概率论与统计全册配套完整课件3

概率论与统计全册配套完整课件3

第一章

随机事件及其概率

自然界和社会生活中的现象大体上可分为两类：一类可事前预知，如：“太阳从东方升起”、“在一个大气压下，水在100℃时沸腾”等一定会发生；“同性电荷相吸引”、“太阳从西方升起”等一定不会发生。这类现象是确定性现象，也叫必然现象。

另一类事前不可预知，如：“抛一枚硬币的结果”、“某地区年降雨量的多少”、“打靶时，弹着点与靶心的距离”等。这类现象是偶然性现象，也叫随机现象。随机现象的特点：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验之前不能预知确切的结果．人们经过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验下，它的结果又呈现出某种规律性——统计规律性．例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，并且在每次抛掷之前无法肯定抛掷的结果是什么。但是，如多次重复抛一枚硬币得到正面朝上大致有一半。概率论与数理统计是研究随机现象规律性的数学学科，是科技工作者所必须具备的一种工具，也是现代经济理论的应用与研究的重要工具。§1.1样本空间和随机事件

一、随机试验为了研究随机现象，就要对客观事物进行观察．观察的过程称为试验．下面举一些试验的例子．E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况．E2：抛两枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况．E3：抛两枚硬币，观察“正面H朝上”的硬币个数.．E4：掷一颗骰子，观察出现的点数．E5：记录电话交换台一分钟内收到的呼唤次数．E6:

盒中有标号为1到10的相同小球，任取一个观察标号.E7:某射手向枪靶射击一发子弹，观察其中靶的环数.上述对随机现象进行的试验或观测具有以下特点：（1）可以在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确所有可能结果，且每次试验仅有其中一个结果出现；（3）每次试验进行之前，不能断言哪个结果会出现．在概率论中，将具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示．我们进行随机试验的目的是要对试验的各种结果出现的可能性进行分析，从而找出随机现象的规律．二、样本空间随机试验的所有可能出现的结果所构成的集合称为的样本空间，通常记为Ω．样本空间的元素，即的每个结果，称为样本点．下面是前面试验的样本空间：

Ω1：{H,T}．Ω2

：{HH,HT,TH,TT}．Ω3：{0,1,2}．Ω4：{1,2,3,4,5,6}．

Ω5：{0,1,2,…}.Ω6:{1,2,3,4,5,…,10}Ω7：{0,1,2,3,4,5,…,10}注意：样本空间的元素由试验的目的确定．如试验E2和E3同是抛两枚硬币，由于试验目的不一样，样本空间也不一样．三、随机事件在进行随机试验时，人们往往关心的是满足某种条件的一些样本点所组成的集合．例如，在E4中，令A表示“出现的点数为偶数”，则A是Ω4＝{1,2,3,4,5,6}的子集，它由样本点{2,4,6}构成，记作A＝{2,4,6}．一般地，称试验的样本空间Ω的子集为随机事件，简称事件，通常用大写字母A、B、C、…表示事件．在一次试验中，若某事件中至少有一个样本点出现了，则称事件发生了．称试验中必定发生的事件为必然事件，不可能发生的事件为不可能事件．在每次试验中，样本空间Ω中必定有一个样本点会出现，因此又把样本空间称为必然事件．空集

是样本空间Ω的一个特殊的子集，也可作为一个事件．但由于空集不含样本空间Ω中的任何元素，在每次试验中

都不会发生，因此又称之为不可能事件．把必然事件和不可能事件看作随机事件，是为了事件运算方便．由样本空间的单个元素构成的子集，即样本点，又称为基本事件．

四、事件间的关系和运算

样本空间和事件都是集合，因此事件间的关系和运算实际上是集合间的关系和运算．设样本空间为Ω，A、B、C和Ak（k＝1,2,3…）为Ω的子集．1、事件的包含和相等在一次试验中，若A发生必然导致B发生，则称B包含A。记为如在E4中，A表示“出现的点数为偶数”，B表示“出现的点数大于1”．即A={2,4,6}，B={2,3,4,5,6}，则实际上，A

是B

的子集。2、事件的和（相当于并集）在一次试验中，“事件A与B至少有一个发生”是一个事件，称为事件A与B的和，记作A∪B，或者A＋B．“n个事件A1、A2、…、An中至少有一个发生”称为这n个事件的和。记作“可列个事件A1、A2、…中至少有一个发生”称为这可列个事件的和。记作如，在E4中，令A表示掷一颗骰子“出现偶数点”，C表示“出现的点数不大于1”，

Ak表示“出现k点”（k＝1,2,…,6）那么A＝{2,4,6}，C＝{1}，A∪C＝{1,2,4,6}，又如，在E5中，令Ak表示“一分钟内收到k次呼唤”，k＝0、1、2、…，A表示“呼唤次数大于100次”，B表示“呼唤次数小于150次”．那么

3、事件的积（相当于交集）在一次试验中，“事件A与B同时发生”是一个事件，称为事件A与B的积，记作A∩B或者AB．表示“n个事件A1，A2，…An同时发生”．表示“可列个事件A1，A2，…An,…同时发生”．

