2025年中考数学复习：圆的计算与证明（解答题）

第七单元圆的计算与证明一解答题

专题一圆和勾股

核心考点一构造垂径图，得背靠背型共边双勾股

01.如图,OA,OB,OC都是＜30的半径,N4CB=2乙BAC.

(1)求证:ZAOB=2ZBOC;

(2)若.AB=4,BC=有，求。O的半径.

核心考点二利用直径构造直角

02.如图,AB为。O的直径,CB是。O的切线,D为。O外一点,AD交。O于点E,AB=AD,DC1CB,垂足为C.

(1)求证:CD=DE-,

(2)若DE=2,BC=6,求AB的长.

核心考点三利用切线构造直角，设参与共边双勾股

03.如图.在Rt△4BC中，ZC=90。,点O在AC边上，以OA为半径的半圆。交AB于点D,交AC于点E.在BC

边上取一点F,连接FD,使得DF=BF.

(1)求证:DF为。。的切线;

(2)若AC=6,8C=4,CF=1„求。O的半径.

AOEC

专题二圆与全等

核心考点一构造8字型全等转边

01.如图,AB为圆O的直径,AE为圆O的弦,C为圆O上一点,AC^CE,CD14B,垂足为D.

(1)连接CO,判断CO与AE的位置关系,并证明;

⑵若AE=8,BD=2,求圆O的半径.

02.如图，。。是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E,AE=DE,BC=CE,过点O作。F，AC于点F,延长FO交

BE于点G.若DE=3,EG=2.

(1)求证:△E8C为等边三角形；

⑵求AB的长.

核心'考点二对称型全等与导角

03如图，在。O中,直径AB垂直弦CD于点E,连接AC,AD,BC,过点C作(CF14。于点F,交线段OB于点G(不与

点O,B重合),连接OF.

⑴若BE=1,求GE的长；

⑵若.FO=FG,猜想的度数，并证明你的结论.

专题三圆与相似

核心考点一结合角平分线(或弧的中点)可构造射影型相似

01.如图,AB是。O的直径,CD是。O上两点,C是皿的中点，过点C作AD的垂线,垂足是E.连接AC交BD于点

F.

⑴求证:CE是。。的切线；

⑵若会=跖求cosZABD的值.

核心考点二切割线与斜射影型相似

02.如图,在RtAABC中，NABC=90。,O为AB边上一点,以O为圆心,OB长为半径的。O交AB于点E,交AC于点

D,CB=CD.

(1)求证:AC是。O的切线；

⑵连接DE,若tan^EDA=|,DE=2,求线段AD的长.

核心考点三斜射影型相似、三角函数转比

03.如图,已知D为OO上一点，点C在直径BA的延长线上,BE与。O相切,交CD的延长线于点E,且BE=DE.

⑴证明:CE是。。的切线；

⑵若AC=4,sinC=/求BD的长

核心考点四旋转型相似

04.如图,△ABC是。O的内接三角形，AB是0O的直径，AC=遮,BC=2迷，点F在AB上.连接CF并延长,交

©0于点D,连接BD,作BE1CD,垂足为E.

⑴求证:△DBE△ABC;

⑵若AF=2,求ED的长.

核心考点五连弧的中点与圆心构"A、X”型相似

05.如图，AB为。O的直径，弦DC的延长线交AB的延长线于点E,乙BDC+24ABD=90°.

⑴求证:丽=CD;

⑵若AC=4V2,tan^ABD=争求BE的长.

核心考点六导角证相似

06.如图,以△ABC的边AC为直径作。O,交BC边于点D,过点C作（CE||4B交OO于点E,连接AD,DE,ZB=Z

ADE.

(1)求证:AC=BC;

(2)若tanB=2,CD=3,求AB和DE的长.

BDC

专题四圆和三角函数

核心考点一遇弦作垂，得直角和线段中点

01.如图，在。O中，弦AB的长为8,点C在BO延长线上，且COSAABC=三,℃=”B.

(1)求。O的半径；

(2)求tanZBAC.

核心考点二连切点构直角，含直角的斜A相似与三角函数转比，设参求解

02.如图,在4ABC中，ZACB=90°,D是AB上一点,且乙BCD=点O在BC上，以点O为圆心的圆经过C,D

两点.

⑴求证:AB是。。的切线；

⑵若sinB=|,OO的半径为3,求AC的长.

核心考点三作直径构直角，三角函数转比

03.如图,Rt△40B中，N。=90°„以OA为半径作。O,BC切OO于点C,连接AC交OB于点P.

