内蒙古通辽市2022-2023学年九年级数学第一学期期末考试试题（含解析）

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.使分式有意义的x的取值范是（）

A.x#3B.x=3C.x=0D.x=0

A.1B.2C.3D.4

3.我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺.比如下列图案分别表

示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

4.关于x的一元二次方程（m—2）x2+（2m+l）x+m—2=0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（）

A.m>B.m>且mW2C.—WmW2D.<m<2

5.用一个半径为15.圆心角为120。的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是（）

A.5B.10C.D.

6.《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译

文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”

如果设木条长尺，绳子长尺，根据题意列方程组正确的是（）

A.B.D.

7.若直线与半径为5的相离，则圆心与直线的距离为（）

A.B.C,D.

8.如图，已知，M,N分别为锐角/AOB的边OA,0B上的点，0N=6,把aOMN沿MN折叠，点0落在点C处，MC与0B

交于点P,若MN=MP=5,则PN=（）

9.对于二次函数，下列说法正确的是（）

A.当x>0,y随x的增大而增大

B.当x=2时,y有最大值一3

C.图像的顶点坐标为（-2,-7）

D.图像与x轴有两个交点

10.气象台预报“铜陵市明天降水概率是75%”.据此信息,下列说法正确的是（）

A.铜陵市明天将有75%的时间降水B.铜陵市明天将有75%的地区降水

C.铜陵市明天降水的可能性比较大D.铜陵市明天肯定下雨

11.如图，△ABC与4A'B'C是位似图形，PB，=BB',A'B'=2,则AB的长为（）

12.二次函数的顶点坐标是（）

A.B.C.D.

二、填空题（每题4分，共24分）

13.如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1、弧K1K2、

弧K2K3、弧K3K4、弧K4K5、弧K5K6、…的圆心依次按点A、B、C、D、E、F循环,其弧长分别为11、12、13、14、

15、16、….当AB=1时，13=,12019=.

15.某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2018年蔬菜实际产量为121吨，则蔬菜产量的年平均增长率为.

16.请写出“两个根分别是2,-2”的一个一元二次方程：

17.如图，在RtaABC中，ZC=90°,AB=10,BC=6,贝!IsinA=.

18.如图，量角器外沿上有A.B两点，它们的读数分别是75°、45°,则N1的度数为.

三、解答题(共78分)

19.(8分)如图，反比例函数yl=与一次函数y2=ax+b的图象交于点A(-2,5)和点B(n,1).

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；

(2)请结合图象直接写出当时自变量x的取值范围；

(3)点P是y轴上的一个动点，若S4APB=8,求点P的坐标.

20.(8分)为了推动课堂教学改革，打造高效课堂，配合我市“两型课堂”的课题研究，莲城中学对八年级部分学

生就一期来“分组合作学习”方式的支持程度进行调查，统计情况如图.试根据图中提供的信息，

学生数/名

30...................

回答下列问题：

(1)求本次被调查的八年级学生的人数，并补全条形统计图;

(2)若该校八年级学生共有180人，请你估计该校八年级有多少名学生支持“分组合作学习”方式(含“非常喜欢”

和“喜欢”两种情况的学生).

21.(8分)解方程:

(1)X2+2X-3=0；

(2)x(x+1)=2(x+1).

22.(10分)如图，。。的直径AB为10cm,弦BC=8cm,NACB的平分线交。0于点D.连接AD,BD.求四边形ABCD

的面积.

23.(10分)问题发现:

(1)如图1,内接于半径为4的，若，贝!J:

问题探究:

(2)如图2,四边形内接于半径为6的，若，求四边形的面积最大值;

解决问题

（3）如图3,一块空地由三条直路（线段、AB.）和一条弧形道路围成，点是道路上的一个地铁站口，已

知千米，千米，，的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点处，另外三个

入口分别在点、、处，其中点在上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，是否存在

一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大？若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.

