2024高考数学艺体生一轮复习讲义-空间向量与立体几何的综合应用解析版

专题26空间向量与立体几何的综合应用

【考点预测】

一、空间向量的数量积运算

1、两向量夹角

已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作。4=a,.08=6.，则ZAOB叫做向量a,b的夹角，

记作（。力）,通常规定0,如果,那么向量a,6互相垂直,记作a_L6.

2、数量积定义

已知两个非零向量a,b,则,帆cos（a,6）叫做a,6的数量积，记作,即。.零

向量与任何向量的数量积为0,特别地，。•a=|a|2.

3、空间向量的数量积满足的运算律：

[A,a\-b=z{a-b\,a-b=ba（交换律）；

a（b+c\=a-b+a-c（分配律）.

二、空间向量的坐标运算及应用

（1）设a=（qy）'&=（4也也），贝!|a+b=（q+4，4+4,。3+打）；

a—b=^ax-bx,a2-b2,a3-b3^；

Xa—（4。],4a2,4a3）,

a-b=%b]+a2b2+a3b3；

a//Z?仅w0）=%=劝1，%=她，/=世；

a_Lbn+a2b2+6z3Z?3=0.

（2）设A（和x，zj,5（%2，%*2）,则43=05-04=（%2-%"2-%，Z2-zJ.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知〃=（。1，。2，。3），人=（4也，&），贝11忖=5^=yja；++4；

卜|=病=也2+b；+b；；

ab=+a2b2+a3b3；

8s(谪；=7*+华+她;

'/Ja：+域+4Qb：+&2+b；

2

②已知A(%，x，zJ,B(x2,y2,z2),贝！］网=，(西一々『+(%—%J+(4-z?),

或者〃(A,3)=1A4其中"(AB)表示A与B两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

(4)向量a在向量6上的射影为Lcos卜⑹=孑珞.

11'/q

(5)设〃(分0)是平面M的一个法向量，AB,CD是"内的两条相交直线，则,“8=0，由此可求

出一个法向量”(向量A3及CO已知).

(6)利用空间向量证明线面平行：设"是平面的一个法向量，/为直线/的方向向量，证明//=0,

(如图8-155所示).已知直线/(Z<za),平面a的法向量T,若八方=0，则〃/a.

(7用」用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线中各取一个方向向量〃,b，只要证明,

即a•b=0.

(8)利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.

(9)证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.

(10)空间角公式.

①异面直线所成角公式：设4,6分别为异面直线乙，4上的方向向量，。为异面直线所成角的大小，

I,>|a-b

则cose=|cos(a,6)|=——.

-1'71a^nb

②线面角公式：设/为平面夕的斜线，“为/的方向向量，〃为平面。的法向量，。为

I/\Ia.n

/与。所成角的大小，则sin6=kos®研=.飞-：

③二面角公式:

设々,“2分别为平面。,/?的法向量，二面角的大小为8，则。或万一（“,%）（需要根据具体

情况判断相等或互补），其中|cos0\=汇斗.

（11）点A到平面a的距禺为dzBea：n为平面cc的法向量，则d=—口—.

【典例例题】

例1.（2023春河南濮阳•高三统考开学考试）在直三棱柱ABC-44G中，且AB=3C=2,若

TT

直线A片与侧面MGC所成的角为-,则异面直线4B与AC所成的角的正弦值为（）

6

A.1B.好C.受D.立

2322

【答案】D

【解析】因为直三棱柱ABC-4qG,所以84，底面ABC,

又因为ABJ.3C,所以8ABe,2瓦两两垂直,

以为％y,z轴建立如图所示坐标系，

设Bq=a（a>。）,则A（2,0,0）,4（2,0,a）,4（0,0,a）,C（0,2,0）,

所以阳=（—2,0,a）,A<=（0,0,a）,AC=（-2,2,0）,

设平面eGC的法向量”=（尤,y,z）,

-n=az=0,解得（）

则3=1,1,0,

ACn=—2x+2y=0

所以直线阴与侧面MGC所成的角的正弦值sina=k°s（A4.〃\iI^M2£

FMH，4+a?xyfz2

解得a=2,

所以4(2,0,2),4B=(-2,0,-2),

设异面直线AB与AC所成的角为e,

I/\iAHAC41

则3人辰（”丛讣丽m=瓦洸=5，

所以异面直线\B与AC所成的角的正弦值为Vl-cos20=B.