(1)求证:BP=BC;

⑵若sin^PAO=1，且PC=7,求。O的半径.

B

O

专题五直径的构造

核心考点一直接利用直径

01.如图,AB是。O的直径,C是。O上一点,ZACB的平分线交AB于E,交。O于D,连接AD,BD.

(1)求证:AD=BD;

⑵若AB=6,4C=2V3,求益的值.

核心考点二连线利用直径

02.如图，。。半径为2,弦BC=3,A是弦BC所对优弧上的一个点,连接CO并延长交。0点M,连接AM,过点B作

BE±AC,垂足为E.

(1)求证:BE/7AM;

⑵过点A作AD1BC,分别交BE,BC于点H,D,求AH的长.

核心考点三延长直径构直角

03.如图,。。是△ABC的外接圆,AB=AC,CD1AB于点D,BO的延长线交CD于点E.

(1)求证:Z.DBE=乙BCD;

(2)若BC=4VxBE=4,求OE的长.

专题六垂径图

核心考点一构造直径转化角并得直角三角形，求三角函数值

01.如图，OO的直径人8，弦CD,垂足为点E,点P在优弧CAD上（不包含点C和点D）,连PC,PD,CB,tanzBCD

_1

-2

(1)求证:AE=CD;(2)求sinZCPD.

核心考点二构造直径转化角并得直角三角形，求三角函数值

02.如图,AB是。O直径，弦（CD14B于点E,过点C作CF1DB交AB的延长线于点G,垂足为F,连接AC.

(1)求证:AC=CG;

⑵若CD=EG=8,求GF的长.

核心考点三导角或构造直径转化角，求三角函数值

03.如图,在△28C中,AD1BC于D,点。在AD上,OO与AC,BC分别交于点E,F,连BE.

(1)求证:NABE=ZXC5;

(2)若tan^ABE=-,BC=3CF,求tcm/EBC的值.

4

专题七弧的中点

01.如图,在0O中,AB为直径.EF为弦,连接AF,BE交于点P,且F为在的中点

(1)求证:△FBP^AFAB;

⑵若tan/BEF=|,求sinZABE的值.

02.如图,AABC内接于。O,AB=AC,BD为。O的直径,过点A作1于点E,延长BD交AC延长线于点F.

⑴若AE=4,AB=5,求0O的半径；A

(2)若BD=2DF,求sinZACB的值.//\r

03.如图,△ABC内接于0O,ABAC=6(F,D,E分别为通和女的中点，连接DE.

(1)求证:BC=DE;

⑵若tanZ.ADE=/求s讥乙4ED的值.

专题八阿基米德折弦图

方法：等腰三角形(弧的中点)结合同弧对的圆周角相等，利用一边一角等作垂或截长补短构全等.图中隐藏了角平

分线，故也可构造对称型全等处理.

核心考点一顶角为90。的等腰三角形与全等构造

01.如图,AB是半圆O的直径,C是砂的中点，过点C作弦BD的垂线，垂足为E.

⑴求证:CE=DE;

⑵若AD=DE=1,求AB的长.

核心考点二顶角为60。的等腰三角形与全等构造

02如图，点A,P,B,C是。O上的四个点,^APC=^CPB=60。.

⑴判断△ABC的形状，并证明；

(2)若CP=6,BC=2夕,求S4PB.

核心考点三顶角为普通角的等腰三角形与全等构造

03.如图,四边形ABCD内接于。O,AC1BD,垂足为E,AB=AC.

(1)求证:ABAC=2ACAD;

(2)若。。的半径为5,sin^CAD=|,求BE-DE的值.

专题九婆罗摩笈多

01.如图,AB,CD是半径为5的。O的两条弦,且ABLCD于点G,点E是AC的中点连接EG并延长交BD于点F.

(1)求证:GFXBD;

⑵若冠1=BD,BG=7,求EF的长.

02.如图,AB为。O的直径,弦CD与AB相交于点E,DE=EC,,过点B的切线与AD的延长线交于点F,过点E作

EGLBC交BC于点G,延长GE交AD于点H.

(1)求证:AH=HD;

(2)若coszC=|,DF=9,求。。的半径.

03如图,AB,CD是。O的两条弦,AB=CD,AB1CD,垂足为点M,点N为AD的中点，延长NM交CB于点H,若

HN=8,AMBC的面积为15,MN>MH„则AD为()

A.6近B.5V2

C.10D.9

专题十切割线与角平分线

核心考点一作直径构直角，三角函数转比

01.如图,AB是。O的直径.点E,C在。O上，点C是BE的中点,AE垂直于过点C的直线DC,垂足为D,AB的延

长线交直线DC于点F.

