黑龙江省佳木斯市第八中学2024-2025学年高三上学期开学验收考试数学试题（解析版）

佳木斯市第八中学2024-2025学年度（上）开学验收考试高三数学试题考试时间：120分钟；试卷总分：150分注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.第I卷（选择题）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得.详解】由有意义，可得，解得且.故选：D.2.下列函数中是增函数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由幂函数及指数函数的单调性，逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A，为R上的减函数，不合题意；对于B，为R上的增函数，符合题意；对于C，在为减函数，不合题意；对于D，为R上的减函数，不合题意；故选：B.3.已函数，则（）A.1 B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用函数解析式求得正确答案.【详解】，.故选：C4.已知实数满足，则的值为（）A.14 B.16 C.12 D.18【答案】A【解析】【分析】由，变形代值即可.【详解】因为，所以.故选：A.5.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的图象及性质即可求出结果.【详解】由指数函数和对数函数的图象及性质可知，则，故选：.6.幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（）A. B.或C.是奇函数 D.是偶函数【答案】C【解析】【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误.【详解】函数为幂函数，则，解得或.当时，在区间0,+∞上单调递增，不满足条件，排除A，B；所以，定义域关于原点对称，且，所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误.故选：C.7.若函数（且）过定点，且f(x)在定义域上是减函数，则的图象是A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】根据题意可以知道,计算得出,所以,又因为是减函数,所以0<a<1.此时也是单调减,且过点.所以A选项是正确的符合题意.所以A选项是正确的.8.设函数且在区间单调递减，则的取值范围是().A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复合函数的单调性及指数函数的单调性分类讨论底数计算即可.【详解】若，在0,+∞单调递增，要满足题意，则要在0,2单调递减，故，即；若，在0,+∞单调递减，要满足题意，则要在0,2单调递增，故，即，不满足综上所述：的取值范围是.故选：B.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列各组函数是同一个函数的是（）A.与B.与C.与D.与【答案】AC【解析】【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可.【详解】对于选项A：定义域为，的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确；对于选项B：的定义域为，的定义域为，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故B错误；对于选项C：的定义域，的定义域，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故C正确；对于选项D：的定义域为，的定义域为，定义域相同对应关系不同，不是同一个函数，故D错误.故选：AC.10.已知函数的定义域为，则（）A. B.C.是偶函数 D.【答案】ABD【解析】【分析】A.令求解判断；B.分别令，求解判断；C.令利用函数奇偶性定义判断；D.令求解判断.【详解】令，得，A正确.令，得，所以.令，得，所以，B正确.令，得，所以是奇函数，C错误.令，得，所以D正确.故选：ABD11.定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（）A.是周期函数 B.在（－1，1)上单调递减C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点（2，0)对称【答案】ACD【解析】【分析】对于A，利用周期的定义判断，对于B，根据题意求出在的解析式，然后判断，对于C，利用函数的周期和奇函数的性质可得，从而可求得其对称轴，对于D，利用函数的周期和奇函数的性质可得，从而可求得其对称中心【详解】对于A，因为定义在R上的奇函数满足，所以，，所以，所以是周期为4的周期函数，所以A正确，对于B，当时，，则，因为为奇函数，所以，所以，所以，所以当时，为减函数，且当时，，当时，为减函数，且当时，，所以在（－1，1)上不是单调递减，所以B错误，对于C，因为是周期为4的周期函数，所以，所以，即，所以的图象关于直线对称，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以，所以的图象关于点对称，即的图象关于点（2，0)对称，所以D正确，故答案为：ACD第II卷（非选择题）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数是上的偶函数，且当时，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据题意，由偶函数的性质，代入计算，即可得到结果.