24.（10分）（问题发现）如图1,半圆0的直径AB=10,点P是半圆0上的一个动点，则APAB的面积最大值

（问题探究）如图2所示，AB.AC.是某新区的三条规划路，其中AB=6km,AC=3km,NBAC=60°,所对的圆心

角为60°.新区管委会想在路边建物资总站点P,在AB.AC路边分别建物资分站点E、F,即分别在、线段AB和

AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P-E-F-P的路径进行运输，因此，要在各

物资站点之间规划道路PE、EF和FP.显然，为了快捷环保和节约成本，就要使线段PE、EF、FP之和最短（各物资站

点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）.可求得4PEF周长的最小值为km；

（拓展应用）如图3是某街心花园的一角，在扇形OAB中，ZA0B=90°,0A=12米，在围墙0A和OB上分别有两个

入口C和D,且AC=4米，D是0B的中点，出口E在上.现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边

形CODE内种花，在剩余区域种草.

①出口E设在距直线0B多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）

②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元.

请问:在上是否存在点E,使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线0B的距离；

()B

图3

25.（12分）先化简，再求值：，其中a=3,b=-l.

26.如图，直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A,B两点.

（1）求抛物线的解析式.

（2）点P是第一象限抛物线上的一点，连接PA,PB,P0,若APOA的面积是aPOB面积的倍.

①求点P的坐标;

②点Q为抛物线对称轴上一点，请求出QP+QA的最小值.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1.A

【解析】直接利用分式有意义的条件进而得出答案.

【详解】分式有意义，则LxWO,

解得：xWl.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键.

2.C

【分析】由O是矩形ABCD对角线AC的中点，可求得AC的长，然后运用勾股定理求得AB.CD的长，又由M是AD

的中点，可得OM是4ACD的中位线，即可解答.

【详解】解：是矩形ABCD对角线AC的中点,OB=5,

•\AC=2OB=10,

.•・CD=AB===6,

；M是AD的中点，

/.OM=CD=1.

故答案为C.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、直角三角形的性质以及三角形中位线的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

是解题的关键.

3.D

【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.

【详解】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；

②是中心对称图形，故本选项符合题意；

③不是中心对称图形，故本选项不合题意；

④是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

本题考查了中心对称图形的定义，熟悉掌握概念是解题的关键

4.D

【解析】试题分析：根据题意得且4=，解得且，

设方程的两根为a、b,贝U=,，而，.•.，即，...m的取值范围为.故选D.

考点：1.根的判别式；2.一元二次方程的定义.

5.A

【分析】根据弧长公式计算出弧长，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是10~设圆锥

的底面半径是r,列出方程求解.

【详解】半径为15cm,圆心角为120。的扇形的弧长是=1031,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆

锥的底面周长是10n.

设圆锥的底面半径是r,

则得到2JIr=10it,

解得：r=5,

这个圆锥的底面半径为5.故选择A.

【点睛】

本题考查弧长的计算，解题的关键是掌握弧长的计算公式.

6.A

【解析】本题的等量关系是：木长绳长，绳长木长，据此可列方程组即可.

【详解】设木条长为尺，绳子长为尺，根据题意可得：

x+4.5=y

<1,•

—y+1=x

〔2,

故选：.

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组.

7、B

【分析】直线与圆相离等价于圆心到直线的距离大于半径，据此解答即可.

【详解】解：•••直线与半径为5的相离，

二圆心与直线的距离满足：.

故选：B.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，属于应知应会题型，若圆心到直线的距离为d,圆的半径为r,当d>r时，直线与圆

相离；当d=i■时，直线与圆相切；当d<r时，直线与圆相交.

8、D

【分析】根据等边对等角，得出NMNP=NMPN,由外角的性质和折叠的性质，进一步证明△CPNs^CNM,通过三角

形相似对应边成比例计算出CP,再次利用相似比即可计算出结果.

【详解】解：；MN=MP,

NMNP=/MPN,

ZCPN=ZONM,

由折叠可得，ZONM=ZCNM,CN=0N=6,

ZCPN=ZCNM,

又；NC=NC,

7.△CPN^ACNM,

,即CN2=CPXCM,

r.62=CPX(CP+5),

解得：CP=4,

又•:,

，PN二

故选：D.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

9、B

11

【详解】二次函数丫=——Y0+X—4=——（X—20）2—3,

44

所以二次函数的开口向下，当x<2,y随x的增大而增大，选项A错误；

当x=2时，取得最大值，最大值为一3,选项B正确；

顶点坐标为（2,-3）,选项C错误；

顶点坐标为（2,-3）,抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，

故答案选B.

