云南省普洱市2023-2024学年高一年级下册期末统测数学试卷（解析版）

普洱市2023—2024学年下学期高一年级期末统测试卷

数学试题

试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.考查范围：必修第一册、必修第二册.

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上.

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用檬皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本

试卷上无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合知={。，1，2}4={-2,。,1},则()

A.McN={0}B.MuN=M

C.{0}口McND.〃DNC{0,1}

【答案】c

【解析】

【分析】先求出交集及并集再分别判断各个选项即可.

【详解】McN={0,l},MuN={-2,0,1,2},A、B错误；

{0}口McN,C正确;

MDNR{0,1}不正确，D错误.

故选：C.

2若实数加，〃满足"?—2i=l+ni,则加一〃=()

A.-3B.3C.-1D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数相等的充要条件求出用，九的值，即可得解.

【详解】因为实数加，“满足加一2i=l+〃i,

【详解】因为a=(l,2)]=(一1,3),所以"6=(2,—1),

/a-(a-b)lx2+2x(-l)

所以cos(a,a—b)=-------=i,,—，'，=0.

'/|«||«-Z?|rV1+2Xy/2+(-l)

故选：A

6.在MBC中，角A,B,C所对的边分别为a，b,c.若a+ccosA=b+ccos5,则ABC为

()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】利用余弦定理角化边，然后因式分解可得.

【详解】由余弦定理可得：a+cx」+/—矿=6+“-+02一”，

2bc2ac

即2a2b+ab2+ac2-a3=lab1+crb+c2b-b3，

整理得：(a-b)(az+b2-c2)=0,

得a=b或/+〃=02,所以ABC为等腰或直角三角形.

故选：D

7.如图，圆锥的母线长为4,点M为母线的中点，从点〃处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到

B点、,这条绳子的长度最短值为26，则此圆锥的表面积为()

A.4万B.57rC.6兀D.87r

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆锥侧面展开图是一个扇形，且线段M3=26计算底面圆半径即可求解.

【详解】设底面圆半径为小

24丫TTY

由母线长/=4,可知侧面展开图扇形的圆心角为。=——=一，

I2

将圆锥侧面展开成一个扇形，从点M拉一绳子围绕圆锥侧面转到点2,最短距离为反必

如图，

在中，MB=2区AM=2,AB=4,

所以=上加2,

7T

所以NMA5=—,

2

rrrrr

故a=L=上,解得厂=1，

22

所以圆锥的表面积为S=Ttrl+7rr2=5兀，

故选：B

【点睛】关键点点睛：首先圆锥的侧面展开图为扇形，其圆心角为其次从点M拉一绳子围绕

圆锥侧面转到点8,绳子的最短距离即为展开图中线段MB的长，解三角即可求解底面圆半径小利用圆

锥表面积公式求解.

8.已知定义在R上的函数/（可满足"2—且当々〉占21时，恒有了（：）：；（.）＜0,

则不等式/（X—1）＞/（2%+1）的解集为（）

A.(-2,0)B.々|C.(-℃,-2)I*

【答案】C

【解析】

【分析】先根据“2-%）=/（%）得出对称轴，再根据单调性结合对称性列出不等式求解.

【详解】由/（2—%）=/（%）得，”力的图象关于直线x=l对称，

令g（x）=/（x+l），则g（x）是偶函数，又当时，恒有.（：）：；（石）<0，

故〃力在［1,+8）上单调递减，所以g⑴在［0,+“）上单调递减，

则/（x-l）>/（2x+l）=>g（x-2）>g（2x）^>|x-2|<|2%|,

即得（x—2）2（4X2,3X2+4X-4）0,（3X-2）（X+2）>0

2

解得％<—2或x〉一.

3

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列四个命题中，假命题有（）

A.对立事件一定是互斥事件

B.若A,3为两个事件，则P（AB）=P（A）+P（B）

C.若事件A,3,C彼此互斥，则尸（A）+尸（5）+尸（C）=l

D.若事件4,5满足尸（4）+。（3）=1,则是对立事件

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据对立事件和互斥事件的关系可判断A；根据事件的和事件的概率可判断B；举反例可判断C,

D,

【详解】对于A,因为对立事件一定是互斥事件，A正确；

对B,当且仅当A与8互斥时才有P（A_B）=P（A）+P（B）,

对于任意两个事件A3,满足P（AB）=P（A）+P（B）-P（AB）,B不正确；

对C,若事件彼此互斥，不妨取A,5c分别表示掷骰子试验中的事件“掷出1点”，“掷出2

点”，“掷出3点”，

则尸（ABC）=1,所以C不正确；

对于D,例如，袋中有大小相同的红、黄、黑、蓝4个球，

从袋中任摸一个球，设事件A=｛摸到红球或黄球｝,事件8=｛摸到黄球或黑球），

满足P（A）=g,P（A）+P（B）=1,

但事件A与8不互斥，也不对立，D错误，

故选：BCD.