⑴求证:DC是。。的切线；

⑵若AE=2,sin^AFD=*①求。O的半径；②求线段DE的长.

核心考点二勾股与相似结合（或构造矩形）

02.如图,AB为。O的直径,E为OO上一点，点C为既的中点，过点C作（CD1AE,交AE的延长线于点D,延长

DC交AB的延长线于点F.

⑴求证:CD是。O的切线；

⑵若DE=1,DC=2,求。O的半径长.

核心考点三结合角平分线可构造斜射影型相似

03.如图,RtAABC中,NC=90。,，。为AB上一点以O为圆心,OA为半径的。。与BC相切于点D.

(1)求证:AD平分.NB4C;

⑵连接DE,若.AB=2BD,求cos/CDE的值.

CDB

专题十一圆与等腰三角形

核心考点一圆心在三线上

01.如图，。。是△ABC的外接圆,AB=AC,,BO的延长线交AC于点D.

⑴求证:NB4C=2乙ABD;

⑵若蔡=|,求tan/ABD.

核心考点二腰过圆心

02如图,已知△4BC,,以AB为直径的。O交BC于点D,DE是。O的切线，且.DE1AC,垂足为E,延长CA交。0于

点F.

⑴求证:AB=AC-,

⑵若AE=3,DE=6,求AF的长.

核心考点三底过圆心'—含特殊角的等腰三角形与构造直径

03如图,△ABC中，AB=AC=43,ABAC=120。，点O在BC上,0O过点A和点B.

⑴求证:CA是。。的切线；

⑵点D是圆周上一点,AADC=90。,,求AD的长.

专题十二圆与平行四边形

核心考点一利用平行转化角

01.如图，已知AB是半圆O的直径，C是半圆弧上一点，P是BC的中点，PD||BC交AB延长线于点D.

(1)求证:PD为。O的切线;

⑵若AB=10,cos/。=刍求PC的值.

AOBD

核心考点二作直径构直角

02.如图，OO经过平行四边形4BCD的顶点A,D,C,边AB与。O相切于点A,边BC与。O相交于点H.

(1)求证:AB=AH;

⑵若AB=2,4。=VT7,求sinZBAH的值.

核心考点三平行四边形与相似

03.如图,平行四边形ABCD中、过A,B,C三点的。O交AD于E点OO与CD相切于C点

(1)求证:AC=AD;

(2)若AB=4,BE=5,求DE的长.

专题十三圆和矩形

核心考点一直接矩形的性质

01.如图,过矩形ABCD顶点A,B的。。与CD相切于点E,与AD,BC分别相交于点G,H,连接EH,AH.

(1)求证:EH平分/AHC;

⑵若AB=6,BH=8,求EH的长.

核心考点二切割图中弦切角、圆心角的转化

02.如图,OO与矩形ABCD的BC边相切于点M,且经过CD边上的点N,CM=CN.

(1)求证:CD与。O相切；

(2)©O与AB交于点E,连接EM.若tanNEMB=j,OO的半径为5,求AD的长.

核心考点三构造矩形

03.如图,在△ABC中，AB=AC,,以AC为直径作。O交BC于点D,过点D作DE1AB,垂足为E,延长BA交。O

于点F.

⑴求证:DE是。。的切线；

⑵若黑=|,。4=13,求AF的长.

DE3

专题十四圆与菱形

01.如图，OO过菱形ABCD的顶点B,D,且与AB相切,直径BF交CD于点E.

⑴求证:AD与OO相切；

⑵若喋=|,连接CF,求tanaFE的值.

BF3

02.如图,在菱形ABCD中,DH1A8于H,以DH为直径的。O分别交AD,BD于点E,F.连接EF.

(1)求证:①CD是0O的切线;(@△DEF△DBA;

(2)若AB=5,DB=6,求sin^DFE.

H

B

专题十五圆和正方形

01.如图，OO过正方形ABCD的顶点A,D,且与BC相切于点M,OO分别交AB,CD于E,F两点连接MO并延长

交AD于点N.

(1)求证:AN=DN;

⑵连接BF交。。于点G,连接EG.若AD=8,求EG的长.

02.如图，OO过长方形ABCD的顶点D和BC上一点E,且与BA相切于点F,。。分别交AD,CD于G,H两点BF

=BE.

⑴求证:BC是。。的切线；

(2)连接FE,ED.若4G==5,求tcmZFED的值.

专题十六圆与内心

核心考点一鸡爪定理和等腰共边双勾股(利用半径相等)

01.如图,以AB为直径的。O经过△48c的顶点