2014-2023高考数学真题分项汇编：立体几何选择题（理）

十年（2014—2023）年高考真题分项汇编

立体几何选择题

目录

题型一：立体几何的机构特征及其直观图.......................1

题型二：简单几何体的表面积和体积...........................6

题型三：球的有关问题......................................19

题型四：线面之间的位置关系与垂直与平行....................21

题型五：空间角与空间距离..................................23

题型一：立体几何的机构特征及其直观图

1.（2023年北京卷・第9题）坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出

建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个

面是全等的等腰三角形.若48=25m,BC=ZD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在

的平面与平面48CD的夹角的正切值均为M4,则该五面体的所有棱长之和为（）

5

)

B.112m

C117mD.125m

2.（2023年全国乙卷理科•第3题）如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1,则

该零件的表面积为()

r—―L——l——<——r——r——、r——l——L——<——r•

IIIIIIIIIIII

IIIIIIIIIIII

一厂】

二HLtffl

IIIIIIIIIIII

IISIIIIIIIIII

1

A.24B.26C.28D.30

3.（2021年高考浙江卷・第4题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

4.（2021年新高考I卷•第3题）已知圆锥的底面半径为其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为

（）

A.2B.242C.4D.4近

5.（2021年高考全国甲卷理科•第6题）在一个正方体中，过顶点工的三条棱的中点分别为E,F,G.该正

方体截去三棱锥/-斯G后，所得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是

（）

6.（2020年高考课标I卷理科•第3题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四

棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底

边上的高与底面正方形的边长的比值为（）

2

cVs+17

.4

7.（2020年高考课标II卷理科•第7题）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图

中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为)

)

A.EB.FC.GD.H

8.（2018年高考数学课标in卷（理）•第3题）中国古建筑借助桦卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫梯,

凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是桦头，若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬

合成长方体.则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是)

9.（2018年高考数学课标卷1（理）•第7题）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右圈，圆柱表面上的

点M在正视图上的对应点为Z.圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从

M到N的路径中，最短路径的长度为()

A.2V17B.275C.3D.2

3

A

B

10.（2014高考数学课标1理科•第12题）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三

视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为)

)

.40C.6D.4

11.（2014高考数学江西理科•第5题）一几何体的直观图如右图,下列给出的四个俯视图中正确的是

（）

()

12.（2014高考数学湖北理科•第8题）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是

我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“困盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三

4

十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长[与高〃，计算其体积「的近似公式丫土工〃加它实

36

际上是将圆锥体积公式中

2

的圆周率"近似取为3.那么近似公式VM—£2%相当于将圆锥体积公式中的〃近似取为（）

75

2225八157355

A.—B.—C.-----D.-----

7850113

备注：

13.（2014高考数学湖北理科•第5题）在如图所示的空间直角坐标系。-盯z中，一个四面体的顶点坐标分

别是（0,0,2）,（2,2,0）,（1,2,1）,（2,2,2）.,给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯

视图分别为（）

()

D.④和②

14.（2014高考数学福建理科•第2题）某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（）

A.圆柱B.圆锥C.四面体D.三棱柱

15.（2014高考数学北京理科•第7题）在空间直角坐标系。臾中，已知2（2,0,0）,5（2,2,0）,C（0,2,0）,

£）（1,1,、历），若E，邑，凡分别表示三棱锥。—。在X0V，y°z>zOx坐标平面上的正投影图

形的面积，则（）

A.SX=S2=53B.5]=邑且5305

C.耳二星且S3WS2D.风二星且耳片风

16.（2017年高考数学北京理科•第7题）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为

5

题型二：简单几何体的表面积和体积

1.（2023年天津卷•第8题）在三棱锥P—中，线段PC上的点M满足线段P3上的点N

满足PN=|四，则三棱锥P-/AW和三棱锥P-A8C的体积之比为（）

1214

A.-B.—C.-D.一

9939

2.（2023年全国乙卷理科•第8题）已知圆锥尸。的底面半径为VL。为底面圆心，PA.尸3为圆锥的母线,

ZAOB=120°,若△尸48的面积等于地，则该圆锥的体积为（）

4

A.nB.&）兀C.3%D.兀

3.（2021年新高考全国II卷•第5题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为

（）

A.20+1273B.2872C.5D.翌^

33

4.（2020年高考课标ni卷理科•第8题）下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（）

6

()