2

故选：D

例2.（2023.高一课时练习）在边长为1的正方体A8CD-A4£A中.平面相C与平面之间的距离

为（）

A.且B.1C.正D.工道

323

【答案】A

【解析】建立如图所示的直角坐标系，则4（1，。，。），Q（0,1,0）,£>（0,0,1）,A（1,O,1）,

所以图=(1,0,-1),DQ=(0,1-1),/1D=(-1,0.0),

m-DA.=x-l=0X=1

设平面AG。的一^法向量根=（x,y,l）,贝卜［卅八…。’解得1,故机=(1,1,1),

y=i

显然平面ABC〃平面A£>G,

AD-m1_V3

所以平面阴。与平面4。。1之间的距离d=r」=

\m\忑一石

故选：A

例3.(2023•全国•高三专题练习)长方体ABCO-A4G2中，48=9=2,AD=1,E为CC,的中点，则

异面直线B3与AE之间的距离是()

CD

-t21

【答案】D

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则41,0,0),8(120),C(0,2,0),C,(0,2,2),E(0,2,l),

A£=(-1,2,1),g=(—1,0,2),

设5C］与AE的公垂线的一方向向量为〃=(x,y,z),

n-AE=-x+2y+z=01,即”=《,

则1),

〃.明=T+2Z=。,取Z=L得T,一

又A8=(0,2,0),

\AB-n\22721

所以异面直线8G与AE之间的距离为d=丁丁4

J+d+F21

故选：D.

例4（2023秋•江苏南京•高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考期末如图，已知正三棱柱ABC-ABCi

的所有棱长都相等，棱AC,A/G的中点分别为M,N.

⑴求证：BiNLCiM；

（2）求异面直线BN与所成角的余弦值；

（3）求平面与平面A8G所成二面角的正弦值.

【解析】（1）连接MN,因为棱AC,4。的中点分别为M,N,

所以MN//AA,因为正三棱柱侧棱与底面垂直，所以平面A4G,

显然有MN1NC、,MNLB、N

因为底面aqc是正三角形，A©的中点为N,

所以4NLAG,所以建立如图所示的空间直角坐标系，设该正三棱柱的所有棱长为2,

N（O,O,O）,A（O,-1,2）,3（后O,2）,M（O,O,2），A（O,TO）W（6,O,O），G（O,1,。），

仁/=（0,-1,2）,凡耳=（百,0,0）,

因为C]M-NB]=。=>CM上WB1;

ZA

(2)2VB=(A/3,O,2),Qii=(O,-l,2),

\cM-NB\44^35

异面直线班与CW所成角的余弦值t为晶荷二行3=干；

(3)设平面A/BM的法向量为机=(%,%,zj,

A月=(百+1/,2),3"=/后0,0),

\B-m=0(百+1)玉+为+2z1=0

有，\)=>m=(0,2,-1),

BMm=0一岛=0

设平面ABG的法向量为”=5,%"2),

AB=(G,l,0),AC]=(0,2,—2),

ABn=0

则有n

ACcn=0

2

/、、2

m-nf2也-拒3

所以平面A1BM与平面ABG所成二面角的余弦值的平方为：

Jl+4xJ1+3+3)35

H-H7

因此平面与平面ABG所成二面角的正弦值为:

例5.(2023秋广东广州高二广州空港实验中学校考期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为直

角梯形，平面尸平面ABCD,ADLCD,PD1AC.且AB=1,CQ=2,AO=0

p

⑴证明：PD1BC;

⑵若直线PB与平面PCD所成角的正弦值为■,求点C到平面刊见的距离.

