2024-2025学年人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称（中档题）专项训练

第十三章轴对称

专题一轴对称和轴对称图形

核心考点一轴对称的定义和性质

01.如图,在^ABC中，点D在BC边上,将点D分别以AB,AC为对称轴.画出对称点E,F,并连接AE,AF,根据图中

标示的度数,可求得/EAF的大小为（）

A.108°B.115°

C.122°D.130°

核心考点二坐标系内点的对称

02.已知点P（3,2m-3）关于x轴对称的点在第四象限则m的取值范围是（）

A.m>3B.m<3C.m<-D.m>-

22

核心考点三利用图形的折叠和对称求角度

03.如图,在仆ABC中，ZBAC=90°,ZB=50°,ADXBC,垂足为D,△ADB与小ADB关于直线AD对称，点B的对称点

是点B；则NCAB的度数为（）

A.10°B.20°

B'C

C.30°D.40°

04.如图，将一个直角三角形纸片（/ACB=90。）,沿线段CD折叠，使点B落在点B1处，若乙4cBi=6（T4!J/ACD

的度数为（）

A.30°B.25°

C.20°D.15°

核心考点四利用图形的折叠和对称求线段，周长或面积

05.如图,在4ABC中，ZC=90°,AC=BC,AD平分乙CAB交BC于D„DE148于E,且AB=6cm,贝必DEB的周长为

()

A.4cmB.6cm

C.8cmD.10cm

06.在如图的三角形纸片中，AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E

处,折痕为BD,则小AED的周长为（）

A.5cmB.6cm

C.7cmD.8cm

AE

核心考点五通过数对称轴的个数，找轴对称图形的个数

07.如图.在3X3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的△ABC

为格点三角形，在图中最多能画出____个格点三角形与△力BC成轴对称.

核心考点六轴对称与面积

08.如图,在,AABC中,ZC=90。,点A关于BC边的对称点为4,,点B关于AC边的对称点为B1点C关于AB边

的对称点为C,则.AABC与△4夕。”的面积之比为()A„

09.如图，将长方形纸片ABCD对折后再展开，形成两个小长方形，并得到折痕MN,E是BC上一点，沿着AE再

次折叠纸片，使得点B恰好落在折痕MN上的点B，处，连接AB1,EN.设BC=5t,EC=3t,EN=

g3t用含t的式子表示△AMB”的面积是___.

BE

核心考点七轴对称与全等

10.如图,在RtAABC中,D是CB延长线上一点,以AD为边作△4DE,连BE,^ABC=a,且/AED=/ADE=a.

(1)在图中作出△ABC关于直线AC的轴对称图形；

(2)试判断BE-BD与BC的数量关系,并证明.V一_4

DBC

专题二线段的垂直平分线及性质⑴一线段处理

核心考点一利用线段垂直平分线的性质求线段长，周长

01.如图,在4ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,若BC=7,AC=©bACE的周长为（）

A.8B.11

C.13D.15

核心考点二线段的垂直平分线和对称型全等的构造

02.如图,在^ABC中,ZBAC=90°,AD±BC于D,且AC+CD=BD,若BD=6,贝!|CD=

03.如图,AD为小ABC的高.点H为AC的垂直平分线与BC的交点，点F为BC上一点,若/B=2/C,且AC=AB+B

F,则拿的值为（）

DF

A.1B.2

D.3

核心考点三利用线段垂直平分线的性质与全等结合求线段长

04.如图，ZBAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D,DE±AB,DF±AC,垂足分别为E,F,AB=18,AC=8,则B

E的长为

05.如图，ZBAC=90°,CD平分NACB交AB于点D,CMLCD,点M在AB的垂直平分线上,AM交BC于点O,MG

-LAC于点G.

(1)求证:ZBCM=ZGCM;

⑵若CG=2,求BC-AG的长.