A.6+472B.4+4后C.6+26D.4+2若

5.（2020年浙江省高考数学试卷•第5题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位:

cn?）是（）

714

A.—B.—C.3D.6

33

6.（2022高考北京卷•第9题）已知正三棱锥P-48C的六条棱长均为6,S是△48C及其内部的点构成的

集合.设集合T={°eS|PQ<5},则T表示的区域的面积为（）

A.—B.〃C.InD.3万

4

7.（2022年高考全国甲卷数学（理）•第9题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，

侧面积分别为牖和%,体积分别为4和%.若萨=2,贝白=（）

3乙”乙

A.V5B.272C.Vi（jD.

8.（2022年高考全国甲卷数学（理）•第4题）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的

边长为1,则该多面体的体积为（）

7

A.8B.12C.16D.20

9.（2022年浙江省高考数学试题・第5题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位:

CH?)是)

)

2216

A.22TIB.8兀C.----71D.—兀

33

10.（2022新高考全国n卷•第7题）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为3石和4JJ，其顶点都

在同一球面上，则该球的表面积为

A.100兀B.128兀C.144兀D.192兀

11.（2022新高考全国I卷•第8题）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为

36〃，且3W/V3JL则该正四棱锥体积的取值范围是)

27812764

A.B.C.5D.[18,27]

44TT

12.（2022新高考全国I卷•第4题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入

8

某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，

相应水面的面积为180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔

148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为（J7土2.65）（）

A.1.0xl09m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

13.（2022年高考全国乙卷数学（理）•第9题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在

球。的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）

32〃

14.（2021高考天津•第6题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为亍，

两个圆锥的高之比为1:3,则这两个圆锥的体积之和为（）

A.3兀B.4%C.9万D.12兀

15.（2021高考北京•第4题）某四面体的三视图如图所示，该四面体的表面积为（）

侧（左）视图

俯视图

B.3+V3C.—FV3D.3+—

-1422

16.（2016高考数学北京理科•第6题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为

9

17.（2020天津高考・第5题）若棱长为26的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.B.24〃C.36%D.144%

18.（2020北京高考・第4题）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为

正（主）视图侧（左）视图

俯视图

A.6+GB.6+273C.12+73D.12+26

19.（2019•浙江・第4题）祖眶是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幕势既同，则积不容异”称为祖胞

原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式喉体=57?,其中S是柱体的底面积，是柱体的高.若某柱

体的三视图如图所示（单位：cm）,则该柱体的体积（单位：cn?）是

A.158B.162C.182D.324

10

20.（2019•上海•第14题）

一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2,将该三角形分别绕其两个直角边旋

转得到的两个圆锥的体积之比为()

A.IB.2C.4D.8

21.（2018年高考数学浙江卷・第3题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：cm3）

是（）

口

D正一图例初图

俯视图

（）

A.2B.4C.6D.8

22.（2018年高考数学课标HI卷（理）•第10题）设48,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，△45。为

等边三角形且其面积为96，则三棱锥。-48。体积的最大值为（）

23.（2014高考数学重庆理科•第7题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

11

24.（2014高考数学浙江理科•第3题）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的表面积是

()

25.（2014高考数学辽宁理科•第7题）某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为()

俯视图

26.（2014高考数学课标2理科•第6题）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是

某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的

体积与原来毛坯体积的比值为（）

A.1B.2C.3D.4

12

正视图侧视图

12

俯视图

28.（2014高考数学安徽理科•第7题）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为)

29.（2015高考数学重庆理科•第5题）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

左视图

俯视图（）

12「2c

A.卜7TB.F71C.—F27rD.—F2"

3333

30.（2015高考数学浙江理科•第2题）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是

（）

13

2

40

D.——cm3

3

31.（2015高考数学新课标2理科•第6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图,

则截去部分体积与剩余部分体积的比值为)

32.（2015高考数学新课标1理科•第11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为厂）组成一个几何体,

该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20",则厂=

33.（2015高考数学新课标1理科•第6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下

问题”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如

图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为

5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算

14

出堆放的米约有

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

34.（2015高考数学陕西理科•第5题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）

俯视图

A.3〃B.4〃C.2万+4D.3〃+4

77

35.（2015高考数学山东理科•第7题）在梯形ABCD中，ZABC=~,AD!!BC,BC=2AD=2AB=2.将

梯形48CD绕2。所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为

36.（2015高考数学湖南理科•第10题）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽

可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料

2is）

15

1

侧视图

16「4（72-I）312（V2-I）3

C.D.