【解析】（1）因为平面尸⑦，平面ABC。,交线为8,

且平面ABCD中，AB1CD,

所以AB2平面PCD,

又PDu平面PCD,

所以PDJ_54,因为尸DJ_AC,ABAC=A,A8,ACu平面ABC,

所以PD_L平面ABC，而3Cu平面ABC,

所以PDLBC;

（2）由（1）知，PDIT®ABCDS.ADLCD,

所以ZM、DC、OP两两垂直

因此以。原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以双。,。,。）,A（V2,0,0）,B（72,1,0）,C（0,2,0）,尸（0,0,a）,

因为平面尸8,平面ABCD,交线为8,且平面ABCD中，ADLCD,

所以"），平面PCD,

所以AO为平面PC。的法向量且4。=卜0，。，。）,

PB=1,—a

因为直线依与平面PCD所成角的正弦值为E

J?\PB-AD\2

所以，厂，解彳导：

3|PB|-|AD|V2+l+a2xV2

所以尸（0,0,6）,又g（0,LO）,C（0,2,0）,0（0,0,0）

平面BDP的法向量分别为：4=（占,%,zj,

n,•DB=A/2X+y,=0/\

所以「，令国=T，则％=,

•DP=V3z1=0''

PC=（0,2,-百）,

设点C到平面PBD的距离为d,

所以4=困辰（”.4＞卜田.[4号=济孚

例6（2023秋・北京•高三校考期末放口图在四棱锥P-ABCD中，AD〃8C,ABVAD,PA^PD,ABIPA,

AD=2,AB=BC=l.E是棱ED上一点，CE〃平面R4B.

⑴求证：E为尸。的中点；

（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥尸-ABCD的体积.

条件①：点。到平面乃铝的距离为0；

条件②：直线OC与平面所成的角为[.

0

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【解析】（1）过点E作E尸〃AD交四于点尸,连接即,如图所示：

因为BC〃AD,所以BC//EF.

所以8,C,E,尸四点共面.

又因为CE//平面PAB,平面BCEF平面PAB=BF

所以CE〃即

所以四边形BCEF是平行四边形

所以BC//EF,BC=EF,

由AD=2,AB=BC=1,

所以BC//；A£>,BC=^AD，所以所〃gAO,EF=；AD

所以EF为_PAD的中位线，

所以E为尸。的中点.

(2)过尸作PO_LAD于。，连接。C.

因为,又因为AB1PA,

且ADcR4=A,

所以工平面PAD.

又ABu平面ABGD,

所以平面R4D，平面ABCD.

因为丛=尸£»,所以。为AD中点，

又因为平面上4D-L平面ABC。,

所以「01平面ABCD.

又OCu平面ABCD,

所以P010C

如图建立空间直角坐标系。-孙Z.

设PO=a.由题意得，A(O,1,O),8(1,1,0),C(l,0,0),D(0,-l,0),P(0,0,a).

所以标=(1,0,0),PA=(0,1,-a),AD=(0,2,0)•

设平面PC。的法向量为n=(x9y,z),则

n_LABn•AB=0[x=0

<=><=>s,

n1PA[n-PA=01y-az=0

令z=l,则丫=。.所以〃=(0,a,l).

选择条件①

因为。到平面P/山的距离为血,

所以学=庭,

\n\V2

解得〃=1.

所以四棱锥尸-至8的体积=gxS.8义尸。=gx号xlx1=g.

选择条件②

7T

因为直线0c与平面所成的角为工，

O

nDCa

所二匚1以”|cos/〈”,7D^C\〉i|=—\—\=-=\=-\-=sm•-兀=-1,

|M||Z）C|J。一】-

解得a=l.

所以四棱锥P-ABCD的体积；xSABCDxPO=|xl±^xlxl=l.

