初中数学中考复习重要知识点归纳总结

数学初中阶段的重要知识点

1、图形的相似

相似多边形的对应边的比值相等，对应角相等；

两个多边形的对应角成正比，对应边的比值也成正比，那么这两个多边形相近；

相似比：相似多边形对应边的比值。

2、相近三角形

判定：

平行于三角形一边的直线和其它两边平行，所形成的三角形和原三角形相近；

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；

如果两个三角形的两组对应边的比成正比，并且适当的夹角成正比，那么两个三角形

相近；

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么两个三角形相似。

3、相近三角形的周长和面积

相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；

相近三角形（多边形）的面积的比等同于相近比的平方。

4、位似

位似图形：两个多边形相近，而且对应顶点的连线平行于一点，对应边互相平行，这

样的两个图形叫做位似图形，平行的点叫做位似中心。

不等式的概念

1、不等式：用不等号则表示左右关系的式子，叫作不等式。

2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知

数的值，都叫做这个不等式的解。

3、对于一个所含未知数的不等式，它的所有求解的子集叫作这个不等式的求解的子

集，缩写这个不等式的边值问题。

4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

5、用数轴则表示不等式的方法。

不等式基本性质

1、不等式两边都加之或乘以同一个数或同一个整式，不等号的方向维持不变。

2、不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都除以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变。

4、说明：

①在一元一次不等式中，不像是等式那样，等号就是维持不变的，就是随着加或乘坐

的运算发生改变。

②如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就

要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0,否

则不等式不成立。

一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1,

且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、求解一元一次不等式的通常步骤：1回去分母2回去括号3移项4分拆同类项5将

x项的系数化成lo

一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就共同组成了一个一

元一次不等式组。

2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的

解集。

3、谋不等式组的边值问题的过程，叫作求解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的数学分析

分别求出不等式组中各个不等式的解集。

利用数轴谋出来这些不等式的边值问题的公共部分，即为这个不等式组的边值问题。

6、不等式与不等式组

不等式：①用符号〉，=,〈号相连接的式子叫做不等式。②不等式的两边都加之或

乘以同一个整式，不等号的方向维持不变。③不等式的两边都除以或者除以一个正数，不

等号方向维持不变。④不等式的两边都除以或除以同一个负数，不等号方向恰好相反。

7、不等式的解集：

①能够并使不等式设立的未知数的值，叫作不等式的求解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③谋不等式边值问题的过程叫作求解不等式。

