北京市丰台区2022年高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足Z（l+i）=4-3i,其中i是虚数单位，则复数z在复平面中对应的点到原点的距离为（）

55

C.D.

24

2.已知正四面体AB。。的棱长为1,。是该正四面体外接球球心，且而=xXB+y蔗+，x,y,zeR,则

x+y+z=(

x>l

3.已知实数工》满足线性约束条件,x+y20，则巴的取值范围为（）

x-y+2>QX

A.（-2,-1]B.（-1,4]C.[-2,4）D.[0,4]

.2兀.2兀_

4.若i为虚数单位，则复数z=-sm亍+zcos；-,则乙在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（

A.24n+9^3B.48n+9y/3C.48K+18^/3D.144n+1873

6.如图，在平面四边形ABCD中，AB±BC,ADLCD,ABAD=120,AB=AD=1,

若点E为边CZ＞上的动点，则NE的最小值为()

7.Q+%+的展开式中％-心2的系数是()

A.160B.240C.280D.320

8.设/(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=(x+l)2—2z,则/⑴―g6=()

A.-1B.0C.1D.3

9.下列与=971的终边相同的角的表达式中正确的是()

4

9

A.2k7t+45°(kEZ)B.4・3600+F(A£Z)

4

5JI

C./t-360°-315°(*ez)D.kn-\-----(*ez)

4

10.下列四个结论中正确的个数是

(1)对于命题。：mxeR使得则都有了2-1〉0；

00

(2)已知X—N(2Q2),则P(X>2)=0.5

(3)已知回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为9=2%-3；

(4)«%>1”是“X+L>2”的充分不必要条件.

X

A.1B.2C.3D.4

z—i

11.设复数Z满足「一=z-21(1为虚数单位)，则％=()

1

12.设函数4"蓝I"1‘若关于％的方程/(x)=aQeR)有四个实数解2,3,4),其中

则(q+x,)%—X)的取值范围是(

X<X<X<X,)

1234

A.(0,101]B,(0,99]c.(OJOO]D,(0,+oo)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.直线xsimz+y+2=0的倾斜角的取值范围是.

14.设变量X,y,Z满足约束条件(x—yN—1,则目标函数z=2x+3y的最小值是.

2x-y<3

15.如图，四面体ABCD的一条棱长为了,其余棱长均为1,记四面体ABC。的体积为歹(x),则函数歹(均的单调

增区间是一；最大值为

x-y+珍0,

16.已知实数了,丁满足约束条件3x-y一运0,则z=2x+y的最大值为.

J20，

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数/(x)=x3-3ax+e,g(x)=l-Inx,其中e为自然对数的底数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)用max{加,〃}表示机,〃中较大者，记函数/2(x)=max{/(x),g(x)},(x>0).若函数为⑴在(0,+oo)上恰有2个

零点，求实数a的取值范围.

18.（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环

保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数CAQI）的检测数据，结果统计如表：

[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300]

AQI

空气质量优良轻度污染中度污染重度污染重度污染

天数61418272510

（1）从空气质量指数属于［0,50］,（50,100］的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；

0,9<x<100

（2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位:元）与空气质量指数x的关系式为y=220,100<x<250,

1480,250<^<300

假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为

111111

7月每天的空气质量对应的概率以表中10。天的空气质量的频率代替•

⑴记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；

（«）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你

的理由.

19.（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测

一项质量指标值，该项质量指标值落在区间L。,40）内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样

本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.

图：设备改造前样本的频率分布直方图

表：设备改造后样本的频率分布表

))[25,30)[30,35))140,45)

质量指标值[15,20120,25135,40

频数2184814162

（1）求图中实数a的值;

（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间[25,30）内的定为一等品，每件售价

240元；质量指标值落在区间120,25）或130,35）内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件

售价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到

一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望.

20.（12分）已知函数/（%）=,—2]+|2X+4].

（1）解不等式〃x）2-3x+4；

，八八20202020

（2）若函数/（无）的最小值为凡机+，=。51>0,，>0人求^~--+一高的最小值.

m+1008a+1008

21.（12分）从抛物线C：X2=2py（。〉0）外一点作该抛物线的两条切线9、PB（切点分别为A、B）,分别与x

轴相交于。、D,若45与y轴相交于点Q,点M（x0,2）在抛物线。上，s\MF\=3（尸为抛物线的焦点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）①求证：四边形PC。。是平行四边形.

②四边形PC。。能否为矩形？若能，求出点。的坐标；若不能，请说明理由.

