】从图中可以看出阴影部分的面积＝正方形的面积﹣圆的面积．观察图形可发现：两个正方形是全等的，面积是相等；两个图形中中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这两个图形中阴影部分的面积相等；而第一个图形中阴影部分的周长是直径为4的圆的周长，第二个图形中阴影部分的周长是直径为4的圆的周长+两条边长，所以周长不相等；据此选择．【解答】解答：解：由图可知：两个图形中的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这两个图形中阴影部分的面积相等；两个图形中阴影部分图形的周长不相等，第二个图形中阴影部分的周长多出两条边长．故选：B．【点评】此题考查了面积及等积变换，将阴影面积转化为易求的图形的面积的差或和是解题的常用方法．7．【答案】B【分析】要求这个圆的面积，首先要求这个圆的半径，分析条件“一个圆的周长是31.4分米”，应根据圆的周长公式变形为“r＝C÷2π”算出半径，再根据圆的面积公式算出答案．【解答】解：因为C＝2πr所以r＝C÷2π＝31.4÷（2×3.14）＝5（分米）S＝πr2＝3.14×52＝78.5（平方分米）答：这个圆的面积是78.5平方分米．故选：B．【点评】解答这道题的关键是根据圆的周长求半径，然后求面积．8．【答案】A【分析】根据题意，圆的直径是24厘米，也就是这个正方形的对角线长24厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S=12【解答】解：3.14×（24÷2）2＝3.14×144＝452.16（平方厘米）24×（24÷2）÷2×2＝24×12÷2×2＝288（平方厘米）452.16﹣288＝164.16（平方厘米）答：外面的圆与内部的正方形之间的面积是164.16平方厘米．故选：A．【点评】此题主要考查圆的面积和正方形的面积计算，圆内画一个最大的正方形，圆的直径等于正方形的对角线长．二．填空题（共14小题）9．【答案】见试题解答内容【分析】根据圆的周长公式C＝2πr＝πd，先求出圆周长的一半再加直径即可．【解答】解：3.14×8÷2+8＝12.56+8＝20.56（厘米）答：周长是20.56cm．故答案为：3.14×8÷2+8．【点评】本题考查了圆的周长公式C＝2πr的计算应用，注意：半圆的周长＝圆周长的一半+直径．10．【答案】见试题解答内容【分析】把一个圆形纸片剪成两个相等的半圆，它的周长增加了40cm，周长增加的是圆的2个直径，依此求出圆的直径，再根据圆的面积公式计算即可．【解答】解：40÷2÷2＝10（cm）3.14×102＝314（cm2）答：这个圆的面积是314cm2．故答案为：314cm．【点评】考查了圆的面积的应用，本题的难点是得到周长增加的是圆的2个直径．11．【答案】见试题解答内容【分析】一个圆的周长、直径、半径相加的和是半径的（6.28+2+1）倍，依此可求圆的半径，根据圆的半径和直径的关系可求圆的直径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，列式计算即可求解．【解答】解：27.84÷（6.28+2+1）＝27.84÷9.28＝3（厘米）圆的直径：3×2＝6（厘米）圆的面积：3.14×32＝28.26（平方厘米）．答：这个圆的直径是6厘米，面积是28.26平方厘米．故答案为：6，28.26．【点评】考查了圆的面积计算，本题难点是得到圆的半径．12．【答案】等腰，半径。【分析】因为同一个圆中，所有的半径相等，在圆中的三角形有两条半径相等，所以是一个等腰三角形。【解答】解：圆中的三角形是一个等腰三角形，这是因为同一个圆内所有的半径都相等。故答案为：等腰，半径。【点评】本题考查了同一个圆中，半径相等和等腰三角形的特征。13．【答案】见试题解答内容【分析】因为圆周角是360度，所以只要求出360里面有几个90即可，由此用除法列式解答．