2025年高考数学复习大题题型归纳：三角恒等变换和解三角形（解析）

第01讲三角恒等变换和解三角形

考法呈现

然考法一：三角函数和三角恒等变换

总例题分析

【例1】(2023•北京,统考高考真题)设函数=sinto久cos,+cossxsincp(3〉0,|如＜5).

(1W(O)=-y,求9的值.

(2)已知/(x)在区间［-*色上单调递增，/(g)=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作

为已知，使函数人尤)存在，求3,0的值.

条件①:/OS

条件②：f(-g=—1；

条件③：人无)在区间［一会一才上单调递减.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解

答计分.

【分析】（1）把％=0代入/（%）的解析式求出sing,再由|勿|V］即可求出"的值；

（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把八支）的解析式化简，根据“久）在［冶国上的单调性及函数的

最值可求出T,从而求出3的值；把3的值代入/（久）的解析式，由J=—1和|如<5即可求出9的值；若

选条件③：由/'（X）的单调性可知/（X）在久=-己处取得最小值-1,则与条件②所给的条件一样，解法与条件

②相同.

【详解】（1）因为/（%）=sinaxcosg+cosa）xsin（p,to>0,|^|<-

所以/（。）=sin（3-O）cos0+cos（co-0）sin^=sin（p

因为191Vl所以0=_g.

（2）因为/（%）=sincoxcostjp+coscoxsin^co>0,\（p\<p

所以/（%）=sin（3%+R）,3>。,附V枭所以/（%）的最大值为1,最小值为一1.

若选条件①：因为人久）=sin（3x+s）的最大值为1,最小值为-1,所以/倍）=&无解，故条件①不能使

函数/'（尤）存在；

若选条件②：因为/⑴在［冶可上单调递增，且/•传）=1,/（-0=-1

所以（=与_0=私所以7=2口,3=y=1,

所以/（%）=sin（x+g）,

又因为/（一§=-L所以sin（_g+g）=—1,

所以——4~（P~——H-2kji,/ceZ,

所以0=一声2々兀,々€Z,因为|0|V?所以g=一今

所以3=1,（p=-g

若选条件③：因为/（X）在［=司上单调递增，在卜会-引上单调递减，

所以/"（X）在X=—彳处取得最小值—1,即/9=-1.

以下与条件②相同.

满分秘籍

■

①升用本点&：*<*=y,即可未出3.立中*,*能求出用过总H迷的右仞图像上升«Tn)

的"拿点”•壹标X..a令3Xo-*0(&3Xo4*JT).”可求出<p：

②代人最值法：aattA(<AA.«A)受标代入鼾折A.今能令国好设行永住.

二、一文史(余)◎型峋0殖

一急算3X+叩4做一个外体.利用收元出“♦附体伞的思蛆"号.与三K属教修关的方利

9(拿点问电).通常・过用•与方者思想约化为图像文5H题.再催就用像过行令析.

变式训练

【变式1-1](2021•陕西咸阳•校考二模)已知函数/(%)=2cosx(sinx—cosx)+l,xGR

⑴求函数/(%)的对称轴和对称中心；

(2)当久e片胃求函数/⑺的值域.

【答案】(1)函数/0)的对称轴为x=£+£,kez,对称中心管+；,o),kez

(2)[-l,V2]

【分析】(1)利用二倍角公式以及辅助角公式化简/(x),再根据正弦函数的性质运算求解；

(2)采用整体替换的方法，先确定出2%-：的取值范围，然后根据正弦函数确定出最值，由此求解出f(x)

的值域.

【详解】(1)因为/(%)=2cosx(sinx-cosx)+1=2sinxcosx—(2cos2%-1)=sin2x-cos2x=V2sin(2x—

*

^2x--=k7i+-,keZ,解得x=3+*,kez；

4228

令2x—三=kn,kez,解得x=蛆+三keZ；

428

所以函数/⑺的对称轴为X=y+y,fcez,对称中心得+M）,keZ.

⑵因为xe片胃则2%一旨［0,詈

当2x—：=泉即无=乎寸，函数/（幻取到最大值企;

当2久一即”,时，函数f（x）取到最小值一1；

所以函数人久）的值域为［-1,&］.