G

M

专题三线段的垂直平分线及性质⑵——角度处理

核心考点一利用垂直平分线求角度

01.如图,ZB=35°,CD为AB的垂直平分线,则NACE=（）

A.55°B.60°

C.70°D.80°

核心考点二三角形的外心与设参整体处理

02.如图,四边形ABCD中,ZA=80°,BC,CD的垂直平分线交于A点,则NBCD的度数为（）

A.150°B.140°

C.130°D.120°

03.如图,线段AB,BC的垂直平分线11,12相交于点O,若Nl=39。,则NAOC=

04.如图,四边形ABCD中,AE,AF分别是BC,CD的垂直平分线,ZEAF=75°,ZCBD=35°,则NADC的度数为（

)

A.55°B.60°

C.80°D.100°

核心考点三构造垂直平分线与导角、全等结合

05.如图，顶角为钝角的等腰△ABC中,AC=AB,AD±AB交BC于D,在AC上取点E使CD=DE,连BE.

⑴作图:作^ADB关于AD的轴对称图形;

(2)求证：BE±DE;

（3）若AE=DE,贝！|NCAB=（直接写出答案）.

CDB

专题四等腰三角形的性质和判定

0L等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为40。，，则顶角度数为

02.如图,在4ABC中,BO平分/ABC,CO平分/ACB,过点O作.MN||BC,MN分别与AB,AC相交于点M,N,若小

ABC的周长为18,AAMN的周长为12,则BC的长是.

03.如图,在4ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE=CF,BD=CE.

⑴求证:△DEF是等腰三角形；

⑵当NA=40。时,求NDEF的大小.

04.如图，点P是△ABC内部一点,且AC=BC,AP=BP,连接CP.

(1)求证:ZACP=ZBCP;

(2)若AB=3CP=3,直接写出4APC的面积.

05.在A4BC中,AB=AC,BD平分NABC,交AC于点D,BD=AD.

⑴如图1,求NBAC的度数

⑵如图2,EBAB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F,连接AF.求证：AF^AB+BC.

图1图2

06.如图，在△力BC中，ABAC=45°„点E是AC的中点,连接BE,CD1BE于点F,交AB

于D,CD=BE.若,AD=&,则BD的长为()

A.2F.2V2

C.2V3D.3V2

07.如图,△ABC中,AB=AC,E在线段AC上,D在AB的延长线上,连DE交BC于F,过E作EGXBC于G.

(1)若NA=50。,ZD=30°,求/GEF的度数;

⑵若BD=CE,求证:FG=BF+GC.

08.如图,在△4BC中,D,E分别为AB,BC上的点,且AE,CD交于点F,若AB〉BC,NB=2NFAC=2NFCA,求证:

09.如图1,在△4BC中，^BAC=75°,乙4cB=35。,乙4BC的平分线BD交边AC于点D.

(1)求证:△BCD为等腰三角形；

(2)若NB4C的平分线AE交边BC于点E,如图2,求证：BD+AD=AB+BE;

(3)若NB4C外角的平分线AE交CB延长线于点E,请你探究(2)中的结论是否仍然成立?直接写出正确的结论.

BBC

图1图2

专题五设参导角求等腰三角形相关的角

01.如图,在^ABC中,AB=AC,点D在AC上，且BD=BC=AD,则ZA的度数为（）

A.30°B.35°

C.36°D.40°

02如图,在^ABC中,点D在边BC上,BD=DC=AC,AE是△ADCC的中线,NB=35o,NC=50。,ZDAE的度数为)

A.30°B.35°

C.40°D.50°

03.如图,在^ABC中，NB=NC,点D为BC边上一点,点E在AC边上,NADE=NAED=70。，ZCDE=15°,贝！J/BA

D二()

A.55°B.40°

C.30°D.20°

04如图,OA=OB=OC,ZBOC=66°,贝！J/BAC的度数是.