22.（10分）在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现例如，豌豆携

带这样一对遗传因子：4使之开红花，。使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：A4为开

红花，和出L一样不加区分为开粉色花，为开白色花.生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包

1

含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以爹

的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的.可以把第"代的遗传设想为第〃次实验的结果，每一次实

验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父系来说，如果抛出正面就选择因子4,如果抛出反面就选择因

子概率都是:，对母系也一样.父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状.假设三种遗

传性状A4,Aa（或44）,时在父系和母系中以同样的比例：a：v：w（"+v+w=l）出现，则在随机杂交实验中，遗

VVZ7

传因子4被选中的概率是。="+',遗传因子a被选中的概率是4=卬+].称P,分别为父系和母系中遗传因子

4和。的频率，PP实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比.基于以上常识回答以下问题：

（1）如果植物的上一代父系、母系的遗传性状都是Aa,后代遗传性状为A4,Aa（或M）,的概率各是多少？

（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状a。具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状

为A4和A。（或a4）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子4被选中的概率为P,。被选中的概率为夕，

P+q=l.求杂交所得子代的三种遗传性状A4,Aa（或a4）,所占的比例%,\,七.

（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为a。的个体假设得到的第"代总体中3种遗传

性状A4,Aa（或o4）,所占比例分别为必+v+w=1）.设第"代遗传因子4和。的频率分别为2和

nnnnnnn

VV

I“M

证明一1卜是等差数列.

q已知有以下公式p=」——=一-—，几=1,2,…

n

〃1-Wn1—wq

nn

（4）求"，v，攻的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生?

nnn

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

利用复数的除法运算化简z,复数z在复平面中对应的点到原点的距离为।<I，利用模长公式即得解.

【详解】

由题意知复数z在复平面中对应的点到原点的距离为।ZI.

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.

2.A

【解析】

3

如图设”，平面球心。在转上，根据正四面体的性质可得A。=[Ab,根据平面向量的加法的几何意义,

重心的性质，结合已知求出x+y+z的值.

【详解】

如图设AbJ_平面5C。，球心。在川上，由正四面体的性质可得：三角形6C。是正三角形,

BF=1x^12-（^）2=^_,AF=J12—吟2=4,在直角三角形尸08中,

0B2=0F2+BF2=OA2=（半一A。＞+（《"nA0=境，

3

AO=-AF,AF=AB+BF,AF=AD+DF,AF=AC+CF,因为歹为重心，因此属+/。+b力=0,则

4

3AF=AB+AC+AD,因此月+AC+A力）因此x=y=z=:，则x+y+z=：,故选A.

444

【点睛】

本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.

3.B

【解析】

作出可行域，J表示可行域内点P（%y）与定点。（。，-1）连线斜率，观察可行域可得最小值.

X

【详解】

作出可行域，如图阴影部分（含边界），必表示可行域内点P（x，y）与定点。（0,-D连线斜率，41,3）,

k=1中=4,过。与直线x+y=0平行的直线斜率为一1,〈与〃<4.

QA1-0pQ

故选:B.

【点睛】

y+1

本题考查简单的非线性规划.解题关键是理解非线性目标函数的几何意义，本题^—表示动点P(%y)与定点

。(0,-1)连线斜率，由直线与可行域的关系可得结论.

4.B

【解析】

首先根据特殊角的三角函数值将复数化为z=-半求出再利用复数的几何意义即可求解.

【详解】

(y/3

则2在复平面内对应的点的坐标为一%、5'位于第二象限.

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的几何意义、共轨复数的概念、特殊角的三角函数值,属于基础题.

5.C

【解析】

32+(空)2，圆锥的高/l=J(36)2—32，截去

由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体，圆锥底面半径为r=

2n。141.2兀

的底面劣弧的圆心角为可，底面剩余部分的面积为5=2,3Kr2+2r2SinT，利用锥体的体积公式即可求得.

【详解】

由已知中的三视图知圆锥底面半径为r=/32+(竿”=6,圆锥的高力=J(36>—32=6,圆锥母线

/=J62+62=，截去的底面弧的圆心角为120。，底面剩余部分的面积为

212K212兀l

S=Kr2+/2sin=兀x62+x62xsin=24K+9J3,故几何体的体积为：

323323

V=；S/1=；X(2471+9“)X6=48TI+18“.

故选C.

【点睛】

本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题，考查了学生空间想象,数学运算能力，难度一般.

