江苏省徐州市2024年中考数学 二次函数综合题练习

二次函数综合题

★1.如图，已知抛物线y=—/+法+。与x轴交于点/(—1,0)和点夙3,0),与y轴交于点G连接欧交抛物线的

对称轴于点色，是抛物线的顶点.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)干脆写出点C和点，的坐标；

(3)若点户在第一象限内的抛物线上，且5k胶=4幺腌，求户点坐标.

抛物线的解析式为y=—f+2x+3；

(2)<7(0,3),2(1,4)；

【解法提示】：抛物线与y轴交于点C,将x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3,，C(0,3),：抛物线与x轴交于A(-1,0),

2

B(3,0),对称轴为直线下------=1,y=-l+2+3=4,AD(1,4).

-1x2

(3)设户(x,y)(x>0,y>0),

131

*.*Sk^=3XlX-=-,5k^=4XyX-=2y,

•S^ABP=4

3

2y=4X~,

.*.y=3,

又・・•点户在抛物线上，将y=3代入

得一x+2x+3=3,

解得E=0(不合题意，舍去)，x?=2,

・••尸(2,3).

★2.如图，抛物线y=a(x—l)(x—3)与p轴交于48两点，与y轴的正半轴交于点G其顶点为〃

1

(1)写出G〃两点的坐标(用含a的式子表示);

(2)设S^BCDZS^ABD—k,求A的值;

⑶当△题是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.

第2题图

解：(1)•.,y=a(x—1)(x—3)4dx+3a=a(x—2严一己，令x=0,y=3a,

C(0,3a),〃(2,la)；

(2)由(1)得以0,3a),〃(2,-a),

得直线"的解析式为y=-2ax+34

3

令y=0,贝Ix=],

3

如解图，设切交x轴于点忆则欣亍0),

第2题解图

由题意知点/的坐标为(1,0),夕的坐标为(3,0),

3

qq4QLL+L，3a

uBCD_uDMB丁uCMB2222=3，

Q.ABDJABD一x2xa

2

k=3；

(3)：6(3,0),C(0,3a),2(2,~a),

.,.^=32+(3a)2=9+9a2,

切=2~+(—a—3a)2=4+16a,,

^^(3-2)2+3=1+3,

2

•.•/加火/比次90°,

...△6切为直角三角形时，只能有两种状况，

①当/侬=90。时，则有力+初^切，即9+9a2+l+a2=4+16a2,解得a=l或a=-l(舍去)，

此时抛物线的解析式为y=/-4x+3；

②当/侬=90°时，则有切十碗=初，即4+16/+1+,2=9+93，解得@=当或a=-当(舍去),此时抛物线的解

析式为y=^~x—2y[2x+—^-.

综上所述，当△20是直角三角形时，抛物线的解析式为尸人4叶3或尸去一2小叶芈.

★3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=(x+2与x轴交于点4与y轴交于点C,抛物线y=—%;+6x+c经过/、C

两点，与x轴的另一交点为点B.

(1)求抛物线的函数表达式;

(2)点，为直线上方抛物线上一动点.

C

①连接6C、CD,设直线初交线段〃1于点£,应的面积为S,△加F的面积为国,求(的最大值;

02

②过点。作"UZG垂足为点凡连接功，是否存在点2,使得△◎口中的某个角恰好等于N掰C的2倍？若存在，求点

，的横坐标；若不存在，请说明理由.

第3题图备用图

解:⑴据题意得4(—4,0),C(0,2),

・・)=-5才2+6匠+。过点4。两点,

3

0=--xl6-4/?+c右b7=~—

2,解得＜2,

2=cc-2

123,

■■y-一"尹2；

13

(2)①令y=0,/.—~x—-x+2=0f

解得xi=-4,x2=lf

3

."(1,0),

如解图①，过。作zm_x轴交47于弘过6作曲Ux轴交/于“

J.DM//BN,

7ko\B\~*

第3题解图①

・•・丛DMEs丛BNE,

.^_=DEJM

•,S,BEBN

13

令〃(a,--a—-a+2)(一4〈水0),

；・M(a,；a+2),

•"(1,0),

AML5),

12

.5DM-P-2a-

,工―BIT5—5(a+2)+5,

22

.•.当a=—2时，1的最大值为g；

S25

②存在；

VJ(-4,0),6(1,0),<7(0,2),

；.AC=2#,6C=4，AB=5,

3

•*.△/以是以///为直角的直角三角形,如解图②，取中点尸，连接夕。，・•・〃(一亍0),

7F7<P»