例7.（2023・全国•高三专题练习）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现

《九章算术》中提到了“刍曹”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1,E、F、G

分别是正方形的三边A8、CD、的中点，先沿着虚线段EG将等腰直角三角形EDG裁掉，再将剩下的五

边形ABCFG沿着线段所折起，连接A3、CG就得到了一个刍兽（如图2）.

图2

⑴若。是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO〃平面Gb;

（2）若正方形的变成为2,且二面角A-麻-3是直二面角，求点B到平面GCF的距离.

【解析】（1）证明：取线段C歹中点H,连接加、GH,

由图1可知，四边形E8CF是矩形，且CB=2EB,

。是线段BF与CE的中点,：.OHHBC且。"=；BC,

在图1中知AGHBC且AG=^BC,EFUBCS.EF=BC,

所以在图2中，AG//BCS.AG=^BC,AGIIOH旦AG=OH,

四边形AOHG是平行四边形，则AO//HG,

由于AOa平面GCF,"Gu平面GCP,AO〃平面GCF.

X

（2）由图1,EFLAE,EFLAF,折起后在图2中仍有印，£4,EF±BE,

二NAEB即为二面角A-£F-E1的平面角，；.ZAEfi=90。，

以E为坐标原点，EBEF分别为x轴和y轴正向建立空间直角坐标系E-乎，

则3（2,0,0）、C（4,2,0）、*0,4,0）、A（0,0,2）xG（0,2,2）,

BF=（-2,4,0）,FC=（2,0,0）,FG=（0,-2,2）

设平面GCF的一个法向量为n=（尤,y,z）

」〃•"=（）,\2尤=0,,

由“八，得°「「，取片八则％点

[nFG=0[-2y+2Z=0

于是平面GCF的一个法向量n=（0.1,1）

忖尸.“4I-

点B到平面GCF的距离为d=2=20.

同近

例8.（2023秋湖北•高二江夏一中校联考期末）如图，已知边长为6的菱形ABC。,/ABC=12。，AC与8。

相交于。，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使.

（1）求平面4犯与平面的的夹角的余弦值；

⑵在三棱锥。-MC中，设点N是即上的一个动点，试确定N点的位置，使得CN=4应.

【解析】（1）依题知，OB=OD=3,因为8。=3后,所以/88=90,OB±OD,

又因为四边形ABCD为菱形，所以O3，AC,OD_LAC,

建立空间直角坐标系。-到z,如图所示,

则0,0),0(0,3,0),8(0,0,3),

所以筋=卜36。,3),40=卜363,0).

AB•〃=0

设平面ABD的法向量为〃=(x,y,z)，则有,

~~3y/3x+3z=0ll/r~r~\

[-3氐+3尸。’令E'则"员=6，所以〃="，⑹

因为AC，OB,AC，OD,所以AC_L平面BOD,

平面BOD的法向量与AC平行，所以平面8OD的一个法向量为为=(1,0,0),

n^n1义币7

则平面ABD与平面BDO的夹角的余弦值为得

(2)设,因为N是线段2。上的一个动点,设BN="D,

即(%,%,4-3)=彳(0,3,-3),所以不=0,=32,=3-32

则N(0,343-32),CN=(3上,32,3-32)

由CN=4>/2,得：,27+9笛+(3-3田2=472,

12

即9分—94+2=0,解得：丸=§或4=]

uum1uunuum7101

即BN=,&)或BN=§刃＞,故点N为线段BD的两个三等分点

【技能提升训练】

一、单选题

1.(2023秋・湖南怀化•高二统考期末)如图，在直三棱柱ABC-A4G中，CA=CG=2cB=2,ZACB=90,

)

B.好C.半

AD

-T3-i

【答案】A

【解析】如图示，以C为原点，C4,CG，C3为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，则C（0,0,0）,A（2,0,0%

B(O,O,1),q(0,2,0),A(1,2,0),4(0,2,1).

|0+4-1|=与

故选：A

2.（2023秋•吉林长春・高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知A（l,2,0）,B（l,0,l）,C（3,2,3）,则点A

到直线8c的距离为（）

A.巫B.晅c.叵D.76

332

【答案】B

【解析】由A(L2,0),3(1,0,1),C(3,2,3),可得BA=(0,2,-1),8。=(2,2,2),

BABC0+4-2

则向量BA在BC方向上的投影为

\BC\"^22+22+223，

所以点A到直线8c的距离

故选:B.