【变式1-2］（2023•黑龙江齐齐哈尔・齐齐哈尔市实验中学校考三模）已知函数/（无）=cos®比+9）在区间

（—辅）上单调，其中3＞。，0＜0（兀，且/（一£）=一/0

（1）求y=f（x）的图象的一个对称中心的坐标；

⑵若点P（-盘,易在函数/⑺的图象上，求函数/（久）的表达式.

【答案】⑴仁,0）

（2）/（%）=cos（2x+0

【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案.

（2）由点P（/冷在函数/（吗的图象上，可得/（—白=曰＞/（总=。，知函数/⑶在区间（—匐上单

调递减，再由詈+9=2a兀+g（/qez）和一詈+0=2七Ti+H&ez）,可得9=3又史22a一（一训，

1ZZ1ZO3Cl）La\o/J

可得出3=2,即可得出结果.

【详解】（1）由函数f（x）在区间（―d）上单调，

且/（一9=一/（）可知/倨）=0，

故y=/（%）的图象的一个对称中心的坐标为（右,0）

（2）由点P（—热苧）在函数A%）的图象上，

有/（-白=冬又由-沁云云品

，（一总=苧＞/（白=。，

可知函数（（X）在区间上单调递减，

由函数/(久)的图象和性质，

有驾+9=2自兀+式自ez),

又f(一自=苧，有一驾+*=2，兀+\(上2eZ),

将上面两式相加，有2?=2(^+^)^+^^I6Z,/c2GZ),

有8=(附+k2)兀

又由。<0<兀，可得0=P

则a=24七+2(七GZ),

又由函数/(%)在区间(-K)上单调，

有§22E—(—,)],可得0<3<2,可得3=2,

故f(%)=cos(2x+.

【变式1-3](2023•安徽黄山•屯溪一中校考模拟预测)e=(Vising%,sinto%+cosax),~b=

(2cosa%,sincox—coso)x),/(%)=~a-b,

(1)若3=1,求/(J的值；

(2)若函数/(%)的最小正周期为兀

①求3的值；

②当久e磊]时，对任意tER,不等式机户+7n力+32/(%)恒成立，求m的取值范围

【答案】(i)rQ=1

(2)①3=±1;②见解析.

【分析】(1)首先代入向量数量积的坐标公式，利用三角恒等变形，化简函数，并代入求值；

(2)首先根据周期公式求3,并利用三角函数的性质求f(x)的最大值，最后转化为二次函数恒成立问题,

即可求解.

【详解】(1)依题意，

~a-b=2V3sintoxcosd)x+sin2cox—cos2tox

=V3sin2tox—cos2a久

=2sin(2a)x一看)，

当3=1时，/(x)=2sin(2%—J/(?)=2sin2=1

(2)①由(1)知/(%)=2sin03%

最小正周期7=普=兀，得3=±1,

|23|

②当3=1时，/*(%)=2sin(2%_1),当％£修闱时，

2x-^G[py],当2%—”会即％=押，/⑺的最大值为2,

不等式7nt24-mt+3>/(%)恒成立，即血产+mt+3>2恒成立,

整理为血产+血1+12o,t€R恒成立，

当m=0时，1>0恒成立，

当?nW0时，(一八，得0<血44,

综上可得，04血工4,

当3=—1时，/(%)=2sin(-2%—J=-2sin(2x+J当%E修,'时,

2%+2舟兀卜当2%+?=兀，即％=〈时,/(%)的最大值为0

oLIZJo1Z

不等式7nt2+mt+3>f(x)恒成立，即山产+mt+320恒成立,

整理为mt2+mt+3>0,teR恒成立，

当m=0时，320恒成立，

当加力0时，｛

综上可得，0WmW12,

综上可知，当3=1时，0Wm44,当3=-1时，0WznW12.

【变式1-4](2023・北京・北京四中校考模拟预测)已知函数/(%)=2cos236一sinM%.

⑴求f(0)的值；

(2)从①31=1,32=2;②31=1,32=1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数/(%)在

[-上的最小值，并直接写出函数/(X)的一个周期.

【答案】(1)2

(2)详见解析

【分析】(1)代入公式即可求得/(0)的值；

(2)选①时，先化简题给解析式再利用三角函数的性质即可求得函数/(%)的周期和在[-3H上的最小值；

选②时，利用二次函数性质即可求得函数/(%)在卜;周上的最小值，并直接得到函数/⑺的一个周期.