1、多项式

存有非常有限个单项式的代数和共同组成的式子，叫作多项式。

多项式里每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项，叫做常数项。

单项式可以看做就是多项式的特例

把同类单项式的系数相加或相减，而单项式中的字母的乘方指数不变。

在多项式中，含有的相同未知数的个数，称为这个多项式的元数经过分拆同类项后，

多项式所不含单项式的个数，称作这个多项式的项数所不含个单项式中次项的次数，就称

作这个多项式的次数。

2、多项式的值

任何一个多项式，就是一个用加、减至、乘坐、乘方运算把已知数和未知数连接起来

的式子。

3、多项式的恒等

对于两个一元多项式fx、gx来说，当未知数x同取任一个数值a时，如果它们税金

的值都就是成正比的，即fa=ga,那么，这两个多项式就称作就是并集的记作fx==gx,或

直和为fx=gx。

性质1如果fx==gx,那么，对于任一个数值a,都有fa=ga。

性质2如果fx==gx,那么，这两个多项式的个同类项系数就一定对应成正比。

4、一元多项式的根

通常地，能并使多项式fx的值等同于0的未知数x的值，叫作多项式fx的木。

多项式的加、减法，乘法

1、多项式的提、加法

2、多项式的乘法

单项式相加，用它们系数做为内积的系数，对于相同的字母因式，则联同它的指数做

为内积的一个因式。

3、多项式的乘法

多项式与多项式相加，先用一个多项式等每一项除以另一个多项式的各项，再把税金

的积相乘。

常用乘法公式

公式i平方差公式

a+ba-b=a^2一b八2

两个数的和与这两个数的高的积等同于这两个数的平方差。

第1章二次根式

学生已经研习过整式与分式，晓得用式子可以则表示实际问题中的数量关系。化解与

数量关系有关的问题还可以碰到二次根式。二次根式一章就去重新认识这种式子，积极

探索它的性质，掌控它的运算。

在这一章，首先让学生了解二次根式的概念，并掌握以下重要结论：

备注：关于二次根式的运算，由于二次根式的秦九韶相对于二次根式的以此类推来说

更不易掌控，教科书先精心安排二次根式的秦九韶，再精心安排二次根式的以此类推。二

次根式的秦九韶一节的内容存有两条发展的线索。一条就是用具体内容排序的例子体会二

次根式秦九韶法则的合理性，并运用二次根式的秦九韶法则展开运算;一条就是由二次根

式的秦九韶法则获得并运用它们展开二次根式的化简。

二次根式的加减一节先安排二次根式加减的内容，再安排二次根式加减乘除混合运算

的内容。在本节中，注意类比整式运算的有关内容。例如，让学生比较二次根式的加减与

整式的加减，又如，通过例题说明在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然

适用。这些处理有助于学生掌握本节内容。

第2章一元二次方程

学生已经掌握了用一元一次方程解决实际问题的方法。在解决某些实际问题时还会遇

到一种新方程一元二次方程。一元二次方程一章就来认识这种方程，讨论这种方程的解

法,并运用这种方程解决一些实际问题。

本章首先通过雕像设计、制作方盒、排球比赛等问题带出一元二次方程的概念，得出

一元二次方程的通常形式。然后使学生通过数值代入的方法找到某些直观的一元二次方程

的求解，对一元二次方程的求解予以体会，并得出一元二次方程的根的概念，

22.2降次解一元二次方程一节介绍配方法、公式法、因式分解法三种解一元二次方程

的方法。下面分别加以说明。

(1)在了解分体式方法时，首先通过实际问题带出形例如的方程。这样的方程可以化

成更为直观的形似的方程，由平方根的概念，可以获得这个方程的求解。进而举例说明

如何解形如的方程。然后举例说明一元二次方程可以化成形例如的方程，带出分体式方

法。最后精心安排运用分体式方法求解一元二次方程的例题。在例题中，牵涉二次项系数

不是1的一元二次方程，也牵涉没实数根的一元二次方程。对于没实数根的一元二次方程,

研习了公式法以后，学生对这个内容可以存有进一步的认知。

(2)在介绍公式法时，首先借助配方法讨论方程的解法，得到一元二次方程的求根公

式。然后安排运用公式法解一元二次方程的例题。在例题中，涉及有两个相等实数根的一

元二次方程，也涉及没有实数根的一元二次方程。由此引出一元二次方程的解的三种情况。

(3)在了解因式分解法时，首先通过实际问题带出不易用因式分解法的一元二次方程,

带出因式分解法。然后精心安排运用因式分解法求解一元二次方程的例题。最后对分体式

方法、公式法、因式分解法三种求解一元二次方程的方法展开小结。

22.3实际问题与一元二次方程一节安排了四个探究栏目，分别探究传播、成本下降率、

面积、匀变速运动等问题，使学生进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

1.一元一次方程：只所含一个未知数，并且未知数的次数就是1,并且不含未知数项

的系数不是零的整式方程就是一元一次方程。

2.一元一次方程的标准形式：ax+b=O(x是未知数，a、b是已知数，且a*0)。

3.一元一次方程数学分析的通常步骤：整理方程……回去分母……回去括号……移

项……分拆同类项……系数化成1……(检验方程的求解)。

4.列一元一次方程解应用题：

(1)读题分析法：多用作“和，高，倍，分后问题”

仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为,

完成，增加，减少，配套一一”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数,

最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。

(2)画图分析法：多用作“行程问题”