二、填空题

3.（2023.高一课时练习）设正方体A8CD-A耳G2的棱长为1,则A点到Cj的距离为.

【答案】逅

2

【解析】方法一：如图,

A到CD,的距离即为正三角形ACD,的高，又因为正方体ABCD-\BXCXD｝的

棱长为I,则正三角形皿的边长为上,易得A到Q的距离即为当

x，y，z轴正向建立空间直角坐标系，

则4（1,0,0）,C（0,l,0）,〃（0,0,1）,=0,-1）,易得直线C2的单位方向向

量为e=（0,-冬冬，所以A到CD,的距离为也小⑷"=坐.

故答案为:4-

三、解答题

4.（2023秋•新疆巴音郭楞•高二校联考期末）如图，在长方体ABCD-4BGA中，四边形45co是正方形，

点N为AD的中点，且憾=4,A8=2.

⑴求证C。BA,；

(2)求二面角N-CD「。的余弦值.

【解析】(1)长方体ABCD-ABCIA,故8C〃AO,BC=AD,4。〃A。,AO=A2,

故BC//\DX,BC=AQ,四边形BCD^为平行四边形，故CD,网.

(2)建立为x轴，AD为>轴，AA为z轴的空间直角坐标系，如图所示：

则N(O,1,O),C(2,2,0),以0,2,4),皿0,2,0),则配=(2,1,0),ND}=(0,1,4),

/、n,-NC=2a+b=0

设平面RNC的法向量为勺=a也c,贝।,八，

ND】=Z?+4c=0

取“=1得到々=11，-2,£|,

UU

平面CD"的一个法向量为n2=(0,1,0),

I/.\|24721

故二面角N-。”的余弦值|cos(%，%/同佃=石=为一.

6

5(2023秋・湖北•高二统考期末并图在四棱锥P-ABCD中底面A8C。是直角梯形，AD工AB,ABDC,

尸4，底面48。。，点£为棱尸。的中点，AD=DC=AP=2AB=2.

p

E

AB

(1)证明：5£7/平面PAD;

⑵在棱PC上是否存在点尸，使得二面角尸-AD-C的余弦值为吟,若存在,求出*的值，若不存在,

请说明理由.

【解析】(1)在尸。上找中点G,连接AG,EG,如图：

和E分别为P£＞和PC的中点，

EGIICD,S.EG=^CD,

又；底面ABC。是直角梯形，CD=2AB,AB!/CD,

ABI/GE且AB=GE.即四边形ABEG为平行四边形，

/.AG//BE,

*/AGu平面PAD,BEX平面PAD,

：.2E/7平面PAD;

(2)因为PA_L平面ABC。,4氏4。<=平面48仪),

所以R4_LAB,乃_LAT>,又,

以A为原点，以AB所在直线为无轴，A。所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角

坐标系,

Z,

可得3(1,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),尸(0,0,2),PC=(2,2,-2),

由尸为棱PC上一点,®PF=2PC=(22,2^,-22),O<^<1,

AF=AP+PF=(2A,2A.,2-22),AD=(0,2,0)

设平面硒。的法向量为〃=（a,6,c）,

n-AF=02XQ+22b+(2-24)c=0

由，可得,解得：b=0,

nAD=02b=0

令c=/l,贝!］。=2—1,贝！］〃=（2—1,0,九）,

取平面AOC的法向量为根=（0,0,1）,

_।।\m'n\UI辰

则二面角尸-仞-C的平面角a满足：|cosa\=।口|=/=---

一网^^/（2-1）2+2210

解得：8万+22-1=0，解得：2或%"（舍去）,

故存在满足条件的点尸，此时了PF!=（1.