A∩B表示“一分钟内呼唤次数大于100次且小于150次”，即有A∩B

E4中，A＝{2,4,6}，B＝{2,3,4,5,6}，C＝{1}，则A∩B表示“出现的点数为大于1的偶数”．由于A是B的子集，所以A∩B=A．而A∩C表示“出现的点数为不大于1的偶数”，这是不可能发生的，故A∩C＝

。4、互不相容的事件若A∩B＝

，则称事件A与B为互不相容．互不相容的事件在一次试验中不能同时发生．

例如，在E4中，A与C为互不相容的事件．5、事件的差（相当于差集）在一次试验中，“事件A发生而事件B不发生”这一事件称为事件A与B的差，记作A－B．6、对立事件（相当于余集）“A不发生”这一事件称为事件A的对立事件，记作事件的关系和事件的运算可以用文氏图（图1－1）直观地表示．事件的关系和运算与集合论的内容对照如表1－1．7、事件运算的主要性质（1）交换律A∪B＝B∪A，AB＝BA；（2）结合律(A∪B)∪C＝

A∪(B∪C)，(A∩B)∩C

＝A∩(B∩C)；（3）分配律(A∪B)C＝AC∪BC,(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C);(4）吸收律

(A∪B)A=A,(AB)∪A=A

；

（5）对偶律此外还有：

A∪A＝A，AA＝A，A∪Ω＝Ω，AΩ＝A．

A∪

＝A，A∩

＝

，利用事件的关系、事件的运算及其性质，可将复杂的事件用己知的简单事件表示，这在处理问题时会很方便．例1一大批产品中有5件次品，若从中依次任取3件，令Ak表示“取到的第k件为正品”，k＝1，2，3．试用A1,A2，A3，表示下列事件：（1）“取到的3件中至少有一件为正品”，记为A．（2）“取到的3件均为次品”，记为B．（3）“取到的3件恰好有一件为正品”，记为C．（4）“取到的3件至多有一件为正品”，记为D．解（1）A＝A1∪A2∪A3

例2如图1－2所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一事件，以B、C、D分别表示事件：继电器接点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ闭合，则§1.2事件的频率与概率

概率论研究的是随机现象量的规律性．因此仅仅知道试验中可能出现哪些事件是不够的，还必须对事件发生的可能性大小的问题进行量的描述．一、

概率的统计定义人们经过长期实践发现，虽然随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量重复的试验中它却呈现出明显的规律性――频率稳定性．频率的定义：在相同条件下进行的n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数．比值nA／n称为事件A发生的频率，并记为fn(A),即fn(A)=nA

／n．

由定义，易知频率具有下述基本性质：

(1)0≤fn(A)≤1；(2)fn(Ω)=1，fn(

)＝0．(3)若A、B为互不相容的两个事件，则

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)事实上，若在ｎ次试验中，事件A发生了ｎA次，事件B发生了ｎB次，由于A、B为互不相容，故A∪B发生的次数ｎA∪B=ｎA

＋ｎB

，根据频率的定义得

fn(A∪B)=fn(A)+fn(B)

由于事件发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示发生的频繁程度．频率愈大，事件发生愈频繁，这意味着事件在一次试验中发生的可能性愈大．因而，直观的想法是用频率来表示事件在一次试验中发生的可能性的大小．但是否可行？例1(抛掷硬币试验)在一组不变的条件(如硬币是匀的，垂直上抛等等)下，重复抛掷一枚硬币，考察事件A＝{出现正面}发生的频率．历史上曾经有不少人做过这个试验，表1－3列出了大量投掷硬币的试验结果．

从上表可见，在多次重复试验中，同一事件发生的频率

虽然并不完全相同，但总是在一个固定的数值附近摆动，呈

现出一定的稳定性．当重复的次数增加时，这种现象就越明

显．频率的这种稳定性，反映了随机事件本身固有的属性，

也就是说，事件的概率是客观存在的。实验者投掷次数正面次数

频率蒲丰404020480.5069皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005概率的统计定义：在相同条件下，重复进行n次试验，当n充分大，事件A发生的频率fn(A)=nA

／n．稳定地在某一数值p附近摆动，则称

p为事件A发生的概率，记作P(A)＝p．关于概率的统计定义:(1)0≤P(A)≤1P(Φ)=0P(Ω)=1;(2)给出了概率的一种近似求法(频率近似代替概率)(3)频率与概率不同,频率与试验次数有关,而概率是事物的本身属性.(实际问题中频率可认为是概率的随机表现).(4)频率代替概率的缺点是不能使n+1次试验优于n次试验所得结果.(很多问题中影响并不大)为此，人们要寻找更精确的定义.二、概率的公理化体系在勒贝格测度论和积分理论基础上，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化体系．

公理1对任一事件A有P(A)≥0．

公理2P(Ω)=1．

公理3对可列个两两互不相容的事件A1,A2,…,An,…,有

在此基础上得到概率的理论定义：

设实值函数P(A)的定义域为所考虑的全体随机事件组成

的集合，且这个集合函数满足公理1、2、3，则称P(A)为事件A的概率．

通常将公理1、2、3称为概率的三个基本性质，第三条称为可列可加性．三、性质由概率的三个基本性质可以推出其他的重要性质:（1）P(

)=0证明令Ai=

（i=1,2,…），则故由公理3：

而实数P(

)≥0，由上式知P(

)=0

(2)(有限可加性)设A1,A2,…,An为n个两两互不相容的事件，则

只需令An

＋1=An＋2=…=

，利用公理3即可证明．

特别地，当A、B为两个互不相容的事件，则P(A∪B)=P(A)＋P(B)(3)设A为任一事件，则(4)(单调性)若A

B,则P(B－A)=P(B)－

P(A)，且P(A)≤P(B)