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有

关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取

得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量)，填入有关的

代数式是获得方程的基础。

11.列方程求解应用题的常用公式：

(1)行程问题：距离=速度•时间；

(2)工程问题：工作量=工效•工时；

(3)比率问题：部分=全体•比率；

(4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度一水流速度；

(5)商品价格问题：售价=定价•折•，利润=售价一成本，；

(6)周长、面积、体积问题：c/=2“r,s圆=nr2,c长方形=2(a+b),s长方形

=ab,c正方形=4a,

s正方形=a2,s环形=m(r2—r2),v长方体=abc,v正方体=a3,v圆柱="r2h,v

圆锥=Jir2ho

本章内容就是代数学的核心，也就是所有代数方程的基础。丰富多彩的问题情境和解

决问题的欢乐很难引起学生对数学的快感，所以必须特别注意鼓励学生从身边的问题研究

起至，展开有效率的数学活动和合作交流，使学生在主动自学、探究自学的过程中赢得科

学知识，提高能力，体会数学思想方法。

1.有理数：

(1)凡能译成形式的数，都就是有理数。正整数、0、正数整数泛称整数；正分数、

正数分数泛称分数；整数和分数泛称有理数。特别注意：0即不是正数，也不是负数；一a

不一定就是负数，+a也不一定就是正数；p不是有理数；

(2)有理数的分类：①②

2.数轴：数轴就是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线。

3.相反数：

(1)只有符号相同的两个数，我们说道其中一个就是另一个的相反数；。的相反数还

是0；

(2)相反数的和为0?a+b=0?a、b互为相反数。

4.绝对值:

(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数；注意：

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2)绝对值可以则表示为：或；绝对值的问题经常分类探讨；

5.有理数比大小：

(1)正数的绝对值越大，这个数越大；

(2)正数永远比0大，负数永远比0小；

(3)正数大于一切负数；

(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小；

(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

(6)大数一小数〉0,小数一大数〈0o

6.互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；特别注意：0没倒数；若aWO,那么的倒

数就是；若ab=l?a、b互为倒数；若ab=-1?a、b互为正数倒数。

7.有理数加法法则：

(1)同号两数相乘，挑相同的符号，并把绝对值相乘；

(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

(3)一个数与0相乘，仍得这个数。

8.有理数加法的运算律：

(1)乘法的交换律：a+b=b+a；(2)乘法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

9.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a—b=a+(―b)。

10.有理数乘法法则：

(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；

(2)任何数同零相加都得零；

(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因

式的个数决定。

11.有理数乘法的运算律：

(1)乘法的交换律：ab=ba；(2)乘法的结合律：(ab)c=a(be)；

(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac□

12.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，。

13.有理数乘方的法则：

(1)正数的任何次嘉都是正数；

(2)负数的奇次幕就是负数；负数的也时次幕就是正数；特别注意：当n为也已奇

数时：(-a)n=一an或(a一b)n=一(b一a)n,当n为也已偶数时：(-a)n=an或

(a—b)n=(b—a)n。

14.乘方的定义：

(1)谋相同因式积的运算，叫作乘方；

(2)乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幕;