6.（2023秋•吉林长春•高三长春市第二中学校考期末）如图，等腰仲AOB,OA==2，点C是。3的中

点，AOB绕B0所在的边逆时针旋转至及儿）,ZAOD=—.

（1）求A08旋转所得旋转体的体积V和表面积S;

⑵求直线AC与平面反㈤所成角的正弦值.

【解析】(1)由题意旋转体的体积为圆锥体积的;，

11Q

所以V=§X]X兀x22x2=§兀;

表面由两个直角三角形，一个;底面圆和;侧面组成,

S=—X71X2X2A/2+-XTTX22+2X-X2X2

332

4A/2+4,

=----------71+4；

3

(2)建立如图所示的空间直角坐标系则：

A(2,0,0),C(O,O,1),3(0,0,2),D(-l,73,0),

贝LIAC=(-2,0,1),OB=(0,0,2),0Z)=(-1,^,0),

设平面3OD的法向量为〃=(x,y,z),

n-OB=02z=0

则，=>V

nOD=0-x+gy=0

设直线AC与平面3OD所成角为。，

|AC-2A/3_V15

贝[]sin0=

|AC||n|A/5-2-5

所以直线AC与平面BOD所成角的正弦值为半

7(2023秋・山东临沂高二临沂第三中学校考期末)四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱底面ABCD,

E是阳的中点，24=2,AB=1,AD=2.

⑴求证：尸3〃平面ACE；

(2)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值.

【解析】(1)证明：四棱锥尸-ABCD的底面是矩形，侧棱尸4,底面ABC。，因此以A为原点，以A8为x

轴，以AD为>轴，建立空间直角坐标系.

所以P（0,0,2）,C（l,2,0）,D（0,2,0）,E（O,1,1）,3（1,0,0）,

设平面ACE的一个法向量为〃=(。,6,c),

ci=-2

n-AE=0a+2b=0n"=ln〃=（_2,l,_l）,

,即

n-AC=0b+c=0

c=-l

=—

因为PB（1,0,2）zPB­n=—2+0+2=0,

又因为PBcz平面ACE,所以PBH平面ACE.

(2)设直线CP与平面ACE所成角为d,

因为PC=（L2,-2）,平面ACE的一个法向量为“=（-2,1,-1）,

।/.I\PC-n\7/

所以sin3=cos（PC,4=Jr—L=3=2

尸开以1\/I|pc|.|n|3遥9，

即直线CP与平面ACE所成角的正弦值为诿.

9

8.（2023秋上海嘉定高二上海市育才中学校考期末）如图，在正方体4BCD-ABGA中，E为B片的中

点.

⑴求：异面直线BG与AE所成角的大小；

⑵求：直线AA与平面所成角的正弦值.

【解析】（1）以点A为坐标原点，AD、AB.M所在直线分别为人八z轴建立如图所示的空间直角坐

标系A-0，设正方体棱长为2,

则4（0,0,0）,8（0,2,0）,G（2,2,2）,^（2,0,2）,£（0,2,1）,

所以=（2,0,2）,AE=（0,2,1）,

所以cos（即,AE）=启，2_M

AE\亚②+2葭君一记

所以直线BC与QE所成的角为arccos高；

（2）由题可知4（0,0,0）、4（。，。，2）、4（2,0,2）、£（0,2,1）,

所以叫=（2,0,2）,AE=（0,2,1）,2（0,0,2）,

设平面A?E的法向量为〃=（尤,y,z）,

n-AD,=2x+2z=0

由4,

n-AE=2y+z=0'

令y=i,则〃=（2,L-2）,

设直线M与平面所成角为a,

贝口1m一一长卜］,

因此直线AA|与平面ARE所成角的正弦值为;.

