2024年北师版初中数学知识点总结

济南中考数學知识點總結七年级上册第一章丰富的图形世界1、几何图形從实物中抽象出来的多种图形，包括立体图形和平面图形。立体图形：有些几何图形的各個部分不都在同一平面内，它們是立体图形。平面图形：有些几何图形的各個部分都在同一平面内，它們是平面图形。2、點、线、面、体（1）几何图形的构成點：线和线相交的地方是點，它是几何图形中最基本的图形。线：面和面相交的地方是线，分為直线和曲线。面：包围著体的是面，分為平面和曲面。体：几何体也简称体。（2）點動成线，线動成面，面動成体。3、生活中的立体图形圆柱柱生活中的立体图形球棱柱：三棱柱、四棱柱（長方体、正方体）、五棱柱、……(按名称分)锥圆锥棱锥4、棱柱及其有关概念：棱：在棱柱中，任何相邻两個面的交线，都叫做棱。侧棱：相邻两個侧面的交线叫做侧棱。n棱柱有两個底面，n個侧面，共（n+2）個面；3n条棱，n条侧棱；2n個顶點。5、正方体的平面展開图：11种6、截一种正方体：用一种平面去截一种正方体，截出的面也許是三角形，四边形，五边形，六边形。7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。主视图：從正面看到的图，叫做主视图。左视图：從左面看到的图，叫做左视图。俯视图：從上面看到的图，叫做俯视图。8、多边形：由某些不在同一条直线上的线段依次首尾相连构成的封闭平面图形，叫做多边形。從一种n边形的同一种顶點出发，分别连接這個顶點与其他各顶點，可以把這個n边形分割成（n-2）個三角形。弧：圆上A、B两點之间的部分叫做弧。扇形：由一条弧和通過這条弧的端點的两条半径所构成的图形叫做扇形。第二章有理数及其运算1、有理数的分类 正有理数有理数零有限小数和無限循环小数负有理数或整数有理数分数2、相反数：只有符号不一样的两個数叫做互為相反数，零的相反数是零3、数轴：规定了原點、正方向和單位長度的直线叫做数轴（画数轴時，要注意上述规定的三要素缺一不可）。任何一种有理数都可以用数轴上的一种點来表达。解題時要真正掌握数形結合的思想，并能灵活运用。4、倒数：假如a与b互為倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于自身的数是1和-1。零没有倒数。5、绝對值：在数轴上，一种数所對应的點与原點的距离，叫做该数的绝對值。（|a|≥0）。零的绝對值時它自身，也可當作它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。6、有理数比较大小：正数不小于零，负数不不小于零，正数不小于一切负数；数轴上的两個點所示的数，右边的總比左边的大；两個负数，绝對值大的反而小。7、有理数的运算：（1）五种运算：加、減、乘、除、乘方（2）有理数的运算次序先算乘方，再算乘除，最终算加減，假如有括号，就先算括号裏面的。（3）运算律加法互换律加法結合律乘法互换律乘法結合律乘法對加法的分派律字母表达数1、代数式用运算符号把数或表达数的字母连接而成的式子叫做代数式。單独的一种数或一种字母也是代数式。2、同类项所有字母相似，并且相似字母的指数也分别相似的项叫做同类项。几种常数项也是同类项。3、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。4、去括号法则（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉後，原括号裏各项的符号都不变化。（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号去掉後，原括号裏各项的符号都要变化。5、整式的运算：整式的加減法：（1）去括号；（2）合并同类项。第四章平面图形及其位置关系1、线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两個端點。2、射线：将线段向一种方向無限延長就形成了射线。射线有一种端點。3、直线：将线段向两個方向無限延長就形成了直线。直线没有端點。4、點、直线、射线和线段的表达在几何裏，我們常用字母表达图形。一种點可以用一种大写字母表达。一条直线可以用一种小写字母表达或用直线上两個點的大写字母表达。一条射线可以用一种小写字母表达或用端點和射线上另一點来表达（端點字母写在前面）。一条线段可以用一种小写字母表达或用它的端點的两個大写字母来表达。5、點和直线的位置关系有两种：①點在直线上，或者說直线通過這個點。②點在直线外，或者說直线不通過這個點。6、直线的性质（1）直线公理：通過两個點有且只有一条直线。（2）過一點的直线有無数条。（3）直线是是向两方面無限延伸的，無端點，不可度量，不能比较大小。（4）直线上有無穷多种點。（5）两条不一样的直线至多有一种公共點。7、线段的性质（1）线段公理：两點之间的所有连线中，线段最短。（2）两點之间的距离：两點之间线段的長度，叫做這两點之间的距离。（3）线段的中點到两端點的距离相等。（4）线段的大小关系和它們的長度的大小关系是一致的。8、线段的中點：點M把线段AB提成相等的两条相等的线段AM与BM，點M叫做线段AB的中點。9、角：有公共端點的两条射线构成的图形叫做角，两条射线的公共端點叫做這個角的顶點，這两条射线叫做這個角的边。或：角也可以當作是一条射线绕著它的端點旋转而成的。10、平角和周角：一条射线绕著它的端點旋转，當终边和始边成一条直线時，所形成的角叫做平角。终边继续旋转，當它又和始边重叠時，所形成的角叫做周角。11、角的表达角的表达措施有如下四种：①用数字表达單独的角，如∠1，∠2，∠3等。②用小写的希腊字母表达單独的一种角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。③用一种大写英文字母表达一种独立（在一种顶點处只有一种角）的角，如∠B，∠C等。④用三個大写英文字母表达任一种角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。注意：用三個大写英文字母表达角時，一定要把顶點字母写在中间，边上的字母写在两侧。12、角的度量角的度量有如下规定：把一种平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表达，1度记作“1°”，n度记作“n°”。把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。把1’的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””1°=60’，1’13、角的性质（1）角的大小与边的長短無关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。（2）角的大小可以度量，可以比较（3）角可以参与运算。14、角的平分线從一种角的顶點引出的一条射线，把這個角提成两個相等的角，這条射线叫做這個角的平分线。15、平行线：在同一种平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表达，如“AB∥CD”，讀作“AB平行于CD”。注意：（1）平行线是無限延伸的，無论怎样延伸也不相交。（2）當碰到线段、射线平行時，指的是线段、射线所在的直线平行。16、平行线公理及其推论平行公理：通過直线外一點，有且只有一条直线与這条直线平行。推论：假如两条直线都和第三条直线平行，那么這两条直线也互相平行。补充平行线的鉴定措施：（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。17、垂直：两条直线相交成直角，就說這两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它們的交點叫做垂足。直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，讀作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。18、垂线的性质：性质1：平面内，過一點有且只有一条直线与已知直线垂直。性质2：直线外一點与直线上各點连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。19、點到直线的距离：過A點作l的垂线，垂足為B點，线段AB的長度叫做點A到直线l的距离。20、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行。第五章一元一次方程1、方程具有未知数的等式叫做方程。