证明当A

B,有B=A∪(B－A)，且A(B－A)=

，则P(B)=P(A)＋P(B－A)，∴P(B－A)=P(B)－

P(A)．

由概率的非负性P(B－A)≥0，故P(A)≤P(B)．(5)两个事件概率的加法公式:若A、B为任意两个事件，则P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)(1-7)证明∵A∪B=A∪(B－AB)且A与B－AB互不相容∴P(A∪B)=P(A)＋P(B－AB)∵AB

B∴P(B－AB)=P(B)—P(AB)∴P(A∪B)=P(A)＋

P(B)—P(AB)

例1若事件A、B的概率分别为1/4和1/3，在下列三种情况下分别求(1)A与B互不相容；(2)A

B；(3)P(AB)=1/5．

解(1)若A、B为互不相容，则(2)若A

B，则(3)若P(AB)=1/5，则

又由加法公式P(A∪B)=P(A)＋

P(B)－P(AB)，解法2∵B=BΩ§1.3古典概型和几何概型

一、古典概型（等可能概型）有很多试验都具有两个共同的特点：(1)试验的可能结果(样本空间的样本点)有限；(有限性)(2)每次试验中各样本点出现的可能性相等。(等可能性)具有以上两个特点的试验称为等可能概型．它在概率论发展初期是主要的研究对象，故也称为古典概型．古典概型在概率论中占有重要地位．一方面它有助于简单直观地理解概率论的一些基本概念；另一方面古典概型的概率计算在产品质量的抽样检查等实际问题以及理论物理的研究中都有重要的应用．若试验结果由n个基本事件组成，并且基本事件的发生具有相同的可能性，而事件A由其中的m个基本事件组成，则（事件A含的基本事件数除以试验的基本事件总数）此定义通常称为概率的古典定义。显然古典概率满足：

(1

)

0≤P(A)≤1(2)P(Φ)=0P(Ω)=1;(3)若A、B为互不相容的两个事件，则

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．例1袋内有外形一样的5个白球，3个黑球，从中任取两个。求取出的两个球⑴都是白球的概率；⑵都是黑球的概率；⑶一个白球一个黑球的概率。解：设A表示“取到两白”、B表示“取到两黑”、C表示“取到一白一黑”试验的基本事件总数A含的基本事件数B含的基本事件数C含的基本事件数例2：一批产品共200个，其中有6个废品。求（1）这批产品的废品率（任取一件产品是废品的概率）；（2）任取3个恰有一个废品的概率；（3）任取3个全非废品的概率。解：设A、B、C分别表示(1)、(2)、(3)中三事件，则例3：两封信随机投入Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个邮筒，A表示恰有一封信投入第二个邮筒，B表示各有一封信投入前两个邮筒。求P(A)、P(B)。解：基本事件总数为4×4=16

A含的基本事件数表示两封信中任一封投入第二个邮筒表示另一封可投入余下三个邮筒中的一个邮筒B含的基本事件数例410件产品中7件正品，3件次品，任取两件(不放回抽样)，求“取到一件正品一件次品”的概率．解：令A表示“取到两件正品”，B表示“取到两件次品”，C表示“取到一正一次”。法1直接用古典概型的概率计算公式计算(既非两件正品又非两件次品即一正一次)∵A、B互不相容，∴P(A∪B)=P(A)＋

P(B)=8/15=1-P(A∪B)=7/15例5在1~100中任取一数，求取到的数既不能被6整除，又不能被8整除的概率．解令A表示“取到的数能被6整除”，B表示“取到的数能被8整除”．那么“取到的数既不能被6整除，又不能被8整除”可表示为100内6的倍数有16个，8的倍数有12个，6和8的公倍数有4个，故有

P(A)=16/100，P(B)=12/100，P(AB)=4/100．由P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)=0.24二、几何概型古典概型所研究的随机试验是有限等概率样本空间，对于有无穷多可能结果的试验，古典概率的定义就不适用了．向某一可度量的区域G内投一点，如果所投点落在G中任一区域g内的可能性的大小与g的度量成正比，而与g的位置和形状无关．把具有这种特征的随机试验称为几何概型．这里所说的度量，可以是线段的长度；可求积的平面区域的面积；可求积的空间区域的体积等等．几何概型中样本点可以用G中的点表示，因而样本空间Ω=G．事件A的概率的计算公式为显然几何概率具有如下性质：(1)0≤P(A)≤1．(2)P(Ω)=1，P(

)=0．(3)若A1,A2,…,An,…为可列个两两互不相容的事件，则例6甲乙两人约定在0时到T时在某地会面，先到者等候t（≤T）时，过时即可离去，试求两人能会面的概率．解令x和y分别表甲和乙到达某地的时刻，那么x和y均可能取[0，T]内任一值．即0≤x≤T，0≤y≤T．如图1-3，建立直角坐标系，问题可视为向平面区域Ω={(x,y)|0≤x≤T,0≤y≤T}内投点．令A表示“两人能会面”，则A={(x,y)||x-y|≤t}为图中阴影部分．例7