9.（2023秋•河北秦皇岛•高二秦皇岛一中校考期末）如图，在直三棱柱ABC-A4c中，C4=CB=1,

ZBCA=90°,M=2,M是44的中点，求：

⑴求异面直线AM与所成角的余弦值；

⑵点3到平面4cM的距离；

（3）求AM与平面B{CM所成角的正弦值.

【解析】（1）因为直三棱柱ABC-,所以CC，平面ABC,又因为NBC4=90°,所以C4,C8,CG两

两垂直，

以c为坐标原点，分别以CACBCG所在直线为X,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，

由题意可得A（l,0,0）,M（g,2）W（0,l,2）,C（0,0,0）,

（1]\ULU1

所以AM二「牙牙2）,^6=（0,-1,-2）,

..AMB,C一万一今人伍

所以1cos<AM,B.C>I\=阿——耳——C=誓收——二二1。一，

即异面直线AM与所成角的余弦值为噜.

（2）设平面4cM的法向量〃=（%,y,z）,

uuu（11）

因为旦C=（O,—1,-2）,^=^-,--,01,

BxCn=—y—2z=0

所以11」解得廉=（2,2,-1）,

l122

,、,\cB-r\|lx2|2

又因为CB=（0,1,0）,所以点B到平面B.CM的距离d=琰=-

（3）设M与平面BCM所成角为。，

AMn卜1+1-212^2

贝/in0-|cos<AM,n>|=

AM|n"9

即AM与平面BtCM所成角的正弦值为逆.

9

10.（2023秋・北京密云・高二统考期末）如图所示，在多面体ABCD跖中，梯形AD防与正方形A3CD所在

平面互相垂直，AF//DE,DEJ.AD,AF=AD=DE=2.

E

⑴求证：BE〃平面CDE；

⑵求证：平面CD/；

⑶若点”在线段OE上,且团=1,求异面直线AH与3E所成角的余弦值.

【解析】（1）因为AFU平面CDE；DEu平面CDE；AF//DE,

所以4尸//平面CDE.

因为ABO平面CDE；CDu平面CDE;AB//CD,

所以AB〃平面CDE.

又因为AFu平面AB产,ABu平面AB产,AF^AB=A,

所以平面AB尸〃平面CDE；

又因为3尸u平面ABA,所以3户〃平面CDE.

（2）取团的中点G,连接尸G,如图所示：

因为四边形ADE尸为梯形，且OE)AD,AF=AD=^DE=2,

所以四边形ADGF为正方形，FG1ED,FG=EG=2.

所以EF=后万=20,FD=V22+22=2A/2,

^PEF2+FD2=ED2,EFLFD.

又因为平面相）跖J"平面=,且CDu平面ABCD,CD1AD,

所以CD_L平面ADEF.

又因为EFu平面,所以CD_LEE

因为EB1CD,EF±FD,CDcFD=D,CD,F£）u平面CD尸,

所以EFI平面CD/7.

（3）以。为原点，OADCDE分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

4(2,0,0),”(0,0,3),5(2,2,0),£(0,0,4),

AH=(-2,0,3),BE=(-2,-2,4),

\AH-BE\164778

设异面直线.与BE所成角为d,则c°se=3^="+9-"+4+16=，.

所以异面直线AH与BE所成角的余弦值为宵.

11.（2023秋・广西南宁•高三南宁二中校考期末）如图，四棱柱ABC。一44G2的侧棱4A」底面48CO,

四边形ABC。为菱形，E,尸分别为CG,A4/的中点.

⑴证明：8,E,功，尸四点共面；

IT

⑵若AB=AAl,ADAB=耳,求直线AE与平面8即这所成角的正弦值.

【解析】（1）取的中点为G,连接AG,GE,

由E,G分别为CG,。，的中点,

：.EG//DC//AB,S.EG=DC=AB,

；•四边形ABEG为平行四边形，

^AG//BE.

