黑龙江省哈尔滨市第三中学2024届高三上学期期末数学试题含答案解析

哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.2.复数的虚部为（）A. B.2 C. D.3.函数的大致图象是（）A. B.C. D.4.若，则实数（）A.6 B. C.3 D.5.已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.若椭圆和双曲线共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为（）A. B. C. D.87.等比数列中，为的前n项和，若，则（）A. B. C. D.18.哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同安排方案总数为（）A.14 B.20 C.28 D.40二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9.下列说法正确的是（）A.已知，若幂函数奇函数，且在上递减，则只能为B.函数的单调递减区间为C.函数与函数同一个函数D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为10.已知正数，，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.11.在棱长为1的正方体中，下列结论正确的有（）A.平面B.点到平面的距离为C.当在线段上运动时，三棱锥的体积不变D.若为正方体侧面上的一个动点，为线段的两个三等分点，则的最小值为12.已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（）A.是图象的一条对称轴 B.C.是奇函数 D.方程有3个实数解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知为第二象限角，，则_______．14.已知边长为2的等边三角形所在平面外一点是边的中点，满足垂直平面，且，则三棱锥外接球的体积为_______．15.直线与抛物线交于两点且，则的中点到轴的最短距离为_______．16.设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为_______．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）为边上一点，，且，求的值．18.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前1012项和．19.已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，若点，且，求实数的取值范围．20.如图，在四棱锥中，，．（1）求证：平面平面；（2）若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．21.圆经过点，圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标．22.已知函数．（1）求函数在处切线方程；（2）当时，试比较的大小关系，并说明理由；（3）设，求证：．哈三中2023-2024学年度上学期高三学年期末考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数的单调性、指数函数的单调性，结合集合交集的定义进行求解即可.【详解】由，由，所以，故选：C2.复数的虚部为（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数除法的运算法则化简为复数的代数形式，即可得到复数虚部.【详解】由，所以虚部为-1.故选：A3.函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出定义域，再确定为偶函数，最后由特殊值法确定即可.【详解】定义域为，为偶函数，采用特殊值法代入，当趋近于零时，趋近于零，趋于正无穷；此时取值趋于正无穷；当x趋近于正无穷时，趋近于正无穷，趋于零，此时取值趋于正无穷；所以只有B图像符合；故选：B4.若，则实数（）A.6 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】将两边平方，结合数量积的运算律求出，再根据数量积的坐标公式即可得解.【详解】因为，所以，即，所以，即，解得.故选：B.5.已知命题：为假命题，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据含有一个量词的命题的否定，可知命题：为真命题，讨论a是否为0，结合时，解不等式，即可求得答案.【详解】由题意知命题：为假命题，则命题：为真命题，故当时，，即为，符合题意；当时，需满足，解得，综合可得实数的取值范围是，故选：D6.若椭圆和双曲线的共同焦点为是两曲线的一个交点，则的面积值为（）A. B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】设点，根据方程组求点P的坐标和焦距，进而可得面积.【详解】对于椭圆可知：半长轴长为5，半短轴长为3，半焦距为4，则，设点，则，解得，所以的面积值为.故选：A.7.等比数列中，为的前n项和，若，则（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根据构成等比数列求解即可.