【详解】因为函数是上的偶函数，则，由当时，，则，所以.故答案为：13.已知是定义域为的奇函数，且对任意的满足，若时，有，则______.【答案】【解析】【分析】由条件可得，然后可算出答案.【详解】因为，是定义域为的奇函数，所以因为当时，有，所以所以故答案为：14.塑料袋给我们生活带来了方便，但塑料在自然界可停留长达年之久，给环境带来了很大危害，国家发改委、生态环境部等部门联合印度《关于礼实推进型科技染物理工作的通知》明确指出，年月日起，禁用不可降解的塑料袋、塑料餐具及一次性塑料吸管等，某品牌塑料袋经自然降解后残留量与时间年之间的关系为，其中为初始量，为光解系数.已知该品牌塑料袋年后残留量为初始量的.该品牌塑料袋大约需要经过______．年，其残留量为初始量的（参考数据：，）【答案】【解析】【分析】根据可得，代入，根据指对互化和对数运算法则直接求解即可.【详解】由题意知：当时，，；当时，，，.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.求下列函数解析式（1）函数满足，求函数的解析式;（2）函数满足，求函数的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）令，用换元法进行求解；（2）用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式.【小问1详解】令，则(R)，又，所以，所以函数的解析式为.【小问2详解】∵，∴用替换上式中的，得到，解方程组，得.16.计算：（1）.（2）【答案】（1）20

（2）-2【解析】【分析】根据指数运算公式以及对数运算公式即可求解。【详解】（1）=（2）=【点睛】本题考查指数与对数的运算，以及计算能力，（1）根据指数幂的运算法则求解即可。（2）根据对数运算的性质求解即可，属于基础题。17.已知函数定义域为.（1）求定义域；（2）当时，求的最值及相应的的值.【答案】（1）或（2）当时，有最大值为，无最小值.【解析】【分析】（1）根据对数函数的定义域的求法，则有求解.（2）利用换元法，令，将转化为二次函数再求解.【详解】（1）因为所以解得或所以函数的定义域为（2）令可转化为当即时，即的最大值为，无最小值.【点睛】本题主要考查了对数函数定义域的求法和二次函数求最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.已知二次函数满足(1)求函数的解析式；(2)令若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；求函数在的最小值.【答案】（1）f（x）＝﹣x2+2x+15（2）①m≤0，或m≥2②见解析【解析】【分析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x＝m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．【详解】解：（1）设f（x）＝ax2+bx+c，∵f（2）＝15，f（x+1）﹣f（x）＝﹣2x+1，∴4a+2b+c＝15；a（x+1）2+b（x+1）+c﹣（ax2+bx+c）＝﹣2x+1；∴2a＝﹣2，a+b＝1，4a+2b+c＝15，解得a＝﹣1，b＝2，c＝15，∴函数f（x）的表达式为f（x）＝﹣x2+2x+15；（2）∵g（x）＝（2﹣2m）x﹣f（x）＝x2﹣2mx﹣15的图象是开口朝上，且以x＝m为对称轴的抛物线，①若函数g（x）在x∈[0，2]上是单调函数，则m≤0，或m≥2；②当m≤0时，g（x）在[0，2]上为增函数，当x＝0时，函数g（x）取最小值﹣15；当0＜m＜2时，g（x）在[0，m]上为减函数，在[m，2]上为增函数，当x＝m时，函数g（x）取最小值﹣m2﹣15；当m≥2时，g（x）在[0，2]上为减函数，当x＝2时，函数g（x）取最小值﹣4m﹣11；∴函数g（x）在x∈[0，2]的最小值为【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．19.我们知道，函数图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（1）利用上述结论，证明：函数的图像关于成中心对称图形；（2）判断函数的单调性（无需证明），并解关于x的不等式：．【答案】（1）证明见解析（2）为减函数，答案见解析【解析】【分析】（1）由题，证明为奇函数即可；（2）由题可得为减函数，又结合（1）结论可知，后分类讨论的值解不等式即可.【小问1详解】证明：由题意，只需证明为奇函数，又，易知函数定义域为.，所以为奇函数，所以的图像关于成中心对称图形