2025年高考数学一轮复习-2.9-函数与方程【课件】

第九节函数与方程必

备

知

识1.函数的零点对于一般函数y＝f(x)，我们把使______的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

零点不是点，是一个实数2．零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_________，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在x0∈(a，b)，使得________，这个x0也就是方程f(x)＝0的根．3．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且__________的函数，通过不断地把它的零点所在区间________，使所得区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．f(x)＝0f(a)·f(b)<0f(x0)＝0f(a)·f(b)<0一分为二零点【常用结论】1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．图象连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．夯

实

基

础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(

)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在当b2－4ac＜0时没有零点．(

)(3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)＜0.(

)(4)若f(x)在区间[a，b]上连续不断，且f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)内没有零点．(

)×√××2．已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表．在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为(

)A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)x12345f(x)－4－2147答案：B解析：由所给的函数值的表格可以看出，x＝2与x＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)·f(3)＜0，所以函数在(2，3)内有零点．故选B.3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内的零点个数是________．1解析：因为y＝2x，y＝x3是增函数，所以函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内单调递增．又f(0)＝－1<0，f(2)＝10>0，所以f(0)f(2)<0，故函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0，2)内有唯一的零点．4．(易错)(多选)已知函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，若f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，则下列命题正确的是(

)A．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(1，2)内B．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(1，2)和(2，3)内C．函数f(x)的两个零点可以分别在区间(0，1)和(2，3)内D．函数f(x)的两个零点不可能同时在区间(1，2)内答案：ABD解析：因为函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点，且都可以用二分法求得，其图象是连续不断的，所以零点两侧函数值异号，又f(0)>0，f(1)f(2)f(3)<0，所以f(3)>0，f(1)f(2)<0，若f(1)>0，f(2)<0，可得f(2)f(3)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(1，2)和(2，3)内，故B正确．若f(1)<0，f(2)>0，则f(0)f(1)<0，f(1)f(2)<0，即此时函数f(x)的两个零点分别在区间(0，1)和(1，2)内，故A正确．综上两种情况，可知选项C错误，D正确．故选ABD.5．(易错)函数f(x)＝ax2－x－1有且仅有一个零点，则实数a的值为________．

问题思考·夯实技能【问题1】函数零点与方程根有何联系？提示：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．【问题2】如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，y＝f(x)在(a，b)内有零点，那么一定有f(a)f(b)<0吗？提示：不一定．例如函数f(x)＝x2－1在区间[－2，2]上的图象是连续不断的一条曲线，且在(－2，2)内有零点，但f(－2)f(2)>0.事实上，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，那么“f(a)f(b)<0”是“y＝f(x)在(a，b)内有零点”的充分不必要条件．关键能力·题型剖析题型一

函数零点所在区间的判定例1函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点所在的区间是(

)A．(1，2) B．(2，3)C．(3，4) D．(4，5)答案：B解析：由题意得，f(x)＝lnx＋2x－6在定义域内单调递增，f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，则f(2)f(3)<0，∴零点在区间(2，3)上．【变式练习】

用二分法求函数f(x)＝lnx＋2x－6在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过______次二分后精确度达到0.1.4

答案：C

(2)已知函数f(x)＝lnx＋3x－7的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________．2解析：由题意可知函数f(x)＝lnx＋3x－7在定义域(0，＋∞)内单调递增，易知f(2)＝ln2＋3×2－7＝ln2－1<0，而f(3)＝ln3＋3×3－7＝ln3＋2>0，所以f(2)·f(3)<0，根据零点存在定理可知，函数f(x)在区间(2，3)内存在零点，所以可得n＝2.

答案：B

4044

答案：C

－2，e解析：由题意可知函数f(x)＝lnx＋3x－7在定义域(0，＋∞)内单调递增，易知f(2)＝ln2＋3×2－7＝ln2－1<0，而f(3)＝ln3＋3×3－7＝ln3＋2>0，所以f(2)·f(3)<0，根据零点存在定理可知，函数f(x)在区间(2，3)内存在零点，所以可得n＝2.

(－2，0)解析：当x≥0时，f(x)＝x|x－2|，则－x≤0，f(－x)＝－ax，此时f(x)－f(－x)＝0⇒x|x－2|＝－ax，则x＝0或－a＝|x－2|，当x<0时，f(x)＝ax，则－x>0，f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|，此时f(x)－f(－x)＝0⇒－x|x＋2|＝ax，则－a＝|x＋2|，故问题转为－a＝|x－2|(x≥0)，－a＝|x＋2|，(x<0)共有四个零点，画出函数图象如图可知，0<－a<2⇒－2<a<0.角度二根据函数零点的范围求参数例4函数f(x)＝log2x＋x2＋m在区间(1，2)存在零点．则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，－5) B．(－5，－1)C．(1，5) D．(5，＋∞)答案：B

答案：D

(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．(0，2)解析：函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，y＝|2x－2|和y＝b的图象有两个交点，画出y＝|2x－2|和y＝b的图象，如图，要有两个交点，那么b∈(0，2)．

答案：C

答案：C解析：当x≤0时，令f(x)＝x2＋2x－3＝0，则(x－1)(x＋3)＝0，解得x＝1(舍去)或x＝－3，当x>0时，令ex－2＝0，解得x＝ln2，所以f(x)的零点个数为2.

答案：C

(－2，2)

[答案]

A

[答案]

BC[解析]当x＜