6.A

【解析】

分析：由题意可得/VW。为等腰三角形，ABCD为等边三角形，把数量积妞.跖分拆，设DE

数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为O,可知人钻。为等腰三角形，而48,3。,40,。。，所以ABCD为等边三角形，

BD=y/3o设DE=?DC(0<Z<1)

_____._—_______3—

SEBE=(AD+DE)(BD+DE)=ADBD+DE(AD+BD)+DE2=^+BDDE+DE2

33

=3t2-_t+-(Q<t<l)

22

121

所以当/=时，上式取最小值隹，选A.

416

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用

向量共线转化为函数求最值。

7.C

【解析】

首先把x看作为一个整体，进而利用二项展开式求得W的系数，再求+的展开式中X-1的系数，二者相乘

即可求解.

【详解】

由二项展开式的通项公式可得(1+x+y2丫的第r+1项为T+灯，令r=l,则T=Ci|l+.r|r,

(X)r+lJ28(xJ

]

又(L+J7的第r+1为T=Cr\_\"Xr=CrX2r-l,令「=3,则。3=35,所以1'2的系数是35X8=280.

V%)"177

故选：C

【点睛】

本题考查二项展开式指定项的系数，掌握二项展开式的通项是解题的关键，属于基础题.

8.C

【解析】

先根据奇偶性，求出/(x)-g(x)的解析式，令x=l,即可求出。

【详解】

因为一⑴、g(E)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，/(x)+g(x)=(x+l)2-2工+1,用-x替换%得

/(-%)+g(-x)=(-x+1)2-2-X+1,

化简得-/(X)+g(x)=(X-1)2-2-x+l,即/(x)-g(x)=2-x+i-(x-l)2

令x=l,所以/(l)-g(l)=20-0=1,故选C。

【点睛】

本题主要考查函数性质奇偶性的应用。

9.C

【解析】

利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.

【详解】

与空的终边相同的角可以写成2加十粤(AGZ),但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.

44

故答案为C

【点睛】

(1)本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与a终边相同的角

B=h36Oo+a其中左ez.

10.C

【解析】

由题意，(1)中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；(2)中，根据正态分布曲线的性质，即可

判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要

条件的判定方法，即可判定.

【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题。：三%eR使得则都有

00

X2-l>0,是错误的；

（2）中，已知X~N（2,O2）,正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为x=2,所以P（X>2）=0.5是正确的;

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2,样本点的中心为（4,5）.由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，可得

回归直线方程为勺=2x-3是正确;

（4）中，当时，可得了+!22」公1=2成立，当x时，只需满足x>0,所以“x2l”是“x+L»2”

X\XXX

成立的充分不必要条件.

【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线的性质、回归直线方程的性

质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于

基础题.

11.B

易得z=二，分子分母同乘以分母的共轨复数即可.

1-1

【详解】

..2+i(2+i)(l+i)l+3i13.

由已知‘NT=@+2,所以Z=E=-2一=—+—1

222

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力,是一道容易题.

12.B

【解析】

画出函数图像，根据图像知：x+x=-10,%1=1,]<％<1,计算得到答案.

12J41（J3

【详解】

x2+10x+Lx<0

/(%)=<,画出函数图像，如图所示:

|lg%|?x>0

根据图像知：x+%2=-10,Igx=-lg%,故5^=1,且，<、<1.

故(x+x)(尤-x)=-10x--e(0,99].

1234I3x)

'3/

【点睛】

本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

[n兀[「3兀）

【解析】

因为sinad[—1,1],

所以一sinaG[—L1],

八兀"I「3兀

所以已知直线的斜率范围为[—1,1],由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是O.％。丁，兀

„71371\

答案：°，a。'"J

14.7

【解析】

作出不等式组<x-1表示的平面区域，

2x-y<3

得到如图的△ABC及其内部，其中4(2,1),5(1,2)0(4,5)

设z=F(x^)=2x+3y,将直线l:z=2x+3y进行平移，

当/经过点4时，目标函数z达到最小值

•••z=F(2,1)=7

最小值

15.(0,更](或写成(0,4)/

22o

【解析】

试题分析：设AB=x,取AB中点"，则CMLAB,WAB,因此A3上面COM斯以

F(x)=l-x-S-兰=2_病2-X4,XG(0,、「)，因为y='—力2Je(0,3)在(0,1)单调递增,

3ACDM32V44122

最大值为:，所以/(X)单调增区间是(0,手)，最大值为:

考点：函数最值，函数单调区间

16.1

【解析】

作出约束条件表示的可行域，转化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,当目标函数经过点(2,3)时，直线的截距最大,

取得最大值，即得解.