平面上画着一些平行线，相邻两条平行线间的距离均为a，向该平面上任意投一枚长度为l(l＜a)的针，试求针与平行线中任意一条相交的概率．解令x表示针的中点到最近的一条平行线的距离，表示针与此线的交角，如图1－4．于是投针问题相当于向平面区域内投点．令A表示“针与平行线相交”，则A发生相当于在平面上建立直角坐标系，如图1－5．此问题是是法国科学家蒲丰在1777年提出的“投针问题”．令

p=P(A)，那么此事件的概率p与π有关，因此可用它计算π的近似值.“投针问题”还是找矿中的一个重要概型．设在给定区域内的某处有一矿脉（相当于针）长为l，用间隔为a的一组平行线进行探测，假定l＜a，那么“找到矿脉”的概率也就相当于针与平行线相交的概率．求π的方法是：投针N次，记录针与平行线相交的次数n，用频率作为概率p的值，得到近似计算公式：§1.4条件概率

一、条件概率直到现在，对P(A)的讨论都是相对于某组确定的条件S而言的．P(A)就是在条件组实现之下，事件A发生的概率（为简略起见，“条件组S”通常不再提及）．除这组基本条件“S”外，有时还要提出附加的限制条件；即要求“在事件A已经发生的前提下”事件B发生的概率．这就是条件概率的问题．条件概率是概率论中的一个重要而实用的概念．例1将一枚硬币掷两次．观察其出现正反面的情况．设事件A“至少有一次为正面”，事件B为“两次掷出同一面”．现在来求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率．这里，样本空间Ω={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT,TH}B＝{HH,TT}．已知事件A已发生，有了这一信息，即知试验所有可能结果所成的集合就是A，A中共有3个元素，其中只有HH∈B．于是，在A已经发生的条件下B发生的概率

P(B|A)＝1/3在这里，P(B)＝2/4≠P(B|A)．这是因为在求P(B|A)时是限制在A已经发生的条件下考虑B发生的概率的．另外，P(A)＝3/4，

P(AB)＝1/4，

P(B|A)＝1/3

故有当P(A)＞0时上式对古典概型都是成立的．事实上,设试验的基本事件总数为n，

A所包含的基本事件数为nA(nA>0)，AB所包含的基本事件数为nAB，即有由此给出一般情况下条件概率的定义：设A、B为两个事件，且P(A)＞0，则称为事件A已发生的条件下，事件B发生的条件概率．可以验证条件概率满足：(1)对任一事件B，有P(B|A)≥0；(2)P(Ω|A)=1；(3)设B1，B2，…，Bn，…为两两互不相容的事件，则例2袋中有5个大小相同的球，其中编号为1、2、3的是红球，编号为4、5的是白球．甲乙两人从中各摸一球．求下列事件的概率．(1)“甲摸到了红球”；“乙摸到了白球”；“甲摸到红球且乙摸到白球”；(2)“甲先摸到红球后，乙摸到白球”的概率．解(1)令A表示“甲摸到了红球”，B表示“乙摸到了白球”，则AB为“甲摸到红球且乙摸到白球”．将甲、乙两人所摸到的球的编号用(i，j)表示，则样本空间由下列样本点构成：(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(2，1)(2，3)(2，4)(2，5)(3，1)(3，2)(3，4)(3，5)(4，1)(4，2)(4，3)(4，5)(5，1)(5，2)(5，3)(5，4)样本空间所含样本点数n=A52=5×4=20，事件A所含样本点数nA=A31A41=4×3=12，事件B所含样本点数nB=A21A41=2×4=8，事件AB所含样本点数nAB=A31A21=2×3=6，∴P(A)=12/20=0.6；P(B)=8/20=0.4；P(AB)=6/20=0.3．(2)“甲先摸到红球后，乙摸到白球”的概率是A发生条件下，B发生的概率P(B|A)．由（1）可见导致A发生的样本点有12个，AB同时发生的样本点有6个，故有P(B|A)=P(AB)/P(A)

=6/12=1/2．对第二问，若利用第一次摸取的所有可能结果作成的样本空间，即Ω={1,2,3,4,5},则做法更简洁．由于Ω中共有5个元素，已知A发生，即1,2,3号三个球中已摸走一个，于是，第二次的所有可能结果的集合中共有4个球，2红2白，故得

P(B|A)=2/4=1/2．例3在0至9这10个数字中随机取一个，(1)已知抽到的为奇数，求该数大于6的概率；(2)已知抽到的数大于6，求该数为奇数的概率．解令A表示“抽到的为奇数”，B表示“抽到的数大于6”．（1）要求P（B|A）；（2）要求P（A|B）．Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,}，A={1,3,5,7,9}，B={7,8,9}，AB={7,9}故有P(A)=0.5，P(B)=0.3，P(AB)=0.2．∴P(B|A)=P(AB)/P(A)=2/5，