15.科学记数法：把一个大于10的数记成aXIOn的形式，其中a就是整数数位只有

一位的数，这种记数法叫做科学记数法。

16.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那

一位。

17.有效数字：从左边第一个不为零的数字起至，至准确的位数止，所有数字，都叫

做这个对数数的有效数字。

18.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减。

本章内容建议学生正确认识有理数的概念，在实际生活和自学数轴的基础上，认知正

负数、相反数、绝对值的意义所在。重点利用有理数的运算法则化解实际问题。

体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要。激发学生学习数学的兴趣，教师培

养学生的观察、归纳与概括的能力，使学生建立正确的数感和解决实际问题的能力。教师

在讲授本章内容时，应该多创设情境，充分体现学生学习的主体性地位。

一、基本知识

一、数与代数

a、数与式：

1、有理数：①整数一正整数，0,负整数；

②分数一正分数，正数分数

数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位

长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。

②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点去则表示。

③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这

两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点

距离相等。

④数轴上两个点则表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0,负数大于0,正数

大于负数。

绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。

②正数的绝对值就是他的本身、负数的绝对值就是他的相反数、0的绝对值就是0。

两个负数比较大小，绝对值小的反而大。

有理数的运算：带上符号进行正常运算。

乘法：

①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。

②异号相乘，绝对值成正比时和为0;绝对值左右时，挑绝对值很大的数的符号，用

很大的绝对值乘以较小的绝对值。

③一个数与0相加不变。

加法：乘以一个数，等同于加之这个数的相反数。

乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。

②任何数与0相加得0。

③乘积为1的两个有理数互为倒数。

乘法：①除以一个数等同于除以一个数的倒数。

②0不能作除数。

乘方：谋n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫做幕，a叫做底数，n

叫做次数或指数。

混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。

2、实数

无理数

无理数：无穷不循环小数叫做无理数，比如：口=3.…

平方根：①如果一个正数x的平方等于a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。

②如果一个数x的平方等同于a,那么这个数x就叫作a的平方根。

③一个正数有2个平方根；。的平方根为0；负数没有平方根。

④谋一个数a的平方根运算，叫作开平方，其中a叫作被开方数。

立方根：①如果一个数x的立方等于a,那么这个数x就叫做a的立方根。

②正数的立方根就是正数、0的立方根就是0、负数的立方根就是负数。

③求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数。

实数：①实数分后有理数和无理数。

②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝

对值的意义完全一样；

③每一个实数都可以在数轴上的一个点去则表示。

3、代数式

代数式：单独一个数或者一个字母也就是代数式。

合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项；②把

同类项合并成一项就叫做合并同类项。

③在分拆同类项时，我们把同类项的系数相乘，字母和字母的指数维持不变。

4、整式与分式

整式：①数与字母的乘积的代数式叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式

和多项式泛称整式。

②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。

③一个多项式中，次数最低的项的次数叫作这个多项式的次数。

整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。

幕的运算：

a'm+a"n=a"(m+n)

(am)"n=a"(mn

)

