2024中考数学复习训练：统计与概率

2024中考专题训练一统计与概率

知识点梳理

考点一'平均数

1.平均数的概念

-1

⑴平均数：一般地，如果有n个数七,》2,那么，x=—(x+x+■■■+x)

nr2n

叫做这n个数的平均数，嚏读作“x拔”。

(2)加权平均数：如果n个数中，项出现/次，/出现力次，…，4出现力

次(这里£+力+…/=〃)，那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可

以表示为最=罚4+%6--辿，这样求得的平均数嚏叫做加权平均数，其中

n

工,心•••/叫做权。

2.平均数的计算方法

(1)定义法

-1

当所给数据七,》2,…,X“，比较分散时，一般选用定义公式：X=—(%1+X+…+X〃)

n2

(2)加权平均数法：

当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：［:七/+马力+…/2，

n

其中/1+/2+…/=〃。

(3)新数据法：

当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：x=x'+«o

其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，对=匹-。，

——1

x'=x-a,x'=x-ax'=-㈤+必+…+x；）是新数据的平均数（通

22nnan

常把西,》2,…，X"，叫做原数据，x'l,X'2，…，X；，叫做新数据）。

考点二、统计学中的几个基本概念

1.总体

所有考察对象的全体叫做总体。

2.个体

总体中每一个考察对象叫做个体。

3.样本

从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

4.样本容量

样本中个体的数目叫做样本容量。

5.样本平均数

样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。

6.总体平均数

总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计

总体平均数。

考点三、众数'中位数

1.众数

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

2.中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或最中间两个数

据的平均数)叫做这组数据的中位数。

考点四、方差

1.方差的概念

在一组数据占,马，…,瑞，中，各数据与它们的平均数嚏的差的平方的平均数，叫

做这组数据的方差。通常用“$2”表示，即

1_12*5_—

S2=一[(11_X)+(x_X)2+--1-(x“_X)2]

n2

2.方差的计算

(1)基本公式：

1__-

针=一[区fl+(%2FT+…+(巧

n

(2)简化计算公式(I)：

1-0

§2=一[(X；+只+…+]

n

1—0

也可写成52=-[(Xj2+%2+…+4)]一1

n

此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。

(3)简化计算公式(II)：

52=，3；+咫+.-+应)-

n

当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同

时减去一个与它们的平均数接近的常数a,得到一组新数据刈=匕-。，

]——2

f

x*2=x2—a,x\=xn—a,那么，/—-[(x,+x]H----F)]—x

此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。

（4）新数据法：

原数据看,》2,…,X”，的方差与新数据x'i=占-。，x'2=x2-a,总=居-4的

方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得x\,x’2,…,X；，的方差就等于

原数据的方差。

3.标准差

方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即

22

S=J-[（X）—X）+（x2_x）2+F（xn—X）]

