2024年上海市高考数学模拟试卷(附答案)

2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试

上海数学试卷

（考试时间：120分钟，满分：150分）

（试卷共5页，答题纸共2页）

一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分。考

生应在答题纸的相应位置直接填写结果。）

1.函数y=’的定义域为_________.

2,—x

2.不等式|l-2x|4x的解集为.

3.准线为直线x=4且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为.

4.在卜-的展开式中，一项的系数为.（结果用数字作答）

（7YV<0

5.己知aeR,设了⑺=「尤’,若/⑷>-1,则a的取值范围为_________.

[x-2ax,x>0

6.某校高一、高二、高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的

方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为1:2:3,则该学校高三的学生人

数为人.

7.在锐角△NBC中，内角/、B、C所对应的边分别为a、b、c,已知/=工，3a=Sb,

3

c=2,则△NBC的面积S=.

8.某校开展选修课课程.甲乙两位同学需要在数学、足球、篮大------7"

球、美术、音乐5门选修课中选择2门不同的选修课来进行学/\/

习，记随机变量X为“甲乙两人所选的选修课程中相同的个

数”，则X的数学期望为.口C

9.如图，在菱形4BCD中，AB=3,E为对角线/C上一点，若4（荥=而且力万•k=4,

贝I]福亚二.

10.设i为虚数单位，已知/（〃）=产+产+产+…+产。25（〃为正整数）.若”尸%,则

当"1、”2取遍全体自然数时，/（“J+ZX%）可组成个不同的虚数.

高考数学（2024）第1页共5页

11.某工程队欲建造一个仿古观景建筑，供游客观赏.如图所■o

示，该建筑计划为四棱台，底面为矩形，底面积为360平

方米，高为〃=12米，上底面中心为O.由于材料消耗的

限制，则需使上底面的顶点始终在以。为中心的椭圆「上，

若「的长轴长为8加米，离心率为且，则该建筑的体积的最大值为___立方米.

2

12.设存在实数OK%<工2<…42兀，若对任意的左e{1,2,3,…,7}均有：

Xk+l-xkL贝COS』+COSX，+…+C0SX8的最大值为_________.

[643J

二、选择题（本大题共4题，共18分，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分。每

题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。）

13.已知集合/={Nsinx=0},B=卜,=仇左eN},则（）.

A.A匚B；B.BQA；C.A^B=0；D.A=B.

14.设a,beR,在下列各条件中，不是“-6,2”成立的充分条件的是（）.

A.a>25.ab<Q；B.问-网>2；

15.已知甲盒中有5个黑球，3个白球，“（a为正整数且a22）个红球，乙盒中有3个黑

球，5个白球.先从甲盒中随机取出两球并放入乙盒，再从乙盒中随机取出一球，记

事件/为“从甲盒中取出的是两个颜色不同的球”，事件5为“从乙盒中取出的是黑

球”，则口为⑷与PCBI7）的大小关系是（）.

A.P（B\A）>P（B|A）；B.P（B|A）<P{B\A）；

C.P{B\A）=P{B\A）,D.无法判断，需由。的取值决定.

16.对于不为常数列的无穷数列{%},其中%>0,设其前〃项的和为月，若{%}满足：

对任意的a„,均存在黑，使得|a„-S,“归％成立，则称{«„}为“可控数列现给出下

列两个命题：①存在等差数列为“可控数列”；②存在等比数列为“可控数列”.则

下列说法中正确的是（）.

A.命题①成立，命题②成立；B.命题①成立，命题②不成立；

C.命题①不成立，命题②成立；D.命题①不成立，命题②不成立.

高考数学（2024）第2页共5页

三、解答题（本大题共5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18

分。解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。）

17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

如图，圆柱。O］的下底面直径为3C,48为圆柱的母线，点

尸为疏的中点.

（1）证明：平面平面OQ8；

（2）若圆柱的底面半径为2,且直线/尸与平面。QP所成角

9

的正切值大小为一，求二面角N-OP-3的大小.

3

18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

设aeR,已知/（x）=asinx+cos2无（xeD）.

（1）设口=）＜,当为偶函数时，求a的值；

（2）设-14a41且D=［0,2兀］,根据a的不同取值，试讨论关于x的方程〃x）=0解的

个数，并说明理由.

19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）

某果园长期种植苹果，经过调研发现，“年利润增量y（单位：万元）”与“投资金额x

（单位：万元）”具有线性关系.

（1）若果园调查了10年内“年利润增量与“投资金额x”的关系并使用办公表格

软件得到拟合直线：j；=1.50%-2.99.已知变量x的方差为s；=1322,变量y的方差为

2

52=7485,求“年利润增量y”与“投资金额x”的相关系数r的值；

（2）为了预测统计结果并选取合适的投资方案，该果园先选取了“2021〜2025年果园

每年的投资金额与年利润增量的关系”（见下表）.再分别选取了如下两个模型进行回归分

析：模型①：y=22.80Inx-28.43,模型②：y=25.43Inx-26.92.