(a/b)“n=a~n/b"n

除法一样。

整式的乘法：

①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的腰分别相乘，其余字母连同他的

指数不变，作为积的因式。

②单项式与多项式相加，就是根据分配律用单项式回去乘坐多项式的每一项，再把税

金的积相乘。

③多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把

所得的积相加。

公式两条：平方差公式：a"2-b2=(a+b)(a-b)；

整式的除法：①单项式相除，把系数，同底数幕分别相除后，作为商的因式；对于只

在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式。

②多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把税金的商相乘。

分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解

因式。

方法：加公因式法、运用公式法、分组水解法、十字二者乘法。

分式：①整式a除以整式b,如果除式b中含有分母，那么这个就是分式，对于任何

一个分式，分母不为0。

②分式的分子与分母同除以或除以同一个不等同于0的整式，分式的值维持不变。

分式的运算：

乘法：把分子相加的积做为内积的分子，把分母相加的积做为内积的分母。

除法：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数。

加减法：①同分母分式相乘减至，分母维持不变，把分子相乘减至。

②异分母的分式先通分，化为同分母的分式，再加减。

分式方程：①分母中所含未知数的方程叫做分式方程。

②使方程的分母为0的解称为原方程的增根。

b、方程与不等式

1、方程与方程组

一元一次方程：①在一个方程中，只所含一个未知数，并且未知数的指数就是1,这

样的方程叫做一元一次方程。

②等式两边同时加上或减去或乘以或除以(不为0)一个代数式，所得结果仍是等式。

求解一元一次方程的步骤：回去分母，移项，分拆同类项，未知数系数化成1。

二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元

一次方程。

二元一次方程组：两个二元一次方程共同组成的方程组叫作二元一次方程组。

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

二元一次方程组中各个方程的公共求解，叫作这个二元一次方程组的求解。

解二元一次方程组的方法：代入消元法；加减消元法。

一元二次方程：只有一个未知数，并且未知数的项的最低系数为2的方程：

ax2+bx+c=0；

1)一元二次方程的二次函数的关系

大家已经研习过二次函数(即为抛物线)了，对他也存有很深的介绍，似的数学分析,

在图象中则表示等等，其实一元二次方程也可以用二次函数去则表示，其实一元二次方程

也就是二次函数的一个特定情况，就是当y=0的时候就形成了一元二次方程了。那如果在

平面直角坐标系则中则表示出，一元二次方程就是二次函数中，图像与x轴的交点。也就

是该方程的求解了

2)一元二次方程的解法

大家晓得，二次函数存有顶点式(-b/2a

,4ac-b,2/4a),这大家要记住，很重要，因为在上面已经说过了，一元二次方程也

是二次函数的一部分，所以他也有自己的一个解法，利用他可以求出所有的一元一次方程

的解

(1)分体式方法

利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解

(2)水解因式法

提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这

点，把方程化为几个乘积的形式去解

(3)公式法

3)解一元二次方程的步骤：

(1)分体式方法的步骤：

先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的

一半的平方，最后配成完全平方公式

(2)水解因式法的步骤：

把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式，公式法(这里指的是分解因式中

的公式法)或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

(3)公式法

就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a,一次项的系数为b,

常数项的系数为c

4)韦达定理

利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和,b/a,二根之积

=c/a

也可以则表示为xl+x2=-b/a,xlx2=c/a。利用韦达定理，可以谋出来一元二次方程中

的各系数，在题目中很常用

5)一元二次方程根的情况

利用根的判别式回去介绍，根的判别式可以在书面上可以记为“△”，读成“dia。

i当△〉()时，一元二次方程有2个不相等的实数根；

ii当△=()时，一元二次方程存有2个相同的实数根；

iii当△b,则a+c〉b+c；

在不等式中，如果乘以同一个数(或加之一个负数)，不等式符号不移向；

例如：如果a〉b,则a-c〉b-c；

在不等式中，如果除以同一个正数，不等式符号不移向;

例如：如果a〉b,则a*c〉b*c(c>0)；

在不等式中，如果除以同一个负数，不等号移向；

例如：如果a〉b,则a*c〈b*c(c<0)；

如果不等式除以0,那么不等号改成等号；

所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果

出现了，那么不等式乘的数就不等于0,否则不等式不成立；

3、函数

变量：因变量y,自变量X。

在用图像则表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用直角方

向的数轴上的点则表示因变量。

一次函数：①若两个变量x,y间的关系式可以表示成丫=1«+6(b为常数，k不等于0)

的形式，则称y是x的一次函数。

②当b=0时，表示y就是x的正比例函数。

一次函数的图像：

①把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别做为点的横坐标与纵坐标，在直

角坐标系内汤泽市它的对应点，所有这些点共同组成的图形叫作该函数的图像。

②正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线。

③在一次函数中，当k〈0,b〈o时，则经象限；

当k<0,b)0时，则经象限；

当k〉0,b〈0时，则经象限；

当k〉0,b)0时，则经象限。

④当k〉0时，y的值随x值的减小而减小，当x〈0时，y的值随x值的减小而增力口。

二空间与图形

a、图形的重新认识

1、点，线，面

点，线，面：①图形就是由点，线，面形成的。

②面与面相交得线，线与线相交得点。

③点动成线，线动成面，面动成体。

展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的

交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。

②n棱柱就是底面图形存有n条边的棱柱，上下底面就是n边形。

截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。

视图：主视图，左视图，俯视图。

多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所共同组成的图形叫做扇形。

②圆可以分割成若干个扇形。

2、角

线：①线段有两个端点。

②将线段向一个方向无穷缩短就构成了射线。射线只有一个端点。

③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。

④经过两点存有且只有一条直线。

比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间直线最短。

②两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离。

角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个

角的顶点。

②一度的1/60就是一分，一分的1/60就是一秒。即为：60分成1度，60秒为1分

后。

角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。

②一条射线绕着他的端点转动，当终边和始边变成一条直线时，阿芒塔的角叫作平

角，。始边稳步转动，当他又和始边重合时，阿芒塔的角叫作周角，。

③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个

角的平分线。

平行：①同一平面内，不平行的两条直线叫作平行线。

②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。

垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。

②互相横向的两条直线的交点叫作像距。

③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

垂直平分线：横向和平分后一条线段的直线叫做垂直平分线。

垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限

延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线，所以在画垂直平分线的时候，确定了2

点后（关于画法，后面会讲）一定要把线段穿出2点。

垂直平分线定理：

性质定理：在垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；

认定定理：至线段2端点距离成正比的点在这线段的垂直平分线上；

角平分线：把一个角平分的射线叫该角的角平分线。

定义中存有几个要点必须特别注意一下的：角的角平分线就是一条射线，不是线段也

不是直线，很多时，在题目中可以发生直线，这就是角平分线的对称轴才可以用直线的，

这也牵涉至轨迹的问题，一个角的角平分线就是至角两边距离成正比的点的子集。

性质定理：角平分线上的点到该角两边的距离相等；

认定定理：至角的两边距离成正比的点在该角的角平分线上；

正方形：一组邻边相等的矩形是正方形

性质：正方形具备平行四边形、菱形、矩形的一切性质

判定：1、对角线相等的菱形2、邻边相等的矩形

二、基本定理

1、过两点有且只有一条直线

2、两点之间线段最长

3、同角或等角的补角相等

----补角=-角度。

4、同角或等角的余角相等一一余角=90-角度。

5、过一点存有且只有一条直线和未知直线横向

6、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7、平行公理：经过直线外一点，存有且只有一条直线与这条直线平行