2、方程的解能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。3、等式的性质（1）等式的两边同步加上（或減去）同一种代数式，所得成果仍是等式。（2）等式的两边同步乘以同一种数（（或除以同一种不為0的数），所得成果仍是等式。4、一元一次方程只具有一种未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。5、解一元一次方程的一般环节：（1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项变化符号後，從方程的一边移到另一边，這种变形叫移项。）（4）合并同类项（5）将未知数的系数化為1第六章生活中的数据1、科學记数法一般地，一种不小于10的数可以表到达的形式，其中，n是正整数，這种记数措施叫做科學记数法。2、扇形记录图及其画法：扇形记录图：运用圆与扇形来表达總体与部分的关系，即圆代表總体，圆中的各個扇形分别代表總体中的不一样部分，扇形的大小反应部分占總体的比例的大小，這样的记录图叫做扇形记录图。画法：（1）计算不一样部分占總体的比例（在扇形中，每部分占總体的比例等于该部分所對应的扇形圆心角的度数与360的比）。（2）计算各個扇形的圆心角（顶點在圆心的角叫做圆心角）的度数。（3）在圆中画出各個扇形，并標上比例。3、多种记录图的优缺陷条形记录图：能清晰地表达出每個项目的详细数目。折线记录图：能清晰地反应事物的变化状况。扇形记录图：能清晰地表达出各部分在總体中所占的比例。也許性1、确定事件和不确定事件(1)、确定事件必然事件：生活中，有些事情我們事先能肯定它一定會发生，這些事情称為必然事件。不也許事件：有些事情我們事先能肯定它一定不會发生，這些事情称為不也許事件。(2)、不确定事件：有些事情我們事先無法肯定它會不會发生，這些事情称為不确定事件(3)、必然事件确定事件事件不也許事件不确定事件2、不确定事件发生的也許性一般地，不确定事件发生的也許性是有大小的。必然事件发生的也許性是1不也許事件发生的也許性是0北師大版七年级数學下册知识點归纳第一章整式运算知识點（一）概念应用1、單项式和多项式统称為整式。單项式有三种：單独的字母（a,-w等）；單独的数字（125，，3.25，-14562等）；数字与字母乘积的一般形式（-2s,,等）。2、單项式的系数是指数字部分，如的系数是(注意系数部分应包括，由于是常数）；單项式的次数是它所有字母的指数和（记住不包括数字和的指数），如次数是8。3、多项式：几种單项式的和叫做多项式。4、多项式的特殊形式：等。5、一种多项式次数最高的项的次数叫做這個多项式的次数。如是3次3项式。6、單独的一种非零数的次数是0。知识點（二）公式应用1、(m,n都是正整数）如。拓展运用如已知=2,=8,求。解：=2×8=16.2、(m,n都是正整数）如拓展应用。若，则。3、(n是正整数)拓展运用。4、(a不為0，m,n都為正整数，且m不小于n)。拓展应用如若，，则。5、；，是正整数)。如6、平方差公式a為相似项，b為相反项。如7、完全平方公式逆用：如8、应用式：两位数10a＋b三位数100a＋10b＋c。9、單项式与多项式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc。10、、多项式与多项式相乘：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb。11、多项式除以單项式的法则:12、常用变形：知识點（三）运算：1、常見误区：1、（）；2、（）；3、（）；4、（）；5、（）；6、（）；7、（）；8、（）；9、（1），（1）；10、（）；11、（）；12、（）。2、简便运算：①公式类②平方差公式③完全平方公式第二章平行线与相交线知识點(一)理论1、若∠1+∠2=90，则∠1与∠2互余。若∠3+∠4=180，则∠3与∠4互补。2、同角的余角相等若∠1+∠2=90，∠2+∠4=90.则∠1=∠4等角的余角相等若∠1+∠2=90，∠3+∠4=90.∠1=∠3则∠2=∠4同角的补角相等若∠1+∠2=180，∠2+∠4=180.则∠1=∠4等角的补角相等若∠1+∠2=180，∠3+∠4=180.∠1=∠3则∠2=∠43、對顶角（1）、两条直线相交成四個角，其中不相邻的两個角是對顶角。（2）、一种角的两边分别是另一种角的两边的反向延長线，這两個角叫做對顶角。（3）、對顶角的性质：對顶角相等。4、同位角、内錯角、同旁内角（1）、两条直线被第三条直线所截，形成了8個角。形成4對同位角，2對内錯角，2對同旁内角（2）、同位角：两個角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，這样的一對角叫做同位角。（3）、内錯角：两個角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，這样的一對角叫做内錯角。(4)、同旁内角：两個角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，這样的一對角叫同旁内角。5、平行线的鉴定措施（1）、同位角相等，两直线平行。（2）、内錯角相等，两直线平行。（3）、同旁内角互补，两直线平行。（4）、在同一平面内，假如两条直线都平行于第三条直线，那么這两条直线平行。（简称為：平行于同一直线的两直线平行）（5）、在同一平面内，假如两条直线都垂直于第三条直线，那么這两条直线平行（简称為：垂直于同一直线的两直线平行）6、尺规作线段和角（1）、在几何裏，只用没有刻度的直尺和圆规作图称為尺规作图。（2）、尺规作图是最基本、最常見的作图措施，一般叫基本作图。知识點（二）1、方位問題①若從A點看B是北偏東20，则從B看A是南偏西20.（南北相對；東西相對，数值不变）；DN②從甲地到乙地，通過两次拐弯若方向不变，则两次拐向相反，角相等；若方向相反，则两次拐向相似，角互补。DNC2、光反射問題C如图若光线AO沿OB被镜面反射则BA∠AOC=∠BOD∠AON=∠BON.BA第三章生活中的数据知识點一、單位换算1、長度單位：（1）百萬分之壹米又称微米，即1微米=10-6米（2）10亿分之壹米又称纳米，即1纳米=10-9米。（3）1微米=103（4）1米=10分米=100厘米=103毫米=106微米=102、面积單位：（1）10-6仟米2=1米2=102分米2=104厘米2=106毫米2=1012微米23、质量單位（1）1吨=103公斤=二、科學计数法1、用科學计数法表达绝對值不不小于1的较小数据時，可以表达為a×10n的形式，其中1≤〡a〡<10,n為负整数，2、用科學计数法表达绝對值较大数据時，可以表达為a×10n的形式，其中1≤〡a〡<10,n為正整数，三、近似数与精确数例如：考范围題目：近似数X=2.8,则X的范围是近似数X=4.0,则X的范围是（规律：左边為最终一位数字減5，且有等号，右边為最终一位数字背面多写一种数字5，且没有等号）四、有效数字1、對于一种近似数，從左边第一种不為零的数字起，到精确到的数位為止，所有的数字都叫這個数的有效数字。2、對于科學计数法型的近似数，由a×10n（1≤〡a〡<10）中的a来确定，a的有效数字就是這個近似数的有效数字。与×10n無关。五、近似数的精确度1、近似数的精确度是近似数精确的程度。2、近似数四舍五入到哪一位，就說這個近似数精确到哪一位。3、精确度是由该近似数的最终一位有效数字在该数中所处的位置决定的。例如：2.10萬精确到位，有效数字個，分别是精确到位，有效数字個，分别是六、记录图（表）1、条形记录图：能清晰地表达出每個项目的详细数目。2、折线记录图：能清晰地反应事物的变化状况。3、扇形记录图：能清晰地表达出各部分在總体中所占的比例。4、象形记录图：能直观地反应数据之间的意义。第四章概率知识點一、事件:1、事件分為必然事件、不也許事件、不确定事件。2、必然事件：事先就能肯定一定會发生的事件。也就是指该事件每次一定发生，不也許不发生，即发生的也許是100%（或1）。3、不也許事件：事先就能肯定一定不會发生的事件。也就是指该事件每次都完全没有机會发生，即发生的也許性為零。4、不确定事件：事先無法肯定會不會发生的事件，也就是說该事件也許发生，也也許不发生，即发生的也許性在0和1之间。二、等也許性：是指几种事件发生的也許性相等。1、概率：是反应事件发生的也許性的大小的量，它是一种比例数，一般用P来表达，P（A）=事件A也許出現的成果数/所有也許出現的成果数。2、必然事件发生的概率為1，记作P（必然事件）=1；3、不也許事件发生的概率為0，记作P（不也許事件）=0；4、不确定事件发生的概率在0—1之间，记作0<P（不确定事件）<1。