2024年广东省中山市某中学中考二模数学试题

2024年广东省中山市华侨中学中考二模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.-2的绝对值是（）

A.2B.vC.--D.-2

22

2.如图所示的几何体从上面看到的形状图是（）

从正面看

3.在正面完全相同、反面印有下列四个图形的纸片中，任抽一张，则抽到的纸片上的图形

恰好是中心对称图形的概率为（）

4.下列运算结果正确的是（）

252l532

A.2a+a=2aB.a-a=a°C.（a?）=aD.a-=-o=a

5.若关于x的一元二次方程Y-2x+a=0有实数根，贝匹应满足（）

A.a<1B.a<1C.a>1D.a>\

6.若点-2,%）,C（3,%）都在反比例函数y=—的图象上，则％,外，%的

大小关系是（）

A.%〈为B.为<乃C.必<力<力D.%

7.下图1是某地铁站入口的双翼闸机，如图2,它的双翼展开时，双翼边缘的端点/与8

之间的距离为12cm,双翼的边缘/C=8。=62cm,且与闸机侧立面夹角

试卷第1页，共6页

NPCA=NBDQ=30°,当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为（）

图1

A.62cmB.cmD.74cm

8.某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升.如图，滑

轮上一点/绕点。逆时针旋转108。，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物

上升了（）

A.6%cmB.9»cmC.124cmD.15^-cm

9.在中，ZBAC=90°fABAC.用无刻度的直尺和圆规在5C边上找一点。，使

△48为等腰三角形.下列作法不正确的是)

A.

D.

二、解答题

试卷第2页，共6页

10.《九章算术》中提出了如下问题：今有户不知高、广，竿不知长短，横之不出四尺，从

之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？这段话的意思是：今有门不知其高宽；有

竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角

线恰好相等.问门高、宽和对角线的长各是多少？则该问题中的门高是（）尺.

A.2B.10C.8D.6

三、填空题

II.近年来，城市电动自行车安全充电需求不断攀升.截至2024年3月底，某市已建成安

全充电端口逾160000个，将160000用科学记数法表示为.

12.小杰沿着坡比i=1:2.4的斜坡,从坡底向上步行了130米,那么他上升的高度是米.

13.不等式组2<3x-7<8的解集为.

14.已知一个多边形的内角和为540。，则这个多边形是边形.

15.函数产中自变量x的取值范围是.

16.平面内有四个点4。、B、C,其中405=120。，乙4cB=60。，AO=OB=3,则满足

题意的OC长度的取值范围是.

四、解答题

17.解一元二次方程x?-4x=5

18.已知：如图，点。为Y/BCD对角线8。的中点，过点。的直线与分别相交于点

E,F.求证：AE=CF

19.2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重

要性.小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费.为了倡议全校同学节约用水，他做了

如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况.已知量杯中

原来装有10mL水，30min内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中f表示时间，了

表示量杯中的水量.

试卷第3页，共6页

（1）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点并连线；

（2）结合表中数据写出墨杯中的水量了关于时间/的函数表达式（不要求写自变量的取

值范围）；

（3）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算照这样漏一天量杯中的水量约为多少mL.

20.阅读理解

材料1：观察数轴可知，当x>0时，随着x的不断增大，工的值随之减小，并无限接近0；

当：x<0时，随着x的不断增大，工的值也随之减小.

X

材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把

这个分式叫做真分式.当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式.有

时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部

分分式.如:

2x+l2x—8+8+12x—8+E=2+E.根据上述材料完成下列问题:

x-4x-4x-4

⑴当x>0时，随着x的不断增大，1+1的值_（增大或减小）；

X

当x<0时，随着x的不断增大，士¥+的2值_（增大或减小）；

X

（2）当x>3时，随着x的不断增大.‘5丫一一的2值无限接近一个数，请求出这个数.

x-3

21.科学教育是提升国家科技竞争力、培养创新人才、提高全民科学素质的重要基础。某学

校计划在八年级开设“人工智能”“无人机”“创客”“航模”四门校本课程，要求每人必须参加,

试卷第4页，共6页

并且只能选择其中一门课程，为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生

中随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统

计图(部分信息未给出).