考点：二次函数的性质.

10、C

【分析】根据概率表示某事情发生的可能性的大小，依次分析选项可得答案.

【详解】解：根据概率表示某事情发生的可能性的大小，分析可得：

A、铜陵市明天将有75%的时间降水，故此选项错误；

B、铜陵市明天将有75%的地区降水，故此选项错误；

C、明天降水的可能性为75%,比较大，故此选项正确；

D、明天肯定下雨，故此选项错误；

故选：C.

【点睛】

此题主要考查了概率的意义，关键是理解概率表示随机事件发生的可能性大小：可能发生，也可能不发生.

11.C

【分析】根据位似图形的对应边互相平行列式计算，得到答案.

【详解】•••△ABC与aA'B'C是位似图形，

.'.A'B'〃AB,

.'.△PA'B'^APAB,

AAB=4,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于

一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键.

12.B

【分析】根据抛物线的顶点式：，直接得到抛物线的顶点坐标.

【详解】解：由抛物线为：，

抛物线的顶点为：

故选B.

【点睛】

本题考查的是抛物线的顶点坐标，掌握抛物线的顶点式是解题的关键.

二、填空题（每题4分，共24分）

13.n673n

【分析】用弧长公式，分别计算出11,12,13,…的长，寻找其中的规律，确定12019的长.

【详解】解：根据题意得：11=,

12=,

13=,

贝!|[2。19=号201工9万=673万.

故答案为：h673n.

【点睛】

本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，则可求出In的长.

14.

【分析】根据特殊角三角函数值和二次根式化简整理，合并同类二次根式即可求解.

【详解】解：.

故答案为：

【点睛】

本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键.

15.10%

【分析】2016年到2018年是2年的时间，设年增长率为x,可列式100义=121,解出x即可.

【详解】设平均年增长率为x,可列方程

100X(1+X)2=121

解得x=10%

故本题答案应填10%.

【点睛】

本题考查了一元二次函数的应用问题.

16.

【分析】可先分别写出解为2,-2的一元一次方程(此一元一次方程的等式右边为0),然后逆运用因式分解法即可.

【详解】解：因为x+2=0的解为x=-2,x-2=0的解为x=2,

所以的两个根分别是2,-2,

(%+2)(%-2)=0可化为£_4=0.

故答案为：.

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程.因式分解法是令等式的一边为0,另一边分解为两个一次

因式乘积的形式，这两个一次因式为0时的解为一元二次方程的两个解.而本题可先分别写出两个值为0时解为2和-2

的一次因式，这两个一次因式的乘积即可作为一元二次方程等式的一边，等式的另外一边为0.

3

17、-

5

【分析】根据锐角的正弦为对边比斜边，可得答案.

【详解】解：在Rt^ABC中,ZC=90",AB=10,BC=6,则sinA=,

故答案为：.

【点睛】

本题考查了求解三角函数，属于简单题，熟悉正弦三角函数的定义是解题关键.

18、15°

【分析】根据圆周角和圆心角的关系解答即可.

【详解】解：由图可知，ZAOB=75°-45°=30°,

根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半可知，

Nl=ZA0B=X30°=15°.

故答案为15°

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

三、解答题(共78分)

19、(1)yl=-,y2=x+6；(2)xW-10或-2<xV0；(3)点P的坐标为(0,4)或(0,1).

【分析】(1)先把A点坐标代入y=中求出k得到反比例函数解析式为y=-,再利用反比例函数解析式确定B(-

10,1),然后利用待定系数法求一次解析式；

(2)根据图象即可求得；

(3)设一次函数图象与y轴的交点为Q,易得Q(0,6),设P(0,m),利用三角形面积公式，利用S4APB=S^BPQ

-S4APQ得到|m-6|X(10-2)=1,然后解方程求出m即可得到点P的坐标.