Vn-

考点五'频率分布

1.频率分布的意义

在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小

范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它

的频率分布。

2.研究频率分布的一般步骤及有关概念

（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：

①计算极差（最大值与最小值的差）

②决定组距与组数

③决定分点

④列频率分布表

⑤画频率分布直方图

（2）频率分布的有关概念

①极差：最大值与最小值的差

②频数：落在各个小组内的数据的个数

③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。

考点六'确定事件和随机事件

1.确定事件

必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生

的事件。

不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可

能的事件。

2.随机事件：

在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。

考点七'随机事件发生的可能性

一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的

大小有可能不同。

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可

以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就

是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各

事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。

考点八'概率的意义与表示方法

1.概率的意义

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率上会稳定在某个常数p附

m

近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。

2.事件和概率的表示方法

一般地，事件用英文大写字母A,B,C,表示事件A的概率p,可记为P

(A)=P

考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系

1.确定事件概率

(1)当A是必然发生的事件时，P(A)=1

(2)当A是不可能发生的事件时，P(A)=0

2.确定事件和随机事件的概率之间的关系

事件发生的可能性越来越小

0------------------------------1概率的值

II

不可能发生———>必然发生

事件发生的可能性越来越大

考点十'古典概型

1.古典概型的定义

某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试

验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概

型。

2.古典概型的概率的求法

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相

等,事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P(A)=-

n

考点十一'列表法求概率

1.列表法

用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。

2.列表法的应用场合

当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地

列出所有可能的结果，通常采用列表法。

考点十二'树状图法求概率

1.树状图法

就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状

图法。

2.运用树状图法求概率的条件

当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏

地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。

考点十三'利用频率估计概率

1.利用频率估计概率

在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到

某个常数，可以估计这个事件发生的概率。

2.在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率

估计，这样的试验称为模拟实验。

3.随机数

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把

这些随机产生的数据称为随机数。

精选真题练习

1.（2019•河北）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排

乱的统计步骤：

①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类

②去图书馆收集学生借阅图书的记录

③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比

④整理借阅图书记录并绘制频数分布表

正确统计步骤的顺序是

A.②一③T①一④B.③—④T①一②

C.①一②一④一③D.②—④一③一①

2.（2019•江西）根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇

形统计图，由图可知，下列说法错误的是

A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比

B.每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%

C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%

D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°

3.（2019•安徽）在某时段由50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车

速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为

A.60B.50C.40D.15

4.（2019•新疆）甲、乙两人连续5次射击成绩如图所示，下列说法中正确的是

甲、乙两人连续5次射击成绩折爱统计图

A.甲的成绩更稳定

B.乙的成绩更稳定

C.甲、乙的成绩一样稳定

D.无法判断谁的成绩更稳定

5.（2019•福建）如图是某班甲、乙,丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班

级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是

致学咸靖/分

10C

A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定

B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好

C.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高

D.就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

6.（2019•宁夏）为了解学生课外阅读时间情况，随机收集了30名学生一天课外

阅读时间，整理如下表：

阅读时间/小时0.5及以下0.70.91.11.3L5及以上

人数296544

则本次调查中阅读时间的中位数和众数分别是

A.0.7和0.7BO9和0.7C.1和0.7D.0.9和1.1

7.（2019•河南）某超市销售Z,B,C,。四种矿泉水，它们的单价依次是5元、

3元、2元、1元.某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是

A.1.95元B.2.15元C.2.25元D.2.75元

8.（2019•广东）数据3,3,5,8,11的中位数是

A.3B.4C.5D.6

9.（2019•甘肃）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识

竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数'方差如下表所示，规定成绩大于等

于95分为优异，则下列说法正确的是

参加人数平均数中位数方差

甲4594935.3

乙4594954.8

A.甲、乙两班的平均水平相同

B.甲、乙两班竞赛成绩的众数相同

C.甲班的成绩比乙班的成绩稳定

D.甲班成绩优异的人数比乙班多

10.（2019•广西）“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动,

小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，

两人恰好选择同一场馆的概率是

12

A.-B.-

33

12

C.—D.一

99

11.（2019・广西）下列事件为必然事件的是

A.打开电视机，正在播放新闻

B.任意画一个三角形，其内角和是180°

C.买一张电影票，座位号是奇数号

D.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

12.（2019•海南）某路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯

亮5秒，当小明到达该路口时，遇到绿灯的概率是

13

A.-B.—

24

15

C.—D.—

1212

13.（2019•宁夏）为了解某班学生体育锻炼的用时情况，收集了该班学生一天用

于体育锻炼的时间（单位：小时），整理成如图的统计图.则该班学生这天用于

体育锻炼的平均时间为小时.

14.（2019•山西）要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这

四项的支出各占家庭本年总支出的百分比，从“扇形统计图”，“条形统计图”，“折

线统计图”中选择一种统计图，最适合的统计图是一.

15.（2019•广西）甲，乙两人进行飞镖比赛，每人各投6次，甲的成绩（单位：

环）为：9,8,9,6,10,6.甲，乙两人平均成绩相等，乙成绩的方差为4,那

么成绩较为稳定的是.（填“甲”或“乙”）

16.（2019•新疆）同时掷两枚质地均匀的骰子，两枚骰子点数之和小于5的概率

是^.

17.（2019•河南）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况,

从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、

描述和分析.部分信息如下:

。•七年级成绩频数分布直方图:

七年级成绩在703<80这一组的是：70；72；74；75；76；76；77；77；77；

78；79

。・七'八年级成绩的平均数、中位数如下:

年级平均数中位数

七76.9m

八79.279.5

根据以上信息，回答下列问题：

(1)在这次测试中，七年级在80分以上(含80分)的有人:

(2)表中m的值为；

(3)在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断

两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；

(4)该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超

过平均数76.9分的人数.

18.(2019•福建)某种机器使用期为三年，买方在购进机器时，可以给各台机器

分别一次性额外购买若干次维修服务，每次维修服务费为2000元.每台机器在使

用期间，如果维修次数未超过购机时购买的维修服务次数，每次实际维修时还

需向维修人员支付工时费500元；如果维修次数超过购机时购买的维修服务次

数，超出部分每次维修时需支付维修服务费5000元，但无需支付工时费.某公司

计划购买1台该种机器，为决策在购买机器时应同时一次性额外购买几次维修

（2）试以这100机器维修费用的平均数作为决策依据，说明购买1台该机器的

同时应一次性额外购10次还是11次维修服务？

19.（2019•江西）为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我

爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母Z,B,。依次

表示这三首歌曲）.比赛时，将aB,C这三个字母分别写在3张无差别不透明

的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一

张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比

赛.

（1）八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是一；

（2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八

（2）班抽中不同歌曲的概率.

20.（2019•河北）某球室有三种品牌的4个乒乓球，价格是7,8,9（单位：元）

三种.从中随机拿出一个球,已知尸(一次拿到8元球)=；.

(1)求这4个球价格的众数；

(2)若甲组已拿走一个7元球训练，乙组准备从剩余3个球中随机拿一个训练.