调育结果条形统计图调杳结果嗣形统计图

(1)参加问卷调查的学生人数为50名，补全条形统计图(画图并标注相应数据)；

(2)在扇形统计图中，选择“创客”课程的学生占%,所对应的圆心角度数为；

(3)若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“航模”课程的学生有多少名？

22.如图，在RbCUB中，4408=90。，。4=2石，02=4△以点。为圆心,4为半径作OO,

(1)求扇形C。。的面积；

⑵求证：是OO的切线.

23.为了响应“建设绿美中山”的号召，我市某学校计划从某苗木基地购进N、3两种树苗共

200棵绿化校园.已知购买3棵/种树苗和4棵2种树苗共需620元；购买2棵/种树苗

和3棵8种树苗共需440元.

(1)每棵/种树苗、3种树苗各需多少元？

(2)学校除支付购买树苗的费用外，平均每棵树苗还需支付运输及种植费用20元，设学校购

买2种树苗x棵，购买两种树苗及运输、种植所需的总费用为y元，求y与x的函数关系.

(3)在(2)的条件下，若学校用于绿化的总费用在22400元限额内，且购买/种树苗的数量

不少于3种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用.

24.问题背景：

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一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论.如图1,

已知是的角平分线，可证嗡=筹.小慧的证明思路是：如图2,过点C作

CE//AB,交AD的延长线于点E,构造相似三角形来证明.

(1)尝试证明：请参照小慧的思路，利用图2证明就=?万；

(2)基础训练：如图3,在Rt^ABC中，NB4c=90°,。是边上一点.连接4D,将A/CZ)

沿所在直线折叠，点。恰好落在边上的E点处.若4C=1,AB=2,则。£的长；

(3)拓展升华：如图4,中，48=6,ZC=4,4D平分NB4C,4D的中垂线E尸交

3

3c延长线于点尸，当BD=三时，求4尸的长.

2

25.在平面直角坐标系xOy中，二次函数了=加+2依-3a的图象与x轴交于4,3两点(点

/在点3的左侧)，C,。两点的坐标分别为(-4,5),(0,5).

O

(1)求N,3两点的坐标；

⑵若二次函数了="2+2"-3.的图象经过点C,且与平行于x轴的直线/始终有两个交点

M,N(点M在点N的左侧)，P为该抛物线上异于M,N的一点，点N,尸的横坐标分别

为"，”+2.当〃的值发生变化时，/尸儿W的度数是否也发生变化？若变化，请求出/PAW

度数的范围；若不变，请说明理由；

(3)若二次函数y=a/+2ax-3a的图象与线段CD只有一个交点，求a的取值范围.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.A

【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义进行求解即可.

【详解】解：在数轴上，点-2到原点的距离是2,所以-2的绝对值是2,

故选：A.

2.D

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.

【详解】解：从上面看共有两层，底层右边是1个小正方形，上层有2个小正方形.

故选：D.

【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图.

3.B

【分析】根据中心对称的概念可得四个图形中有2个是中心对称图形，进而根据概率公式直

接求解即可，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图

形.

【详解】解：：四个图形中第2、4个图形是中心对称图形，

•••任抽一张，则抽到的纸片上的图形恰好是中心对称图形的概率为g

故选B

【点睛】本题考查了概率公式求概率，中心对称图形的识别，掌握以上知识是解题的关键.

4.D

【分析】根据幕的运算法则和合并同类项法则进行计算，逐项判断即可.

【详解】解：A.2a+a=3a,原选项不正确，不符合题意；

B.原选项不正确，不符合题意；

C.原选项不正确，不符合题意；

D.原选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了幕的运算和合并同类项，解题关键是熟记相关法则，准确进行计算.

5.B

【分析】由方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0,列出关于A的不等式，求出不

答案第1页，共14页

等式的解集即可得到a的范围.

【详解】解：：关于x的一元二次方程x2-2x+a=0有实数根,

.,.△=4-4a>0,

解得：a<l；

故选B.

【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a?0)的根与△=b2-4ac有

如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=()时，方程有两个相等的

两个实数根；当时，方程无实数根.

