2024年中考数学复习：平移变换构造图形新关系讲义

平移变换构造图形新关系讲义

实行新的课程标准以来，学习几何不仅要研究静态图形，而且也包括了对图形运动的研究，所以我们从这节

课开始要复习三种几何变换：平移、轴对称和旋转，这三种变换不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置.

真正说起来，我们初一的几何系统学习是从平行线开始的，平行线理论在几何学科中占据着中心地位.平移简

单地说就是平行移动，根据平移变换实现边与角的移动，这一讲主要复习平移变换的方法与技能.

1.平行线的移角功能

我们都知道，在两条平行线被第三条直线所截产生的八个角中，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，

因此，借助与已知角某边平行的直线，可以移动角，将图形中一些顶点分散的角，通过移位进行集中沟通.

例如，大家都非常熟悉的三角形内角和定理的证明方法，就是利用平行线将三角形的三个内角集中于一个顶

点处，再通过平角180。得到.

方法1：任选AABC的一个顶点，作该点所在角对边的平行线（如图1）,将N8/C通过平行线都转移到了顶点

A处.同理，可将三个内角都转移到顶点B,C处（（AB=zl,ZC=Z2）.

方法2:在AABC的某条边上，任取一点D作另两边的平行线（如图2）,将三个内角转移到点D处（/B=N4=

Z2,ZC=Z1,ZA=Z3).

方法3：在AABC的任一边延长线上，选取一点D作另两边的平行线（如图3）,实现三个内角到D点处的转移

（ZA=Z2=Z3,ZC=Z4,ZB=Z1）.

方法4:在AABC所在平面内，任选一点D作三边的平行线（如图4）,将三个内角转移到点D处（NA=/l=/2,

ZB=Z3=Z4,ZC=Z5=Z6）.

现在我们小结一下上述方法，其中第4种过平面内任一点作三条边的平行线具有一般性，其他三种方法都是

第4种方法的特殊情况.

我们还经常遇到探索某些角的数量关系问题，这类问题是在基本图形的基础上进行了一些变动，截线不再是

直线，而是折线，这就出现了拐点，常用的办法就是过拐点作平行线，应用平行线的性质，充分发挥平行线的移

角作用，最终解决问题.

如图5,AB,CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A,C两点，点P是橡皮筋上的一点，

拽动P点将橡皮筋拉紧后，请你探索/A,ZAPC,NC之间具有怎样的关系并说明理由.

当橡皮筋拉直后可形成如下四种情况，

情况一：AAPC+N力+NC=360°

解法1：过P点作AB的平行线，分别把AP,PC当作截线，构造出平行线的基本图形.

CDCD

图6图7

解法2：过点A作PC的平行线或者过点C作AP的平行线，把待证的角转移到同一四边形中.

解法3：连接AC,利用三角形内角和与同旁内角解决问题.

图10

解法4:延长AP,DC交于一点或者延长CP、BA交于一点.利用三角形外角性质与同旁内角可证.

图11图12

回顾上述解法，都是通过添加平行线或截线，构造出平行的基本图形，从而达到转移角的目的，再进一步结

合其他结论、性质研究问题.

情况二：zXPC=zX+ZC

图17图18

情况三:/A=NAPC+/C

图20

平行线转移角示意图：

情况四:/C=NAPC+NA（不作辅线直接可得）

图31图32

2.平移与平行四边形（特殊的平行四边形）

同学们都知道将线段AB平移至DC,能形成平行四边形ABCD,其实，在此过程中还意味着线段BC向线段

AD的平移、ZB与/C、/A与ND的移动，换句话说，我们在解题过程中往往通过平移构造平行四边形来实现

线段与角的移位.

AD

图33

中考题目展示：如图34,AABC和ADBC是两个具有公共边的全等三角形，AB=AC=3cm,BC=2cm,将ADBC

沿射线BC平移一定的距离得到△DiBiCi,连接AC1.BD1.如果四边形ABDiQ是矩形，那么平移的距离为—cm.

图34

下面我们详细分析一道中考题一已知：AB,CD交于点E,AB,CD所夹锐角为汆5。,若ZB+N

C=225o,AC=3,DB=4,AB=5,求DC的长.