试问：用哪个模型得到的预测结果更可靠？请通过计算说明理由.并利用当投资金额

为200万元时的年利润增量的预测值判断该方案是否合理？

（本大题计算结果均精确到0.01）

高考数学（2024）第3页共5页

年份20202021202220232024

投资金额48111315

(单位：万元)

年利润增量6.4230.1933.6538.2840.07

(单位：万元)

2020-2024年果园每年的投资金额与年利润增量的关系

参考公式：线性回归方程y=+B中回归系数计算公式如下:

八Z(x，-x)S-y)〜_

a=---------------------,b=y-ax.

£(x,-x)2

1=1

20.(本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分)

22

已知椭圆「:4+4=1(。>6>0)的左右焦点分别为月(-6,0)、不瓜0),点P

ab

是r上的一点，直线I:V3x-y-6"?=0(meR).

(1)当6=C时，已知/恰好经过「的右顶点/,求〃?的值；

(2)当加=6时，若尸同时是/上一点且/为隼=乌，求a的值；

6

a

(3)设直线Pg交/于0,对每一个给定的加eR,任意满足入»2+1)的实数心

都有成立.则加在变化时，求|0周的最小值.

高考数学(2024)第4页共5页

21.(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)

对于定义域为R的函数y=/(x).若给定闭区间D=R,存在aeD,对于任意的

xeD,现给出如下定义：①若/则记/(a)=M,(D)；②若f(a)Wf(x),

则记1/(a)=mz(D).

(1)若/(x)=e'-x,设D=[l,2],求M/(D)与吗(D)的值；

(2)设a>0,f(x)=-x3+kx1,g(x)=(2左-3)x+(2-左).若对任意的Dq[0,1],均

有MJD)2Mg(D)成立，求左的取值范围；

(3)已知对任意的DuR,MJD)与%(D)均存在.证明：“/(无)为R上的严格增

函数或严格减函数”的充要条件为“对于任意两个不同的D1,D?uR,"7(DJw%(D?)与

m/DJ丰m/D2)至少其中一个成立

高考数学(2024)第5页共5页

2024年普通高等学校招生全国统一模拟考试

上海数学试卷

答案要点及评分标准

说明：

1.本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准

的精神进行评分.

2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的

评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一

题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应

给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.

解答

一、（第1题至第12题，其中第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分）

1.{x\x^2}2.1,13.y2=-l6x4.605.6.630

34

7.—J3r8.-9.-110.611.304012.2

25

二、（第13题至第16题，其中第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分）

号

题13141516

号

代BCDC

三、（第17题至第21题）

17.［证］（1）因为尸是部的中点，BC为直径,所以0尸，。8……2分

又因为N3为母线，所以48,平面CP8,又因为OPu平面CP3,进而，OP,

因为OPVAB,所以。尸_L平面。QB........4分

因为OPu平面/。尸，进而得证平面平面0Q3.……6分

（2）由（1）证明可得：。尸，平面0a3,因为。au平面，故OP，。。，

因为且。尸_LN。，PODOO|=O，故NO_L平面尸....8分

高考模拟数学答案（2024）第1页共6页

7

因此为直线4P与平面OQ尸所成角，进而得tan/4PQ=§,解得：01P=3,

又可得：。。］=”……10分

因为4B_L平面20尸，即平面403_1_平面20尸，进而可得

//O8为4-O尸一3的二面角....12分

此时tan//08=J,

2

C

即A-OP-B的二面角的大小为arctan.14分

2

18.［W］⑴因为/(x)为偶函数，即/(X)=/(T)……2分

ITTT

取。=—ED,-C=——GD,代入解得：a=0.......4分

22

当Q=0时，cos2x=cos(-2x),因止匕Q=0........6分

(2)原函数可化简为：/(x)=tzsinx+l-2sin2x.......7分

情况一：当。=±1时，/(x)=0,可解得在区间［0,2兀］上存在3个解……9分

情况二：当一1<Q<1时，令/=sinx£［-l,l］,f(t)=at+1-It2,令〃/+1-2/=0,

可解得：”-a+，j+8,1-，广"，显然％随着。的增大而增大且％>0,

根据韦达定理：4%=-3，L同样随着。的增大而增大……12分

此时—</2<1>又因为％=sinxe,f?=sinxe在区间［0,2兀］

各存在2个零点；因此当时，在区间［0,2兀］上存在4个解.……14分

19.［解］(1)根据方差公式可得：

10_10

王(为7)2-疗

S,2=3------------=1233,sf=上--------=7485,

1010

10_10

化简可得：£(%<)2=12330,£(%-1)2=74850,……2分

i=li=l

根据回归系数公式可得：

高考模拟数学答案(2024)第2页共6页

E(匹-x)(%-y)