8、如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9、同位角成正比，两直线平行

10、内错角相等，两直线平行

11、同旁内角优势互补，两直线平行

12、两直线平行，同位角相等

13、两直线平行，内错角成正比

14、两直线平行，同旁内角互补

15、定理

三角形两边的和大于第三边

16、推断

三角形两边的差小于第三边

17、三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于。

18、推断1

直角三角形的两个锐角互余

19、推断2

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和

20、推断3

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

21、全系列等三角形的对应边、对应角成正比

22、边角边公理(sas)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23、角边角公理(

asa)：有两角和它们的夹边对应相等的

两个三角形全系列等

24、推论(aas)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25、边边边公理(sss)：存有三边对应成正比的两个三角形全系列等

26、斜边、直角边公理(hl)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27、定理1

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28、定理2

到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上

29、角的平分线就是至角的两边距离成正比的所有点的子集

30、推论1

等腰三角形顶角的平分线平分底边并且旋转轴底边

31、推论2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，即三线

合一；

32、推断3

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

33、等腰三角形的认定定理

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)

34、等腰三角形的性质定理

等腰三角形的两个底角相等

(即为等边对等角)

35、推论1

三个角都成正比的三角形就是等边三角形

36、推论

存有一个角等同于60°的等腰三角形就是等边三角形

37、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的.直角边等于斜边的一半

38、直角三角形斜边上的中线等同于斜边上的一半

39、定理

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离成正比

40、逆定理

和一条线段两个端点距离成正比的点，在这条线段的垂直平分线上

41、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42、定理1

关于某条直线对称的两个图形是全等形

43、定理

如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

44、定理3

两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上

45、逆定理

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对

46、勾股定理

直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

47、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形

48、定理

四边形的内角和等于。

49、四边形的外角和等同于。

50、多边形内角和定理

n边形的内角的和等同于（n-2）X°

51、推论

任一多边的外角和等同于。

52、平行四边形性质定理1

平行四边形的对角成正比

53、平行四边形性质定理2

平行四边形的对边成正比

54、推论

缠在两条平行线间的平行线段成正比

55、平行四边形性质定理3

平行四边形的对角线互相平分

56、平行四边形判定定理1

两组对角分别成正比的四边形就是平行四边形

57、平行四边形判定定理2

两组对边分别成正比的四边

形是平行四边形

58、平行四边形认定定理3

对角线互相平分的四边形是平行四边形

59、平行四边形认定定理4

一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60、矩形性质定理1

矩形的四个角都是直角

61、矩形性质定理2

矩形的对角线相等

62、矩形认定定理1

有三个角是直角的四边形是矩形

63、矩形认定定理2

对角线相等的平行四边形是矩形

64、菱形性质定理1

菱形的四条边都相等

65、菱形性质定理2

菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66、菱形面积=对角线乘积的一半，即s=(aXb)4-2

67、菱形判定定理1

四边都成正比的四边形就是菱形

68、菱形判定定理2

对角线互相横向的平行四边形就是菱形

69、正方形性质定理1

正方形的四个角都就是直角，四条边都成正比

70、正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平

分一组对角

71、定理1

关于中心对称的两个图形是全等的

72、定理2

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73、逆定理

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于

这一点对称

74、全等梯形性质定理

等腰梯形在同一底上的两个角相等

75、全等梯形的两条对角线成正比

76、等腰梯形判定定理

在同一底上的两个角成正比的梯

形是等腰梯形

77、对角线成正比的梯形就是全等梯形

78、平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上沙尔霍罗德区的线段成正比，那么在其他直线上沙尔霍

罗德区的线段也成正比

79、推论1

经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80、推论2

经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81、三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等同于它的一半