971--------------------------------------71-------------------------------------71

37.（2015高考数学北京理科•第5题）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）

A.2+V5B.4+V5C.2+26D.5

38.（2015高考数学安徽理科•第7题）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）

A.1+^3B.2+-\/3

C.1+2A/2D.2V2

39.（2017年高考数学浙江文理科•第3题）某几何体的三视图如图所示（单位:cm）,则该几何体的体积（单

位:cm3）是

16

C.-3-兀--F1D.里+3

22

40.（2017年高考数学新课标I卷理科•第7题）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和

等腰直角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯

形，这些梯形的面积之和为（）

A.10B.12C.14D.16

已占

41.（2017年高考数学课标n卷理科•第4题）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体

的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

A.907rB.63〃C.42〃D.367r

17

的体积为)

43.（2016高考数学课标ni卷理科•第9题）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实现画出的是某多面体的三

44.（2016高考数学课标H卷理科•第6题）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表

面积为（）

A.20〃B.24〃C.28〃D.32〃

18

题型三：球的有关问题

1.（2021年新高考全国n卷•第4题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系

统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地

球表面的距离）.将地球看作是一个球心为。，半径:•为6400km的球，其上点/的纬度是指OA与赤道

平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为々，记卫

星信号覆盖地球表面的表面积为5=2勿2（i—cosa）（单位：km2）-则S占地球表面积的百分比约为

（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

2.（2021年高考全国甲卷理科•第11题）已如4B.C是半径为1的球。的球面上的三个点，且

AC±BC,AC=BC=1,则三棱锥0—48。的体积为（）

AV2„V3rV2„V3

121244

3.（2020年高考课标I卷理科•第10题）已知4民C为球。的球面上的三个点，。。为的外接圆，

若。。1的面积为4兀，AB=BC=AC=OOl,则球。的表面积为（）

A.6471B.48兀C.3671D.32兀

4.（2020年高考课标n卷理科•第10题）已知A42c是面积为亚的等边三角形，且其顶点都在球。的球面

4

上.若球。的表面积为16万，则O到平面N3C的距离为（）

r3V3

A.V3B.-C.1D.—

22

5.（2019・全国I•理・第12题）已知三棱锥P—25C的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,A4BC是

边长为2的正三角形，E,E分别是R4,N5的中点，ZCEF=90°,则球。的体积为（）

A.8乖）兀B.4娓兀C.2灰＞兀D.我兀

6.（2014高考数学陕西理科•第5题）已知底面边长为1,侧棱长为立则正四棱柱的各顶点均在同一个球面

上，则该球的体积为（）

19

咨

A,B.4〃C.24

3D-T

7.（2014高考数学大纲理科•第8题）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,

则该球的表面积为)

817r27兀

A.——B.16〃C.9兀D.------

44

8.（2015高考数学新课标2理科•第9题）已知48是球。的球面上两点,ZAOB=90°,C为该球面上的动

点，若三棱锥0-48。体积的最大值为36,则球。的表面积为)

A.36〃B.64〃C.144〃D.256不

/I\

一44-'一

B

/

9.（2017年高考数学课标ni卷理科•第8题）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球

的球面上，则该圆柱的体积为)

3兀7171

A.71B.—c.一D.一

424

10.（2016高考数学课标ni卷理科•第10题）在封闭的直三棱柱4BC-44。内有一个体积为厂的球，若

48=6,50=8,44]=3,则%的最大值是)

9兀32兀

A.4〃B.——C.6〃D.------

23

II.（2016高考数学课标I卷理科•第6题）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互

垂直的半径.若该几何体的体积是空工，则它的表面积是

)