22

【详解】(1)/(x)=Zcos^1%—sina)2x,贝!j/(0)=2cos0—sin0=2

(2)选①31=Lo)2=2时，

/(%)=2cos2%—sin2x=1+cos2x—sin2x=V2cos(2x++1

由[一泉,，可得2久+[一,,日，

则一日Wcos(2x+j)<1,则0<V2C0S(2x+2+l<V2+1,

则当2x+：=—p即％=-狎•函数f(x)取得最小值0,

函数/Q)的周期为弓=无

选②%=1,32=1时，

/1\217

/(%)=2cos2%—sinx=—2sin2%—sinx+2=—2(sinx+—1+—

由xe可得sinxe[—1，H，则1

则当X=—]或久=机寸函数/(久)取得最小值1,

函数f(x)的周期为兀

【变式1-5](2023•上海松江•校考模拟预测)已知向量记=(2sin3%,cos23%),元=(VScostox,1),其中3>0,

若函数/(%)=m・五的最小正周期为兀

⑴求/(%)的单调增区间；

(2)在4中,若/(B)=-2,BC=Va^sinB二百sia4,求瓦5•阮的值.

【答案】(1)[k兀—兀+2],/cEZ

3

⑵一5

【分析】(1)根据题意，由辅助角公式将函数/(£)化简，再由函数周期即可求得3,再根据正弦型函数的单

调区间即可得到结果；

(2)根据题意，由(1)中函数/(%)的解析式可得8=与，再由正弦定理可得a=c,再结合平面向量数量

积的定义代入计算，即可得到结果.

【详解】(1)/(%)=m-n=V3sin2a>x+cos2a)x=2sin(2cox+

/(x)的最小正周期为兀,二T=乌=兀,二3=1.

2Ci)

故f(%)=2sin(2x+J,

令2/c兀一三W2x+-<2kn+g,解得/c兀—^<x<kji+-,kEZf

26236

故函数f(%)的单调增区间为卜兀冶,E+露kez

(2)设△ABC中角4B,C所对的边分别是a,瓦c.

•；f(B)=-2,2sin(2B+§=—2,即sin(2B+J=—1,解得B=y.

•••BC=V3,a=V3,sinB=V3sin24,­••b=V3a,­••b=3,sin4=p

0<AA=-,C=a=c=V3,

366

:.BA-BC=c•a•cosB=3x^—0=—|.

然考法二：直接用正弦、余弦定理解三角形

)是例题分析

【例2】(2023•安徽安庆•安徽省桐城中学校考一模)在△4BC中，三边a,瓦c所对的角分别为48,C,已知a=4,

cosB+cosAcosC_4V3

sinFcosCb

(1)若c=2g，求sinA；

(2)若48边上的中线长为亨，求AB的长.

【分析】⑴根据题意，由正弦定理整理得sinAsinC=V^sinAcosC,得到sinC=V^cosC,求得C=泉再

由正弦定理，即可求解；

(2)设48边上的中线为CD,得到2方=不+荏，结合向量的运算，求得6=3,再利用余弦定理，即可

求解.

【详解】(1)解：因为8SB+：OS4：SC=华且a=4,

sinHcosCb

cosB+coSi4cosc4V3_V3a_Ksin-

由正弦定理得

sinBcosCbbsinB

整理得cosB+cosTlcosC=V3sin>lcosC,

因为Z+B+C=7i,可得cosB=—cos(Z+C)=sinXsinC-cos^cosC,

可得sin/sinC=V3sini4cosC,

又因为/6(0,71),可得sinZ>0,所以sinC=V3cosf,即tanC=V3,

因为C€(0m),所以C=全

由正弦定理的号=三且c=2g,可得sim4=—=?*=l.

sm4sintc2v3

(2)解：设边上的中线为CD,则2/=襦+而，

2

所以4|丽|=(Z贡+而)2=辰+/+2abcosC,

因为AB边上的中线长为亨，可得37=房+16+4b,整理得/+46-21=0,

解得b=3或6=-7(舍去)，

所以AB—c—Va2+b2-2abcosC=J16+9—2x4x3x|=V13.

A

a

Bc

满分秘籍

解三角心问思，多为边和角的求侦问题，这就雷曼根掘正、余

仪定理M舍已知条件灵活科化边和角之问的美系，集g医用余必定

理；如果其子中含有角的正仪或边的一次式，制考虑用正必定现，

由正筑定理求角，注意利刖条件列惭角的范国，即硼定是一解还是

的解。

【变式2-1］（2023•全国•模拟预测）在三角形^ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且sin4=|,b=

^,c>b>a.