82、梯形中位线定理

梯形的中位线平行于两底，并且等同于两底和的一半

1=(a+b)4-2

s=lXh

83、(1)比例的基本性质：如果a:b=c:d,那么ad=bc

如果

ad=bc,那么a:b=c:d

84、(2)合比性质：如果a/b=c/d,那么(a±b)/b=(c±d)/d

85、⑶等比性质：如果a/b=c/d=…二m/n(b+d+…+nW0),那么(a+c+…+m)/

(b+d+…+n)=a/b

86、平行线分后线段成比例定理

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87、推断

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

88、定理

如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条

直线平行于三角形的第三边

89、平行于三角形的一边，并且和其他两边平行的直线，

所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90、定理

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原

三角形相似

91、相近三角形认定定理1

两角对应相等，两三角形相似（asa）

92、直角三角形被斜边上的高分为的两个直角三角形和原三角形相近

93、判定定理2

两边对应成比例且夹角成正比，两三角形相近（sas）

94、判定定理3

三边对应成比例，两三角形相近（sss）

95、定理

如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对

应成比例，那么这两个直角三角形相近（hl）

96、性质定理1

相近三角形对应低的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等同于相近比

97、性质定理2

相近三角形周长的比等同于相近比

98、性质定理3

相近三角形面积的比等同于相近比的平方

99、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正

弦值sin(a)=cos(90-a),cos(a)=sin(90-a)

(a<90)

、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切

值tan(a)=cot(90-a),cot(a)=tan(90~a)

、圆就是定点的距离等同于定长的点的子集

、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

、圆的外部可以看做就是圆心的距离大于半径的点的子集

、同圆或等圆的半径相等

、至定点的距离等同于定长的点的轨迹，就是以定点为圆心，定长为半径的圆

、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

、至未知角的两边距离成正比的点的轨迹，就是这个角的平分线

、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

、定理

不在同一直线上的三点确定一个圆。

、垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

、推断1

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧(直径)

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

、推断2

圆的两条平行弦所夹的弧相等

、圆就是以圆心为对称中心的中心对称图形

、定理

在同圆或等圆中，成正比的圆心角面元的弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦

心距成正比

、推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中存有一组量成

正比那么它们所对应的其余各组量都成正比

、定理

一条弧所对的圆周角等同于它面元的圆心角的一半

、推论1

同弧或等弧所对的圆周角成正比；同圆或等圆中，成正比的圆周角面元的弧也成正比

、推论2

半圆（或直径）面元的圆周角就是直角；90°的圆周角面元的弦就是直径

、推论3

如果三角形一边上的中线等同于这边的一半，那么这个三角形就是直角三角形

、定理

圆的内接四边形的对角优势互补，并且任何一个外角都等同于它的内对角

、①直线1和。。相交

0<=d<r

②直线1和。。相切

d=r

③直线1和。。相离

d>r

、切线的判定定理

经过半径的外端并且旋转轴这条半径的直线就是圆的切线

、切线的性质定理

圆的切线旋转轴经过切点的半径

、推论1

经过圆心且旋转轴切线的直线必经过切点

、推论2

经过切点且旋转轴切线的直线必经过圆心

、切线长定理

从铅直一点引圆的两条切线平行与一点，它们的切线短成正比

,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

、圆的外切四边形的两组对边的和成正比

、弦切角定理

弦切角等同于它所缠的弧对的圆周角？

、推论

如果两个弦切角所夹的弧成正比，那么这两个弦切角也成正比

、相交弦定理

圆内的两条平行弦，被交点分为的两条线段长的积成正比

、推论

如果弦与直径横向平行，那么弦的一半就是它分直径阿芒塔的两条线段的比例中项

、切割线定理

从铅直一点引圆的切线和割线，切线短就是这点至割线与圆交点的两条线段长的比例

中项？

、推论

从铅直一点引圆的两条割线，这一点至每条

割线与圆的交点的两条线段长的积相等

、如果两个圆切线，那么切点一定在连心线上

、①两圆外离

d>r+r

②两圆外切

d=r+r

③两圆相交

r-r<d<r+r(r>r)

④两圆内切

d=r-r(r>r)

⑤两圆内含

d<r-r(r>r)

、定理

平行两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

、定理

把圆平均值分为n(n》3):

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相连切线的交点为顶点的多边形就是这个圆的外切正n

边形

、定理

任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆

、正n边形的每个内角都等于(n-2)X°/n

、定理

正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

、正n边形的面积sn=pn*rn/2

P表示正n边形的周长

、正三角形面积J3a~2/4

a表示边长

、如果在一个顶点周围存有k个正n边形的角，由于这些角的和应属。，因此kX(n-

2)°/n=°化成(n-2)(k-2)=4

、弧长计算公式：l=n兀r/----》l=nr

、扇形面积公式：s扇形=11兀/2/=1「/2

、内公切线长=d-(r-r)