5、概率的计算：（1）直接数数法：即直接数出所有也許出現的成果的總数n，再数出事件A也許出現的成果数m，运用概率公式直接得出事件A的概率。（2）對于较复杂的題目，我們可采用“列表法”或画“树状图法”。四、几何概率1、事件A发生的概率等于此事件A发生的也許成果所构成的面积（用SA表达）除以所有也許成果构成图形的面积（用S全表达），因此几何概率公式可表达為P（A）=SA/S全，這是由于事件发生在每個單位面积上的概率是相似的。2、求几何概率：（1）首先分析事件所占的面积与總面积的关系；（2）然後计算出各部分的面积；（3）最终裔入公式求出几何概率。第五章三角形知识點一理论整顿。1、三角形→由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形。2、判断三条线段能否构成三角形。①a+b>c（ab為最短的两条线段）②a-b<c（ab為最長的两条线段）3、第三边取值范围：a－b<c<a＋b如两边分别是5和8则第三边取值范围為3<x<13.4、對应周長取值范围若两边分别為a,b则周長的取值范围是2a<L<2(a＋b)a為较長边。如两边分别為5和7则周長的取值范围是14<L<24.5、三角形中三角的关系（1）、三角形内角和定理：三角形的三個内角的和等于1800。n边行内角和公式（n-2）（2）、三角形按内角的大小可分為三类：（1）锐角三角形，即三角形的三個内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一种内角是直角的三角形，我們一般用“RtΔ”表达“直角三角形”,其中直角∠C所對的边AB称為直角三角表的斜边，夹直角的两边称為直角三角形的直角边。注：直角三角形的性质：直角三角形的两個锐角互余。（3）钝角三角形，即有一种内角是钝角的三角形。（3）、鉴定一种三角形的形状重要看三角形中最大角的度数。（4）、直角三角形的面积等于两直角边乘积的二分之一。6、三角形的三条重要线段（1）、三角形的角平分线：1、三角形的一种内角的平分线与這個角的對边相交，這個角的顶點和交點之间的线段叫做三角形的角平分线。2、任意三角形均有三条角平分线，并且它們相交于三角形内一點。（内心）（2）、三角形的中线：1、在三角形中，连接一种顶點与它對边中點的线段，叫做這個三角形的中线。2、三角形有三条中线，它們相交于三角形内一點。（重心）3、三角形的中线把這個三角形提成面积相等的两個三角形（3）、三角形的高线：（1）從三角形的一种顶點向它的對边所在的直线做垂线，顶點和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称為三角形的高。（2）任意三角形均有三条高线，它們所在的直线相交于一點。（垂心）（3）注意等底等高知识的考试7、有关命題：1、三角形中最多有1個直角或钝角，最多有3個锐角，至少有2個锐角。2、锐角三角形中最大的锐角的取值范围是60≤X<90。最大锐角不不不小于60度。3、任意一种三角形两角平分线的夹角=90＋第三角的二分之一。4、钝角三角形有两条高在外部。5、全等图形的大小（面积、周長）、形状都相似。6、面积相等的两個三角形不一定是全等图形。7、可以完全重叠的两個图形是全等图形。8、三角形具有稳定性。9、三条边分别對应相等的两個三角形全等。10、三個角對应相等的两個三角形不一定全等。11、两個等边三角形不一定全等。12、两角及一边對应相等的两個三角形全等。13、两边及一角對应相等的两個三角形不一定全等。14、两边及它們的夹角對应相等的两個三角形全等。15、两条直角边對应相等的两個直角三角形全等。16、一条斜边和一直角边對应相等的两個三角形全等。17、一种锐角和一边（直角边或斜边）對应相等的两個三角形全等。18、一角和一边對应相等的两個直角三角形不一定全等。19、有一种角是60的等腰三角形是等边三角形。8、全等图形1、两個可以重叠的图形称為全等图形。2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相似。9、全等三角形1、可以重叠的两個三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，讀作“全等于”。2、用“≌”连接的两個全等三角形，表达對应顶點的字母写在對应的位置上。10、全等三角形的鉴定1、三边對应相等的两個三角形全等，简写為“边边边”或“SSS”。2、两角和它們的夹边對应相等的两個三角形全等，简写為“角边角”或“ASA”。3、两角和其中一角的對边對应相等的两個三角形全等，简写為“角角边”或“AAS”。4、两边和它們的夹角對应相等的两個三角形全等，简写為“边角边”或“SAS”。11、做三角形（3种做法：已知两边及夹角、已知两角及夹边、已知三边、已知两角及一边可以转化為已知已知两角及夹边）。12、运用三角形全等测距离;13、、直角三角形全等的条件：在直角三角形中，斜边和一条直角边對应相等的两個直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。第六章变量之间的关系一理论理解1、若Y随X的变化而变化，则X是自变量Y是因变量。自变量是积极发生变化的量，因变量是伴随自变量的变化而发生变化的量，数值保持不变的量叫做常量。自变量因变量联络1、两者都是某一過程中的变量；2、两者因研究的侧重點或先後次序不一样可以互相转化。区别先发生变化或自主发生变化的量後发生变化或随自变量变化而变化的量2、能确定变量之间的关系式：有关公式①旅程=速度×時间②長方形周長=2×（長＋宽）③梯形面积=（上底＋下底）×高÷2④本息和=本金＋利率×本金×時间。⑤總价=單价×總量。⑥平均速度=總旅程÷總時间3、若等腰三角形顶角是y，底角是x，那么y与x的关系式為y=180-2x.二、列表法：采用数表相結合的形式，运用表格可以表达两個变量之间的关系。列表時要选用能代表自变量的某些数据，并按從小到大的次序列出，再分别求出因变量的對应值。列表法最大的特點是直观，可以直接從表中找出自变量与因变量的對应值，但缺陷是具有局限性，只能表达因变量的一部分。

三.关系式法：关系式是运用数學式子来表达变量之间关系的等式，运用关系式，可以根据任何一种自变量的值求出對应的因变量的值，也可以已知因变量的值求出對应的自变量的值。四、图像注意：a.认真理解图象的含义，注意选择一种能反应題意的图象；b.從横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊點的含义（坐標），尤其是图像的起點、拐點、交點八、事物变化趋势的描述：對事物变化趋势的描述一般有两种：1.伴随自变量x的逐渐增長（大），因变量y逐渐增長（大）（或者用函数語言描述也可：因变量y伴随自变量x的增長（大）而增長（大））；2.伴随自变量x的逐渐增長（大），因变量y逐渐減小（或者用函数語言描述也可：因变量y伴随自变量x的增長（大）而減小）.注意：假如在整個過程中事物的变化趋势不一样样，可以采用分段描述.例如在什么范围内伴随自变量x的逐渐增長（大），因变量y逐渐增長（大）等等.九、估计（或者估算）對事物的估计（或者估算）有三种：1.运用事物的变化规律進行估计（或者估算）.例如：自变量x每增長一定量，因变量y的变化状况；平均每次（年）的变化状况（平均每次的变化量=（尾数－首数）/次数或相差年数）等等；2.运用图象：首先根据若干個對应组值，作出對应的图象，再在图象上找到對应的點對应的因变量y的值；3.运用关系式：首先求出关系式，然後直接代入求值即可.第七章生活中的轴對称1、轴對称图形：假如一种图形沿一条直线折叠後，直线两旁的部分可以完全重叠，那么這個图形叫做轴對称图形，這条直线叫做對称轴。2、轴對称：對于两個图形，假如沿一条直线對折後，它們能互相重叠，那么称這两個图形成轴對称，這条直线就是對称轴。可以說成：這两個图形有关某条直线對称。3、轴對称图形与轴對称的区别：轴對称图形是一种图形，轴對称是两個图形的关系。联络：它們都是图形沿某直线折叠可以互相重叠。2、成轴對称的两個图形一定全等。3、全等的两個图形不一定成轴對称。4、對称轴是直线。5、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的對称轴。2、性质：角平分线上的點到這個角的两边的距离相等。6、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分這条线段的直线叫做這条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。2、性质：线段垂直平分线上的點到這条线段两端點的距离相等。