（1）从下列中选择一个证明:

（2）求三角形448c面积的最小值.

【答案】（1）见解析

(2咛

【分析】（1）根据向量关系，利用数量积运算证明正弦余弦定理；

（2）根据面积公式，结合c变的最小值，求面积的最小值.

【详解】（1）若选择①，由条件可知，角4B都是锐角，过点4作与48垂直的单位向量］贝/与前垂直的夹

角为:一4贝行与前垂直的夹角为:一8,

c

因为荏+前=前，所以j•（四+阮）=j-AC^'j-AB+j-JC=pAC,

=|力|阿c*+|川园cos'-B）=训隔cos停-4）,

=asinB=bsinA,

日ri。b

sin?-sinB；

若选择②，如图，设前=E,AB=c,BC^a,

则b—下二方，两边平方后彦二（K—下）=b2+c2—2b-c,

_>2_>

则@2=|^|+[c|2—2同团cos4即a?=b2+c2—2bccosA

b2+c2—a2

因为c>b>a,所以c>4,

所以△4BC的面积的最小值为gx4=y.

【变式2-2](2022•上海奉贤•统考一模)在A4BC中,4B、C所对边a、氏c满足(a+b-c)(a-b+c)=be.

⑴求4的值；

(2)若a=百，cosB=I，求△ABC的周长.

【答案】(15

（2冷

【分析】⑴利用题干条件和余弦定理求出4二$（2）先求出sinB=g,利用正弦定理求出b=旨再利用

余弦定理求出。=土”，求出周长.

【详解】（1）（a+6-c）（a—b+c）=be化简得：b2+c2—a2=be,两边同除以2bc,及cosZ=因为ZG

（0,71）,所以4=

（2）因为cosB=1且3G（0,兀），所以sinB=：因为a=V3>由正弦定理得：—rn=2，故b—p由余弦

55sin--5

35

362

定理得：COS/=b;J"=即2S：；3=3,解得：C=3士其中c>0,所以。=1±衿，故△4BC的周长

2bc2—c255

5c

为、L,0+.=3+4V3+,丁69二V3+9

【变式2-3]（2021•广东佛山・统考二模）在①艺/一甯=5②说•前，③sinA—sinB=苧这三个条

件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.

问题：已知△力BC的内角4、B、C的对边分别为a,b,c；a=l,C=*求△ABC的面积.

【答案】答案见解析.

【分析】若选①：先根据二倍角公式得到cos24=1-2sin24cos28=1—2sin2B,然后根据正弦定理进行

化简即可求出b的值，再根据面积公式S-BC=[absinC可求解出结果；

若选②：先根据向量的数量积公式和余弦定理得到瓦c的一个关系式，然后根据角C的余弦定理得到6,c的另

一个关系式，由此求解出b的值，再根据面积公式SMBC=gabsinC可求解出结果；

若选③：根据4+以及两角差的正弦求解出4的值，由此可求解出B的值，结合正弦定理可求解出b

的值，再根据面积公式S“BC=[absinC可求解出结果.

【详解】右选①：因为才一丁=5,所以r------丁=5,所以/一记一（二------厂）=5，

又因为号=_、，所以空华—空=o,所以吃—白=；,

smAsmBa"bLab2

又因为a=1,所以b=V2,所以S“BC=Jabsinf=|xlxV2x^=^；

zZL4

若选②：因为丽.阮=I所以accosB=：,所以ac•巴4——=p所以c?—房=:,

442ac42

又因为c?=a2+62—2abeosC,所以c?=b2—b+1,所以按—h+1=b2+1,

所以b—p所以=；absinC=^xlx-1x^=~

LLLZZo

若选③：因为sin/—sinB=怖所以sinX-sin售-4)=拳所以［sinZ—y-cosA=-y,

所以sin(a-§=苧,又ae(o,⑶所以力*e(一辅)，

"7

所

以77T

7T--_--7r_-7T----7T-

3,741,7T3

421212

£

IV24

a所

D以

-b_v6—v2_

—

一-=

M当V212-V3,

SI44-V6+V2-

所以S“BC=gabsinC=1x1x（2-V3）xy=

【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于正余弦定理、三角形的面积公式、三角恒等变换公式以及向量

的数量积公式的使用，对于转化能力要求较高；在使用正余弦定理时，要注意选取合适的边和角去计算.