外公切线短=d-(r+r)

数轴

11存有向直线

在科学技术和日常生活中，为了区别一条直线的两个不同方向，可以规定其中一方向为

正向，另一方向为负相

规定了正方向的直线，叫作存有向直线，读成存有向直线1

12数轴

我们把数轴上任一一点所对应的实数称作点的座标

对于每一个坐标(实数)，在数周上可以找到唯一的点与之对应这就是直线的坐标化

数轴上任一一条存有向线段的数量等同于它的终点座标与起点座标的差任一一条存有

向线段的长度等同于它两个断电座标高的绝对值

上面的内容是初中数学知识点之数轴，相信同学们看过以后都可以很好的掌握了吧。

如果想要了解更多更全的初中数学知识就来关注吧。

下面就是对平面直角坐标系则的内容自学，期望同学们较好的掌控下面的内容。

平面直角坐标系

平面直角坐标系则：在平面内画两条互相横向、原点重合的数轴，共同组成平面直角

坐标系则。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直

角坐标系的原点。

平面直角坐标系则的要素：①在同一平面②两条数轴③互相横向④原点重合

三个规定:

①正方向的规定横轴价值观念右为正方向，纵轴价值观念上以正方向

②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同

一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象

限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同

学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系则的形成

对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系则的形成

在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角

坐标系。通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条

数轴的正方向。水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做y轴或纵轴，x轴或y轴统

称为坐标轴，它们的公共原点。称为直角坐标系的原点。

通过上直面平面直角坐标系则的形成科学知识的传授自学，期望同学们对上面的内容

都能够较好的掌控，同学们认真学习吧。

点的坐标的性质

创建了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确认它的座标。

反过来，对于任何一个座标，我们可以在座标平面内确认它所则表示的一个点。

对于平面内任意一点C,过点C分别向X轴、y轴作垂线，垂足在X轴、y轴上的对

应点a,b分别叫做点c的横坐标、纵坐标，有序实数对（a,b）叫做点c的坐标。

一个点在相同的象限或坐标轴上，点的座标不一样。

希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在

考试中取得优异成绩的。

初中数学知识点：因式分解的通常步骤

关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。

因式分解的通常步骤

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四

项或四项以上的多项式，

通常使用分组水解法，最后运用十字二者乘法水解因式。因此，可以归纳为：“一

加”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式

分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范围内因式分解，

因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。

坚信上直面因式分解的通常步骤科学知识的内容传授自学，同学们已经能够较好的掌

控了吧，期望同学们文凭出来好成绩。

因式分解

因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式

分解。

因式分解要素：

①结果必须就是整式

②结果必须是积的形式

③结果就是等式

④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)

公因式：一个多项式每项都所含的公共的因式，叫作这个多项式各项的公因式。

公因式确定方法：

①系数就是整数时挑各项最大公约数。

②相同字母取最低次幕

③系数最大公约数与相同字母挑最高次幕的积就是这个多项式各项的公因式。

提取公因式步骤：

①确认公因式。

②确定商式

③公因式与商式译成内积的形式。

分解因式注意；

①不许丢字母

②不准丢常数项注意查项数

③双重括号化为单括号

④结果按数单字母单项式多项式顺序排列

⑤相同因式译成幕的形式

⑥首项负号放括号外

⑦括号内同类项分拆。

通过上面对因式分解内容知识的讲解学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，希望

上面的内容给同学们的学习很好的帮助。

1.无此同一直线上的三点确认一个圆。

2.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推断1

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推断2圆的两条平行弦所缠的弧成正比

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

4.圆就是定点的距离等同于定长的点的子集

5.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

6.圆的外部可以看做就是圆心的距离大于半径的点的子集

7.同圆或等圆的半径相等

8.至定点的距离等同于定长的点的轨迹，就是以定点为圆心，定长为半径的圆

9.定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦

心距相等

10.推断在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中存有

一组量成正比那么它们所对应的其余各组量都成正比。

11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

12.①直线1和。。平行d

②直线1和。。相切d=r

③直线1和。。嗟乎d>r

13.切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直