7、轴對称图形有：EOEOA8、等腰三角形性质：AC①两個底角相等。②两個条边相等。③“三线合一”。④底边上的高、中线、顶角的平分线所在直线是它的對称轴。C9、①“等角對等边”∵∠B=∠C∴AB=ACA②“等边對等角”∵AB=AC∴∠B=∠CA10、角平分线性质：CBFD角平分线上的點到角两边的距离相等。CBFD∵OA平分∠CADOE⊥AC,OF⊥AD∴OE=OF11、垂直平分线性质：垂直平分线上的點到线段两端點的距离相等。∵OC垂直平分AB∴AC=BCC12、轴對称的性质C1、两個图形沿一条直线對折後，可以重叠的點称為對应點（對称點），可以重叠的线段称為對应线段，可以重叠的角称為對应角。2、有关某条直线對称的两個图形是全等图形。2、假如两個图形有关某条直线對称，那么對应點所连的线段被對称轴垂直平分。3、假如两個图形有关某条直线對称，那么對应线段、對应角都相等。13、镜面對称1.當物体正對镜面摆放時，镜面會变化它的左右方向；2.當垂直于镜面摆放時，镜面會变化它的上下方向；3.假如是轴對称图形，當對称轴与镜面平行時，其镜子中影像与原图同样；學生通過讨论，也許會找出如下处理物体与像之间互相转化問題的措施：（1）运用镜子照(注意镜子的位置摆放)；（2）运用轴對称性质；（3）可以把数字左右颠倒，或做简朴的轴對称图形；（4）可以看像的背面；（5）根据前面的結论在頭脑中想象。北師大版初中数學八年级上册知识點汇總第一章勾股定理※勾股定理：直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。即：。勾股定理逆定理：假如三角形的三边長a，b，c满足，那么這個三角形是直角三角形。满足条件的三個正整数，称為勾股数。常見的勾股数组有：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（8，15，17）；（9，40，41）；（20，21，29）；……（這些勾股数组的倍数仍是勾股数）第二章实数1．※平方根和算术平方根的概念及其性质：（1）概念：假如，那么是的平方根，记作：；其中叫做的算术平方根。（2）性质：①當≥0時，≥0；當＜０時，無意义；②＝；③。2．立方根的概念及其性质：（1）概念：若，那么是的立方根，记作：；（2）性质：①；②；③＝3．※实数的概念及其分类：（1）概念：实数是有理数和無理数的统称；（2）分类：按定义分為有理数可分為整数的分数；按性质分為正数、负数和零。無理数就是無限不循环小数；小数可分為有限小数、無限循环小数和無限不循环小数；其中有限小数和無限循环小数称為分数。4．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝對值的意义与有理数范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。每一种实数都可以用数轴上的一种點来表达；反過来，数轴上的每一种點都表达一种实数，即实数和数轴上的點是一一對应的。因此，数轴恰好可以被实数填满。图形的平移与旋转平移：在平面内，将一种图形沿某個方向移動一定距离，這样的图形运動称為平移。平移的基本性质：通過平移，對应线段、對应角分别相等；對应點所连的线段平行且相等。旋转：在平面内，将一种图形绕一种定點沿某個方向转動一种角度，這样的图形运動称為旋转。這個定點叫旋转中心，转動的角度叫旋转角。旋转的性质：旋转後的图形与原图形的大小和形状相似；旋转前後两個图形的對应點到旋转中心的距离相等；對应點到旋转中心的连线所成的角度彼此相等。第四章四平边形性质探索※平行四边的定义：两线對边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶點连成的线段叫做它的對角线。※平行四边形的性质：平行四边形的對边相等,對角相等,對角线互相平分。※平行四边形的鉴别措施：两组對边分别平行的四边形是平行四边形。两组對边分别相等的四边形是平行四边形。一组對边平行且相等的四边形是平行四边形。两组對角分别相等的四边形是平行四边形。两条對角线互相平分的四边形是平行四边形。※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两點到另一条直线的距离相等。這個距离称為平行线之间的距离。※菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条對角线互相垂直平分,每一条對角线平分一组對角。菱形是轴對称图形，每条對角线所在的直线都是對称轴。※菱形的鉴别措施：一组邻边相等的平行四边形是菱形。對角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。※矩形的定义：有一种角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且對角线相等，四個角都是直角。（矩形是轴對称图形，有两条對称轴）※矩形的鉴定：有一种内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。對角线相等的平行四边形是矩形。四個角都相等的四边形是矩形。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的二分之一。※正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴對称图形，有两条對称轴）※正方形常用的鉴定：有一种内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；對角线相等的菱形是正方形；對角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组對边平行且另一组對边不平行的四边形叫做梯形。※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两個内角相等，對角线相等。同一底上的两個内角相等的梯形是等腰梯形。※多边形内角和：n边形的内角和等于（n－2）·180°※多边形的外角和都等于360°※在平面内，一种图形绕某個點旋转180°，假如旋转前後的图形互相重叠，那么這個图開叫做中心對称图形。※中心對称图形上的每一對對应點所连成的线段被對称中心平分。第五章位置确实定※平面直角坐標系概念：在平面内，两条互相垂直且有公共原點的数轴构成平面直角坐標系，水平的数轴叫x轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交點O称為原點。※點的坐標：在平面内一點P，過P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上對应的数a、b分别叫P點的横坐標和纵坐標，则有序实数對（a、b）叫做P點的坐標。※怎样根据已知条件建立合适的直角坐標系？根据已知条件建立坐標系的规定是尽量使计算以便，一般地没有明确的措施，但有如下几条常用的措施：①以某已知點為原點，使它坐標為（0,0）；②以图形中某线段所在直线為x轴（或y轴）；③以已知线段中點為原點；④以两直线交點為原點；⑤运用图形的轴對称性以對称轴為y轴等。※图形“纵横向伸缩”的变化规律:A、将图形上各個點的坐標的纵坐標不变，而横坐標分别变成本来的n倍時，所得的图形比本来的图形在横向：①當n>1時，伸長為本来的n倍；②當0<n<1時，压缩為本来的n倍。B、将图形上各個點的坐標的横坐標不变，而纵坐標分别变成本来的n倍時，所得的图形比本来的图形在纵向：①當n>1時，伸長為本来的n倍；②當0<n<1時，压缩為本来的n倍。※图形“纵横向位置”的变化规律:A、将图形上各個點的坐標的纵坐標不变，而横坐標分别加上a，所得的图形形状、大小不变，而位置向右（a>0）或向左(a<0)平移了|a|個單位。B、将图形上各個點的坐標的横坐標不变，而纵坐標分别加上b，所得的图形形状、大小不变，而位置向上（b>0）或向下(b<0)平移了|b|個單位。※图形“倒转与對称”的变化规律:A、将图形上各個點的横坐標不变，纵坐標分别乘以-1，所得的图形与本来的图形有关x轴對称。B、将图形上各個點的纵坐標不变，横坐標分别乘以-1，所得的图形与本来的图形有关y轴對称。※图形“扩大与缩小”的变化规律:将图形上各個點的纵、横坐標分别变本来的n倍（n>0），所得的图形与原图形相比，形状不变；①當n>1時，對应线段大小扩大到本来的n倍；②當0<n<1時，對应线段大小缩小到本来的n倍。第六章一次函数※一次函数：若两個变量x,y间的关系式可以表到达y=kx+b(k≠0)的形式,则称y是x的一次函数(x為自变量,y為因变量)。尤其地,當b=0時,称y是x的正比例函数。