3

(A)17〃(B)18〃(C)20〃(D)28万

20

题型四：线面之间的位置关系与垂直与平行

1.（2018年高考数学课标卷1（理）•第12题）已知正方体的校长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角都相

等，则1截此正方体所得截面而积的最大值为（）

3732733V2V3

4342

2.（2019•全国III•理•第8题）如图，点N为正方形的中心，△ECD为正三角形，平面平面

ABCD,M是线段EQ的中点，则

()

A.BM=EN,且直线是相交直线

B.BM手EN,且直线8M,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线是异面直线

D.BM手EN,且直线,EN是异面直线

3.（2014高考数学广东理科・第7题）若空间中四条两两不同的直线/1,/2，/3，/4，满足/1，/2，/2，/3，/34,则下

面结论一定正确的是（）

A.lx1/4B./J/%C./1/既不垂直也不平行D.4力的位置关系不确定

4.（2016高考数学浙江理科•第2题）已知互相垂直的平面a,。交于直线/.若直线也〃满足,则

（）

A.m1/1B.m/lnC.nLID.mLn

5.（2016高考数学山东理科•第6题）已知直线a,方分别在两个不同的平面火，内.贝U“直线a和直线6相

交”是“平面a和平面/3相交”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.（2022年高考全国乙卷数学（理）•第7题）在正方体中，E,尸分别为48,5。的中点，则

（）

A.平面片£/，平面BOD]B.平面用E9，平面

c.平面厚卯//平面z/CD.平面厚卯//平面4G。

7.（2019・全国II•理•第7题）设a、，为两个平面，则a〃6的充要条件是（）（）

A.a内有无数条直线与夕平行B.a内有两条相交直线与月平行

C.a,，平行于同一条直线D.a,夕垂直于同一平面

21

8.（2015高考数学安徽理科•第5题）已知加，〃是两条不同直线，a,夕是两个不同平面，则下列命题正

确的是（）

A.若a,夕垂直于同一平面，则a与6平行

B.若加，〃平行于同一平面，则加与〃平行

C.若a,力不平行，则在a内不存在与‘平行的直线

D.若m,〃不干行，则加与〃不可熊垂直于同一平面

9.（2021年高考浙江卷•第6题）如图已知正方体瓦GA，M,N分别是4。，。出的中点，贝I

（）

A.直线4。与直线Q8垂直，直线九W//平面48C。

B.直线4。与直线平行，直线平面

C.直线4。与直线相交，直线MN//平面/BCD

D.直线4。与直线"8异面，直线MN_L平面月

10.（2018年高考数学上海.第15题）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设

441是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以Z4为底面矩形的一边，

则这样的阳马的个数是()

A.4B.8B.12D.16

11.（2018年高考数学北京（理）•第5题）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个

数为

A.1B.2C.3D.4

22

12.若/为一条直线，a,仇7为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：

①a_L7,夕_1_/=>&_1_夕；②a_L/,〃///=>a_L夕；③/〃a,/_1_夕=>a_L夕.

其中正确的命题有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

13.（2014高考数学辽宁理科•第4题）已知m,n表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是

（）

A.若则加//〃B.若加_La,〃ua,则加_L〃

C.若加_La,mLn,贝！|〃//aD.若加//a,ml.n,则〃_La

题型五：空间角与空间距离

1.（2023年全国乙卷理科•第9题）已知“5C为等腰直角三角形，为斜边，为等边三角形，若

二面角为150°,则直线CD与平面48c所成角的正切值为（）

A1RV2„V3n2

5555

2.（2021年高考全国乙卷理科•第5题）在正方体48CD-481GA中，P为瓦。的中点，则直线尸8与4C\

所成的角为（）

71717171

A.一B.一C.—D.一

2346

3.（2020年新高考全国I卷（山东）•第4题）日号是中国古代用来测定时间的仪器，利用与唇面垂直的辱针投射

到劈面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球心记为。），地球上一点N的纬度是指。1与地球赤道

所在平面所成角，点/处的水平面是指过点/且与。4垂直的平面.在点/处放置一个日辱，若辱面

与赤道所在平面平行，点