P(A|B)=P(AB)/P(B)=2/3

．由此例可见P(B|A)与P(A|B)是不同的．二、乘法公式由条件概率定义可得两个事件积的概率公式．若P(A)＞0，P(AB)=P(A)P(B|A)．若P(B)＞0，P(AB)=P(B)P(A|B)．两式都称为概率的乘法公式例410件产品中有7件正品和3件次品，(1)任取两件(不放回抽样)，求“取到一正一次”的概率；(2)任取两件(有放回抽样)，求“取到的两件正品”的概率．解此题在古典概型时讨论过，现用乘法公式来讨论．令Ai表示“取到的第i件为正品”，i=1，2．那么问题(1)中“取到一正一次”可表示为问题（2）中“取到的两件均为正品”可表示为A1A2（2）P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)注意：在有放回抽样问题中P(A2|A1)=P(A2)．乘法公式还可推广到多个事件的情况，如P(ABC)=P(AB)P(C|AB)=P(A)P(B|A)P(C|AB)．例510件产品中3件为次品，每次从中任取一件不放回，求第3次才取到次品的概率．解令Ai表示“第i次取到的为正品”（i=1，2，3），则“第3次才取到次品”的概率为§1.5全概率公式和贝叶斯公式

一、全概率公式例1有10件产品，其中有3件为次品，从中任取一件不放回，连续取两次，求第2次取到的为次品的概率．解令A表“第2次取到次品”，B表“第一次取到正品”，则

从形式上看，上述分解式似乎将A复杂化了；但从实质上看，上述分解式将复杂的事件A分解为较简单的事件了．把这个想法一般化，得

全概率公式设试验E的样本空间为Ω，B1，B2，…，Bn为E的一组事件，若满足(1)BiBj=

，i、j=1，2，…，n，i≠j；(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω．满足(1)与(2)的事件组叫样本空间的一个划分．(完备事件组)若P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），那么，E的任一事件A的概率此式即为全概率公式证∵A=AΩ=A(B1∪B2∪…∪Bn)=AB1∪AB2∪…∪ABn

且P（Bi）＞0，（i=1，2，…，n），(ABi

)(ABj)=

，i≠j

∴

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)

+P(B2)P(A|B2)

+…+P(Bn)P(A|Bn)例1就用了ｎ＝2的全概率公式．若P(A)不易直接求得，但却容易找到Ω的一个划分B1,B2,…,Bn

,且P(Bi)和P(A|Bi)已知或容易求，那么就可以根据全概率公式求P(A)。用全概率公式的关键在于找出完备事件组．例2某厂有1、2、3三个车间，生产同一型号的元件，其产量分别占该厂总产量的25%、35%和40%，各车间的次品率分别为5%、4%和3%，各车间的产品都混放在一起，求从总产品中任取一件为次品的概率．解令A表示“取到一件次品”，Bi表示“取到第i车间的产品”，i=1，2，3，则由题意知P(B1)=0.25，P(B2)=0.35，P(B3)=0.4．P(A|B1)=0.05P(A|B2)=0.04P(A|B3)=0.03而B1，B2，B3是完备事件组，由全概公式P(A)=P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)=0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.40×0.03=0.0385．例：有12个乒乓球为新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第三次比赛时取到3个新球的概率。解：设Ai，Bi，Ci分别为第一、二、三次取到i个新球(i=0、1、2、3）。二、贝叶斯公式在全概率公式中，复杂事件A的概率是通过寻找出引起A发生的各种“原因”:B1、B2、…、Bn发生的概率P(Bi)，和它们对A产生的作用P(A|Bi)，i=1、2、…、n来求P(A)的

P(Bi)通常是从已知条件或以往经验得到的，是在试验前对引起A发生的各种“原因”发生的可能性大小的估计，称为验前概率．若在事件A发生条件下，重新考虑引起A发生的各种“原因”发生的概率P(Bi|A)，i=1，2，…，n，则可以利用条件概率定义和全概率公式推导出此式称贝叶斯公式，也称逆概率公式．贝叶斯公式所求的P(Bi|A)(i=1,2,…,n)又称为验后概率．这是在试验后当A发生的条件下，对导致A发生的各种“原因”发生的可能性大小的重新估计．(i=1,2,…,n)例3对以往数据分析结果表明，当机器调整良好时，产品合格率为90%，而当机器发生某一故障时，合格率为30%．每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为75%．试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？解设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”，已知P(A|B)=0.9，

这就是说，当生产出第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是0.9．这里，概率0.75是由以往的数据分析得到的，是验前概率．而0.9就是验后概率．有了验后概率我们就能对机器的情况有进一步的了解．例4根据以往记录资料，某疾病的诊断性试验具有如下效果，确实患此病的人试验反应呈阳性的占95%，没患此病的人试验反应呈阴性的占95%，此病的发病率为0.5%，现对自然人群进行普查，求当试验反应呈阳性时，确实患此病的概率．解令A表示“试验反应呈阳性”，B表示“确实患此病”，则问题所求为P(B|A)．由题意可知：

P(A|B)=0.95P(B)=0.005此题的结论表明，尽管有病反应呈阳性和无病反应呈阴性的概率都较高，都为0.95，但若将此试验用于普查，则有P(B|A)＝0.087，亦即其正确性只有8.7%(平均1000个阳性反应的人中大约只有87人确患有此病)．如果不注意到这一点，将会经常得出错误的诊断，这也说明，若将P(B|A)和P(A|B)搞混了会造成不良的后果．