※正比例函数y=kx的图象是通過原點(0,0)的一条直线。一次函数图像的性质：當k>0時,y随x的增大而增大;當k<0時,y随x的增大而減小。第七章二元一次方程组※具有两個未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。两個一次方程所构成的一组方程叫做二元一次方程组。※解二元一次方程组：①代入消元法；②加減消元法（無论是代入消元法還是加減消元法，其目的都是将“二元一次方程”变為“一元一次方程”，所谓之“消元”）※在运用方程来解应用題時，重要分為两個环节：①设未知数（在设未知数時，大多数状况只要设問題為x或y；但也有時也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，題目中會具有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。处理問題的過程可以深入概括為：第八章数据的代表※加权平均数：一组数据的权分加為，则称為這n個数的加权平均数。（如：對某同學的数學、語文、科學三科的考察，成绩分别為72，50，88，而三项成绩的“权”分别為4、3、1，则加权平均数為：）※中位数：一般地，n個数据按大小次序排列，处在最中间位置的一种数据（或最中间两個数据的平均数）叫做這组数据的中位数。※众数：一组数据中出現次数最多的那個数据叫做這组数据的众数。※众数著眼于對各数据出現次数的考察，中位数首先要将数据按大小次序排列，并且要注意當数据個数為奇数時，中间的那個数据就是中位数；當数据個数為偶数時，居于中间的两個数据的平均数才是中位数，尤其要注意一组数据的平均数和中位数是唯一的，但众数则不一定是唯一的。北師大版八年级数學下册各章知识要點總結第一章一元一次不等式和一元一次不等式组一、一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.2、不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集.3、求不等式解集的過程叫解不等式.4、由几种一元一次不等式组所构成的不等式组叫做一元一次不等式组5、不等式组的解集:一元一次不等式组各個不等式的解集的公共部分。6、等式基本性质1：在等式的两边都加上（或減去）同一种数或整式，所得的成果仍是等式.基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一种数(除数不為0)，所得的成果仍是等式.二、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或減去）同一种整式，不等号的方向不变.（注：移项要变号，但不等号不变。）性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一种正数，不等号的方向不变.性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一种负数，不等号的方向变化.不等式的基本性质<1>、若a>b,则ac>bc；<2>、若a>b,c>0则ac>bc，若c<0,则ac<bc不等式的其他性质：反射性：若a>b,则b<a;传递性:若a>b,且b>c,则a>c三、解不等式的环节:1、去分母;2、去括号;3、移项、合并同类项;4、系数化為1。四、解不等式组的环节:1、解出不等式的解集。2、在同一数轴表达不等式的解集。3、写出不等式组的解集。五、列一元一次不等式组解实际問題的一般环节：（1）审題；（2）设未知数，找（不等量）关系式；（3）设元，(根据不等量)关系式列不等式(组)（4）解不等式组；检查并作答。六、常考題型：1、求4x-6<7x-12的非负数解.2、已知3(x-a)=x-a+1的解适合2(x-5)<8a,求a的范围.3、當m取何值時，3x+m-2(m+2)=3m+x的解在-5和5之间。第二章分解因式一、公式：1、ma+mb+mc=m(a+b+c)2、3、二、把一种多项式化成几种整式的积的形式，這种变形叫做把這個多项式分解因式。1、把几种整式的积化成一种多项式的形式，是乘法运算.2、把一种多项式化成几种整式的积的形式，是因式分解.3、ma+mb+mc=m（a+b+c）4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。三、把多项式的各项都具有的相似因式，叫做這個多项式的各项的公因式.提公因式法分解因式就是把一种多项式化成單项式与多项式相乘的形式.找公因式的一般环节：（1）若各项系数是整系数，取系数的最大公约数；（2）取相似的字母，字母的指数取较低的；（3）取相似的多项式，多项式的指数取较低的.（4）所有這些因式的乘积即為公因式.四、分解因式的一般环节為:（1）若有“-”先提取“-”，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特點,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一种多项式都要分解到不能再分解為止.五、形如或的式子称為完全平方式.六、分解因式的措施：1、提公因式法。2、运用公式法。第三章分式注：1°對于任意一种分式，分母都不能為零.2°分式与整式不一样的是：分式的分母中具有字母，整式的分母中不含字母.3°分式的值為零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。（中B≠0時，分式故意义；分式中，當B=0分式無意义；當A=0且B≠0時，分式的值為零。）常考知识點：1、分式的意义,分式的化简。2、分式的加減乘除运算。3、分式方程的解法及其运用分式方程解应用題。第四章相似图形比例定义：表达两個比相等的式子叫比例.1、假如a与b的比值和c与d的比值相等，那么或a∶b=c∶d,這時构成比例的四個数a,b,c,d叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a、d為外项，c、b為内项.2、假如选用同一种長度單位量得两条线段AB、CD的長度分别是m、n，那么就說這两条线段的比（ratio）AB∶CD=m∶n，或写成，其中，线段AB、CD分别叫做這两個线段比的前项和後项.3、假如把表到达比值k，则k或AB=k•CD.4、四条线段a,b,c,d中，假如a与b的比等于c与d的比，即,那么這四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段.5、黄金分割的定义：在线段AB上，點C把线段AB提成两条线段AC和BC，假如,那么称线段AB被點C黄金分割（goldensection）,點C叫做线段AB的黄金分割點，AC与AB的比叫做黄金比.其中AC∶AB≈0.618.6、引理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边對应成比例.相似三角形：三角對应相等，三边對应成比例的两個三角形叫做相似三角形.相似多边形：各角對应相等、各边對应成比例的两個多边形叫做相似多边形。相似比：相似多边形對应边的比叫做相似比.二、比例的基本性质：1、若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么。假如（b,d都不為0），那么ad=bc.2、合比性质：假如,那么。3、等比性质：假如（b+d++n≠0），那么。4、更比性质：若，那么。5、反比性质：若，那么。三、求两条线段的比時要注意的問題：（1）两条线段的長度必须用同一長度單位表达，假如單位長度不一样，应先化成同一單位，再求它們的比；（2）两条线段的比，没有長度單位，它与所采用的長度單位無关；（3）两条线段的長度都是正数，因此两条线段的比值總是正数.四、相似三角形（多边形）的性质：1、相似三角形對应角相等，對应边成比例,相似三角形對应高的比、對应角平分线的比和對应中线的比都等于相似比。2、相似多边形的周長比等于相似比，面积比等于相似比的平方.五、全等三角形的鉴定措施有：ASA，AAS，SAS，SSS，直角三角形除此之外再加HL六、相似三角形的鉴定措施：1.三边對应成比例的两個三角形相似；2.两角對应相等的两個三角形相似；3.两边對应成比例且夹角相等；4.定义法:對应角相等，對应边成比例的两個三角形相似。5、定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延長线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。