6.C

【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，反比例函数的增减性，根据解析式可得

反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再由-2<0<1<3,

即可得到答案.

【详解】解：•••反比例函数解析式为y=-2,

X

...反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随X增大而增大，

•.•点/(1,乂)，8(-2,%),C(3,%)都在反比例函数/=一±的图象上，且-2<0<1<3,

x

故选：C.

7.D

【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以

当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多.

过A作尸于£,过3作2尸，。。于尸，则可得/E和5尸的长，依据端点A与3之间

的距离为12cm,即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度.

【详解】解：如图所示过A作NELC尸于E,过B作8尸，。0于尸，

答案第2页，共14页

则RLUCE中，AACE=30°,AC=62cm,

：.AE=AC-smZACE=62=31(cm),

同理可得，SF=31cm,

又；点A与8之间的距离为12cm,

•••通过闸机的物体的最大宽度为31+12+31=74(cm),

故选：D.

8.B

YlTTV

【分析】本题考查弧长公式，解题的关键是掌握弧长公式/=篙.利用弧长公式算出重物

1X0

上升的高度即可.

・、4切7108°xl5万八

【详解】解：/=———=9%cm.

lol)

故选：B.

9.A

【分析】利用直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图逐一判断即可得.

【详解】解：A.此作图是作N8/C平分线，在中，NB4c=9Q°,AB^AC,无法

得出A/CO为等腰三角形，此作图不正确，符合题意；

B.此作图可直接得出C4=CD,即A/CO为等腰三角形，此作图正确，不符合题意；

C.此作图是作边的中垂线，可直接得出40=8,此作图正确，不符合题意；

D.此作图是作8c边的中垂线，可知/。是3C上的中线，A/CD为等腰三角形，此作图正

确，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握直角三角形的性质、中垂线的性

质、角平分线的尺规作图.

10.C

【分析】本题考查勾股定理的应用，设未知数建立关于未知数的方程是解题的关键.

利用勾股定理建立方程，解方程得出门高即可.

【详解】解：设竿长为x尺，则门宽为(x-4)尺，门高(x-2)尺，门对角线是x尺，根据勾

股定理可得：

x2=(x-4)2+(x-2)2,

答案第3页，共14页

整理得：/一12x+20=0,

解得x=2(舍去)或x=10.

则门高:10-2=8.

故选：C.

11.1.6xl05

【分析】本题主要考查科学记数法.科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中l<H<10,

"为整数.确定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数

点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正整数；当原数的绝对值<1时，〃是负整数.

【详解】解：160000=1.6x105,

故答案为：1.6xl05.

12.50

【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义.设坡度的高为x

米，根据勾股定理列方程求解.

【详解】解：设坡度的高为x米，则水平距离为2.4x米，

.,•/+(2.4X『=13()2,

解得：x=50,

故答案为：50.

13.3sx<5

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小找不到确定不等式组的解集.

【详解】解：原不等式组化为f一

[3x-7<8②

解不等式①得：x>3,

解不等式②得：x<5,

二不等式组的解集是3<x<5,

故答案为：3。<5

【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的

关键.

答案第4页，共14页

14.5

【详解】设这个多边形是"边形，由题意得，

5-2)'180。=540。，解之得，n=5.

15.x42且样一1.

【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式计算即可得解.

【详解】由题意得，2-x>0且x+l，0,

解得x<2且x#-l.

故答案为x<2且x^-1.

【点睛】此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握各性质定义.

16.3<OC<6/6>OC>3

【分析】分类讨论：如图1,根据圆周角定理可以推出点C在以点。为圆心的圆上；

如图2,根据已知条件可知对角4403+乙4cB=180。，则四个点A、。、B、C共圆.分类

讨论：如图1,如图2,在不同的四边形中，利用垂径定理、等边的性质来求。。的

长度.

【详解】解：如图I,

2

.,.点C在以点。为圆心的圆上，且在优弧NB上.

OC=AO=BO=3；

如图2,

答案第5页，共14页

，四个点A、0、B、C共圆.

设这四点都在。M上.点C在优弧45上运动.