【详解】因为为等比数列，，设，所以构成等比数列.所以构成等比数列，所以，所以.故选：A8.哈三中第38届教改汇报课在2023年12月15日举行，组委会派甲乙等6名志愿者到两个路口做引导员，每位志愿者去一个路口，每个路口至少有两位引导员，若甲和乙不能去同一路口，则不同的安排方案总数为（）A.14 B.20 C.28 D.40【答案】C【解析】【分析】先安排甲乙两人，再根据分组分配的方法安排其余4名志愿者.【详解】先安排甲乙两人，有种方法；再安排其余4名志愿者有两类方法，共有种方法，根据分步计数原理可得共有种方法.故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，9.下列说法正确的是（）A.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则只能为B.函数的单调递减区间为C.函数与函数是同一个函数D.已知函数的定义域为，则函数的定义域为【答案】BCD【解析】【分析】对于A，直接由幂函数的奇偶性、单调性即可验证；对于B，由复合函数单调性以及复合对数函数的定义域即可验证；对于C，定义域都是全体实数，且对应法则也一样，由此即可判断；对于D，由抽象函数定义域的求法即可验证.【详解】对于A，当时，幂函数奇函数，且在上递减，满足题意，当时，幂函数在上递增，不满足题意，当时，幂函数为奇函数，且在上递减，满足题意，当时，幂函数为偶函数，在上递减，不满足题意，故A错误；对于B，关于在定义域内单调递减，若函数关于在定义域内单调递减，则由复合函数单调性可知关于单调递增，而二次函数开口向下，对称轴为，所以，解得，所以函数的单调递减区间为，故B正确；对于C，，故C选项正确，对于D，若函数的定义域为，则，所以函数的定义域满足，解得，故D正确.故选：BCD.10.已知正数，，且，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】选项A，将不等式等价转化为，由于和式为定值，判断积的取值范围即可；对于选项B，需要研究函数的单调性，即可判断不等式；对于选项C，，应用基本不等式即可；对于选项D，将平方，，判断积的取值范围即可；【详解】对于选项A，等价，，得，其中，等号取不到，所以，，不等式成立，选项A正确；对于选项B，因为，指数函数是增函数，且，所以所以，选项B正确；对于选项C，，由于，，等号取不到，，选项C不正确；对于选项D，，由于，等号取不到，所以，，选项D不正确；故选：AB.11.在棱长为1的正方体中，下列结论正确的有（）A.平面B.点到平面的距离为C.当在线段上运动时，三棱锥的体积不变D.若为正方体侧面上的一个动点，为线段的两个三等分点，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】对于A通过观察可得直线与平面有公共点所以A不正确；对于B利用等体积法计算点到平面距离；对于C观察到点到平面的距离为定值，确定三棱锥的体积不变；对于D利用线段关于平面的对称直线，将转化，利用两点间线段距离最短求解.【详解】对于A，因为平面也就是平面与直线有公共点，所以A选项不正确.对于B，设点到平面的距离为，由得，由已知易得则是直角三角形，所以，，解得.故B选项正确对于C，设点到平面的距离为，易知点所在的直线与平面平行，则点到平面的距离为定值，因为，其中也为定值，故C选项正确.对于D，如图，当共线的时候最小，在中，由余弦定理得，所以，所以有最小值，故D正确.故选：BCD12.已知函数在处取得最大值2，的最小正周期为，将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，则下列结论正确的是（）A.是图象的一条对称轴 B.C.是奇函数 D.方程有3个实数解【答案】ACD【解析】【分析】由最小正周期为，求出，由最值点和最值，求出，得的解析式，判断AB选项；由函数图象的变换，求的解析式，验证C选项，数形结合验证D选项．【详解】，其中，的最小正周期为，则有，故，函数在处取得最大值2，则，解得，则，B选项错误；函数在处取得最大值2，则是图象的一条对称轴，A选项正确；将图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得函数的图象，再把得到的曲线向左平移个单位长度得到的图象，，函数为奇函数，C选项正确；在同一直角坐标系下作出函数和函数的图象，如图所示，两个函数图象有3个交点，可知方程有3个实数解，D选项正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知为第二象限角，，则_______．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数的关系式，结合正切的二倍角公式即可求得.【详解】因为，为第二象限角，所以，则，所以.故答案为：14.已知边长为2的等边三角形所在平面外一点是边的中点，满足垂直平面，且，则三棱锥外接球的体积为_______．【答案】【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设出球心坐标，根据外接球的性质，列出方程组，即可求出外接球的半径，从而求得三棱锥外接球的体积.【详解】因为垂直平面，为等边三角形，且是边的中点，以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴，建系如图，设三棱锥外接球的球心，半径为，因为，则，又因为，所以，，，，则，即，解得，所以三棱锥外接球的体积.