图35

【分析】此题中给出的三个角，三条线段位置比较分散，直接寻求它们所归属的三角形或四边形，无法得出

相关数量信息，因此要将已知条件进行重组，而实现的方式就是移角移边——通过平移实现.

不知道大家在看到已知条件的时候有没有想到长度为3、4、5的这三条线段和勾股定理密切相关，45。角又和

等腰直角三角形紧密联系，由此，我们不妨先尝试将45。角的顶点由E移动至C处，同时实现线段AB与AC的移

动,利用已知中的NB+/C=225。构建新的图形关系,ADBH为直角三角形，ACDH为等腰直角三角形，从而可求得

CD=5V2.

【解答】如图36,过点C作AB的平行线与过点B所作的AC的平行线交于点H,连接DH.\\c

所以四边形ACHB为平行四边形，照

所以AC=BH=3,/\,\

AB=CH=5,〃一二%

产...

ZABH=ZACH=ZACD+Z2,图第

又因为N1=N2=45。，

且/ABD+NACD=225°,

所以/ABD+/ABH=/ABD+/ACH=NABD+NACD+N2=225°+45°=270°,

根据点B处周角为360。可得/DBH=90。，

即ABDH为直角三角形.

在RtABDH中,BD=4,BH=3,

所以DH=5.

因为AB=CH=5,Z2=45°,

所以ACDH为等腰直角三角形，

所以CD=5V2.

此题的分析解剖，给同学们展示了如何利用平行线构造平行四边形转移线段，转移角的作用，这道题还有其

他平移的方法，这里只提供几个构图方法，解答过程不再一一赘述.

3.经典例题分析

通过上面由浅入深的学习，我们对平移变换有了新的认识.平移变换，简单地说，就是平行移动线段、角、三

角形等，以构造新的图形关系，使平移前后形成特殊三角形(直角三角形、等腰三角形)、特殊四边形，或形成全等

三角形的关系，或形成相似三角形的关系，起到沟通已知与未知的作用，达到求解的目的.

例1如图40,把R3ABC放在直角坐标系内，其中NC4B=9(r,BC=5,点A,B的坐标分别为(1,0),(4,0).将△

4BC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为

【分析】因为点A,B的坐标分别为(1,0),(4,0),

所以AB=3,

因为NCAB=90o,BC=5,

所以AC=4.

所以点C的坐标为(1,4).

当点C落在直线y=2x-6上时，

令y=4得到4=2x-6,

解得X=5,

所以平移的距离为5-1=4,

所以线段BC扫过的面积为4x4=16.

例2如图42,在AABC中,AB=AC.AD1BC于点D,点P是射线DC上的一个动点,PELBC交BA延长线于点

E.交直线AC于点E请你通过观察写出线段AD,PE,PF满足的关系式，并完成证明.

图42

【分析】首先，审题时遇见关键词“射线DC”“直线AC”，就应想到题目需分类讨论：一种情况是题目给出的

图42，点P在线段DC上；另一种情况是点P在DC的延长线上，如图43所示.这种学习中的细节处理或者说小小

经验，必须引起同学们足够重视.

已知ADLBCPELBC,意味着AD〃PE,而结论中的三条线段AD,PE,PF从位置上看比较分散，不利于探究

它们之间的数量关系.因此，需要我们依据条件与结论移动相应的线段，使它们处于一个容易联系的新图形中.移动

线段时不改变其大小只改变它的位置关系，又要考虑到现有的平行关系以及点D是BC中点的隐含关系，因而，

利用平移的方法较好.将线段AB沿AC平移到CB，的位置如图44所示，连接DB，厕AABD与△构成中心对称

型全等，延长FP交CB，于点QJUACPF与ACPQ构成轴对称型全等，所以PQ=PF,由四边形是平行四边形，可

证2AD=PE+PF.

针对图43所示的另一种情况，处理的方式是一样的，将线段AB沿AC平移到C夕的位置后，延长B'C交PE

于点Q,如图45所示，不难得到2AD=PE-PF.

【解答】如图44,作CB”AB交AD延长线于点B：延长FP交C次于点Q.

在AABC中,AB=AC,AD_LBC,

所以BD=CD.

又CB，〃AB,

所以NB'=/BAD,/B=/BCD.

所以AABD0/XBCD.

