2024年人教版八年级上册数学同步训练：乘法公式（原卷版）

第03讲乘法公式

学习目标

课程标准学习目标

1.能推导平方差公式，了解平方差公式的几何意义，

掌握平方差公式的特点，熟练的对平方差公式进行应

①平方差公式用。

②完全平方公式2.能推导完全平方公式，了解完全平方公式的几何意

义，掌握完全平方公式的特点，熟练的对完全平方公式

进行应用。

思维导图

公式内容

几何意义

公式内容

几何意义

知识点01平方差公式

i.平方差公式的内容:

两个数的和乘以两个数的差等于这两个数的差。即(a+bia-b)=。

注意：可以是两个相等的数，也可以是两个相同的式子。用符号相同项的平方减去符号相反项的平方。

2.式子特点分析：

(a+bla-b)=a2-b2：两个二项式相乘，若其中一项,另一项，则等于

他们项的平方减去项的平方。

3.平方差公式的几何背景:

如图：将图①的蓝色部分移到图②的位置。图①的面积为：

(a+b)(a—b).图②的面积为：a1-b2.图①与图②的面积

相等。所以(a+b)(a—5)=/—庐

题型考点：①平方差公式的计算。②利用平方差公式求值。③平方差公式的几何背景应

用。④利用平方差公式简便计算。

【即学即练1】

1.下列各式中不能用平方差公式计算的是()

A-(ya+2b)(ya-2b)B.(-2x+3y)(-3j-2x)

C.(-2x+y)(-2x-y)D.(x-1)(-x+1)

【即学即练2】

2.计算:

⑵(x-y)(x《)；

(1)(a+b)(Q-2)；

(3)(m+n)(加-〃)；(4)(0.1-x)(0.1+x)；(5)(x+y)(-y+x).

【即学即练3】

3.右*x-y=2,-、2=6,贝Ux+y—.

【即学即练4】

4.已知冽-〃=1,则冽2一〃2_2几的值为()

A.1B.-1C.0D.2

【即学即练5】

5.如图(1),在边长为。的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(q>b),把余下的部分拼成一个长方

形，如图(2),此过程可以验证()

A.(a+b)2=a2+2ab+b2

B.(a-b)2=a2-2ab+b2

C.a2-b2=(a+b)Qa-b)

(2)

D.(a+b)2=(Q-b)2+4ab

【即学即练6】

6.20142-2013X2015的计算结果是.

知识点02完全平方公式

1.完全平方公式的内容:

①完全平方和公式：

两个数的和的平方，等于这两个数的的和这两个数乘积的两倍。

即：(4+6)2=。可以是两个数，也可以是两个式子。

②完全平方差公式：

两个数的差的平方，等于这两个数的的和这两个数的乘积的两倍。

即：(a-bf=0可以是两个数，也可以是两个式子。

2.式子特点分析：

((7±Z))2=a2+2ab+b2：一个二项式的平方,等于这个二项式的两项的加上这两项

的o注意每一项都包含前面的符号。

巧记：首平方加尾平方，首位两倍放中央。

3.完全平方公式的几何背景：

图1中面积的整体表示为：｛a+bf

用各部分面积之和表示为：a2+2ab+b2

所以(a+b)2=a2+2ab+b2

用同样的方法表示图2的面积即可得至ij：

(u-A)2=a?-2ab+。图1

4.完全平方和公式与完全平方差公式的转化:

(<7+Z))2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2

tz"+2ab+b?-4ab=a?-2ab+b~

(a+Z))2-4ab=(a-Z))2

题型考点：①完全平方公式的计算。②利用完全平方公式求值。③完全平方公式的几何背景。

【即学即练1】

7.运用完全平方公式计算:

(1)(4m+w)2；⑵⑶(-0-6)2；(4)(-。+6)2.

【即学即练2】

8.计算：

（1）（X-6）2.(2)(-2x-y)2

(3)(-p+3q)2(4)[(2m+n)(2m-n)]2.

【即学即练3】

9.已知孙=9,x-y=-3,则N+3引吐y2的值为()

A.27B.9C.54D.18

【即学即练4】

10.已知：〃+b=5,ab=3,求：

22

(1)a+b；(2)(Q-6)2.

【即学即练5】

11.如图所示分割正方形，各图形面积之间的关系，验证了一个等式，这个等式是（

B.(y+x)2=y2+2xy+x2

D.(y+x)2-(y-x)2=4xy

【即学即练6】

12.如图1,将一个长为4a,宽为26的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成

一个正方形.

(1)图2的空白部分的边长是多少？(用含a、b的式子表示)

(2)若20+6=7,且06=3,求图2中的空白正方形的面积.

(3)观察图2,用等式表示出(2a-b)2,和(2Q+6)2的数量关系.

2a2a

bl:

b1■■■

图1

知识点03完全平方式

1.完全平方式的定义：

若一个整式工,可以写成另一个整式B的平方的形式，即Z=^2,则我们称整式A是一个完全平方式。

2.式子特点分析：

a2+2ab+b2=(a+bY：一个三项式，其中两项可以写成的形式，第三项是平方两项底

数乘积的,则可以写成或的平方。若第三项与平方两项的符号相同,

则是底数的平方，若第三项与平方两项的符号相反，则是底数的平方。

题型考点：①平方式写成平方的运算。②根据完全平方式的特点求值。

【即学即练。

13.下列各式中，运算结果为1-2孙2+/丁4的是()

A.(-1+xy2)2B.(-1-盯2)2

C.(-1+x2^2)2D.(-1-x2y2)2

【即学即练2】

14.已知/+3+64产是一个完全平方式，则左的值是()

