3.3 抛物线（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.3抛物线知识点一抛物线的标准方程【【解题思路】用待定系数法求抛物线标准方程的步骤设方程：根据焦点的位置，设出标准方程列方程：根据条件建立关于参数P的方程解方程：解关于参数P的方程，求出P的值得方程：根据参数P的值，写出所求的标准方程注意：当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数．【例1-1】（2023·新疆·三模）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．【例1-2】（2023·河南新乡）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线：过点，则抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．2．（2024·陕西安康）过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是（

）A． B． C． D．3．（2024·河南）已知为坐标原点，为抛物线（）的焦点，点在上，且，则的方程为（

）A． B． C． D．知识点二抛物线定义的应用【【解题思路】1.抛物线定义的应用实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．2.抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.【例2-1】（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知点，且是抛物线的焦点，为上任意一点，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【例2-2】（2024·四川成都·模拟预测）设点，动点P在抛物线上，记P到直线的距离为d，则的最小值为（

）A．1 B．3 C． D．【变式】1．（2024·湖南常德）已知抛物线方程为:，焦点为.圆的方程为，设为抛物线上的点，为圆上的一点，则的最小值为（

）A．6 B．7 C．8 D．92．（2024·四川成都）已知点分别是抛物线和直线上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．43（2024·全国·模拟预测）已知点，点是抛物线上任一点，为抛物线的焦点，则的最小值为（

）A． B． C． D．知识点三直线与抛物线的位置关系【【解题思路】直线与抛物线的位置关系(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．(2)一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.【例3-1】（2024·江苏宿迁）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（

）A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【例3-2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线，直线过定点.讨论直线与抛物线的公共点的情况.【变式】1．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（

）条A．0 B．1 C．2 D．32．（2024高三·全国·专题练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．0条3．（23-24高二上·全国·课后作业）当k为何值时，直线与抛物线有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？知识点四弦长【【解题思路】直线与抛物线的位置关系(1)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论，求解交点时不要忽略二次项系数为0的情况．(2)一般弦长：|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.(3)焦点弦长：设焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.【例4-1】（23-24高二下·广东茂名·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（

）A． B．5 C． D．【例4-2】（2024·江西新余·二模）已知点在抛物线C：上，F为抛物线的焦点，则（O为坐标原点）的面积是（

）A． B．1 C．2 D．4【例4-3】（23-24高二下·河南洛阳·期末）经过抛物线的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若成等差数列，则（

）A． B． C． D．【变式】1．（22-23高二下·上海闵行·期末）已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（

）.A．4 B． C．8 D．2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．3．（2024·山东济宁）已知抛物线的焦点为，过且斜率为的直线交抛物线于，两点，若，则（

）A． B．1 C． D．24．（2024·上海）过抛物线的焦点的直线交于点，交的准线于点，，点为垂足.若是的中点，且，则.5．（2024·北京）过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则．知识点五抛物线有关的轨迹问题【【解题思路】求轨迹问题的两种方法(1)直接法：按照动点适合条件直接代入求方程．(2)定义法：若动点满足某种曲线定义，可按待定系数法列方程(组)求解的曲线方程．【例5-1】（2024·湖南衡阳）已知点，动圆过点，且与相切，记动圆圆心点的轨迹为曲线，则曲线的方程为（

）A． B． C． D．【例5-2】（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【变式】1（2024·福建泉州·模拟预测）已知为坐标原点，矩形的顶点A，C在抛物线上，则顶点B的轨迹方程为．2．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为.3．（23-24北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是.4．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是．5（22-23福建宁德·期末）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为.知识点六抛物线的实际应用问题【【解题思路】首先确定与实际问题相匹配的数学模型．此问题中拱桥是抛物线型，故利用抛物线的有关知识解决此问题，操作步骤为(1)建系：建立适当的坐标系．(2)假设：设出合适的抛物线标准方程．(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程．(4)求解：求出需要求出的量．(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．【例6-1】（2024·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（

）

A．3m B．4m C．5m D．6m【例6-2】（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（

）A． B． C． D．，【变式】1（2024·山西晋城）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（

）A．米 B．米C．米 D．米2．（23-24高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（

）A． B． C．1m D．3．（23-24高二上·新疆阿克苏·阶段练习）鱼腹式吊车梁中间截面大，逐步向梁的两端减小，形状像鱼腹，如图，鱼腹式吊车梁的鱼腹部分是抛物线的一部分，其宽为，高为，根据图中的坐标系，则该抛物线的焦点到准线距离为（

）A． B．5 C．10 D．20【题组一抛物线的标准方程】1．（2024·贵州毕节）已知点在抛物线上，则抛物线C的准线方程为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线C：过点，则抛物线C的准线方程为（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知点在抛物线上，则抛物线的准线方程为（

）A． B．C． D．4．（2024·福建莆田）已知抛物线）的焦点为F，点在抛物线C上，且，则抛物线C的准线方程是（

）A． B． C． D．5．（2024·陕西西安）已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，为坐标原点，当时，，则抛物线的方程为（

）A． B． C． D．

【题组二抛物线定义的应用】1．（2024·陕西西安）设为抛物线C：上的动点，关于的对称点为，记到直线、的距离分别、，则的最小值为（

）A． B． C． D．2．（2024·河北邯郸）已知抛物线的焦点为F，为抛物线上一动点，点，则周长的最小值为（

）A．13 B．14 C．15 D．163．（2024·内蒙古赤峰）已知抛物线的焦点为，点的坐标是，P为上一点，则的最小值为（

）A． B．6 C． D．54．（2024·湖南·模拟预测）已知点，抛物线的焦点为为抛物线上一动点，当运动到时，，则的最小值为（

）A．6 B．5 C．4 D．35．（23-24陕西安康·开学考试）已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上一动点，则的最小值是（

）A．3 B．5 C．7 D．86．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设点，抛物线上的点P到y轴的距离为d．若的最小值为1，则（

）A．6 B．4 C．3 D．2【题组三直线与抛物线的位置关系】1．（2024湖北）已知直线及抛物线，则（）A．直线与抛物线有一个公共点 B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点 D．直线与抛物线可能没有公共点2（2024山东）若直线y＝kx＋2与抛物线y2＝x只有一个公共点，则实数k的值为（）A． B．0C．或0 D．8或03．（2024·福建漳州·三模）写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程.【题组四弦长】1．（2024·天津·模拟预测）双曲线和抛物线（）的公共焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，若中点的横坐标为6，则（

）A．16 B．12 C．10 D．82．（2024·安徽马鞍山）已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，直线过其焦点且与交于两点，若直线的斜率为，则（

）A． B． C． D．3．（2024·湖北）已知抛物线的准线方程为，直线交抛物线于、两点，则弦长______.4．（2024·南昌市）过点的直线与抛物线交于两点，，则△ABC面积的最小值为____.【题组五抛物线有关的轨迹问题】1．（22-23高二上·四川绵阳·期中）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为．2．（2022高三·全国·专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程；3．（2024辽宁沈阳·阶段练习）点，点B是x轴上的动点，线段PB的中点E在y轴上，且AE垂直PB，则点P的轨迹方程为．4（24-25高二上·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程．【题组六抛物线的实际应用问题】1．（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（

）（结果精确到0.0