10.如图，在三棱锥尸-ABC中，24，平面48。,48,3。,P4=48,。为尸5的中点，则下列结论正确

的是（）

A.BC_Z平面

B.AD1.PC

C.ADL平面PBC

D.平面ADC

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据上4!_平面ABC,得到再结合ABIBC,利用线面垂直的判定定理判断A；

由上4=AB,。为PB的中点，得到ADLPB,再结合6cl平面7^45判断C；根据ADL平面

PBC即可判断B；由BCLPB,得到与CD不平行，PB与CD不垂直，即可判断D.

【详解】上4,平面ABC,5Cu平面ABC

：.PA±BC,又ABJ^BC,AB,B4u平面且ABPA=A

.,.BC_L平面7^45,故A正确

由5C1平面P4B,ADu平面7^48

得BOLD

又E4=AB,。是PB的中点，

:.AD±PB

又PBcBC=B,PB,BCu平面PBC,

.•.A。！,平面尸BC,PCu平面PBC

AD±PC,故B,C正确

由平面P4B,P5u平面上钻

得6CC5

因为BC与CD不平行

因此依与CD不垂直

从而PB不与平面ADC垂直，故D错误

故选：ABC.

11.已知定义在R上的函数〃尤)与g(x)满足/(%)=g(x+i)+i,且y(i—x)+g(x+i)=i,若

/(X+1)为偶函数，则()

A./(4)=/(-2)B.g[[=°

C.g(l-x)=g(l+x)D.〃尤)的图象关于原点对称

【答案】ABC

【解析】

【分析】由了(％+1)为偶函数，故/(力的图象关于x=l对称，即可判断A；由条件可得

g(2—x)+g(x+l)=0①，令x=1■可判断B；由题意可得g(—x+2)+g(—x+l)=0②，联立①②可

得g(l—x)=g(l+x),可判断C；由1=1为g(x)图象的一条对称轴，可得/(九)的对称轴，可判断

D.

【详解】因为/(X+1)为偶函数，得〃—x+l)=/(尤+1),故"力的图象关于X=1对称，

故/(4)=/(一2),故A正确;

由/(x)=g(x+l)+l得,/(l-x)=g(2-x)+l,代入/(l-x)+g(x+l)=l中,

得g(2—x)+g(x+l)=0①，令》=；，得g["||=0，故B正确；

因为/(x+1)为偶函数，故/(x+l)=/(l_x),

故由/(l—x)+g(x+l)=l得，/(l+x)+g(%+l)=l,

则g(x+2)+l+g(x+l)=l,故g(-x+2)+g(—x+l)=0②，

联立①②，可得g(l—x)=g(l+%),故％=1为g⑴图象一条对称轴，故C正确；

而〃x)=g(x+l)+l，故"力的图象关于y轴对称，故D错误，

故选：ABC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

_2

18

12.计算+7T'+lOg2-1-lOg4=------

4

【答案】一

9

【解析】

【分析】直接利用指数对数的运算性质计算即可.

23*2

3lgl30

[详解]+7T+lOg2|-lOg4y=+7T+lOg2|-lOg2|

/Zf+l+kjMmJ+l—I).

UJ134j99

4

故答案为：一.

9

13.已知球。的表面积为16兀，球心。到球内一点P的距离为1,则过点P的截面的面积的最小值为

【答案】3兀

【解析】

【分析】先求出球。的半径火=2,数形结合得到当点P为截面圆的圆心时，过点P的截面的面积最

小，利用勾股定理求出最小截面圆的半径，求出答案.

【详解】设球。的半径为R,则4兀7?2=16兀，解得/?=2,当点P为截面圆的圆心时，

即截面时，过点P的截面的面积最小，

设此时截面的半径为r,则厂=_]2=有,

所以过点尸的截面的面积最小值为71•(6J=371.

故答案为：3兀

14.对定义在非空集合/上的函数“X),以及函数g(x)=^+b(人力GR),俄国数学家切比雪夫将函

数y=|/(X)-g(x)|,xe/的最大值称为函数/(%)与g(x)的“偏差”.若y(x)=x2,%e[-l,l],

g(x)=%+1,则函数/(尤)与g(x)的“偏差”为.

【答案】-##1.25

4

【解析】

【分析】根据题意，直接y=|〃x)-g(x)|,尤e/,再由二次函数的最值求解.

