1.4.2充要条件课件高一上学期数学人教A版

第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件

1.4.2充要条件

主讲人：小蔡老师学习目标：1．理解充要条件的意义.2．结合具体问题，利用集合等知识，学会判断充分条件、必要条件和充要条件．3．分清充分性和必要性，培养等价转化思想．学习重点：充要条件及其判断，充分、必要条件的证明与探究，充分、必要条件的应用．学习难点：充分、必要条件的证明与探究及应用．学习目标——明确方向，把握重、难点复习导入观察下侧电路图.1.①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？2.②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？3.③中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？4.④中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？5.将①中开关A与灯泡B位置互换，开关C始终是断开状态，结论变吗？问题：充分不必要必要不充分充要不充分也不必要充分不必要

一般地，“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q,又有q⇒p，就记作

p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.

概括地说，如果p⇔q

，那么p与q互为充要条件.新知：充要条件四种条件与命题真假的关系原命题逆命题p与q的关系q与p的关系真（p⇒q）真（q⇒p）p是q的充要条件q是p的充要条件真（p⇒q）假（q⇏p）p是q的充分不必要条件q是p的必要不充分条件假（p⇏q）真（q⇒p）p是q的必要不充分条件q是p的充分不必要条件假（p⇏q）假（q⇏p）p是q的既不充分也不必要条件q是p的既不充分也不必要条件若原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：充分条件、必要条件的判断例3

下列各题中,哪些p是q的充要条件?(1)p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分;(2)p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解;(3)p:xy＞0，q：x＞0，y＞0.(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0（a≠0）.不充要充要不充要充要充分、必要条件判断的几种方法（1）定义法：直接利用定义进行判断.a.分请条件和结论：分清那个事条件p，哪个是结论q；b.找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假；c.下结论：根据推式及定义下结论（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题.充分、必要条件判断的几种方法（3）传递法充分条件具有传递性,若A1⇒A2⇒A3⇒…⇒An，则A1⇒An，即A1是An的充分条件.必要条件也具有传递性，若A1⇐A2⇐A3⇐…⇐An，则A1⇐An，即A1是An的必要条件.充要条件也有传递性.充分、必要条件判断的几种方法（4）利用集合间的包含关系进行判断例：已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，（1）如果A⊆B，那么p是q的什么条件？（2）如果B⊆A，那么p是q的什么条件？（3）如果A=B，那么p是q的什么条件？学生B中学生A

（2）如果B⊆A，那么p是q的必要不充分条件.

（3）如果A=B，那么p是q的充要条件.解：（1）如果A⊆B，那么p是q的充分不必要条件.课堂练习判断下列各命题中p是q的什么条件：（1）p：x-2=0，q：(x-2)(x-3)=0；

（2）p：0<x<3，q：|x-1|<2；

（3）p：∆ABC为直角三角形，q：∆ABC为等腰三角形；

p是q的充分不必要条件p是q的充分不必要条件p是q的既不充分也不必要条件充分条件、必要条件的证明例:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.思路点拨：先证明充分性，即证a-b+c=0⇒ax2+bx+c=0有一个根为-1；再证必要性，即证ax2+bx+c=0有一个根为-1⇒a-b+c=0证明充分性：因为a-b+c=0,即a·(-1)2+b·(-1)+c=0,

所以-1是ax2+bx+c=0的一个根必要性：因为ax2+bx+c=0有一个根为-1，所以a·(-1)2+b·(-1)+c=0，即a-b+c=0.

综上可得，ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.课堂练习证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0（a≠0）.证明充分性：因为a+b+c=0（a≠0）,即a·12+b·1+c=0,

所以1是ax2+bx+c=0的一个根必要性：因为ax2+bx+c=0有一个根为1，所以a·12+b·1+c=0，即a+b+c=0.

综上可得，ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0（a≠0）.利用充分条件、必要条件确定参数的值（取值范围）例：已知非空集合A={x|2<x<3a+1},B={x|a<x<a+2}.设p：x∈A，q：x∈B.若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.思路点拨：先转化为集合A和集合B的关系，再求解A的取值范围解∵A≠∅,∴3a+1>2,即a>.

∵q是p的必要条件，∴A⊆B，∴解得a≤,

∴＜a≤.即实数a的取值范围是{a|<a≤}课堂练习已知p：实数x满足－3x＋4a<0；q：实数x满足－x－6≤0.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．.解：由p:－3x＋4a<0得到x>,由q：-x-6≤0得x≥-6，

∵p是q的充分条件，

∴A⊆B，

∴≥-6解得a≥

故实数a的取值范围是{a|a≥}知识梳理定义从集合的观点看A={