【变式2-4】（2023•四川绵阳•四川省绵阳江油中学校考模拟预测）如图,在梯形A8CD中，AB//CD,AB=2,

8=5,乙4BC一

（1）若AC=2V7,求梯形48CD的面积；

（2）^AC1BD,求tan/ABD.

【答案】（1）7疗；（2）tan乙4BD=苧.

【分析】（12ABC中，利用含乙4BC的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得AABC面积，再利用

面积关系求△力DC的面积得解；

（2）由题设中角的信息用乙48。表示出△ABC与ABDC中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两

个方程，联立整理得tanN力BD的方程，解之即得.

【详解】⑴设BC=%,在小ABC中，由余弦定理AC?=人炉+BC2_2AB,BCcos乙4BC得：

28=22+x2—2-2•x•cos.,即/+2x—24=0,而x>0,解得x=4,

所以BC=4,则△ABC的面积S“BC=lAB-BC•sin4ABe=，2•4・日=2百，

梯形4BCD中，AB//CD,ZkABC与△4DC等高，且CD=拳，

所以△4DC的面积S“DC=史署=5V3,

则梯形ABCD的面积S=S^ABC+S^ADC=7V3；

(2)在梯形ABC。中，设Zu4BD=a,而4c1BD,

则NBDC=a,NB4C=g-a,乙DBC=勺-a,ABCA=a--,

236

AB—BC得.2_BC

在△力BC中，ph7P己方京理

sin48c4sinz.BACsin(a—)sin(--a)

BC用5_BC_

在八BDC中，由正弦定理

smz.DBCsinZ-tiDCsin(^—a)sma

2sin((—a)_sina=2-(—cosa+-sina)_sina

两式相除得:

5sin(a—sin(-a)5•(^sina—^cosa)cosa

整理得5V3sin2a—7sinacosa—2V3cos2a=0,

即5V3tan2cr—7tana-2v5=0

解得tana=苧或tana=-y,

因为a6贝ijtana=—,即tan乙480=—.

6233

【点睛】（1）三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解；

（2）涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解.

【变式2-5］（2019•河南•校联考二模）在2MBe中，内角4B、C的对边分别为a、6、c,且满足siM4+sin/lsinF-

6sin2B=0.

（1）求押值;

(2)若cosC=1，求sinB的值.

【答案】（1）2；（2）手

O

【分析】（1）对si/z+sinTlsinB-6sin2B=0两边同除以即可求得婴=2,结合正弦定理即可得解.

（2）由余弦定理及？=2可得c=&b,再利用余弦定理即可求得cosB=乎，问题得解.

b8

【详解】（1）因为sin?/+sin/sinB—6sin2J5=0,sinB丰0,

所以（当丫+黑―6=0,得*=2或嗯=一3（舍去），

\smB/smtfsinFsinn

由正弦定理得？=%=2.

bsmB

（2）由余弦定理得cosC=当了=J①

2ab4

将（=2,即a=2b代入①，得5b2一©2=3拄，得©=

222222

14■.人H•士TRM曰r>a+c-bn2b+4b-b5V2

由余弦定理得：cosB=———，R即n：cosB=丁,

2ac2义2bxy12b8

则sinB=Ji—(cos5)2=—.

8

【点睛】本题主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系，考查计算能力及方程思想，属于中档题.

【变式2-6】(2023•广东东莞•校考三模)在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c.已知6sinA=

acos(B-]

⑴求角B的大小；

(2)设a=2,c=3,求sin(2A-B)的值.

【答案】(1)2=9

(2弹

【分析】(1)运用正弦定理求解；

(2)运用两角差公式求解.

【详解】(1)在中，由正弦定理得：sinBsinZ=sirL4cos—J

因为sinA>0,所以sinB=cos—三)，可得sinB=—cosB+-sin^,

即sinB=V3cosB,tanB=V3,又BG(0,兀)，可得B=p

(2)在△4BC中，由余弦定理得：b2=a21+c2-2accosB=7,b=V7,

由bsinV=acos(8—3,以及B=泉可得sin/=,

因为aVc,所以A是锐角，所以cosZ=a

因此sin24=2sin4cosZ=生与cos24=2cos2/—1=-,

77

所以，sin(2Z—B)=sin224cosB-cos2ZsinB=\x———x

综上，B=1,sin(24—B)=当.