①所剩的3个球价格的中位数与原来4个球价格的中位数是否相同？并简要说

明理由；

②乙组先随机拿出一个球后放回，之后又随机拿一个，用列表法(如图)求乙

组两次都拿到8元球的概率.

又拿

先拿

答案与解析

1.（2019•河北）【答案】D

【解析】由题意可得，正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书

的记录，④整理借阅图书记录并绘制频数分布表，③绘制扇形图来表示各个种

类所占的百分比，①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，故选D.

2.（2019•江西）【答案】C

【解析】A.扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项说法正确;

B.每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为1口0%=60%,超过50%,

此选项说法正确；

C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占30%,此选项说法错误；

D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是360。乂

（1口0%-10%-20%）=108°,此选项说法正确；故选C.

3.（2019•安徽）【答案】C

【解析】由条形图知，50个数据的中位数为第25、26个数据的平均数，即中位

数为=”署=40,故选C.

4.（2019•新疆）【答案】B

【解析】由折线图可知，乙与其平均值的离散程度较小，所以稳定性更好.故选

B.

5.（2019•福建）【答案】D

【解析】A.甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定，正确；

B.乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好，正确;

c.丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高，正确

D.就甲、乙、丙三个人而言，丙的数学成绩最不稳，故D错误.

6.（2019•宁夏）【答案】B

09+09

【解析】由表格可得，30名学生平均每天阅读时间的中位数是：2=0.9,

30名学生平均每天阅读时间的众数是0.7,故选B.

7.（2019・河南）【答案】C

【解析】这天销售的矿泉水的平均单价是5X10%+3X15%+2X55%+1X20%=2.25

（元），故选C.

8.（2019•广东）【答案】C

【解析】把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3,3,5,8,11,故这组数

据的中位数是5.故选C.

9.（2019•甘肃）【答案】A

【解析】A、由表格信息可得甲、乙两班的平均水平相同；A选项正确；

B、由表格信息无法得出甲、乙两班竞赛成绩的众数相同；B选项不正确；

C、由表格信息可以得出乙班的成绩比甲班的成绩稳定；C选项不正确；

D、由表格信息可以得出甲班中位数小于乙班的中位数，所以乙班成绩优异的人

数比甲班多，D选项不正确；故选A.

10.（2019•广西）【答案】A

【解析】图书馆，博物馆，科技馆分别记为A、B、C,画树状图如下：

共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3,

31

所以两人恰好选择同一场馆的概率=，=§.故选A.

11.(2019•广西)【答案】B

【解析】••'A,C,D选项中的事件均为不确定事件，即随机事件，故不符合题

意.••・一定发生的事件只有B,任意画一个三角形，其内角和是180。，是必然事

件，符合题意.故选B.

12.(2019•海南)【答案】D

【解析】二•每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，.•.当小明到达该

255

路口时，遇到绿灯的概率六二=百，故选D.

6012

13.(2019•宁夏)【答案】1.15

【解析】由图可知，该班一共有学生：8+16+12+4=40(人)，

该班学生这天用于体育锻炼的平均时间为：(0.5x8+1x16+1.5x12+2x4)+40=1.15

(小时).故答案为：1.15.

14.(2019•山西)【答案】扇形统计图

【解析】要表示一个家庭一年用于“教育”，“服装”，“食品”，“其他”这四项的支

出各占家庭本年总支出的百分比，最适合的统计图是扇形统计图.故答案为：扇

形统计图.

15.(2019•广西)【答案】甲

【解析】甲的平均数亍=4(9+8+9+6+10+6)=8,

O

所以甲的方差=2[(9-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(6-8)2+(10-8)2+(6

6

7

-8)2]=-,

因为甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩比较稳定.故答案为：甲.

16.（2019•新疆）【答案】

【解析】画树状图为：

13

2

123456123456123456

46

123456123456

共有36种等可能的结果数，其中两枚骰子点数的和是小于5的结果数为6,

•••两枚骰子点数之和小于5的概率是,，故答案为：

66

17.（2019•河南）【答案】（1）23；（2）77.5；

【解析】（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有15+8=23人,

故答案为：23；

（2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个

77+78

数据分别为78、79,^—=77.5,故答案为：77.5；

（3）甲学生在该年级的排名更靠前，

•.•七年级学生甲的成绩大于中位数77.5分，其名次在该年级抽查的学生数的25

名之前，八年级学生乙的成绩小于中位数79.5分，其名次在该年级抽查的学生

数的25名之后，・••甲学生在该年级的排名更靠前.

（4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为400x昔±^=224（人）.

18.（2019•福建）【答案】（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”

的概率为06（2）购买1台该机器的同时应一次性额外购10次维修服务更合适.

【解析】（1）“1台机器在三年使用期内维修次数不大于10”的概率=g=06

（2）购买10次时,

某台机器使用期内维修次数89101112

该台机器维修费用2400024500250003000035000

此时这100台机器维修费用的平均数y尸工

(24000x10+24500x20+25000x30+30000x30+35000x10)=27300；

购买11次时,

某台机器使用期内维修次数