七、在特殊的三角形中，有的相似，有的不相似.1、两個全等三角形一定相似.2、两個等腰直角三角形一定相似.3、两個等边三角形一定相似.4、两個直角三角形和两個等腰三角形不一定相似.八、假如两個图形不仅是相似图形，并且每组對应點所在的直线都通過同一种點，那么這样的两個图形叫做位似图形。這個點叫位似中心，這時的相似比又称為位似比。位似图形上任意一對對应點到位似中心的距离之比等于位似比。九、常考知识點：1、比例的基本性质，黄金分割比，位似图形的性质。2、相似三角形的性质及鉴定。相似多边形的性质。第五章数据的搜集与处理（1）普查的定义：這种為了一定目的而對考察對象進行的全面调查，称為普查.（2）總体：其中所要考察對象的全体称為總体。（3）個体：构成總体的每個考察對象称為個体（4）抽样调查：（samplinginvestigation）：從總体中抽取部分個体進行调查,這种调查称為抽样调查.（5）样本（sample）：其中從總体中抽取的一部分個体叫做總体的一种样本。（6）當總体中的個体数目较多時，為了节省時间、人力、物力，可采用抽样调查.為了获得较為精确的调查成果，抽样時要注意样本的代表性和广泛性.還要注意关注样本的大小.（7）我們称每個對象出現的次数為频数。而每個對象出現的次数与總次数的比值為频率。（8）数据波動的记录量：极差：指一组数据中最大数据与最小数据的差。方差：是各個数据与平均数之差的平方的平均数。原则差：方差的算术平方根。规定：识记其计算公式。一组数据的极差，方差或原则差越小，這组数据就越稳定。還要懂得平均数，众数，中位数的定义。刻画平均水平用：平均数，众数，中位数。刻画离散程度用：极差，方差，原则差。常考知识點：1、作频数分布表，作频数分布直方图。2、运用方差比较数据的稳定性。3、平均数，中位数，众数，极差，方差，原则差的求法。4、频率，样本的定义第六章证明一、對事情作出判断的句子，就叫做命題.即：命題是判断一件事情的句子。一般状况下：疑問句不是命題.图形的作法不是命題.每個命題均有条件（condition）和結论（conclusion）两部分构成.条件是已知的事项，結论是由已知事项推断出的事项.一般地，命題都可以写成“假如……，那么……”的形式.其中“假如”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是結论.要阐明一种命題是一种假命題，一般可以举出一种例子，使它具有命題的条件，而不具有命題的結论.這种例子称為反例。二、三角形内角和定理：三角形三個内角的和等于180度。1、证明三角形内角和定理的思绪是将原三角形中的三個角“凑”到一起构成一种平角.一般需要作辅助线.既可以作平行线，也可以作一种角等于三角形中的一种角.2、三角形的外角与它相邻的内角是互為补角.三、三角形的外角与它不相邻的内角关系是：（1）三角形的一种外角等于和它不相邻的两個内角的和.（2）三角形的一种外角不小于任何一种和它不相邻的内角.四、证明一种命題是真命題的基本环节是：（1）根据題意，画出图形.（2）根据条件、結论，結合图形，写出已知、求证.（3）通過度析，找出由已知推出求证的途径，写出证明過程.在证明時注意：(1)在一般状况下，分析的過程不规定写出来.(2)证明中的每一步推理都要有根据。假如两直线都和第三条直线平行，那么這两条直线也互相平行。(3)所對的直角边是斜边的二分之一。斜边上的高是斜边的二分之一。常考知识點：1、三角形的内角和定理，及三角形外角定理。2、两直线平行的性质及鉴定。3、命題及其条件和結论，真假命題的定义。北師大版初中数學定理知识點汇總[九年级(上册)第一章证明(二)※等腰三角形的“三线合一”：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重叠。※等边三角形是特殊的等腰三角形，作一条等边三角形的三线合一线，将等边三角形提成两個全等的直角三角形，其中一种锐角等于30º，這它所對的直角边必然等于斜边的二分之一。※有一种角等于60º的等腰三角形是等边三角形。※假如懂得一种三角形為直角三角形首先要想的定理有：①勾股定理：（注意辨别斜边与直角边）②在直角三角形中，如有一种内角等于30º，那么它所對的直角边等于斜边的二分之一③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的二分之一（此定理将在第三章出現）※垂直平分线是垂直于一条线段并且平分這条线段的直线。（注意著重号的意义）<直线与射线有垂线，但無垂直平分线>※线段垂直平分线上的點到這一条线段两個端點距离相等。※线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端點距离相等的點，在這条线段的垂直平分线上。图2OA图2OACBDEFACBO图1※角平分线上的點到角两边的距离相等。※角平分线逆定理：在角内部的，假如一點到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线是到角的两边距离相等的所有點的集合。※三角形三条角平分线交于一點，并且交點到三边距离相等，交點即為三角形的内心。(如图2所示，OD=OE=OF)第二章一元二次方程※只具有一种未知数的整式方程，且都可以化為（a、b、c為常数，a≠0）的形式，這样的方程叫一元二次方程。※把（a、b、c為常数，a≠0）称為一元二次方程的一般形式，a為二次项系数；b為一次项系数；c為常数项。※解一元二次方程的措施：①配措施<即将其变為的形式>②公式法（注意在找abc時须先把方程化為一般形式）③分解因式法把方程的一边变成0，另一边变成两個一次因式的乘积来求解。（重要包括“提公因式”和“拾字相乘”）※配措施解一元二次方程的基本环节：①把方程化成一元二次方程的一般形式；②将二次项系数化成1；③把常数项移到方程的右边；④两边加上一次项系数的二分之一的平方；⑤把方程转化成的形式；⑥两边開方求其根。※根与系数的关系：當b2-4ac>0時，方程有两個不等的实数根；當b2-4ac=0時，方程有两個相等的实数根；當b2-4ac<0時，方程無实数根。※假如一元二次方程的两根分别為x1、x2，则有：。※一元二次方程的根与系数的关系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對称式的值，尤其注意如下公式：①②③④⑤⑥⑦其他能用或体現的代数式。（3）已知方程的两根x1、x2，可以构造一元二次方程：（4）已知两数x1、x2的和与积，求此两数的問題，可以转化為求一元二次方程的根※在运用方程来解应用題時，重要分為两個环节：①设未知数（在设未知数時，大多数状况只要设問題為x；但也有時也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，題目中會具有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。※处理問題的過程可以深入概括為：第三章证明（三）※平行四边的定义：两线對边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶點连成的线段叫做它的對角线。※平行四边形的性质：平行四边形的對边相等,對角相等,對角线互相平分。※平行四边形的鉴别措施：两组對边分别平行的四边形是平行四边形。两组對边分别相等的四边形是平行四边形。一组對边平行且相等的四边形是平行四边形。两条對角线互相平分的四边形是平行四边形。※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两點到另一条直线的距离相等。這個距离称為平行线之间的距离。菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条對角线互相垂直平分,每一条對角线平分一组對角。菱形是轴對称图形，每条對角线所在的直线都是對称轴。※菱形的鉴别措施：一组邻边相等的平行四边形是菱形。對角线互相垂直的平行四边形是菱形。四条边都相等的四边形是菱形。※矩形的定义：有一种角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且對角线相等，四個角都是直角。（矩形是轴對称图形，有两条對称轴）※矩形的鉴定：有一种内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。對角线相等的平行四边形是矩形。四個角都相等的四边形是矩形。※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的二分之一。