【解答】解：因为360÷90＝4（个）所以4个圆心角是90°的相同大小的扇形可以组成一个圆。故答案为：4．【点评】关键是明确圆周角是360度，再根据除法的意义解答．14．【答案】见试题解答内容【分析】先根据圆的面积与半径的平方成正比，得到小圆半径和大圆半径的比，再根据圆的周长与半径成正比，可得小圆周长和大圆周长的比．【解答】解：因为小圆面积和大圆面积的比是4：9，所以小圆半径和大圆半径的比是2：3，所以小圆周长和大圆周长的比是2：3．故答案为：2：3．【点评】此题主要考查了比的意义、圆的面积与半径及周长的关系．15．【答案】轴对称，2。【分析】圆是轴对称图形，圆中心的那个点即圆心，所有直径都相交于圆心，将一个圆形纸片最少要对折两次，才能找到两条折痕相交的那个点，即圆心。【解答】解：圆是轴对称图形，它至少对折2次，就可以找到圆心。故答案为：轴对称，2。【点评】本题考查了确定圆心的方法及轴对称图形的意义知识，结合题意解答即可。16．【答案】见试题解答内容【分析】根据圆的周长公式与面积公式C＝2πr，S＝πr2以及积的变化规律可得：一个圆的半径扩大到原来的n倍，这个圆的周长就扩大到原来的n倍，面积就扩大到原来的n2倍；据此解答．【解答】解：一个圆的半径扩大到原来的5倍，这个圆的周长就扩大到原来的5倍，面积就扩大到原来的52＝25倍．故答案为：5，25．【点评】本题考查了积的变化规律在圆的周长公式与面积公式C＝2πr，S＝πr2中灵活应用，可以把它当作结论记住．17．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，车轮转动一周的长度就是这个车轮的周长，可根据圆的周长公式：C＝πd，进行计算即可得到答案．【解答】解：3.14×1.5＝4.71（米）；答：它滚动一周所走的路程是4.71米；故答案为：4.71．【点评】此题主要考查的是圆的周长公式及其应用．18．【答案】见试题解答内容【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知：近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式．据此解答．【解答】解：近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径，圆的面积＝近似长方形的面积＝长×宽，即S＝2πr÷2×r＝πr2．答：把一个圆沿半径平均分成若干份后可以拼成一个近似长方形，这个长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径．从而得到圆的面积计算公式是S＝πr2．故答案为：圆周长的一半，圆的半径，S＝πr2．【点评】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程．19．【答案】见试题解答内容【分析】圆规两脚间的距离是圆的半径，根据C＝2πr计算出即可．【解答】解：C＝2πr，＝2×3.14×4，＝25.12（厘米）．故答案为：25.12厘米．【点评】此题考查用圆规画圆以及圆的周长的计算．20．【答案】见试题解答内容【分析】此题是求圆环面积，要根据“直径÷2＝半径”先求出半径，然后根据圆环面积＝大圆面积﹣小圆面积＝π（R2﹣r2），代入数字，进行解答即可．【解答】解：10÷2＝5（厘米），8÷2＝4（厘米），3.14×（52﹣42），＝3.14×9，＝28.26（平方厘米）；答：它的面积是28.26平方厘米．故答案为：28.26．【点评】此题有固定的计算公式，根据圆环面积＝大圆面积﹣小圆面积＝π（R2﹣r2），代入数字，进行解答即可得出结论．21．【答案】见试题解答内容【分析】设原来的半径为r，扩大后的半径为2r，然后分别代入圆的周长和面积公式进行比较即可．【解答】解：原来的半径为r，扩大后的半径为2r，C原＝2πr，C扩＝2π（2r），＝4πr；C扩÷C原＝4πr÷2πr＝2；S原＝πr2，s扩＝π（2r）2，＝4πr2，s扩÷S原＝4πr2÷πr2＝4；故答案为：2，4．