第3题解图②

4

5

：.PA=PC=PB=-,

：.ZCP0=2ABAC,

%24

tanNCPO=-^—=-；

2

如解图②，作，〃以；0在切延长线上，Mx轴于点〃,

状况1：

/DCF=2/BAC,即N00=2N为G

4

・tanN0O=g,

AQAQ4

AC*

.AQ=

ZQAH+ZHQA=ZCAO+ZOCA=90°，ZQA//+ZCAO=90°，

CAg/HQA,/QAH=/ACO,

:.XQHASXAOC,

AQAHQH

AC=0C=\4d,

AQ*PCAH•AO

.AH=HQ=

AC'OC'

816

UO

/2016\▼/\

，0（―l，,又丁以。,2）,

QC的解析式为y=一宗+2，

1c

y=——x+2

联立《2

13。

y=——x2——x+2

22

+x=0,

.•・矛1=0（舍），A2=—2,

••XD=-2；

状况2：如解图②，ZFDC=2ZBACf

即N/QC=2N为G

5

.AC2m4

•,矿AQ=『

・•・心平,匕QHAsXAOC,

3

：.AH=~,HQ=3,

・・・0（一3）,又・・・C（0,2）,

2

・,.。。的解析式为y=~—x+2,

—x+2

联立《-11

j+2

y=--x2

-2

1,29

：,-x2+~x^0

29

・,•矛1=0（舍去）,X2=~nf

・__29

••XD=-]].

29

综上所述，2点的横坐标为一2或一三.

★4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于/(—I,0),6(4,0),。(0,—4)三点，点户是直线8c下

方抛物线上一动点.

(1)求这个二次函数的解析式；

(2)是否存在点只使△尸4是以在为底边的等腰三角形？若存在，求出尸点坐标；若不存在，请说明理由;

(3)动点户运动到什么位置时，△次面积最大.求出此时P点坐标和△如C的最大面积.

第4题图

解：(1)由于抛物线与了轴交于点4(—1,0),庾4,0),可设抛物线解析式为y=a(x+l)(x—4),

将点C(0,—4)代入得：a(0+l)(0—4)=—4,

解得a=1,

所求抛物线解析式为y=(x+1)(x—4),

6

即y=/—3^—4.

(2)存在.

如解图①，取宓的中点，(0,-2),过，作及Uy轴，交抛物线于点户，且点户在第四象限，则点户的纵坐标为一2,

.,.x—3x—4=-2,解得户。土(负值舍去),

满意条件的P点的坐标为("声，-2)；

第4题解图①

(3)：点6(4,0),点。(0,-4),

直线理的解析式为y=x—4,

设点户的坐标为(3/一3大-4),

如解图②，过户作户0〃y轴交区于0,则点0的坐标为(力，力一4),

第4题解图②

|PQ\—t—4—(t2—31—4)=-t2+4t=—(t—2)2+4,

.•.当t=2时，放取最大值，最大值为4,

11

S4PBe=S/^PBQ-fPQ,XB=FPQ•4=2PQ,

二当闾最大时，S△成最大，最大值为8.

此时点户的坐标为(2,-6).

★5.如图，抛物线y=—Y+6x+c与直线A5交于/(—4,—4),8(0,4)两点，直线/C：y=—gx—6交y轴于点C点

£是直线A6上的动点，过点£作到Ux轴交NC于点汽交抛物线于点G.