正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴對称图形，有两条對称轴）※正方形常用的鉴定：有一种内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；對角线相等的菱形是正方形；對角线互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组對边平行且另一组對边不平行的四边形叫做梯形。※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。平行四边形菱形矩形平行四边形菱形矩形正方形一组邻边相等一组邻边相等且一种内角為直角（或對角线互相垂直平分）一内角為直角一邻边相等或對角线垂直一种内角為直角（或對角线相等）鹏翔教图3※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两個内角相等，對角线相等。同一底上的两個内角相等的梯形是等腰梯形。※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的二分之一。※夹在两条平行线间的平行线段相等。※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的二分之一第四章视图与投影※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。三视图之间要保持長對正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左视图要画在正视图的右边。主视图：基本可认為從物体正面视得的图象俯视图：基本可认為從物体上面视得的图象左视图：基本可认為從物体左面视得的图象※视图中每一种闭合的线框都表达物体上一种表面(平面或曲面)，而相连的两個闭合线框一定不在一种平面上。※在一种外形线框内所包括的各個小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各個小的平面体（或曲面体）。※在画视图時，看得見的部分的轮廓线一般画成实线，看不見的部分轮廓线一般画成虚线。物体在光线的照射下，會在地面或墙壁上留下它的影子，這就是投影。太阳光线可以當作平行的光线，像這样的光线所形成的投影称為平行投影。探照灯、手電筒、路灯的光线可以當作是從一點出发的，像這样的光线所形成的投影称為中心投影。※辨别平行投影和中心投影：①观测光源；②观测影子。眼睛的位置称為视點；由视點发出的线称為视线；眼睛看不到的地方称為盲区。※從正面、上面、侧面看到的图形就是常見的正投影，是當光线与投影垂直時的投影。①點在一种平面上的投影仍是一种點；②线段在一种面上的投影可分為三种状况：线段垂直于投影面時，投影為一點；线段平行于投影面時，投影長度等于线段的实际長度；线段倾斜于投影面時，投影長度不不小于线段的实际長度。③平面图形在某一平面上的投影可分為三种状况：平面图形和投影面平行的状况下，其投影為实际形状；平面图形和投影面垂直的状况下，其投影為一线段；平面图形和投影面倾斜的状况下，其投影不不小于实际的形状。第五章反比例函数※反比例函数的概念：一般地，（k為常数，k≠0）叫做反比例函数，即y是x的反比例函数。（x為自变量，y為因变量，其中x不能為零）※反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数←→←→←→←→变量y与x成反比例，比例系数為k.※判断两個变量与否是反比例函数关系有两种措施：①按照反比例函数的定义判断；②看两個变量的乘积与否為定值<即>。（一般第二种措施更合用）※反比例函数的图象由两条曲线构成，叫做双曲线※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两點法”是不能画的；②选用的點越多画的图越精确；③画图注意其美观性（對称性、延伸特性）。※反比例函数性质：①當k>0時，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每個象限内，y随x的增大而減小；②當k<0時，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每個象限内，y随x的增大而增大；③双曲线的两支會無限靠近坐標轴（x轴和y轴），但不會与坐標轴相交。※反比例函数图象的几何特性:(如图4所示)PBAPBAOPBAO图4第六章频率与概率※在频率分布表裏，落在各小组内的数据的個数叫做频数；每一小组的频数与数据總数的比值叫做這一小组的频率；即：在频率分布直方图中，由于各個小長方形的面积等于對应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各個小長方形的面积的和等于1。※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不一样表达形式，前者精确，後者直观。用一件事件发生的频率来估计這一件事件发生的概率。可用列表的措施求出概率，但此措施不太合用较复杂状况。※假设布袋内有m個黑球，通過多次试验，我們可以估计出布袋内随机摸出一球，它為白球的概率；※要估算池塘裏有多少条魚，我們可先從池塘裏捉上100条魚做记号，再放回池塘，之後再從池塘中捉上200条魚，假如其中有10条魚是有標识的，再设池塘共有x条魚，则可根据估算出魚的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，因此应谓之“约是XX”）※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定現象的数學模型，它能精确地衡量出事件发生的也許性的大小，并不表达一定會发生。

北師大版初中数學九年级(下册)知识點汇總第一章直角三角形边的关系※一.正切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的對边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即;①tanA是一种完整的符号，它表达∠A的正切，记号裏习惯省去角的符号“∠”；②tanA没有單位，它表达一种比值，即直角三角形中∠A的對边与邻边的比；③tanA不表达“tan”乘以“A”；④初中阶段，我們只學习直角三角形中，∠A是锐角的正切；⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。※二.正弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的對边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即;※三.余弦：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即;※余切：定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与對边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即;※一种锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。0º30º45º60º90ºsinα01cosα10tanα01—cotα—10（一般我們称正弦、余弦互為余函数。同样，也称正切、余切互為余函数，可以概括為：一种锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式体現：若∠A為锐角，则①；②；※當從低处观测高处的目的時，视线与水平线所成的锐角称為仰角图1※图1的锐角称為俯角※运用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)當角度在0°～90°间变化時，正弦值、正切值伴随角度的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值、余切值随著角度的增大(或減小)而減小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。※同角的三角函数间的关系：倒数关系：tgα·ctgα=1。※在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三条边和二個锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。