弘考法三：利用正弦定理求外接圆半径

标例题分析

【例3】(2023•山东烟台•统考二模)已知△4BC内角A,B,C的对边分别是a,b,c,bcosC+V3csinF=a+c.

⑴求角B的大小；

(2)若△力BC为钝角三角形，且a—c=2,求△ABC外接圆半径的取值范围.

【分析】(1)利用正弦定理结合条件，进行边角转化即可得出结果；

(2)利用正弦定理，将边转角，再结合条件得到/?=/不，再利用角的范围即可得出结果.

【详解】(1)因为bcosC+V3csinB=a+c,由正弦定理可得sinBcosC+V^sinCsinB=sin/+sinf=sin(兀一

B—C)+sinC=sinBcosC4-cosBsinf4-sinf,

得至！jBsinfsinB=cosBsinC+sinC,又CG(0,兀)，所以sinCH0,

故旧sinB=cosB+1,即d^sinB—cosB=1,所以2sin(B--)=1,

又所以B1=g得到8=g

666663

(2)由正弦定理'-="-=£=2R,得到a=2Rsin4c=2RsinC,

sinAsinBsinC

所以a—c=2R(sinZ-sinC)=2R卜inZ—sin(y—Z)]=27?(sinX-fcosZ—；sinZ)

=2R(-sinA--cosA>)=2/?sin(X--)=2,所以R=.1无，

223sin(?!--)

又因为△ABC为钝角三角形，且a—c=2>0,又由⑴知B=导所以]<4(冬

所以4—：e(.,?),由丫=sinx的图像与性质知sin(4—g)€(g,苧)，所以

满分秘籍

变式训练

【变式3-1］（2023•河北・统考模拟预测）已知△ABC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若.在

以下两个条件中任选一个：①bsinB—csinB=asin4—csinC；②2asin8=btanA,并解答下列问题.

⑴求角4；

（2）若44BC的外接圆半径为百.求小A8C面积的最大值.

注：如果选择多个条件分别解答.则按第一个解答计分.

【答案】（1

【分析】（1）若选①利用正弦定理和余弦定理即可求解；若选②利用正弦定理将边化角即可求解；

（2）结合（1）结论，利用正弦定理求出a,再由余弦定理和基本不等式得到此39,再利用三角形面积公

式即可求解.

【详解】（1）若选①：因为bsinB-csinB=asia4-csinC,

所以由正弦定理得抉-be=a2-c2,

即4=b2+c2_bCf

又由余弦定理得/=b2+c2-2bccosA,所以cosA=

又因为4E（0,兀），所以Z

选②：由2asinB=btari4得2asinBcoSi4=bsinA,

则由正弦定理得2sinZsinBcosA=sinBsin4,

因为A,BE（0,71）,所以sinBsin/W0,所以cos/=

所以

（2）由（1）可知4=3又正弦定理可得号=2R=28，

3smA

解得。=3,

则由余弦定理得

a2=62+c2-2bccosA=b2+c2—be>2bc—be=be,当且仅当b=c时取等号，

又a=3,所以be<9,

所以SMBC=^besinA<|x9Xy=竽，

所以△力BC面积的最大值为苧.

4

【变式3-2］（2023•江苏扬州・江苏省高邮中学校考模拟预测）在△ABC中，角/,B,C的对边分别为a,b,

c,已知a=2,且娱空b-c

b—a

⑴求△力BC的外接圆半径R；

（2）求44BC内切圆半径r的取值范围.

【答案】（1）R=?

（2”（请）

【分析】（1）由正弦边角关系可得b2+c2-a2=bc,应用余弦定理即可求COS4进而确定其大小;

（2）由正弦定理有6=^sinB,c=^sinC,根据余弦定理有有=-J结合（1）及SA^C=gbcsinA=

］（a+b+c）r,应用三角恒等变换有r=Wsin（B+f-f,由三角形内角性质、正弦函数性质求范围即

可.