故函数/(x)与g(力的“偏差”为|.

故答案为：一

4

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

/、-V1-2sin40°cos40°_

15.⑴求-三一=-----的值；

Vl-sin250°+cos140°

(2)已知tan8=2,求sin2夕+sinecos。的值.

【答案】(1)-1；(2)1

【解析】

【分析】(1)利用平方关系和诱导公式求解；

(2)利用三角函数的齐次式求解.

【详解】.(1)依题意一1一2-40cos40一cos40-sin4°一cos4°-0n4°一口

Vl-sin250+cosl40cos50-sin50sin40-cos40

sin26,+sin6(cos6,tan2。+tan。6

(2)依题意,sin29+sindcos9=

sin26>+cos26(tan26>+l5

16.己知_ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,其中，a=8,tanA=272.

(1)求ABC的外接圆半径；

(2)求一ABC周长的最大值.

【答案】⑴3行

(2)8+873

【解析】

【分析】（1）由tanA=2&，利用商数关系和平方关系化简求得sinA，再利用正弦定理求解;

8

（2）先利用余弦定理得到〃92=（b+c）92-耳儿，再利用基本不等式求解.

【小问1详解】

tanA=^A=2"

cosA

解：依题意，＜sin?A+cos2A=1,

八4兀

0<A<—,

2

名刀夕日•42^/21

解得sinA=----,cosA=—,

33

故一ABC的外接圆半径氏=J==3应

3

【小问2详解】

28

由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2~—bc=(b+c)2~~^c»

因为6cW3,则—4“也立，

433

则642（6+cl_2S;of=隹；c）2,故b+c〈8G，

当且仅当b=c=4小时等号成立，

故JRC周长的最大值为8+8君.

17.智能手机的出现，改变了我们的生活，同时也占用了我们大量的学习时间.某市教育机构从500名手机

使用者中随机抽取100名，得到每天使用手机时间（单位：分钟）的频率分布直方图（如图所示），其分组

是：[0,20],(20,40],(40,60],(60,80],(80,100].

频率/组距

0.015

0.0125

0.01

0.0025

020406080100使用时间/分钟

(1)根据频率分布直方图，估计这500名手机使用者中使用时间的中位数是多少分钟？(精确到整数)

(2)估计手机使用者平均每天使用手机多少分钟？(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代

表)

(3)在抽取的100名手机使用者中在(20,40］和(40,60］中按比例分别抽取2人和3人组成研究小组，然

后再从研究小组中选出2名组长.求这2名组长分别选自(20,40］和(40,60］的概率是多少？

【答案】(1)57分钟.(2)58分钟；⑶|

【解析】

【分析】(1)根据中位数将频率二等分可直接求得结果；(2)每组数据中间值与对应小矩形的面积乘积的

总和即为平均数；(3)采用列举法分别列出所有基本事件和符合题意的基本事件，根据古典概型概率公式

求得结果.

【详解】(1)设中位数为x,则0.0023x20+0.01x20+0.015><(x—40)=0.5

170

解得：*=—«57(分钟)

3

，这500名手机使用者中使用时间的中位数是57分钟

(2)平均每天使用手机时间为：0.05x10+0.2x30+0.3x50+0.2x70+0.25x90=58(分钟)

即手机使用者平均每天使用手机时间为58分钟

(3)设在(20,40］内抽取的两人分别为在(40,60］内抽取的三人分别为苍以2,

则从五人中选出两人共有以下10种情况：

(a,b),(a,x),(a,y),(a,z),(£>,x),{b,y),e,z),(x,y),(x,z),(y,z)

两名组长分别选自(20,40］和(40,60］的共有以下6种情况：(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)

Aq

所求概率P=m,

【点睛】本题考查根据频率分布直方图计算平均数和中位数、古典概型概率问题的求解；关键是能够明

确平均数和中位数的估算原理，从而计算得到结果；解决古典概型的常用方法为列举法，属于常考题型.

18.已知在正三棱柱A3C-4与£中，点。为AA的中点，点石在cq的延长线上，且

(1)证明：AG〃平面3DE；

(2)求二面角6—DE—C的正切值.

【答案】(1)证明见解析

⑵男

2

【解析】

【分析】(1)由线段比例关系得到四边形AOEC］为平行四边形，所以DE//AG，进而证明出线面平行；

(2)作出辅助线，证明出线面垂直，得到线线垂直，找到N5DG就是二面角6-DE-C的平面角，再

由线段之间的关系得到二面角的正切值.

【小问1详解】

证明：因qE=gcE,所以GE=；CG，

又。为A&的中点，所以==gcq,所以GE=A。，又GEHAD,

所以四边形A