⑴求抛物线y=—f+法+c的表达式;

⑵连接"，EO,当四边形砥厉是平行四边形时，求点G的坐标;

⑶①在y轴上存在一点豆连接图HF,当点£运动到什么位置时，以4E,F,〃为顶点的四边形是矩形？求出此时

7

点E,〃的坐标;

②在①的前提下，以点£为圆心，功长为半径作圆，点〃为。£上一动点，求/什◎/的最小值.

第5题图

解：(1),・•抛物线9=-3+6匠+0的图象过4(—4,—4),8(0,4)两点,

-16-4/?+c=-4b=—2

<解得，

c=4c=4

抛物线表达式为y=-x—2x+4；

(2)如解图①，设0的解析式为尸3+〃，代入1(一4,—4),6(0,4)两点,

-4m+n=-4,,[m-2

*e•\,解得\，

〃=41〃=4

・,・直线相的表达式为尸2x+4.

•・・尔0,4),：・OB=4,

设E(x,2x+4),G(x,—x—2x+4),

GE=(―/—2x+4)—(2x+4)=—x-4x.

・・,四边形"仍是平行四边形，

OB//GE,GE=BO,

即：一£—4x=4,解得荀=生=—2,

当即=—2时,2；=4,・・.G(—2,4)；

(3)①如解图①，设£(a,2司+4),F(a,—6),

过/作/吐p轴于点《交切于点。，过点〃作如，小于点R

：.AK=\,OK=4,BC=10fKC=OC—OK=6—4=2,BK=BC—KC=\S

i22

A(^=A^+KC=^+2=2QfA^=A^+B^=^+8=80,初=1()2=100,

:.Ad+A^=Bd,

即N为。=90°，

：.ZAEF<90°，ZAFE<90°,

8

・・・四边形/旗F以NZ即N加石为内角时不是矩形，

・••当N物。=90°且四边形力吹是平行四边形时，四边形/仍反是矩形,

EH//AF,EH=AF.：./HEP=/AFQ,

■:/EPH=/FQA=9G°,

：AEP的XFQA,

:・PH=AQ,EP=FQ,

0—a=a—(—4),解得a=-2,

・・・£(—2,0),

一肪=-4一(一万石一6),解得肪=-1,

・••点〃的坐标为(0,-1)；

②如解图②，EM=EH=yjl2+22=y/5,^=^22+42=2^5,

设在EA上存在点N,

■:/NEM=NMEA,

,ENEM4“

当大=7；时，XENMs丛AEMA,

EMEA

.ENEMMNEN^5MN

•，W=^4=M即诟=2m=而，

乖1

:.EN=±,MN^-AM,

.中〃+C¥=始日加NM?(两点之间线段最短)，

即当从M、C三点共线时，口就是所要求的f姓◎/的最小值.

；.盘=73+9=\1（等）“+(275)2=~^~，

即，〃+酸的最小值为呼.

ITS

图①图②图③

9

第5题解图

★6.如图，在平面直角坐标系xOp中，已知二次函数尸〃/+2ax+c的图象与y轴交于点。(0,3),与x轴交于2、B

两点，点6的坐标为(-3,0).

(1)求二次函数的解析式;

⑵点"是其次象限内抛物线上的一动点，若直线加把四边形力以月分成面积为1：2的两部分，求出此时点〃的坐标;

⑶点户是其次象限内抛物线上的一动点，当点尸在何处时△凝的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点尸的坐标.

第6题图

c=3

解：(1)将点C(0,3),B(—3,0)代入？=加+2a彳+。得:

9a-63+。=0’

a=­l

解得:

c=3

，二次函数的解析式为y=-x—2x+3；

(2)由y=—2x+3,令y=0,则一2x+3=0,

解得xi=l,X2=-3.

・,•点4(1,0).

如解图①，连接OD、AD、AC.CD,

第6题解图①

Vy=­x—2x+3=~(^+l)2+4,

・・・顶点〃的坐标为(一1,4)；

易求直线4〃的解析式为y=~2x+2,

・•・直线/〃与p轴的交点为(0,2),

1.1

=

S四边形ACDBS/\ABD~\~S&ACD=-X4X4+-XlX2=9.