【点评】此题考查了半径扩大前后，变化的周长和周长与原来圆的周长和面积的关系．22．【答案】4；2。【分析】圆的面积计算公式为：S＝πr2，π是一个固定的数，所以圆的半径扩大到原来的2倍，圆的面积扩大半径的平方倍。圆的周长公式：C＝2πr，所以圆的半径扩大到原来的2倍，圆的周长扩大到原来的2倍。【解答】解：22＝4，所以一个圆的半径扩大到原来的2倍，它的面积扩大到原来的4倍；周长扩大到原来的2倍。故答案为：4；2。【点评】本题考查圆的面积和圆的周长的计算方法，解题关键是理解并掌握圆的面积和周长的计算公式，理解圆的半径扩大到原来的几倍，圆的面积扩大半径的平方倍，圆的半径扩大到原来的几倍，圆的周长扩大到原来的几倍。三．判断题（共5小题）23．【答案】×【分析】首先要明确周长与面积的概念，围成圆的曲线长叫做圆的周长；圆形的面积就是圆周所围成的平面的大小；圆的周长公式是：c＝2πr，圆的面积公式是：s＝πr2，由此解答．【解答】解：因为周长和面积不是同类量，所以不能进行比较．因此直径是5厘米的圆，面积与周长相等．这种是错误的．故答案为：×．【点评】此题主要考查圆的周长和面积的意义，以及圆的周长和面积的计算方法，因为周长和面积不是同类量，所以它们无法进行比较．24．【答案】×【分析】根据圆环的面积＝大圆的面积﹣小圆的面积，解答此题即可。【解答】解：外圆的半径不变时，内圆的半径越小，圆环的面积就越大。所以题干说法是错误的。故答案为：×。【点评】熟练掌握圆环的面积公式，是解答此题的关键。25．【答案】×【分析】根据在同一个圆中，直径是半径的2倍，半径是直径的12【解答】解；圆的半径扩大2倍，直径也扩大2倍．故判断为：错误．【点评】此题考查直径与半径关系及其运用．26．【答案】×【分析】两个半径相等的半圆可以拼成一个整圆。据此解答．【解答】解：当两个半圆的半径不相等时，不能拼成整圆。故答案为：×．【点评】本题的关键是让学生走出两个半圆，是半径相等的圆的误区．27．【答案】√【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，周长公式：C＝2πr，两个圆的面积相等，因为圆周率是一定的，两个圆的半径一定相等，所以它们的周长一定相等。【解答】解：因为圆周率是一定的，两个圆的面积相等，两个圆的半径一定相等，所以它们的周长也一定相等。故答案为：√。【点评】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法的灵活应用。四．计算题（共1小题）28．【答案】见试题解答内容【分析】（1）阴影部分的面积＝正方形的面积﹣四分之一圆的面积，圆的半径和正方形的边长都是2厘米，然后根据正方形的面积S＝a2；圆的面积S＝πr2解答即可．（2）阴影部分的面积＝半圆的面积﹣三角形的面积，圆的半径和三角形的直角边都是8÷2＝4厘米，然后根据三角形的面积S＝ah÷2；圆的面积S＝πr2解答即可．【解答】解：（1）2×2﹣3.14×22÷4＝4﹣3.14＝0.86（平方厘米）答：阴影部分的面积是0.86平方厘米．（2）8÷2＝4（厘米）3.14×42÷2﹣4×4÷2＝25.12﹣8＝17.12（平方厘米）答：阴影部分的面积是17.12平方厘米．【点评】本题属于求组合图形面积和周长的问题，这种类型的题目主要明确组合图形是由哪些基本的图形构成的，然后看是求几种图形的面积和还是求面积（周长）差还是和，然后根据面积（周长）公式解答即可．五．应用题（共6小题）29．【答案】803.84.【分析】根据半圆周长的意义，半圆的周长等于该圆周长的一半加上直径，根据圆的周长公式：C＝2πr，圆的面积公式：S＝πr2，设半圆的半径为r米，列方程求出半径，然后把数据代入面积公式解答.【解答】解：设半圆的半径为r米3.14r+2r＝82.245.14r＝822.45.14r÷5.14＝82.24÷5.14r＝163.14×162＝3.14×256＝803.84（平方米）答：这两块草