§1.6事件的独立性一、相互独立的事件在前面的讨论中我们看到对“有放回抽样”问题第1次取到正品与否，不影响第2次取到正品的概论，即P(A2|A1)=P(A2)，此时由乘法公式可得P(A2A1)=P(A1)P(A2)．设A、B是两事件，若P(AB)=P(A)P(B)，则称A与B为相互独立的事件．由上述定义不难验证:(1)若A、B相互独立，则A与即P(AB)=P(A)P(B)(2)若P(A)＞0，P(B)＞0，则A、B相互独立与A、B互不相容不能同时成立．事实上，当A、B相互独立时，P(AB)=P(A)P(B)，若P(A)＞0，P(B)＞0，则P(AB)＞0．而在A、B互不相容时P(AB)=0，故两者不能同时成立．例1P(A)=0.4，P(A∪B)=0.7，A、B相互独立，求P(B)．解A、B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)．∴P(A∪B)=P(A)＋P(B)－

P(AB)=P(A)＋P(B)－

P(A)P(B)=P(A)＋P(B)[1－

P(A)]

相互独立概念可以推广:n事件A1，A2，…，An若满足P(AiAj)=P(Ai)P(Aj)，(i≠j，i、j=1,2,…,n)，则称A1，A2，…，An两两独立．例2当A、B、C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C)是否一定成立？解不一定．如，一袋中有4张大小相同的卡片，上面分别印有下列数字：111，001，100，010．从中任取一张，用A、B、C分别表示取到的卡片上第1、2、3位上数字为1．则于是A、B、C满足P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)故A、B、C为两两独立事件．但是P(ABC)=1/4，P(A)P(B)P(C)=1/8，∴P(ABC)≠P(A)P(B)P(C)．设A、B、C为三个事件，若满足P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)．则称A、B、C为相互独立的事件．一般地，设A1,A2,…,An为n个事件，若对任意k,任意1≤i1＜i2＜…＜ik≤n，都有

P(Ai1

Ai2…Aik

)=P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik)．则称A1，A2，…，An为相互独立的事件．例3甲、乙两人射出同一目标，已知甲的命中率为0.6，乙的命中率为0.5，若两人同时射出，求目标被击中的概率．解令A表示“甲命中目标”，B表示“乙命中目标”，C表示“目标被击中”，则C=A∪B．P(A∪B)=P(A)＋P(B)－P(AB)．根据题意，可以认为A、B为相互独立，即有P(AB)=P(A)P(B)∴P(C)=P(A∪B)=P(A)＋P(B)－

P(A)P(B)=0.6＋0.5－0.6×0.5=0.8

例4一个元件能正常工作的概率叫做这个元件的可靠性，由元件组成的系统能正常工作的概率叫做系统的可靠性，设构成系统的每个元件的可靠性均为p(0＜p＜1)，且各元件能否正常工作是相互独立的．由4个元件按图1－7的两种连接方式构成系统Ⅰ和系统Ⅱ，试比较两个系统可靠性的大小．解令Ai表示“第i个元件工作正常”(i=1,2,3,4)，B表示“系统Ⅰ工作正常”，C表示“系统Ⅱ工作正常”，则P(Ai)=p(i=1,2,3,4)

，且A1,A2,A3,A4相互独立．B=A1A2∪A3A4，C=(A1∪A3)(A2∪A4)P(B)=P(A1A2∪A3A4)=P(A1A2)＋P(A3A4)－P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=2p2－p4．=2(1－p)2－(1－p)4．=2(1－p)2－(1－p)4=(2p－p2)2．∴P(C)－P(B)=(2p－p2)2－（2p2－p4）=2p2(1－p)2＞0．故系统Ⅱ优于系统Ⅰ．二、n重伯努利概型许多问题中，我们只关心试验中某事件A发生与否．这种只有两个可能结果的试验称为伯努利试验．例如：射击“中”与“不中”，抽样时的“正品”和“次品”，投币试验“出正面”还是“出反面”，等等．在每次试验中事件A或者发生或者不发生，且每次试验结果与其它各次试验结果无关，即每次试验中A发生的概率都是P(0<p<1)，这样的n次重复试验叫n重伯努里试验.。例5一射手每次射击命中率为0.8，向一目标连续射击3次是三重伯努利试验．若令Ai表示“第i次射击命中目标”，由已知P(Ai)=0.8(i=1,2,3)．这个试验的所有可能结果为这8个事件两两互不相容．由于3次射击是独立的，则事件A1，A2，A3是相互独立的．上述8个事件的概率均可求出：P(A1A2A3)=0.83=0.512．若令pi表示“3次射击中命中i”的概率(i=0,1,2,3)，那么伯努里定理：设一次试验中A发生的概率为p(0<p<1),则n重贝努里试验中，A恰好发生k次的概率例620件产品中2件次品，每次从中取一件，然后放回．取5次，求5件中取到次品数为k的概率pk(k=0,1,2,3,4,5)．解这是有放回抽样，是五重伯努利试验，每次取到次品的概率p=0.1．那么章小结一、随机试验

（1）可以在相同条件下重复地进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，但能事先明确所有可能结果，且每次试验仅有其中一个结果出现；（3）每次试验进行之前，不能断言哪个结果会出现．二、随机事件（在一次试验中可能发生也可能不发生的事件或样本空间的子集）概念关系运算三、概率（事件发生可能性的大小）1、频率稳定性→概率的统计定义2、古典概型（两特性：有限性等可能性）3、几何概型（向某可度量的区域G内随机投点，g是G内任意小区域，点落入g内的可能性大小满足：与g的度量成正比，而与g的形状和位置无关）4、3个公理