【详解】解：(1)把A(-2,5)代入反比例函数yl=得k=-2X5=-10,

反比例函数解析式为yl=-,

把B(n,1)代入yl=-得n=-10,则B(TO,1),

把A(-2,5)、B(-10,1)代入y2=ax+b得，解得，

二一次函数解析式为J2=yx+6；

(2)由图象可知，ylNy2时自变量x的取值范围是x<-10或-2WxV0；

(3)设丫=x+6与y轴的交点为Q,易得Q(0,6),设P(0,m),

.•.SAAPB=SABPQ-SAAPQ=1,

|m-6|X(10-2)=1,解得ml=4,m2=L

.•.点P的坐标为(0,4)或(0,1).

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程

组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了待定系数法求函数解析式.

20、(1)54人，画图见解析；(2)160名.

【分析】(1)根据喜欢“分组合作学习”方式的圆心角度数和频数可求总数，从而得出非常喜欢“分组合作学习”方

式的人数，补全条形图.

(2)利用扇形图得出支持“分组合作学习”方式所占的百分比，利用样本估计总体即可.

【详解】解：(1)I•喜欢“分组合作学习”方式的圆心角度数为120。，频数为18,

.•.本次被调查的八年级学生的人数为：18+=54(人).

.•.非常喜欢“分组合作学习”方式的人数为：54-18-6=30(人),如图补全条形图：

(2)；"非常喜欢”和“喜欢”两种情况在扇形统计图中所占圆心角为：120。+200。=320。，

,支持“分组合作学习”方式所占百分比为：X100%,

,该校八年级学生共180人中，估计有180X=160名支持“分组合作学习”方式.

21>(1)xl=—3,x2=l；(2)xl=—1,x2=2

【分析】(1)利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；又可以利用公式法解方程；

(2)利用因式分解法解方程.

【详解】(1)解一：(x+3)(x-1)=0

解得：xl=-3,x2=l

解二：a=l,b=2,c=-3

2a

解得：x=

即xl=-3,x2=l.

(2)x(x+1)-2(x+1)=0

(x+1)(x-2)=0

xl=-1,x2=2

点睛：本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及

熟记求根公式.

22.S四边形ADBC=49(cm2).

【分析】根据直径所对的角是90。，判断出AABC和AABD是直角三角形，根据圆周角NACB的平分线交。O于D,

判断出4ADB为等腰直角三角形，根据勾股定理求出AD.BD.AC的值，再根据S四边形ADBC=SaABD+S^ABC进

行计算即可.

【详解】•••AB为直径，

AZADB=90°,

又VCD平分NACB,即ZACD=ZBCD,

*

••，

；.AD=BD,

•.,直角^ABD中，AD=BD,AD2+BD2=AB2=102,

则AD=BD=5,

则S2\ABD=AD»BD=X5X5=25(cm2),

在直角△ABC中，AC==6(cm),

则SZ\ABC=AC・BC=X6X8=24(cm2),

则S四边形ADBC=SZ\ABD+SZ\ABC=25+24=49(cm2).

【点睛】

本题考查了圆周角定理、三角形的面积等，正确求出相关的数值是解题的关键.

23.(1)；(2)四边形ABCD的面积最大值是；(3)存在，其最大值为.

【分析】(1)连接OA.OB,作OHLAB于H,利用求出NAOH=ZAOB=,根据OA=4,利用余弦公式求出AH,即

可得到AB的长；

(2)连接AC,由得出AC=,再根据四边形的面积=,当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，得到BD

是直径，再将AC.BD的值代入求出四边形面积的最大值即可；

(3)先证明△ADM^^BMC,得到4CDM是等边三角形，求得等边三角形的边长CD,再根据完全平方公式的关系得出

PD=PC时PD+PC最大，根据CD.ZDPC求出PD,即可得到四边形周长的最大值.

【详解】(1)连接OA.OB,作OHLAB于H,

*>

.\ZAOB=120°.

VOH±AB,

AZAOH=ZAOB=,AH=BH=AB,

V0A=4,

・・・AH二,

AAB=2AH=4A/3.