10__

化简可得：£(%4)(%-1)=19830.……4分

i=\

10__

£(--%)(-7)

代入相关系数公式：7'=口0'0口0"063.……6分

」»七一工)2£(%-y)2

(2)模型①：y=22.801nx-28.43,将回归方程的预测值与实际值整理如下:

年份20202021202220232024

预测值3.1818.9826.2430.0533.31

实际值6.4230.1933.6538.2840.07

102

因此可得模型①的最小拟合误差为：Qi=£(%/)«298.73.....8分

1=1

模型②：=25.43Inx-26.92,将回归方程的预测值与实际值整理如下:

年份20202021202220232024

预测值8.3325.9634.0638.3041.94

实际值6.4230.1933.6538.2840.07

102

:。2二X、

因此可得模型②的最小拟合误差为匕一y)p24.83..,.1..0.分

Z=1

因此根据最小拟合误差的大小情况来看：。＞。2,因此用模型②预测效果更好……12分

若投资金额为200万元时，此时年利润预测值为107.81万元，低于投资金额，因而导致有

财产的亏损，故该方案不合理.……14分

20.［解］(1)当6=遥，解得点4(3,0),

代入直线方程36-O-百加=0,解得=3........4分

(2)当加=百，直线/经过鸟.同时/的倾斜角为g.……5分

高考模拟数学答案(2024)第3页共6页

情况一：当尸在x轴上方时，则/两g=/用当=,所以|鸟尸|=|6段=26,

因此解得阳尸|=6,因为尸在:T上，故归周+|P闻=2-故”3+6.……7分

情况二:当尸在x轴下方时,则是含有30°的直角三角形,故闺尸|=6,\FP\=4g,

NFXPF22

因为尸在T上，故|尸耳|+|"|=2°,故”3+26.……10分

b2x2+a2y2=a2b2

(3)联立，,可得方程：(3a2+b2)x2-6ma2x+(3ma2-=0,

y=d3x-d3m

可得该方程判别式:公=12。2-12/+*代入户=。2-3,化简为A=16.2-12/_12,

而加223/一1,故A=16/_12加2一i2〈0,即/与「相离或相切.……12分

3

在/上任取。i且设苞在/的投影为4,故里。区闺。|，

即给定加时，当且仅当外Q_U时，|苞。|为最小值……14分

又因为当优<-、《/-1,〃?>、《/-],同@随加增大而增大，

故当且仅当％2=：°2一1时，住@为最小值16分

3-V3mI9I—33

由此可得：d=J-------'-=-a,代入可得：-ffl2-6V3m+—=0,

2244

解得：m=:48,而加>G，故加=；4c,此时=1+J.......18分

21.［解］⑴因为八x)=/-l,故/(x)在［1,2］上为严格增函数，

因止匕〃/(D)=/(2)=e2-2,my.(D)=/(l)=e-l.……2分+2分

(2)因为f\x)=-3x2+2kx,而/'(1)=-3+2左，

因为/(x)=k-1,g(l)=I,故g(x)是/(X)在X=1处的切线

2

而/(x)存在极值点西=0,x2=-k,而左>0,可得到如下情况:

2

x=037z27、

(0丁)X=­K(在，+8)

2

<0二0>0二0<0

/(X)/极小值极大值/

6分

高考模拟数学答案(2024)第4页共6页

情况一：当1之3时，此时％40,巾=/($)='尤，"g([0』)=g($)=$2-34+2,

此时场([0,1])>%([0,巾，不符题意舍去.……8分

22

情况二：当左时，此时/⑴与g(x)在上(0话左)均为严格增函数，

Y3_3工+2

因此当"f(D)上Me(D)时，/(x)2g(x)恒成立，因此左2—5——:---=〃(%),

而〃(x)>0在[0,1]上成立，进而上2〃⑴=3,故左23.……10分

(3)先证明必要性：若〃x)为R上的严格增函数，则任取Dj=,],4],D2=[。2也]，

M/(Dl)=f(bl),Mf(D2)=f(b2),叼(口)=/(%)，吗■0)=/4)，因为D^D?，

所以%>仿或％<4或的>与或的<与，因为/(X)为R上的严格增函数，所以可得：

/(«1)>/(/?!)或/⑷)</(幻或/&)>/电)或/(«2)</@2)，所以不难可得：

/3)7/(d)，/(。2)r/伯2)，所以或加/(D1)W加/色)成立.

同时对/(X)为R上的严格减函数，同理可证.……13分

下面证明充分性：当M/(DI)WM/(D2)与，W(D1»吗'(D2)其中一式成立时，/(X)不可能

为常值函数，先任取D=[a,b],总有M/(D)=/(a)或吗(D)=〃b),

假设存在与e[a,6],使得%.(D)=/图)，记口]=|«,曲],D2=[x0,/?],

则场3)=%<坊)=%02)=/(%),因为存在吗(D)=/(X]),则