连接0M、AM、AB>MB.

■：ZACB=60°,

ZAMB=2ZACB=120°.

•;AO=BO=3,

ZAMO=NBMO=60°.

又：MA=MO,

.•.△NMO是等边三角形，

.-.MA=AO=3,

MA<OC<2MA,3<6>C<6,

综上，OC长度的取值范围是34OC46.

故答案为：3<OC<6.

【点睛】本题考查了垂径定理、等边三角形的判定与性质，圆周角定理，圆周角、弧、弦间

的关系.此题需要分类讨论，以防漏解.

17.X]=5,工2=—]

【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键.

用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：X2-4X=5

尤2-4x-5=0

(x-5)(x+1)=0

x-5=0或x+1=0

.♦%=5,%2=-1•

18.见解析

【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关

键.根据平行四边形的性质得出48=OC,AB//DC,进而得出/班O=〃D。，

AOEB=AOFD,再证明△3OE也△£>',根据全等三角形的性质得出。尸，再利用

线段的差得出巳0-5£=。(7-。下，即可得出结论.

【详解】证明：•.•四边形是平行四边形，

答案第6页，共14页

:.AB=DC,AB//DC,

：.NEBO=ZFDO,ZOEB=NOFD,

丁点。为对角线5。的中点，

BO=DO,

：./\BOEmADOF,

BE=DF,

：.BD-BE=DC-DF,

AE=CF.

19.(1)见解析

(2)了=21+10

(3)2890

【分析】（1）本题考查画点和函数图象，根据表中数据画图即可.

（2）本题考查用待定系数法求函数解析式，设墨杯中的水量y关于时间，的函数表达式为

y=kt+b,将表中任意两点代入解析式求解，即可解题.

（3）本题考查求函数值，将一天换算成分钟数，代入解析式了=21+10求解，即可解题.

【详解】（1）解：描出的坐标和连线，如下图所示：

（2）解：设墨杯中的水量》关于时间f的函数表达式为>=用+6,

将f=0,>=10,以及f=5,y=20,代入>=〃+,

b=10k=2

有5k+b=2Q，解得

6=10'

•••水量y关于时间，的函数表达式为了=2/+io,

故答案为：J=2Z+10.

答案第7页，共14页

(3)解：1天=24h=1440min,

当f=1440时,y=2x1440+10=2890(mL).

照这样漏一天量杯中的水量约为2890mL.

20.⑴减小；减小

(2)无限接近5

【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式的基本性质，理解题中的变量分离的方法是解

题的关键.

(1)由,，2的变化情况，判断1+工，*=1+2的变化情况即可；

XXXXX

(2)由把二=51—3)+13=5+旦,再结合x的取值范围即可求解.

x—3x—3x—3

【详解】(1)解：・当x>0时，!随着x的增大而减小，

X

随着X的增大，1+1的值减小；

X

2

,当x<0时，一随着x的增大而减小，

X

x+212

・2

随着X的增大，士x+的2值减小，

X

故答案为：减小，减小；

(2)解：:=5(1)+13=5+—,

x—3x—3x—3

1Q

•・,当x〉3时，随着工的不断增大，的值无限接近0,

x-3

.♦•生:的值无限接近5.

x-3

21.(1)图见解析；

(2)20,72°；

(3)100名.

【分析】(1)求出选择“人工智能”的学生人数即可补全条形统计图；

(2)用选择“创客”的学生数除以调查总人数即可求出其百分比，再用360。乘以其百分比即

可求出所对应的圆心角度数；

答案第8页，共14页

(3)求出样本中选择“航模”课程的百分比，再乘以八年级总人数即可求解；

本题考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，弄清扇形统计图和条形统计图之间

的数据关系是解题的关键

【详解】(1)解：选择“人工智能”的学生有50-(15+10+5)=20名，

.♦・选择“创客”课程的学生占20%,

'：360°x20%=72°,

.♦•扇形统计图中选择“创客”课程的学生部分所对的圆心角的度数为72。,

故答案为：20,72°；

(3)解：1000x^=100,

•••估计选择“航模”课程的学生有100名.