【详解】

作出约束条件表示的可行域

是以4（2,3）,6（-1,0）,C（l,0）,为顶点的三角形及其内部，

转化目标函数z=2x+y为y=-2x+z

当目标函数经过点（2,3）时，直线的截距最大

此时z=2x2+3=7取得最大值1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）函数八了）的单调递增区间为（_8,_"）和（、/7,+8）,单调递减区间为（-J7,J7）；（2）a>^~-

【解析】

（1）由题可得/'（X）=3x2-3a,结合。的范围判断f'G）的正负，即可求解；

（2）结合导数及函数的零点的判定定理，分类讨论进行求解

【详解】

⑴广（x）=3x2—3a,

①当aWO时,/（x）20,

函数/。）在（00,00）内单调递增；

②当a〉0时，令「（x）=3（x+点）（x_旅）=0,解得x=-&或x=yja,

当x<-/或龙>&时,广⑴〉0，则/（%）单调递增，

当<x<“■时，尸(x)<0，则/(X)单调递减，

函数/⑴的单调递增区间为(-8,-和(",+8),单调递减区间为(-")

(2)(I)当xe(O,e)时,8(%)〉0,/2(%)》8(%)〉0,所以/2。)在(0,6)上无零点；

(II)当x=e时,g(e)=0,/(e)=e3-3ae+e,

C2+1

①若/(e)=63-3ae+<0,gp。――，则e是h{x}的一个零点；

02+1

②若/(e)=e3-3ae+e〉。,即a<——，则e不是h{x)的零点

(III)当了©(e,+s)时,g(x)<0,所以此时只需考虑函数/(x)在匕+⑼上零点的情况，因为

广(x)=3x2-3a>3e2一3Q,所以

①当生£2时,/(x)>0"(x)在(6+8)上单调递增。又/(e)=c3—3〃e+e,所以

P2+1

(i)当aV二3—时,/(6)20，/(%)在(6,+8)上无零点；

P2+1.

(ii)当；<aVe2时,/(e)<0,又/(2e)=8e3-6ae+e28e3-6e2+e〉0>0,所以此时/(x)在(e,+8)上恰有一

个零点；

②当a〉e2时，令尸⑴=0,得了=土"，由f\x)<0,得e<%<"；由尸。)>0,得了>了，所以f。)在(e,")上单

调递减，在(",+8)上单调递增，

因为f(e)-03-3ae+e<e3-3e3+e<0,f(2a)=8a3-6a2+e>8a2-6a2+e=2a2+e>0,所以止匕时/(x)在

(e,+8)上恰有一个零点，

…e2+1

综上,a〉二_

【点睛】

本题考查利用导数求函数单调区间，考查利用导数处理零点个数问题，考查运算能力，考查分类讨论思想

23

18.(1)—；(2)(i)详见解析；5)会超过；详见解析

【解析】

(1)利用组合进行计算以及概率表示，可得结果.

(2)(0写出X所有可能取值，并计算相对应的概率，列出表格可得结果.

(«)由(力的条件结合7月与8月空气质量所对应的概率，可得7月与8月经济损失的期望和，最后7月、8月、9

月经济损失总额的数学期望与2.88万元比较，可得结果.

【详解】

(1)设。为选取的3天中空气质量为优的天数，

C2cl7C31

则P(4=2)==QQ,P4=3)=^=有，

C3JoC3□/

2020

则这3天中空气质量至少有2天为优的概率

7123

为+=•

38571141

(2)⑴=0)=P(0<x<100)=^=|,

P(X=220)=P(100<x<250)=-=2_,

10010

P(X=1480)=P(250<x<300)=—=—,

10010

X的分布列如下：

X02201480

171

P

5To10

(«)由⑴可得：

171

E(X)=QX-+220X—+1480X—=302(元)，

故该企业9月的经济损失的数学期望为30E(X),

即30E(X)=9060元，

设7月、8月每天因空气质量造成的经济损失为V元，

可得：P(Y=0)=1+1=1,

632

p(y=220)=l+2-+J-=l,P(y=1480)=1,

6121236

111

E(F)=0x-+220x+1480x-=320(元)，

63o6

所以该企业7月、8月这两个月因空气质量造成

经济损失总额的数学期望为320x(31+31)=19840(元),

由19840+9060=28900>28800,

即7月、8月、9月这三个月因空气质量造成

经济损失总额的数学期望会超过2.88万元.