【详解】（1）因为皿潜=>,由正弦边角关系得也=>，即辰+,2一=be,

smeb—acb—a

由余弦定理，得cos/=》:'J"=某=，,又ze(0,兀)，所以Z=W，

2bc2bc23

由2/?=」^=9=苧，则R=*

sm42233

2

(2)由正弦定理得々=三=9=3二%所以Z?=吃sinB,c=^sinf,

sinnsinesin?lsin-V3V3V3

由余弦定理，得4=/+—2Z?ccos^=(b+c)2—3bc,所以be=("?

利用等面积法可得S.BC=^besinA=1(a+6+c)r,

则丁=besinA=渔3+c)2-4=立的+C—2)

a+b+c62+b+c6

2V3./,TT\V3

=——sin8N+------,

3\6/3

Wb,.\BA=^,故BE（词陪为则B+H/U黯）,

所以sin（8+J€1）,故7W（o,/）.

【变式3-3］（2023•全国•模拟预测）已知△/BC的角4,B,C对边分别为a,b,c,满足处=浮，且ab=:

ab—c3

a+b-V2c=0

⑴求C；

(2)求A4BC外接圆的半径R.

【答案】(呜

【分析】(1)由已知结合余弦定理求得结果；

(2)根据已知结合余弦定理先求出c,再利用正弦定理2R=三求出结果.

sine

【详解】(1)由空=浮可得房一C?=ab-次，

ab-c

.「b2+a2-c21

>•cose-~~

2ab2

:ce・"=]

(2)Vab—pa+b=V2c,

b2+a2-c2_(b+d)2—2ab—c2_2c2---c2

cosC=

整理得©2=1,：,C=1.

由正弦定理可得2R=三=A=等,

sine3

R=f,即△ABC外接圆的半径为祭

【变式3-4](2023•山东聊城・统考一模)在四边形48CD中，AB//CD.

(1)证明：AD-sinzBTlD=BC-sinzBCD；

(2)若AD=1,AB=3,BC=V3,乙BAD=2乙BCD,求△BCD外接圆的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)771

【分析】(1)由平行关系得到角的数量关系，在两个三角形中分别使用正弦定理，在根据数量关系进行传递.(2)

根据已知的数量关系对未知角的大小进行求解，再在△BCD使用余弦定理对未知边的大小进行求解，最后在

△BCD中使用正弦定理得到外接圆半径.

【详解】(1)因为4B//CD,所以乙48。=々BDC,在△48。中，由正弦定理可知一^;=—^，在△BCD

smz.ABDsmz.BAD

中，由正弦定理可知，BC=BD,所以a。,sinNBAD=BD-sm^ABD,BC-sinzBCD=BD-sin乙BDC,

sinz.BDCsinz.BCD

故有4。-sinZ.BAD=BC-sin4BCD.

(2)由(1)可知，AD-sin^BAD=BC-sinzBCZ),^BAD=2Z.BCD=2a,又因为ZO=LBC=g,可得

sin2a=V3sina,BP2sinacoscr=V3sina,解得cosa=遗，所以灯=々在△BCD中，由正弦定理可知，2R=

26

—.所以/?=夕，所以△BCD的外接圆的面积为S=7CR2=7兀

sinZHCD

【变式3-5](2023•江苏扬州・扬州中学校考模拟预测)在△ABC中，角/,B,。所对的边分别为a,b,c.从

①②③中选取两个作为条件，补充在下面的问题中，并解答.①cos4=-g；②△ABC的面积是第；③c=3.

问题：已知角/为钝角，b=5,.

(1)求△ABC外接圆的面积；

(2)/。为角/的平分线，。在8C上，求的长.

【答案】(1)条件选择见解析，誉

(2)AD=^3

【分析】(1)选①②：由COS4=-3求得Sina=等，再结合三角形面积公式可求得c=3,利用余弦定理求

得e再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；

选①③：利用余弦定理求得a,再利用正弦定理求得外接圆的半径，从而可解；

选②③：利用三角形面积公式可求得sinA=要，再求得cosA=-黄，利用余弦定理求得a,再利用正弦定

理求得外接圆的半径，从而可解.

(2)设4=2a,则有sin2a=上署，求得sina=等，再利用等面积法可求.

【详解】(1)选①②，

A17..n.-------------y-r4VH

cosA=-・•・smA=VI—cos£A=-----,

2525

T7cITan6V2114V21j曰

又'•~-bcsinA，即----——X------X5XC,信C—o3，

△A"25225

由余弦定理，得/=b2+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x||=言，

由正弦定理，得（2冏2=总=等，R2=誉，

所以，△ABC外接圆的面积为誓.