P(A)≥0P(Ω)=1可列可加性概率的公理化定义四、加法公式1、有限可加性（条件：两两互不相容）2、多去少补原理五、条件概率、乘法公式六、全概率公式、贝叶斯公式七、相互独立性3、n

个事件两两独立与相互独立的区别八、n

重贝努里试验每次试验中事件A要么发生要么不发生，且每次试验中事件A发生的概率相等，这样的n

次重复试验叫n重贝努里试验。若在每次试验中事件A发生的概率都为p，则在n重贝努里试验中，事件A发生n次的概率为例1、设一个人的生日在哪一天是等可能的，现有20人。求①生日各不相同；②恰有两人生日相同；③至多两人生日相同；④至少两人生日相同的概率。（一年365天）解：用A、B、C、D依次表示上述四事件，则有例2、对飞机进行两次独立射击，第一次命中率为0.4，第二次命中率为0.5，中一弹被击落的概率为0.2，中两弹被击落的概率为0.6。求①被击中一次；②被击中两次；③被击落；④已知被击落而只中一弹的概率。解：B表示被击落，Ci

表示中i弹，Ai

表示第i次中，则(3)用全概率公式(4)用贝叶斯公式例3、在圆周上任取三点A，

B，C，求△ABC为锐角△的概率。解：设D表示△ABC为锐角△，∠A=x，

∠B=y，则Ω对应的区域ABCOxy例4、假定生男生女是等可能的，考虑有两个孩子的家庭。①已知某家有男孩，求这一家有两个男孩的概率；②若从这些家庭中随机选取一个孩子结果是男孩，求这家另一个孩子也是男孩的概率。(1)b、g分表男女孩，则Ω={(bb),(bg),(gb),(gg)}(样本点是家庭)且每个样本点出现的概率都为1/4（生男生女等可能，相互独立）设A表“有男孩”，B表“有两男孩”，则AB=B(2)bb有兄弟的男孩，bg有姐妹的男孩，

gb有兄弟的女孩，

gg有姐妹的女孩，则Ω1={bb,bg,gb,gg}，每个样本点出现的概率为1/4A1表示“选到男孩”，B2表示“一个孩子有兄弟”，则例5、从学校乘公汽到火车站要经过6个交通岗，设在各交通岗遇红灯的概率为2/5，且相互独立。求①没有遇到红灯；②遇到一次红灯；③至多遇到一次红灯；④至少遇到一次红灯的概率解：这是一个

n=6,p=2/5的贝努里概型①求p0②求p1③求p0+p1④求p1+p2+p3+

p4+p5+p6=1-p0例6、某店有4个售货员，根据经验每个售货员平均一个小时只有15分钟用秤，问该店应配备几台秤较为合理？解：由题设每个售货员用秤的概率都为1/4，且相互独立，所以此问题可看作n=4,p=1/4的贝努里概型。由于p0+p1+p2≈0.95，即最多两人同时用秤的概率高达95%，该店应配备两台秤较为合理。例7、现有外包装完全相同的优、良、中3个等级的的产品，各等级产品数量相等，每次取1件，有放回连续取3次，求下列各事件的概率：A=“三件全优”；B=“三件同级”；C=“三件等级全不同”；D=“三件等级不全同”；E=“三件中无优”；F=“三件无优且无中”；G=“三件无优或无中”。解：Ai表第i次取到优，Bi表第i次取到良，Ci表第i次取到中，9个事件相互独立用一般加法公式第二章

随机变量及其分布§2.1

随机变量及其分布函数

一、随机变量在第一章里讨论了如何用字母表示事件以及求事件概率的基本方法．为了全面地研究随机试验的结果，揭示客观存在着的统计规律性，我们将随机试验的结果与实数对应起来，将随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念．有许多随机试验的可能结果本身就是数字，如：掷一颗骰子观察出现的点数某射手射击10次，观察命中的次数测定一批电子元件的使用寿命还有一些随机试验的可能结果本身不是数字，如：

抽查产品质量，结果是“正品”或“次品”

射击结果“中”或“不中”但这些结果也可以用实数来代替，如用“1”代表“中”、“0”代表“不中”等。

定义设随机试验E的样本空间为Ω，若对每一个样本点ω∈Ω，存在唯一实数X(ω)与之对应，且对任何实数x，事件{X(ω)≤x}都有确定的概率，则称X(ω)是一个随机变量，简单地记为X．

许多教材习惯用希腊字母ξ、η、ζ等表示随机变量。

随机变量是研究随机试验的有效工具．引入随机变量后，就可以用随机变量X描述事件．例如

掷一颗骰子，用X表示出现的点数，则{X=i}表示“出现i点”，{X＜0}是不可能事件，{X＜7}是必然事件，{X≥2}表示出现的点数大于或等于2。

随机变量X的取值随试验结果而定，在试验之前只知道其可能取值的范围，因为试验的各种结果出现的概率是可以确定的．那么，随机变量取各个值的概率或在某个范围内取值的概率也就可以确定．随机变量是随机事件的函数.