故答案为:

图1

(2)VZABC=120，四边形ABCD内接于，

:.ZADC=60,

；的半径为6,

.•.由(1)得AC=6省,

如图，连接AC,作DHLAC,BM,AC,

四边形ABC。的面积=-ACDH+-ACBM=-AC(DH+BM),

222

当DH+BM最大时，四边形ABCD的面积最大，连接BD,则BD是的直径，

D

...BD=20A=12,BD±AC,

二四边形ABC。的面积=1AC•=工义6百x12=36百.

22

二四边形ABCD的面积最大值是366

（3）存在；

•••千米，千米，,

/.△ADM^ABMC,

/.DM=MC,ZAMD=ZBCM,

VZBCM+ZBMC=180-ZB=120,

/.ZAMD+ZBMC=120,

ZDMC=60,

.,.△CDM是等边三角形，

."、D、M三点共圆，

:点P在弧CD上，

••.C.D.M、P四点共圆，

:.ZDPC=180-ZDMC=120

•••弧的半径为1千米，ZDMC=60,

-,.CD=V3,

V(PD-PC)2>0,

：.(PD+PC)2>4PDPC,

:.PD+PC>2y/PDPC,

...当PD=PC时，PD+PC最大，此时点P在弧CD的中点，交DC于H,

在RtADPH中，NDHP=90,ZDPH=60,DH=DC=,

，四边形DMCP的周长最大值=DM+CM+DP+CP=2百+2.

【点睛】

AMB

图3

此题是一道综合题，考查圆的性质，垂径定理，三角函数，三角形全等的判定及性质，动点最大值等知识点.（1）中

问题发现的结论应用很主要，理解题意在（2）、（3）中应用解题，（3）的PD+PC最大值的确定是难点，注意与所学知

识的结合才能更好的解题.

24.［问题发现］15；［问题探究］；［拓展应用］①出口E设在距直线0B的7.1米处可以使四边形CODE的面积最大

为60平方米，②出口E距直线0B的距离为米.

【分析】［问题发现］4PAB的底边AB一定，面积最大也就是P点到AB的距离最大，故当OP±AB时，时最大，值是5,

再计算此时^PAB面积即可；

［问题探究］先由对称将折线长转化线段长，即分别以、所在直线为对称轴，作出关于的对称点为，关于

的对称点为，连接，易求得：，而，即当最小时，可取得最小值.

［拓展应用］①四边形CODE面积=S4CD0+S4CDE，，求出SaCDE，面积最大时即可；

②先利用相似三角形将费用问题转化为CE+1DE=CE+QE,求CE+QE的最小值问题.然后利用相似三角形性质和勾股

定理求解即可。

【详解】［问题发现］解：当OPLAB时，时最大，，此时4APB的面积=,

故答案为：15；

［问题探究］解：如图-1,连接，，分别以、所在直线为对称轴，作出关于的对称点为，关于的对

称点为，连接，交于点，交于点，连接

:.ZMAN=120°

、、在以为圆心，为半径的圆上,

设，

易求得：，

当最小时，可取得最小值，

，即点在上时，可取得最小值，如图1-1,

图22

如图1-3,设的中点为，

A

B

图2-3

由勾股定理可知：，

，，

是等边三角形，

.ZABO=9Q°

由勾股定理可知：，

:.PE+EF+PF=MN=>/3r=3y/2A-9

的最小值为.

故答案为:

［拓展应用］①如图，作OGLCD,垂足为G,延长0G交于点¥,则此时4CDE的面积最大.

,.,OA=OB=11,AC=4,点D为OB的中点，.,.0C=8,0D=6,

在RtZkCOD中,CD=10,0G=4.8,.,.GE'=11-4.8=7.1,

二四边形CODE面积的最大值为SZkCDO+S/\CDE'=X6X8+X10X7.1=60,

作E'H±OB,垂足为H,则E'H=OE'=Xll=7.1.

答：出口E设在距直线OB的7.1米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米.

②铺设小路CE和DE的总造价为100CE+400DE=100(CE+1DE).

如图，连接0E,延长0B到点Q,使BQ=OB=11,连接EQ.

/.△EOD^AQOE,故QE=1DE.

于是CE+1DE=CE+QE,问题转化为求CE+QE的最小值.

连接CQ,交于点E，,此时CE+QE取得最小值为C