22.(1)4乃

(2)见解析

【分析】本题考查了切线的判定，扇形的面积公式，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的

关键.

(1)用扇形的面积公式计算即可；

(2)过点。作于根据勾股定理得到N3,根据三角形的面积公式和切线的判

定定理即可得到结论.

【详解】⑴解：S扇…=噜

(2)证明：过点。作于反，

答案第9页，共14页

9408=90°,OA=275，OB=4如，

:.AB=y]OB2+OA2=10，

S.=-OB-OA=-AB-OH,

，An°RB22

OAOB2国4卡,

OH=----------=--------------=4

AB10

:.OH=QO的半径，

是O。的切线.

23.(1)每棵/种树苗需要100元，每棵3种树苗需要80元

(2)y=-20%+24000

(3)当购进100棵/种树苗，100棵2种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元

［分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，

解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，

找出V关于x的函数关系式；(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

(1)设每棵A种树苗需要。元，每棵B种树苗需要。元，根据“购买了3棵A种树苗和4棵8

种树苗共需620元；购买2棵A种树苗和3棵3种树苗共需440元”，可列出关于。，b的二

元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)由购进两种树苗的总棵数及购进B种树苗的棵数，可得出学校购买A种树苗(200-x)棵,

利用购买两种树苗及运输、种植所需的总费用=单价x数量+每棵树苗的运输及种植费用

x200,即可找出V与x的函数关系式；

(3)根据“购买A种树苗的数量不少于3种树苗的数量，且学校用于绿化的总费用在22400

元限额内”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再利用一次函

数的性质，即可解决最值问题.

【详解】(1)解：设每棵A种树苗需要。元，每棵B种树苗需要6元，

3。+46=620

根据题意得:

2。+36=440'

a=100

解得:

6=80

答案第10页，共14页

答：每棵A种树苗需要100元，每棵B种树苗需要80元；

(2)解：•••学校计划从某苗木基地购进A、3两种树苗共200棵绿化校园，且学校购买3种

树苗尤棵，

•••学校购买A种树苗(200-x)棵.

根据题意得：^=100(200-%)+80%+20x200,

即y=-20x+24000；

(200-x>x

(3)解：根据题意得：；-20x+24000W22400'

解得：80<x<100.

*/—20<0,

，'随X的增大而减小，

.,.当x=100时，》取得最小值，最小值=-20X100+24000=22000,此;时200-x=200-100=100.

答：当购进100棵A种树苗，100棵8种树苗时，总费用最少，最少费用为22000元.

24.⑴见解析

(2)。后=号

(3)3

【分析】⑴证明△。小必.，由相似三角形的性质得出=需’证出CE="

则可得出结论;

(2)①由折叠的性质可得出NC/D=N氏4。，CD=DE,由(1)可知，黑二吟,由勾股

2JLOV-ZY-Z

定理求出2C=石，则可求出答案;

(3)根据可得噜=黑，从而求得CD=1,再根据中垂线、三角形外角以及等量代换可知

AB=AFAC,然后可得出△的SA及C,最后根据相似三角形的性质及线段的和差即可得

出答案.

【详解】(1)证明：

.­.ZE=NEAB,ZB=ZECB,

：./\CEDS/XBAD,

答案第11页，共14页

CECD

ABBD

•/ZE=ZEAB,ZEAB=ACAD,

ZE=ACAD,

/.CE=CA,

ABBD

ACCD

(2)解：二•将△4CQ沿4。所在直线折叠，点。恰好落在边45上的七点处,

:./CAD=/BAD,CD=DE,

ABBD

由(1)可知,

ACCD

又AB=2,

2BD

1~~CD9

:.BD=2CD,

ABAC=90°,

：.BC=YJAC2+AB2=A/12+22=A/5，

:.BD+CD=5

3CD=V5,

:.CD=—

3

:.DE=—

3

(3)解：为/8/C的角平分线,

ABBD

——二——，ABAD=ADAC,

ACCD

3

•/AB=6,AC=4,BD=—,

2

3

「•6_2，

4CD

:.CD=\,

•・•AD的中垂线EF交BC