故答案为：.15.直线与抛物线交于两点且，则的中点到轴的最短距离为_______．【答案】【解析】【分析】设出直线方程，利用弦长得到两个变量间的关系式，结合函数单调性可得答案.【详解】设直线的方程为，；联立，，，.，因为，所以，整理可得.由，所以的中点到轴的距离为设，则，，由对勾函数的单调性可得，当且仅当时，取到最小值.故答案为：16.设是定义在上的奇函数，对任意的满足且，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】【分析】根据题意可设，结合的奇偶性判断的奇偶性，再结合题设判断的单调情况，进而结合不等式，讨论x的正负，结合的单调情况，分类求解，即可得答案.【详解】设，而是定义在上的奇函数，即，故，即为偶函数；对任意的，不妨设，则，又对任意的满足，当时，，则，即，而，故，则在上单调递减，又为偶函数，故在上单调递增，，故，则，而不等式，即为不等式或，即或，故或，即不等式的解集为，故答案为：【点睛】方法点睛：诸如此类抽象函数的问题，解答时要结合题设构造出函数，由此判断出其奇偶性和单调性，再结合所求解不等式同构为所构造函数的函数值大小比较形式，结合单调性以及奇偶性，即可求解.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在中，角所对的边分别为，且．（1）求角；（2）为边上一点，，且，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后由三角形内角和定理与和差公式化简整理即可求解；（2）和分别根据正弦定理和三角函数定义列式，联立整理得，再由余弦定理求得，然后可解.【小问1详解】因为，所以，由正弦定理可得，又，所以，整理得，因为，所以，又，所以，即.【小问2详解】由（1）知，因为，所以，记，则，在中，由正弦定理得，得，在中，有，因为，所以，得，在中，由余弦定理可得，即，所以18.已知是公差不为零的等差数列，，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前1012项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可得解；（2）由裂项相消法可求出前1012项和.【小问1详解】设等差数列的公差为，又，则，，因为成等比数列，所以，即，得，又因为是公差不为零的等差数列，所以，即.【小问2详解】由（1）知，.19.已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，若点，且，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由离心率得出，再由直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径得出，联立即得椭圆方程；（2）依题设出直线方程，与椭圆方程联立，得出韦达定理，求出的中点坐标，利用条件判断是直线的中垂线，求出方程，将求的取值范围转化成求关于的函数的值域问题即得.【小问1详解】由可得：①因，则即：，又因直线与圆相切，则，化简得：②，联立①②，可解得：故椭圆的标准方程为：.【小问2详解】如图，因直线与轴不重合，椭圆焦点为，故可设，由，消去整理得：，易得：，不妨设，则有设中点为，则：,，即：，因，则为直线的中垂线.又因直线的斜率为，故直线的中垂线的斜率为，于是，因，则有：，①当时，，此时直线，点，符合题意；②当时，，若，则,可得，当且仅当时取等号；若，则,可得，当且仅当时取等号.综上，实数的取值范围为.20.如图，在四棱锥中，，．（1）求证：平面平面；（2）若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）要证面面垂直，需证线面垂直，就是要证平面，再进一步判断面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用向量的方法求解.【小问1详解】如图：因为，，所以为等边三角形，又，所以，又，所以.因为，所以为直角三角形，.又，，为平面内的两条相交直线，所以平面，平面，所以：平面平面.【小问2详解】取中点，中点，因为，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，故以为原点，建立如图空间直角坐标系，所以，，，，，.设，因为解得，所以.设平面的法向量为，则，取；设平面的法向量为，则，取.那么，，.由，又，所以.【点睛】关键点睛：根据，和点、的坐标，求点坐标是本题的一个关键.21.圆经过点，圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）若圆与轴分别交于两点，为直线上的动点，直线与曲线圆的另一个交点分别为，求证直线经过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）（2）证明见详解，直线过定点【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，利用圆心到圆上各点的距离等于半径求解即可；（2）设出直线的方程和直线的方程，分别与圆的方程联立写出的坐标，进而写出直线的方程，化简即可证明直线经过定点，并求出定点的坐标.【小问1详解】因为圆心在直线上，设圆心为又因为圆经过点则，解得，所以圆心半径为，所以圆的标准方程为【小问2详解】由圆与轴分别交于两点，不妨