所以AD=B'D,AB'=2AD.P

又因为AB=AC,F

所以NB=NACB=NB'CD,

所以RtAFCP^RtAQCP,

所以PQ=PF.

因为AD±BC,PE±BC,

所以AD〃PE.

所以四边形AB'QE是平行四边形，

所以AB，=QE.

所以2AD=AB'=EQ=PE+PQ=PE+PF.

在图45中，同理可证,2AD=PE-PF.

例3如图46,在AABC中,AB=AC,延长边AB至1]D,延长边CA至E,连接DE,恰有AD=BC=CE=DE,求/BAC的

度数，

【分析】初次接触这道题，就会有学生反映条件中没有任何角度的信息，只有两组等线段，怎么可能求出一

个角的度数?况且那一组四条等线段就足以使人头晕.

仔细、冷静分析，如此多的等线段足以让同学们想到三角形全等，可要是不转移相关线段的位置就无从谈起

三角形的全等，该怎么转移?又该转移哪些线段?考虑到已知条件的两组等线段隐含着第三组等线段AE=BD及等角

ZABC=ZC,只要将BD沿BC平移到CF的位置，这些分散的等线段就能构成两个等腰三角形AADE与ACEF之

间的全等关系，以及平行四边形BDFC,从而可证△EDF是等边三角形，这不就有角度了吗？

【解答】过点c作AD的平行线，与过点D所作的BC的平行线交于点F,连接EF,则四边形BCFD为平行

四边形，

所以DB=CF,BC=DF,ZEAD=ZECF.

在AADE与ACEF中.

AD=CE,AE=DB=CF,ZEAD=ZECF,

所以

ZkADEdCEF,图47

所以ED=EF.

又ED=BC=DF,

所以ADEF是等边三角形，

所以NEDF=60。.

设/ABC=x,

贝！I^BAC=180°-2%,

ZADF=x,ZEAD=2x,

所以NADE=180°-4x.

由/ADE+/ADF=60。，

可列出方程180°-4x+x=60°,

解得x=40°,

所以NBAC=100。.

例3的分析，给同学们展示了平移变换解题的魅力.其实这道题还有很多平移的方法，这里只是抛砖引玉，希

望同学们借此深入挖掘，掌握“平移”这种变换工具.

例4在AABC中,NB=9(r,M为AB上一点，使AM=BC,N为BC上一点，使CN=BM,连接AN,CM交于点P,求/

APM的度数.

【分析】面对题设中出现的两组错位相等的线段，有同学往往感觉无从下手.其实，只要通过平移，就能让这

些错位的线段构成全等三角形，而彼此相等的线段就能确定平移的方向与距离，或者说给出了平移的对应点.如图

51所示，这里的AM=BC,CN=BM,就可以将线段AM沿MC平移到CD的位置，使M点与C点是平移前后的

对应点，这样就能构造出平行四边形AMCD以及ACBM与△DCN的全等关系.还产生了等腰直角三角形ADAN,

这就是平移变换在本题中显露出的魔力，让我们能感受到平移变换的价值所在.最后通过基本的导角，就能得出.

乙4PM=45。..当然，这道题的平移对象不止一个，选择不同的线段平移，就会对应不同的平移方向与距离.回过头

来仔细想想，我们

还能发现这道题目与前面的例3有异曲同工之妙.

【解答】过点C作CD〃AB,且使CD=AM,连接AD,DN,DN交CM于点Q,则四边形AMCD是平行四边形，

所以AD〃CM,AD=CM.

因为AM=BC,二用

所以DC=BC.//舒N

又/DCN=NB=9（F,CN=BM,]I

所以RsDCNgRtzkCBM.AB

图51

所以DN=CM,NDNC=/CMB,

ZADN=ZMQN=ZMCB+ZQNC=ZMCB+ZCMB=90°.

所以DN=AD.

所以△AND是等腰直角三角形,NDAN=45。.

所以/APM=/DAN=45。.Q-J'

例5如图52,线段AB=CD,AB,CD相交于点0,且/AOC=60。.

求证:AC+BD>AB.

D

图52

【分析】很简洁的一道题目，简洁的图形条件与已知条件，求证三条线段之间的不等关系.一般情况下.几何不

等式都是运用三角形的三边关系定理（两边