A.8B.±8C.16D.±16

【即学即练3】

15.已知多项式/+6%+机是一个关于工的完全平方式，则机的值是()

A.9B.-9C.36D.-36

知识点04乘法公式的拓展应用

1.平方差公式的拓展：

两个三项式相乘，若他们的项中只存在的项和的项，则可以用平方差公式计

算。它等于的平方减去的平方。把相等项或相反数项存在两项的看成一个整体。

即：(a+b+c)(<7+-c)=(a+Z))2-c2o

2.完全平方公式的拓展：

一个三项式的平方，可以把前两项看成首项或后两项看成尾项，然后利用完全平方公式的计算方法计

算。把其中两项看成一个整体。

即：(a+b+c)2=(a+b)2+2c(a+/>)+c2=a2+2(7(Z)+c)+(Z)+c)2

题型考点：①拓展应用。

【即学即练1】

16.在下列等式中，N和8应表示什么式子？

(1)(a+b+c)(a-b+c)=(4+B)(A-B)；

(2)Cx+y-z)(x-y+z)=(A+B)(A-B).

【即学即练2】

17.(a+b-。)(a-b+c)=

【即学即练3】

18.计算：(m+2n-p)2.

【即学即练4】

19.计算题：

(1)(a-2b-3c)2(2)(x+2y-z)(x-2y-z)-Cx+y-z)2

题型精讲

题型01平方差公式与完全平方公式的计算

【典例1】

利用乘法公式计算：

(1)(2x-3y)2-(y+3x)(3x-y)(2)(a-26+3)(a+2b-3).

【典例2】

计算下列各题：

(1)(a-26)2-(2a+6)Qh-2a)-4a(a-b)

(2)(2x+3y)2-(4x-9y)(4x+9y)+(3x-2y)2

【典例3】

计算：

22

(1)(-^-x+2y)+(-^-x-2y)；(2)(a-6+c)2.

【典例4】

求(2-1)(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)…(232+l)+1的个位数字.

题型02利用乘法公式简便运算

【典例1】

利用乘法公式简便计算.

(1)2020X2022-20212.(2)3.6722+6.3282+6.328X7.344.

【典例2】

计算：

(1)20232-2022X2024；(2)1l2+13X66+392.

【典例3】

利用乘法公式计算：

(1)3252-2752；(2)295X305-2982.

【典例4】

用因式分解的相关方法，进行简便计算：

(1)20232-20222.(2)9992+2X999+l2.

题型03利用乘法公式求值

【典例1】

【典例2】

若_B=一a+b=^,贝lja-6的值为()

32

A.-1B.AC.3_D.2

23~2

【典例3】

已知x+y=S,xy=\2,则x2-孙+廿的值为()

A.42B.28c.54D.66

【典例4】

若有理数。、6满足*+62=5,Q+6)2=9,则-4a6的值为()

A.2B.-2C.8D.-8

【典例5】

已知a+b=3,ab=-10.求：

(1)层+序的值；(2)(a-b)2的值.

【典例6】

已知：x+y=5,xy=3.

求：①/+5初+产；②/+了支

题型04乘法公式与几何

【典例1】

图①是一个长为2加、宽为2〃的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一

个正方形.

（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积.

方法1：;方法2：

（2）观察图②请你写出下列三个代数式；（加+"）2,（"i-n）2,加”之间的等量关系;

（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：

①已知：a-6=3,ab=-2,求：（a+6）2的值；

②已知：a—2=1,求：（a+2）2的值.

aa

图1图2

【典例2】

如图1是一个长为4°、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形

拼成的一个“回形”正方形（如图2）.

①图2中的阴影部分的边长为；

②观察图2请你写出（a+6）2、（a-b）\仍之间的等量关系是—

③根据（2）中的结论，若x+y=5,xy=4,则（x-y）2=：

④实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式.如图3,你发现的等式是

【典例3】

如图，大小两个正方形边长分别为a、b.

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（1）用含Q、b的代数式表示阴影部分的面积S；

（2）如果〃+b=8,ab=14,求阴影部分的面积.

强化训练

1.下列各式中，可以用平方差公式进行计算的是（)

A.(a-2b)(2a-b)B.(-a+2b)(-a-2b)

C.(a+26)(-2a+b)D.(2a-6)(-la+b)

2.己知加+〃=3,m-n—4,贝！I机2-“2的值为()

A.12B.-12C.25D.-25

3.若多项式/+(后-3)孙+4y2是完全平方式，则左的值为()

A.±7B.7或-1C.7D.-1

4.王大爷家有一块边长为机米的正方形菜地，现需将其进行改造，具体措施为：南北向增加2米，东西向

减少2米.则改造后的菜地与原来的菜地相比()

A.面积相等B.面积增加了4平方米

C.面积减少了4平方米D.无法确定

5.如图，两个正方形边长分别为a,b,己知a+b=7,ab=9,则阴影部分的面积为()

A.10B.11C.12D.13

6.有两个正方形/、B,将N,8并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙.若图甲、

图乙中阴影的面积分别为14与36,则正方形3的面积为()

图甲图乙

A.3B.4C.5D.6

7.当x=\时，ax+b+1的值为-2,则(a+b-1)(1-a-b)的值为()

A.16B.8C.-8D.-16

8.计算(2+1)(22+l)(24+l)(28+l)...(264+l),结果是()

A.264-1B.264C.232-1D.2128-1

9.已知(*+62+3)(*+62-3)=7,ab=3,贝!!(a+b)2=.

10.如图，C是线段48上的一点，以NC,2c为边在48的两侧作正方形，设/5=8,两个正方形的面积

和为40,即SI+S2=40,则图中阴影部分的面积为.

20172018

2

11.若a=2018,Z)=2017x2019-2018,X2，则a,b,c