数列极限、数学归纳法讲义- 高三数学一轮复习

第⑷若，则。【例题2】已知，是数列的前n项和………………（）(A）和都存在(B)和都不存在(C)存在，不存在(D)不存在，存在【例题3】求下列极限：（1）（）;（2）【例题4】（1）等差数列、的公差都不为零，若，则．（2）等差数列、，若，则．【例5】（1）若，则实数的取值范围是____________（2）若等比数列的前项和为，公比为，集合，则用列举法表示．（3）是不等的两正数，若，则的取值范围是．（4）若存在，则r的取值范围是()(A)r≥–或r≤–1(B)r>–或r<–1(C)r>–或r≤–1(D)–1≤r≤–【例6】（1）已知无穷等比数列的前项和，且是常数，则此无穷等比数列各项的和是（）A．．B．．C．．D．．(2)已知无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，则公q=__________．（3）若无穷等比数列的各项和等于，则的取值范围是.【例7】如图，在等腰直角三角形ABC中，已知∠A°，斜边BC长为，途中排列着的内接正方形的面积分别为求：（1）无穷个正方形的周长之和；（2）无穷个正方形的面积之积【例8】（1）已知、为圆的两条相互垂直的弦，重足为，则四边形的面积的极限值为．（2）已知，，函数的图象与轴相交于点、与函数的图象相交于点，△的面积为为坐标原点），则．（3）设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（）A．B．C．D．（4）已知数列满足，，均在双曲线上，则．【例9】由“无穷等比数列各项的和“可知，当时，有，若对于任意的，都有，则．【例10】已知数列满足：，且，，若，则．【例11】已知，与轴交点为，若对于图象上任意一点，在其图象上总存在另一点、异于，满足，且，则．巩固训练 1、已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q,且有（－qn）=,求首项a1的取值范围是_______．2、已知点，，，其中为正整数，设表示的面积，则．3、已知等差数列的公差不为0，其前项和为，等比数列的前项和为，公比为，且，求的值．4、在半径为的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前个圆的面积之和，则．5、已知△ABC的顶点分别是，记△ABC的外接圆面积为，则＿＿＿＿＿.6、如图所示：矩形的一边在轴上，另两个顶点，在函数的图象上（其中点的坐标为，，，矩形的面积记为，则．7、设为一组多边形，其作法如下：是边长为1的三角形以的每一边中间的线段为一边向外作正三角形，然后将该线段抹去所得的多边形为，如图所示。令表示的周长，表示的面积。（1）计算的面积，，；（2）求(+…+)的值8、已知，在坐标平面中有斜率为的直线与圆相切，且交轴的正半轴于点，交轴于点，则的值为．9、如图，一质点从原点出发沿向量到达点，再沿轴正方向从点前进到达点，再沿的方向从点前进到达点，再沿轴正方向从点前进到达点，，这样无限前进下去，则质点最终到达的点的坐标是10、定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，．当（）时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则______________．11、已知数列满足，，若，且是递增数列、是递减数列，则．（二）数学归纳法知识梳理数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.注意：①应用数学归纳法要运用“归纳假设”，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法。②由k到k+1的证明，实际问题中由k到k+1的变化规律是数学归纳法的难点，突破难点的关键是掌握由k到k+1的推论方法，在运用归纳假设时，应分析P(k)与P(k+1)的差异及联系。利用拆、添、并、放、缩等手段，或从归纳假设出发；或从P(k+1)从分离出P(k)，再进行局部调整；也可考虑寻求二者的“结合点”，以便顺利过渡。3、用数学归纳法证明与正整数有关的等式，常采用从一边开始并以另一边为目标进行推证的办法；用数学归纳法证明整除性问题，常采用配凑的办法；用数学归纳法证明与正整数有关的不等式时，常常需要运用不等式的性质以及比较法、放缩法、分析法、综合法等基本方法；用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，常常要运用几何图形的性质。四、归纳——猜想——论证“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个的值，寻找一定规律，猜想一个结论，然后用数学归纳法证明所猜想的结论正确”的解题方法．理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．例题精讲【例12】设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”．那么，下列命题总成立的是（）．若成立，则成立；．若成立，则成立；．若成立，则当时，均有成立；．若成立，则当时，均有成立．【例13】用数学归纳法证明命题：若是大于1的自然数，求证：，从到，不等式左边添加的项的项数为．【例14】试证：n为正整数时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．【例15】是否存在常数、、使等式对一切正整数成立？证明你的结论．【例16】已知数列的前项和为，通项公式为，数列的通项公式为（1）若，求数列的前项和及的值；（2）若，数列的前项和为，求，，的值，根据计算结果猜测关于的表达式，并用数学归纳法加以证明；（3）对任意正整数，若恒成立，求的取值范围．巩固训练1、用数学归纳法证明：的过程中，从到时，比共增加了A．1项 B．项 C．项 D．项2、设数列各项均为正数，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）已知，求；（3）试用数学归纳法证明：．实战演练实战演练一、填空题1、记直线与坐标轴所围成的直角三角形的面积为，则．2、已知一个圆心位于坐标原点的单位圆与轴正半轴交点为．若一个粒子从点出发沿单位圆逆时针旋转弧度到达点，接着顺时针旋转弧度到达点，再逆时针旋转弧度到达点，再顺时针旋转弧度到达点．以后按照逆时针、顺时针交替旋转，每次旋转的角度大小都是上一次的一半．这样无限进行下去，则粒子到达极限位置时其横纵坐标之和为．3、一个无穷等比数列的首项是一个非零的自然数，公比是另一个自然数的倒数，此数列的各项和为3，那么这个数列的前两项之和等于．4、如图，记棱长为1的正方体，以各个面的中心为顶点的正八面体为，以各面的中心为顶点的正方体为，以各个面的中心为顶点的正八面体为，，以此类推得一系列的多面体，设的棱长为，则数列的各项和为．5、如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤，得到，，，，，则．6、如果等差数列，的公差都为，若满足对于任意，都有，其中为常数，，则称它们互为同宗”数列．已知等差数列中，首项，公差，数列为数列的“同宗”数列，若，则．二、选择题7、设，则可表示为A． B． C． D．8、数列中，，则数列的极限为A．0 B．2 C．0或2 D．不存在9、已知数列，，如果数列和的极限均存在，那么在下列数列中，其极限不一定存在的数列是A． B． C． D．10、在数列的极限一节，课本中给出了计算由抛物线、轴以及直线所围成的曲边区域面积的一种方法：把区间，平均分成份，在每一个小区间上作一个小矩形，使得每个矩形的左上端点都在抛物线上（如图），则当时，这些小矩形面积之和的极限就是．已知．利用此方法计算出的由曲线、轴以及直线所围成的曲边区域的面积为A． B． C． D．三、解答题11、设数列的前项和是，且．（1）求证：数列为等差数列；（2）若且数列也为等差数列，试求的值；（3）设，且恒成立，求证：存在唯一的正整数，使得不等式成立．12、我们要计