【点睛】

本题考查概率中的分布列以及数学期望，属基础题。

19.（1）。=0.080（2）详见解析

【解析】

（1）由频率分布直方图中所有频率（小矩形面积）之和为1可计算出。值；

111

（2）由频数分布表知一等品、二等品、三等品的概率分别为K选2件产品，支付的费用X的所有取值为240,

236

300,360,420,480,由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望.

【详解】

解：（1）据题意，W0.008x5+0.032x5+5a+0.024x5+0.036x5+0.020x5=1

所以a=0.080

111

（2）据表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为入=，下.

随机变量X的所有取值为240,300,360,420,480.

P（X=300）=0x1x1=1

2369

P（X=360）=Cixlxl+ixl=J_

2263318

P（X=420）=Cixlxl=l

2233

P（X=480）=1x1=1

224

随机变量X的分布列为

X240300360420480

11511

p

3691834

所以E（X）=240xJ_+300x1+360x_£+420x1+480x1=400（元）

3691834

【点睛】

本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图

中所有频率和为1.本题考查学生的数据处理能力，属于中档题.

20.(1)卜I%"<

(2)4

【解析】

(1)用分类讨论思想去掉绝对值符号后可解不等式；

(2)由(1)得〃无)的最小值为4,则由〃Z+1008+"+1008=2020,代换后用基本不等式可得最小值.

【详解】

—3x—2,x<—2

解：⑴f(x)=\x-2\+\2x+4\=<x+6,-2<x<2

3x+2,x>2

讨论：

当x<—2时，一3x—22—3x+4,即，一224止匕时无解；

当一2时，x+62—3x+4,———]Vx<2；

当x>2时，3%+22—3x+4,x>——,x>2.

•••所求不等式的解集为]»一；1

(2)分析知，函数/Xx)的最小值为4

a=4

.\m+n=a=4-

20202020m+1008+n+1008m+1008+n+1008

----------+--------------------------------+----------------------

m+1008n+1008m+1008n+1008

cn+1008m+1008

=2+-----------+------------

m+1008n+1008

In+1008黑黑:4,当且仅当根="=2时等号成立.

>2+2

Ym+1008

20202020

----------+----------的最小值为4.

m+1008n+1008

【点睛】

本题考查解绝对值不等式，考查用基本不等式求最小值.解绝对值不等式的方法是分类讨论思想.

21.(1)X2=4y；(2)①证明见解析；②能,(0,1).

【解析】

(1)根据抛物线的定义，求出P,即可求抛物线C的方程；

/\z\

(2)①设Ax,羊，Bx,,半，写出切线尸4尸8的方程，解方程组求出点P的坐标.设点Q(0,“，直线A3

I14JI24J

的方程y=^+f,代入抛物线方程，利用韦达定理得到点尸的坐标，写出点co的坐标，，可得线段co,P。相互平

分，即证四边形PC。。是平行四边形；②若四边形PC。。为矩形，则陷=卬|,求出/,即得点。的坐标.

【详解】

D

(1)因为悭/|=2+§=3,所以p=2,即抛物线。的方程是％2=4y.

(\(\

_,,X21%2%2

(2)①证明：由％2=4y得y=——,y'——•设A%，，Bx，-^―,

42V147\247

则直线物的方程为y—工=%(%—x)(i),

421

则直线尸3的方程为y—¥=—匕)(ii),

X+XXX/X+xXX

由(i)和(ii)解得：x—122，=12,所以0[12?，-1/

设点。(0,。，则直线A5的方程为y=+

x2=4yAI“

由J,'得X2-4履一4r=0,则x+x=4左，XX=-4t,

y=kx+t1212

所以P(2鼠T),所以线段尸。被X轴平分，即被线段CZ)平分.

g，oj,同理得。序oj,所以线段a)的中点坐标为1士9,0),即&o),

在①中，令y=o解得工=才，所以c

又因为直线PQ的方程为＞=-9+''所以线段。的中点3°)在直线「。上’即线段。被线段尸。平分.

因此，四边形PC。。是平行四边形.

②由①知，四边形PC。。是平行四边形.

若四边形PC。。是矩形，则|「。|=卬|,即

J4k2+4t2=J%i\—=]JG+x]—4xx=6k2+16f,

解得f=L故当点。为(°」)，即为抛物线的焦点时，四边形PC。。是矩形.

【点睛】

本题考查抛物线的方程，考查直线和抛物线的位置关系，属于难题.

22.(1)A4,Aa(或aA),的概率分别是:，g