10

，直线的必与线段M相交，易得直线物的解析式为y=2x+6；

设直线圆与直线物交于点£,则△。物的面积可以为3或6.

①当5k颂=^X9=3时，易得点£的纵坐标为2,

O

将y=2代入直线加解析式求得x=-2,

；.£点坐标（一2,2）,

则直线施的解析式为y=-x,

设〃点坐标为（x,—X）,

代入抛物线解析式得：一X=—T—2x+3,

解得：x尸二1牌，兹=匚等（舍去），

〃（二8逅，邛T

2

②当归迹=可义9=6时，同理可得〃点坐标.

O

〃点坐标为（一1,4）；

综上所述,点〃的坐标为（一］2^^'亘）或（—1，4）；

⑶如解图②，连接少，设户点的坐标为（如n）,

第6题解图②

•..点户在抛物线上，

.*.77=一/一2勿+3,

••S/^CPB=S^CPO~\~S&OPB—S/\COB

1/、J1

=-0C*(一而,n--OC•OB

3।39

=—5什一万

3、

Z3)

3

=--5+34

11

V-3</»<0,

Q［久O7

J当力=-5时，n=—,△67%的面积有最大值

Z4o

••.当点尸的坐标为(一未3?1k)时，△血的面积有最大值，最大值为9薮7.

44o

★7.抛物线尸一f+2x+3与x轴交于点46a在8的左侧)，与y轴交于点C

(1)求直线及7的解析式；

(2)抛物线的对称轴上存在点只使/AP8=/ABC,求点尸的坐标；

⑶点0在y轴右侧的抛物线上，设点0的横坐标为a,试确定当时，a的取值范围.

第7题图

解：⑴令y=0,即一x+2JT+3=0,

解得荀=-1,X2=3,

:点力在点6的左侧，

；./(—1,0),6(3,0),

当x=0时，y—3,则C(0,3),

设直线6c的解析式为y^kx+3,

把8(3,0)代入,得0=34+3,

解得k=-1,

直线回的解析式为y=-x+3；

(2)由(1)可知0B=0C=3,则为等腰直角三角形，

：.ZABC=^5°,

:.NAPB=NABC=45°,且PA=PB,

如解图①，过点6作做,用于点〃设对称轴与x轴交于点色则△加为等腰直角三角形,

12

设BD=PD=m,

第7题解图①

由勾股定理得以=隹0,

:.PA=PB=/m,

:.AM（镜一1）双

在Rt△/如中，依据勾股定理得/力+*=/#,即［（小—1）血2+君=42,

8

解得而

2f

在RtAPBE中,P审=PE—=2而一艺=2X4=8斓+12=(2镜+2):

.•.也=2镜+2,

.♦.点P的坐标为(1,29+2)或(1,-272-2)；

⑶如解图②，点/关于y轴对称的点尸的坐标为（1,0）,连接5

第7题解图②

：.ZOCA=ZOCF,

设直线CF的解析式为y=mx-\-n,

把点CS,3）、网1,0）代入

〃=3m=-3

，解得

777+77=0n=3

则直线少的解析式为尸一3x+3,

y=一3x+3

与二次函数联立得

y=—x+2x+3

13

x=5

y=—12*

，直线少与抛物线的交点坐标为(0,3),(5,-12),

由抛物线知，当点0在直线作的下方的抛物线上时，

ZOCQ<ZOCA,即a>5.

2

★8.如图，一次函数y=§x—4与x轴交于点B,与y轴交于点C.经过点6、C两点的抛物线尸c也经过点/(一

2,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点〃是线段46上的一个动点，过悬M作MN〃BC,交4C于点儿连接酸当ACW的面积最大时，求点〃的坐标；

(3)点2(4,4)在抛物线上，点户为抛物线上一动点，在y轴上是否存在点£,使以4D、£、尸为顶点的四边形是平行四

边形？假如存在，求出全部满意条件的点£,户的坐标；若不存在，请说明理由.