◎在△ABC中，∠C為直角，∠A、∠B、∠C所對的边分别為a、b、c，则有(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；(3)边与角之间的关系：(4)面积公式:(hc為C边上的高);(5)直角三角形的内切圆半径(6)直角三角形的外接圆半径◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：图2hi=h:l图2hi=h:llABC图3图3图4图4※如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角(或叫做坡比)。用字母i表达，即◎從某點的指北方向按顺時针转到目的方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC的方位角分别為45°、135°、225°。◎指北或指南方向线与目的方向线所成的不不小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、OB、OC、OD的方向角分别是；北偏東30°，南偏東45°(東南方向)、南偏西為60°，北偏西60°。第二章二次函数※二次函数的概念：形如的函数，叫做x的二次函数。自变量的取值范围是全体实数。是二次函数的特例，此時常数b=c=0.※在写二次函数的关系式時，一定要寻找两個变量之间的等量关系，列出對应的函数关系式，并确定自变量的取值范围。※二次函数y＝ax2的图象是一条顶點在原點有关y轴對称的曲线，這条曲线叫做抛物线。描述抛物线常從開口方向、對称性、y随x的变化状况、抛物线的最高（或最低）點、抛物线与x轴的交點等方面来描述。①函数的定义域是全体实数；②抛物线的顶點在(0，0)，對称轴是y轴(或称直线x＝0)。③當a＞0時，抛物线開口向上，并且向上方無限伸展。當a＜0時，抛物线開口向下，并且向下方無限伸展。④函数的增減性：A、當a＞0時B、當a＜0時⑤當｜a｜越大，抛物线開口越小；當｜a｜越小，抛物线的開口越大。⑥最大值或最小值：當a＞0，且x＝0時函数有最小值，最小值是0；當a＜0，且x＝0時函数有最大值，最大值是0．※二次函数的图象是一条顶點在y轴上且与y轴對称的抛物线※二次函数的图象是认為對称轴，顶點在（，）的抛物线。（開口方向和大小由a来决定）※|a|的越大，抛物线的開口程度越小，越靠近對称轴y轴，y随x增長（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的開口程度越大，越遠离對称轴y轴，y随x增長（或下降）速度越慢。※二次函数的图象中，a的符号决定抛物线的開口方向，|a|决定抛物线的開口程度大小，c决定抛物线的顶點位置，即抛物线位置的高下。※二次函数的图象与y＝ax2的图象的关系：的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其环节如下：①将配方成的形式；（其中h=，k=）；②把抛物线向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|個單位，得到y=a(x-h)2的图象；③再把抛物线向上（k>0）或向下（k<0）平移|k|個單位，便得到的图象。※二次函数的性质：二次函数配方成则抛物线的①對称轴：x=②顶點坐標：（，）③增減性：若a>0，则當x<時，y随x的增大而減小；當x>時，y随x的增大而增大。若a<0，则當x<時，y随x的增大而增大；當x>時，y随x的增大而減小。④最值：若a>0，则當x=時，；若a<0，则當x=時，※画二次函数的图象：我們可以运用它与函数的关系，平移抛物线而得到，但往往我們采用简化了的描點法----五點法来画二次函数来画二次函数的图象，其环节如下：①先找出顶點（，），画出對称轴x=；②找出图象上有关直线x=對称的四個點（如与坐標的交點等）；③把上述五點连成光滑的曲线。¤二次函数的最大值或最小值可以通過将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观测。¤处理最大（小）值問題的基本思绪是：①理解問題；②分析問題中的变量和常量，以及它們之间的关系；③用数學的方式表达它們之间的关系；④做数學求解；⑤检查成果的合理性、拓展性等。※二次函数的图象(抛物线)与x轴的两個交點的横坐標x1，x2是對应一元二次方程的两個实数根※抛物线与x轴的交點状况可以由對应的一元二次方程的根的鉴别式鉴定：>0<===>抛物线与x轴有2個交點；=0<===>抛物线与x轴有1個交點；<0<===>抛物线与x轴有0個交點（無交點）；※當>0時，设抛物线与x轴的两個交點為A、B，则這两個點之间的距离：化简後即為：------這就是抛物线与x轴的两交點之间的距离公式。第三章圆一.車轮為何做成圆形※1.圆的定义：描述性定义：在一种平面内，线段OA绕它固定的一种端點O旋转一周，另一种端點A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端點O叫做圆心；线段OA叫做半径；以點O為圆心的圆，记作⊙O，讀作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定點距离等于定長的點的集合。其中定點叫做圆心，定長叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。對圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两個条件唯一确定：一是圆心（即定點），二是半径（即定長）。※2.點与圆的位置关系及其数量特性：假如圆的半径為r，點到圆心的距离為d，则①點在圆上<===>d=r;②點在圆内<===>d<r;③點在圆外<===>d>r.其中點在圆上的数量特性是重點，它可用来证明若干個點共圆，措施就是证明這几种點与一种定點、的距离相等。二.圆的對称性:※1.与圆有关的概念：①弦和直径：弦：连接圆上任意两點的线段叫做弦。直径：通過圆心的弦叫做直径。②弧、半圆、优弧、劣弧：弧：圆上任意两點间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表达，以CD為端點的弧记為“”，讀作“圆弧CD”或“弧CD”。半圆：直径的两個端點分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。优弧：不小于半圆的弧叫做优弧。劣弧：不不小于半圆的弧叫做劣弧。(為了区别优弧和劣弧，优弧用三個字母表达。)③弓形：弦及所對的弧构成的图形叫做弓形。④同心圆：圆心相似，半径不等的两個圆叫做同心圆。⑤等圆：可以完全重叠的两個圆叫做等圆，半径相等的两個圆是等圆。⑥等弧：在同圆或等圆中，可以互相重叠的弧叫做等弧。⑦圆心角：顶點在圆心的角叫做圆心角.⑧弦心距:從圆心到弦的距离叫做弦心距.※2.圆是轴對称图形，直径所在的直线是它的對称轴，圆有無数条對称轴。※3.垂径定理：垂直于弦的直径平分這条弦，并且平分弦所對的两条弧。推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所對的两条弧。阐明：根据垂径定理与推论可知對于一种圆和一条直线来說，假如具有：①過圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對的优弧；⑤平分弦所對的劣弧。上述五個条件中的任何两個条件都可推出其他三個結论。※4.定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對的弦心距相等。推论:在同圆或等圆中,假如两個圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它們所對应的其他各组量都分别相等.三.圆周角和圆心角的关系:※1.1°的弧的概念:把顶點在圆心的周角等提成360份時,每一份的角都是1°的圆心角,對应的整個圆也被等提成360份,每一份同样的弧叫1°弧.※2.圆心角的度数和它所對的弧的度数相等.這裏指的是角度数与弧的度数相等,而不是角与弧相等.即不能写成∠AOB=,這是錯误的.※3.圆周角的定义:顶點在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫做圆周角.※4.圆周角定理:一条弧所對的圆周角等于它所對的圆心角的二分之一.※推论1:同弧或等弧所對的圆周角相等；反之，在同圆或等圆中，相等圆周角所對的弧也相等；※推论2:半圆或直径所對的圆周角是直角；90°的圆周角所對的弦是直径；※四.确定圆的条件:※1.理解确定一种圆必须的具有两個条件:圆心和半径,