05.如图，已知△ABCC的三条内角平分线相交于点I,三边的垂直平分线相交于点O.若乙BOC=148。,则乙BIC=

()

A120。8.125。

C.127°D.132°

B

专题六角平分线与平行线结合得等腰

方法：角平分线与平行线结合可得等腰三角形，三者之间，知二推一

核心考点一认识模型

01.(1)如图1,A4BC中,BD平分/ABC,CD平分/ACB,过点D作EF〃BC,分别交AB,AC于E,F两点，则图中

共有一个等腰三角形，分别是；EF与BE,CF之间的关系是；

(2)如图2,点D在△ABC外,且BD平分NABC,CD平分△ABC的外角NACG,过D点作DE〃BC,分别交AB,

AC于E,F两点则EF与BE,CF之间有何关系？写出你的结论，并加以证明；

(3)如图3,点D在4ABC外,BD,CD分别平分4ABC的外角ZGBC和/HCB,过点D作DE/7BC,分别交BG,

CH于E,F两点,直接写出EF与BE,CF之间存在的数量关系:

图1图2图3

核心考点二应用模型

02如图，点O是△4BC角平分线的交点，过点O作MN||BC分别与AB,AC相交于点M,N,若.AB=5,S=7,则

△AMN的周长为,

03.如图,△ABC的乙4BC的外角平分线BD与乙4cB的外角平分线CE交于点P,过点P作交AC于点M,交

BC于点N,且.AM=8,BN=5,则MN=()

A.2B.3

C.4D.5

AB

专题七倍角的处理策略（新热点）

01.如图,在4ABC中，已知AD平分ABAC,AC=4B+BD,,则NB和NC的数量关系是一

02.如图,CD是△ABC的高,S..BD=AC+4D,若乙B=23。,贝.乙4=

03.如图,在小ABC中,ZXCB=90°,BC=a,AB=b„D为边BC上一点,连接AD.若NABC=2NCAD,则线段BD的

长=.（用含a,b的式子表示）

04.如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点E.若E为BD的中点,/.BAC=2^ACD,AE=2,CE=8,则AB的长

为

05.如图，△ABC中,ZABC=2ZC,BD平分.^ABC.AF1BD于F.求证:(1)ZBA

F=ZDAF+ZC:(2)AC=2BF.

D

B

专题八分类讨论思想求等腰三角形的个数

01.如图,坐标平面内一点A（2,-1）,O为原点,P是X轴上的一个动点,如果以点P,o,A为顶点的三角形是等腰三

角形，那么符合条件的动点P的个数为（）

A.2B.3

C.4D.5

02.如图，是一个5x5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1.点A和点B在小正方形的顶点上.点C

也在小正方形的顶点上，若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）个.

A.9B.8

C.7D.6

03.如图，在RtAABC中，以小ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可

以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（）

A.7B.6

C.5D.4

04.如图，B是直线1上的一点，线段AB与1的夹角为（a（0。<a<180。）,点C在1上，若以A,B,C为顶点的三角

形是等腰三角形，则满足条件的点C共有（）

A.2个B.3个

C.2个或4个D.3个或4个

A

I

B

专题九巧用“三线合一”

核心考点一直接利用三线合一得二倍角(或导角)

01.如图,在4ABC中,AB=AC,CH±AB于点H,求证：ZA=2ZBCH.A

BC

核心考点二直接利用三线合一与面积法求线段长

02.如图,在AABC中,AB=AC,AD±BC于点D,DE_LAB于点E,BFXAC于点F,DE=3cm,则BF=cm.

核心考点三放垂构造三线合一证明线段关系

03.如图,已知在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,且AD=AE.证明:BD=CE.

核心考点四连接等腰三角形的顶角定点和底边中点构造三线合一证明全等

04.如图,RtAABC中"AC=BC,ZC=90°,D为AB边的中点,ZEDF=90°,E,F分别在AC,BC上.

(1)求证:DE=DF;⑵求证:SDEF+SCEF=^ABC'A

D

CB

核心考点五放垂构造三线合一，导角证明全等

05.如图,AC=ABBD,AB1BD,BC=8,则△BCD的面积为」

06.如图,在四边形ABCD中,AC=BC=BD,AC1BD,若AB=V5.

(1)求证：ZACB=2ZABD;⑵求^ABD的面积.

07.如图,D,E,F是△ABC边上的点,AB=BDAE,AD=4,EF与AD交于点G,FG=3,ZC=ZAGF=45°,

求4AFG的面积.

核心考点六三线合一，夹半角结合

08.在Rt△ABC中,.AB=AC,OB=OC,乙4=90。,NMON=a,分别交直线AB,AC于点M,N.