84

选①③，因为cos/=—C=3.

所以由余弦定理，得小=62+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x||=等,

由正弦定理，得（2町2=亮=警，R2=鬻，

所以，△4BC外接圆的面积为誓.

84

选②③，

由；x5x3xsin4sin/=噂^,A为钝角，得cos/=-11,

由余弦定理，得/=b2+c2-2bccosA=25+9+2x5x3x^=等，

由正弦定理，得（2/?）2=焉=警，R2=鬻，

所以，△ABC外接圆的面积为等.

84

（2）由AD为角A的平分线，设4=2a,ae（0,J

则有si■n2za=-1—c-o-s?l=―21,si.nVa21=—,

由^ZBC的面积=|x6xADxsincr+1xcxADxsina,

即一--=-x5xADx----x3xADx,角牛=一,

525252

故AD的长为李

弘考法四：正弦和余弦定理边角互化的应用

,卷金，例题分析

【例4】(2023•山东泰安•统考模拟预测)如图，平面四边形OZCB中，△ABC的三内角48,C对应的三边为见瓦c.

给出以下三个条件：

①cos2Z—cos2C=2sin2B—2sin/sinB

②asin^|^=csin/

③XABC的面积为手02+b2-c2)

(1)从以上三个条件中任选一个，求角C；

(2)设。4=OB=2,4B=4C,在(1)的条件下，求四边形。4cB的面积的最大值.

【分析】(1)对于①②：利用正、余弦定理结合三角恒等变换运算求解；对于③：利用余弦定理和面积公

式运算求解；

(2)根据题意利用余弦定理建立边角关系，结合面积公式整理可得S=4sin(e-])+2W，进而可得结果.

【详解】(1)若选①:cos2A—cos2C=2sin2^—Zsin^sinB,

则(1—2sin2i4)—(1—2sin2C)=2sin2B—2sia4sinB,

整理得：sin2>l+sin2B—sin2c=sinAsinB,

由正弦定理得次+b2-c2=ab,所以cost*=。:

2ab2

因为0VCV兀，所以

若选②：因为asin=csinA,则asin=csinA,

_c

可得acos^=csinA,

由正弦定理得：sin4cosm=sinCsinZ,

err

因为ZG(0,7i),sin/W0,所以cos-=sinC=2sin-cos-,

因为0<C<7i,则0<|<枭可得cosg>0,

所以sin5=；,5=g即C=&

ZZZo3

若选③：△的面积为，(Q2+b2—c2),贝岭absinC=^(a24-b2—c2),

所以sinC=8(。+：—)=百cosC,

2ab

所以tanC=V3,

因为。<C<TI,所以C=*

(2)因为力B=4C,由(1)可知C=(,所以△ABC为正三角形，

设=9,则0<9<兀，

可得SMOB=］。4,OBsinB=2sin0,

在440B中，由余弦定理ZB?=0A2+OB2-20A-OBcosd,

可得4B=V22+22—2x2x2cos0=V8—8cos0,

所以四边形。力CB的面积S=SAA0B+SAABC=2sin0+苧力炉

V3ll

=2sin0+—(8—8cos6)=2sin0—2v3cos0+2V3

=4sin(8—：)+2百，

因为o<e<兀，所以一(<8—

所以当8冷=泉即。=由寸，四边形CMCB的面积取到最大值4+2旧.

满分秘籍

1,若巴如于良（或,本于乂）中左右育地均有关于逋的本次大立美于角内壬短的弄

次大，乂的分子与》母关于逋的齐次火羔美于初的壬弦的#次女.TM正於定友

线6边角£化.

2LMitf边的中才

变式训练

【变式4-1](2023•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测)在△力BC中，角4B,C所对的边

分别为Q,b,c,已知csin与=asinf

(1)求角A的大小；

(2)若b=l,sinB=亨，求边c及cos(2B+4)的值.

【答案】(1)4=?

(2)c=f3,cos(2B+4)=-y1i1

【分析】(1)由正弦定理，三角函数恒等变换化简己知等式可求sin?=g,根据角的范围即可求解4的值；

(2)由已知利用正弦定理可得a的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值，利用二倍角公式可求

sin2B,co