第8题图

2

解：(1)由4可知夙6,0),C(0,-4),

O

设抛物线的解析式为尸a(x+2)(x—6),

将点C(-2,0)的坐标代入,

解得a=g,

14

.••抛物线的解析式为尸］—>一4

⑵设点〃的坐标为E,0),过点“作物Lx轴于点〃，如解图①,

第8题解图①

14

•・•点/的坐标为(一2,0),点夕的坐标为(6,0),

：.AB=8fAM=/n+2,

9：MN//BC,

：.ZAMNs'ABC,

.NH_AM

'•万=M

.NHm+2

0+2

.NH=

2

、・SXCMN=SAACM—S/XAMN—^AM,CO—~AM*NH

1,、//+2、

=-(zz?+2)(4----)

=-%+/+3

二一；(勿一2尸+4,

・•・当勿=2时，&的有最大值为4,

此时，点〃的坐标为(2,0)；

14

(3)存在，理由如下：,・,点〃(4,A)在抛物线尸耳步一4上,

OO

.,.当x=4时，尸一4,

.•"(4,-4),

设点户的坐标为(如〃)，点£的坐标为(0,t),

由题意得：

①若//为平行四边形的边，如解图②，则有:

第8题解图②

15

\yD-yF=yE—yA

\XD-XF=XE-XA

[—4—77=t

[4—7Z?=2，

124

•：n=可--/n-4,

f1,4

—4--zz2z+河+4=t

•••<<J3，

、4—R=2

,164

解得：〃=2,77=——,t=-

UO

...笈(0,I),A(2,-y)；

②若/少为平行四边形的对角线，如解图③，则有:

第8题解图③

\yF—yD=yE—yA

[XF—XD=XE—XA

[刀+4=t

)一4=2'

14/

*.*/?=-ZZ72—―/Z7—4,

」24,

-m--m—4+4=t

.•.〈33

一4=2

解得〃=6,〃=0,t=4,

・・・丹(0,4),£(6,0),

416

综上所述，存在后(0,-),R(2,一丁)或为(0,4),£(6,0)使得以4D、E、尸为顶点的四边形为平行四边形.

OU

★9.如图，抛物线了=B(x—3＞一1与x轴交于/、8两点(点/在点6的左侧)，与y轴交于点C,顶点为〃

(1)试求点4B,，的坐标;

⑵连接CD,过原点。作贬工必与抛物线的对称轴交于点E,求数的长；

⑶以⑵中的点£为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点R过点尸作。。的切线，切点为0,当尸0

16

的长最小时，求点尸的坐标.

解：(1)由y=0得;(x—3产一1=0,解得荀=3—x2=3+y[2,

又：点/在点8的左侧，

点坐标为(3一0),8点坐标为(3+4，0),

由抛物线解析式尸B(x—3y一1可得顶点。的坐标为(3,-1)；

⑵如解图①，过点，作2GLy轴于点G,设CD与x轴交于点F,

由题意可得，/4%+/(7管=90°,/a阳+/心也=90

4DCG=AEOM,

又YZ.CGD=N0ME=9Q。,

:.ACDGs丛OEM,

CGDG33

••・犷诙即Bn厂诙

.•.9=2,

；.£点坐标为(3,2),

但也小三日；

⑶如解图②，由。£的半径为1,由勾股定理得川=防一1,要使切线长20最小，只需"长最小，即游最小,

17

设尸点坐标为(x,y),则A?=X—3,EQ=2—y,

：.由勾股定理得加=(x—3/+(2—力z

"•"y=|(A-3)2—1,

(x—3)~=2y+2,

.•.胪=2y+2+f—4x+4=(y-l)2+5,

当y=l时，防为最小值，

将y=l代入y=](x—3)2—l,得荀=5,总=1,

尸点坐标为(1,1)或(5,1).

•..点户在对称轴右侧的抛物线上，

/•X2=l(舍去)，

；.P(5,1).

★10.如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(3,0),B(l,0),交y轴于点C,点P