(1)如图1,当a=90。时，求证：AM=CN;

(2)如图2,当(a=45。时，求证：BM=AN+MN;

(3)当a=45。时，旋转/MON至图3位置，请你直接写出线段BM,MN,AN之间的数量关系.

N

图1图2图3

专题十无刻度直尺格点作图⑵一轴对称与最值(新热点)

核心考点一利用三线合一及内心的性质作三角形的内角平分线

01.仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹:如图,BD是AABC的角平分线，作△ABC的内角ZBCA的角平分线CE.

核心考点二构造等腰直角三角形或者正方形，作线段的垂直平分线

02.如图，点A,B在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图.

⑴将线段AB绕A逆时针旋转90。得线段AC;⑵画AB的垂直平分线.

03.如图，在10x10的正方形网格中，点A,B,C都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过

程用虚线表示.在图中画出BC边的垂直平分线.

"1•…T"i(FTrr

核心考点三利用三线合一及内心的性质作三角形的内角平分线

04如图,点A,B,C均在格点上,只用无刻度的直尺,按要求作图：

(1)如图1,AB=5,作出NBAC的角平分线AP;

(2)如图2,BD是AABC的角平分线，作NBCA的角平分线CE;

⑶如图3,点D在AC上,AB=5,在AB上画点P,使AP=AD±.

..Ji..

t

图3

05.如图，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，AB=5.仅用无刻度的直尺作图，画图过程用虚线，画图结果用实

线.

(1)如图1,在格点上找点D,连接AD,使AD=5且AD〃BC,再在AC上找点E,使BE角平分/ABC;

⑵如图2,在格点上找点F,使AF±AB且AF=AB,再在直线AC上找一点P,使/APB=/ABC.

核心考点四构对称型全等作线段的垂直平分线

06.请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不要求写作法，保留作图痕迹.

(1)如图1,四边形ABCD中,AB=AD,ZB=ZD,BC=DC,请画出四边形ABCD的对称轴；

(2)如图2,四边形ABCD中,.AD\\BC,Z4=ZD,,请画出BC边的垂直平分线m；

⑶如图3,在一个5x6的方格图中有一个格点4ABC(顶点A,B,C均在格点上)，请画出AC边上的高BH.

图1图2

核心考点五整体平移法

07.如图是由边长为1的小正方形构成的网格，△48C的顶点在格点上.

⑴如图1,点F是AC与网格线的交点，请在BC上作一点H,使

⑵如图2,直线a和直线b在网格线上，点A和点H在两条直线的两侧，请在直线a上作一点M,过点M作

MN±b于点N,连接HN,使得AM+MN+NH的最小.

专题十一无刻度直尺格点作图(3)——轴对称与最值综合力I综

01如图，△ABC的三个顶点A,B,C均在格点上,已知AB=5,请只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保

留作图痕迹.

(1)△ABC面积为;

⑵画出AB边上高CH;

(3)作出ZBAC的角平分线AP.

02.如图，△ABC的三个顶点都是格点，其中AB=5.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表

示，画图结果用实线表示.

(1)在图1中,先画边AB上的中线CD;再画NBAC的平分线AE;

⑵在图2中,先画CFXAB于点F;M是边AB上一点,再画点M关于直线BC的对称点N.

03如图,在7x7的正方形网格中，点A,B,C都在格点上,点D是AB与网格线的交点，且AB=5，仅用无刻度的直尺

在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

(1)作AB边上高CE;

⑵画出点D关于AC的对称点F;

⑶在AB上画点M,使BM=BC;

(4)在4ABC内回点P,使SABP=SACP=Sarp.

04如图，边长为1的小正方形构成的6x6网格中，每个小正方形的顶点称为格点.AD是4ABC的角平分线,其中

A,B,D为格点.

(1)画出AB的中点M;

(2)在AC上画点N,使ND〃AB;

(3)画点B关于AD的对称点P;

(4)若小QAB是等腰三角形，直接写出该网格中满足条件的格点Q的个数.

B

专题十二利用对称轴的个数求轴对称图形的个数

01.如图，在3X3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是

一个格点三角形.在这个3x3的正方形格纸中，与△ABC成轴对称的格点三角形最多有（）

C

A.3个B.4个

C.5个D.6个

AB

02.如图，是一个3x4的网格（由12个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点

上,在网格中可以画出（）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形.