上例中P{X=i}=1/6，P{X＜0}=0，P{X＜7}=1P{X≥2}=5/6二、随机变量的分布函数

引进随机变量后，我们可以用随机变量X取值的集合来表示随机事件。即对于任意实数a和b,{X≤a}、{X＜a}、{X＝a}、{X≥a}、{X＞a}、{a

＜X≤b

}等都是随机事件。

定义设X是随机变量，x是任意实数，函数

F(x)=P(X≤x)称为X的分布函数。

对任意实数x1、x2（x1＜x2）有P{x1＜X≤x2}=P{X≤x2}－P{X≤x1}=F(x2)－F(x1)．因此，若已知X的分布函数，就知道X落在任一区间上的概率,在这个意义上分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性．

首先分布函数F(x)描述的是事件“X≤x”的概率，其次，它

又是一个定义于全体实数且以区间[0,1]为值域的普通函数．正

是由于它的这种双重属性使我们得以用数学分析的方法来研究随

机变量的概率问题．

由分布函数的定义可知F(x)具有以下基本性质：(1)0≤F(x)≤1，(－∞＜x＜＋∞)．(2)对任意实数x1、x2，当x1＜x2时，有F(x1)≤F(x2)．（不减）（右连续）此外，还有这是因为这是因为

解当x＜0时，{X≤x}为不可能事件，P{X≤x}=0．

当0≤x＜1时，P{X≤x}=P{X=0}=

0.5，

当x≥1时，P{X≤x}=P{X=0}＋

P{X=1}=1．这是一个分段函数，图形为

例1设X为掷一枚硬币出现正面的次数，求随机变量X的分布函数．oxy0.511例2向区间[0，1]上随机投一点，使所投点落在[0，1]内

任一子区间的概率与子区间长度成正比（比例系数为1），而

与子区间所在位置无关．令X表示落点的坐标，则X是一个随

机变量，求X的分布函数．

解X是一个非离散型随机变量，分布函数F(x)=P{X≤x}

根据题意有：

x＜0时，{X≤x}为不可能事件，F(x)=P{X≤x}=0．0≤x＜

1时，F(x)=P{X≤x}=P{0≤X＜

x}=x．

x＞1时，{X≤x}为必然发生，F(x)=P{X≤x}=1．

因此，X的分布函数

例2设X的分布函数为求常数A与B的值。解：由于所以于是

例3设X的分布函数为求P{1<X≤2},P{2≤X≤4},P{X>3}。

解P{1＜X≤2}=F(2)－F(1)=0.5－0.2=0.3P{2≤X≤4}=P{X=2}+P{2＜X≤4}=［F(2)－F(2－0)］+［F(4)－F(2)

］=0.6－0.2=0.4P{X＞3}=1－P{X≤3}=1－F(3)=1－0.5=0.5§2.2离散型随机变量有些随机变量，它全部可能取值只有有限个或可列无穷多个，这类随机变量叫做离散型随机变量．例如，掷一颗骰子观察出现的点数、某射手射击10次，观察命中的次数、电话交换台单位时间接到的呼叫次数等，它们都是离散型随机变量．而测定电子元件的使用寿命，其可能取的值充满了区间(0,+∞)，是无法按一定次序一一列举出来的,所以它是一个非离散型的随机变量．为了完全描述随机变量X，只知道它可能取的值是远远不够的，更重要的是要知道它取各个值的概率．

设离散型随机变量X的可能取值为xk(k=1,2,…)，事件{X=xk}的概率为

P{X=xk}=pk(k=1,2,…)

(1)

称(1)式为离散型随机变量X的概率分布或分布律．它也可以用表格的形式来表示：X

x1x2…

xn

…

pkp1

p2…

pn…由概率的定义，pk

满足如下两个条件

(1)pk≥0(k=1,2,…)；

反之，满足上述条件的数列{pk}都是某一随机变量的分布列。

一般地，离散型随机变量的分布函数可表成都是右连续单调不减的阶梯函数．它在X的每一个可能取值处发生“跳跃”，其跳跃的高度恰为X取xi的概率．

显然，离散随机变量的分布函数由其分布律惟一确定．反之，若已知离散随机变量的分布函数，则其分布律亦被惟一地确定下来．因而分布律和分布函数都能完整描述离散型随机变量的统计规律，在应用时可选一种即可。例1设X的分布函数为求X的分布率。

解离散随机变量仅在其分布函数发生跳跃的点处取值，且其概率恰等于该点处的跃度．

于是由分布函数可得分布律为X0245P{X=k}

0.20.30.10.41．两点分布（0-1分布）若随机变量X只可能取两个值，其概率分布为

P{X=1}=p，P{X=0}=q(0＜p＜1，p＋q=1)．

则称X服从两点分布或0-1分布．也可表示为：X01pk

1－

pp分布函数为

对于只有两种可能结果的随机试验，总可以令其中一个结果为事件A，则另一个结果为则问题就归结为两点分布．例如，一次射击的命中与否；一个新生儿是男是女；一次抽样结果是正品还是次品，等等．2．二项分布在§1.7中介绍了n重伯努利试验，当每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)时，n次试验中A发生的次数X的可能值为0,1,2,…,n．且P{X=k}=pk=用{X=1}表A，{X