平面向量线性运算的应用

6.3

平面向量线性运算的应用第六章平面向量初步人教版高中数学B版必修二一二一、用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”1.填空.(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;(3)把运算结果“翻译”成几何关系.一二2.做一做:在四边形ABCD中,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(

)A.矩形

B.邻边不相等的平行四边形

C.菱形

D.梯形答案:D所以AD∥BC,AD≠BC.因此四边形ABCD为梯形,故选D.一二二、向量在物理中的应用1.填空.(1)物理问题中常见的向量有力,速度,加速度,位移等.(2)向量的加减法运算体现在力,速度,加速度,位移的合成与分解.2.做一做:一条渔船距对岸4km,以2km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8km,则河水的流速为(

)答案:A解析:如图,船在A处,AB=4,实际航程为AC=8,则∠BCA=30°,探究一探究二思维辨析当堂检测向量在平面几何中的应用分析:由题设条件求出AD=2BC且AB不平行于CD可得ABCD是梯形.∴AD∥BC,AD=2BC且AB不平行于CD.∴四边形ABCD是梯形.反思感悟向量在几何中的应用解决平面向量问题常用手段有:(1)利用平面向量的几何意义处理问题;(2)建立平面坐标系,转化为代数问题;(3)利用基底思想处理问题.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练1已知在直角梯形ABCD中,AB=AD=2CD=2,∠ADC=90°,若点M在线段AC上,则

的取值范围为

.

探究一探究二思维辨析当堂检测探究一探究二思维辨析当堂检测向量在物理中的应用例2帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动,如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°,速度为20km/h,此时水的流向是正东,流速为20km/h.若不考虑其他因素,求帆船的速度与方向.分析:建立直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量的加法进行求解.探究一探究二思维辨析当堂检测解:建立如图所示的直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度为|v1|=20(km/h),水流的方向为正东,速度为|v2|=20(km/h),设帆船行驶的速度为v,则v=v1+v2.由题意,可得向量v1=(20cos

60°,20sin

60°)=(10,10),向量v2=(20,0),探究一探究二思维辨析当堂检测反思感悟用向量方法解决物理问题的步骤(1)把物理问题中的相关量用向量表示;(2)转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;(3)结果还原为物理问题.探究一探究二思维辨析当堂检测变式训练2物体W的质量为50千克,用绳子将物体W悬挂在两面墙之间,已知两面墙之间的距离AB=10米(AB为水平线),AC=6米,BC=8米,求AC,BC上所受的力的大小.探究一探究二思维辨析当堂检测用向量解决几何、物理问题的方法——数学思想数学建模法:向量的应用主要体现在几何和物理两个方面,把实际问题转化为数学问题,抽象出数学模型,用到的方法主要是数学建模法.步骤为:(1)用向量语言翻译实际问题,将实际问题转化为向量问题;(2)建立基底表示(或者建立坐标系),确定解题方向;(3)通过已知条件建立方程或者向量表达式,其中渗透了向量的加减与数乘或者向量的数量积、模、夹角等线性运算或坐标运算;(4)求解并回归实际问题,即验证所求的解是否符合实际意义.探究一探究二思维辨析当堂检测典例已知船速为5m/s,且船速大于水速,河宽为20m,船从O点垂直到达河对岸B点所用时间为5s,求水流速度的大小.解题提示船速+水速=实际速度,根据向量加减法建立坐标系求解.解:设船速为v1,水速为v2,船的实际速度为v3,建立如图所示的平面直角坐标系,则|v1|=5,|v3|==4.由v3=v1+v2,得v2=v3-v1=(0,4)-(-3,4)=(3,0),所以|v2|=3,即水流速度的大小为3

m/s.方法点睛根据图形合理地选用向量的加减法,通过建系求出所求量.探究一探究二思维辨析当堂检测答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测答案:A探究一探究二思维辨析当堂检测答案:C探究一探究二思维辨析当堂检测