03.如图，在4x4的正方形网格中，与^ABC关于某条直线对称的格点三角形（顶点在格线交点的三角形）共有.

个.

04.在如图所示3X3的正方形网格中，有三个小方格被涂上了阴影，请在图中再选择两个空白的小正方形并涂成

阴影，使得图中的阴影部分成为轴对称图形，共有（）不同的填涂方法.

A.4种B.5种__________

（16种口.7种\;

专题十三等边三角形（1）—性质与判定

核心考点一等边三角形的性质

01.如图,正仆ABC中,点D,E分别为BC,CA上的两点,且BD=CE,连接AD,BE交于点F,则NFAE+NAEF的度数

是.

核心考点二等边三角形的判定——两边等+有一角为60°

02.如图，将△ABC绕A点逆时针旋转60。得到△ADE,连接DE若乙CDE=90。,则NBCD的度数是（）

A.110°B.120°

C.130°D.150°

03.已知/AOB=30°,点P在/AOB的内部,Pi与P关于OA对称,P2与P关于OB对称，则△PtOP2是（）

A.含30。角的直角三角形B.顶角是30。的等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等边三角形

核心考点三等边三角形的判定——两角为60°

°4如图,一个六边形的每个内角都是12。。,连续四边的长依次是2.7,3’5‘2‘则该六边形的军长是一.

O

05.如图,RtAABC中，ZACB=90°,CA=CB,ZBAD=ZADE=60°,DE=3,AB=10,CE平分NACB,DE与CE相交于点

E,则AD的长为（）

A.4B.13

C.6.5D.7

核心考点四等边三角形与旋转全等

06.如图,AABC和^ADE都是等边三角形，点D在BC上,DE与AC交于点F.若AB=5,BD=3,则竺=

EF

A

BD

核心考点五等边三角形与30。直角三角形综合

07.如图,△ABC中，BD是AC边上的中线,BD1BC于点B,ZABC=120°,求证:AB=2BC.

08.如图,在等边A4BC中,AE=CD,AD,BE交于P点,BQ±AD于Q.

(1)求证:BP=2PQ-,(2)连PC,若BP±PC,求:的值.

核心考点六作平行(或截长补短)构造等边三角形

09.如图,在等边△ABC中,D是AB上一点,E是BC延长线上一点,AD=CE,DE交AC于点F.

(1)求证:DF=EF;

⑵过点D作DHXAC于点H,求穿的值.

10.在等边△A8C中，点D和点E分别在边AB,BC上，以DE为边向右作等边△DEF,连接CF.

⑴如图1,当点D和点A重合时,求乙4CF的大小；

⑵如图2,点D是边AB的中点,求证:乙FCE=乙FEC.

图1图2

专题十四等边三角形(2)一特殊角(60。与等边三角形的构造

01.如图,AABC为等边三角形,ZADC=60°.求证:AD=BD+CD.

02.如图,△ABC为等边三角形,ZBDC=120°.求证:AD=BD+CD.

03.如图，在△4BC中,AB=AC,点D是△ABC夕卜的一点,且上ABD=^ACD=60。.求证：BD+DC=AB.

04.如图,在等边△ABC中，点D为边BC上一点,"BE=/.CAD,CF||BE交AD的延长线于点F.

⑴求乙4EB的度数；

⑵若BE=10,AF=15,求AE的长.

05.如图,△ABDA4EC都是等边三角形.

(1)求证:BE=DC;

⑵设BE,DC交于M,连AM,求竺怒鬻％的值

LJlv1十£5

06.(1)探究:如图1,△ABC和4ADE都是等边三角形,点D在边BC上.

①求NDCE的大小；

②直接写出线段CD,CE,AC之间的数量关系；

⑵应用:如图2,在四边形ABCD中,AB=BC,ZABC=60°,P是四边形ABCD内一点,且^APC=120。,求证：

PA+PC+PD>BD-,

(3)拓展：如图.3,在平面直角坐标系中，点A的坐标为(-4,0),点B是y轴上一个动点，以A