又尸是AA的中点，即世//AG,

FDJ/BE,

故B,尸，I,E四点共面.

(2)连接AC、BD交于点。，取上底面ABGR的中心为。।,

以。为原点，04、OB、OQ分别为彳、人z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

设AB=2，则A(6,0,0),8(0,1,0),网-"(V)，口6，0,1),

AE=(-2石,0,1).BF=(^,-1,1),BE=(-A/3,-1,1),

设面8歹2的一个法向量为〃?=(x,y,z),

m-BF=0币x-y+z=0

则办正。,即,取机=(o,Li),

-y/3x-y+z=0

\m-AE\y/26

设直线AE与平面BEDF所成角为。，故sin。=

|//7|-|AE|26

•・・直线AE与平面的正所成角的正弦值为受

12.（2023秋・辽宁沈阳•高二东北育才学校校考期末）如图，在平面ABC。中，△A3。为正三角形，LBCD

为直角三角形，且8c=8=20,以8。为折痕把△A3。和△C8。向上折起，使点A到达点£的位置，点

C到达点产的位置，且满足平面项切＞，平面FBD.

⑴求证：EFLBD；

⑵若AE=2不，求直线DF与平面ABE所成角的正弦值.

【解析】（1）取题＞中点》,连接EH,FH,

因为=BC=DC,则EB=EDFB=FD,

故FH1BD,

因为EH,FH=H,EH,FHu平面EFH,

所以8。，平面EFH,

因为EFu平面9H,

所以的，EF；

（2）因为△BCD为直角三角形，S.BC=CD=2①,

所以BD=4,又因为△功。为等边三角形，

所以AH=EH=2也，为等边三角形，

取点。为A8中点，^\AHLEO,

•/EB=ED,AB=AD,

则_LB。，又EHTAH=H,平面AEW,

/.BD2平面AEH,即A2尸，女四点共面，

又：EOu平面AEH,

所以BDLEO,又BDcAH=H,3。Af/u平面ABD,

所以EO_L平面ABD,

过点。作。“〃应》交A。于点M,则AHLOW,

以。为坐标原点，所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0,后0）,网-2,-后0）,现0,0,3）,£>（2,-后0）,尸（0,-2后1）,

可得BA=（2,2^/3,0）,BE=（2,石,3）,。尸=（-2,-73,1）,

/、BA-m=2x+2上y-0

设平面ABE的法向量为m=（x,y,z）,则｛,

BE-m=2x+\j3y+3z=0

令x=3,贝[]y=z=,得历=（3,

uumu__

始rDFm-6+3-1V26

,・cos<DF,m>=|UuiB||ir|=.//.=-----------

|DFmJ4+3+1J9+3+113，

所以直线OE与平面ABE所成角的正弦值为噜.

13.（2023秋•重庆沙坪坝•高二重庆市第七中学校校考期末）如图，直三棱柱ABC-A4G中，底面ABC为

等腰直角三角形，A5，ACAB=AC=2,A4=4,M是侧棱cq上一点.

⑴若,求偿的值；

MC

⑵若MC=2,求直线8A与平面曲所成角的正弦值.

【解析】（1）因为/^，平面ABC,A民ACu平面ABC,所以441，A民A41，AC,

且AS/AC,所以以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，

AZ

所以8(2,0,0),C(0,2,0),4(0,0,4),设M(0,2,/7),

所以BM=(-2,2,/?),AC=(0,2,-4),

因为4c，所以创介4。=4-4/?=0解得〃=1,

所以C阳=3,MC=1,所以浅=3.

(2)因为MC=2,所以"(0,2,2),

BA=(-2,0,4),AB=(2,0,0),AM=(0,2,2),

设平面ABM的法向量为机=(x,y,z),直线8A与平面ABM所成角为。,

AB-m=2x=0

所以＜令y=-l,x=0,z=l,所以〃z=(0,-l,l),

AM-m=2y+2z=0

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