2025年高考数学大题复习：立体几何平行垂直的证明和定义法求空间中线与角的问题（解析）

专题09立体几何平行垂直的证明和定义法求空间中线与角的

问题

1.如图，在多面体力BC—DEFG中，平面A8C||平面DEFG,底面A8C是等腰直角三角形，4B=BC=VL

侧面ACGD是正方形，平面ABC,且F8||GC,GE1DE.

(1)证明：AE1GE.

(2)若。是DG的中点，OE||平面8CGF,求直线OE与平面BDG所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理和性质定理证明即可；

(2)利用等体积法求得点E到平面BDG的距离力,再根据线面角的公式计算即可.

【详解】(1)因为1M_L平面A8C,平面ABC||平面DEFG,所以£M1平面DEFG,

又因为GEu平面DEFG,所以£M_LGE,

因为GEIDE,DA0DE=D,DA,DEu平面ADE,

所以GE1平面/WE,

因为4Eu平面4DE,

所以4E1GE.

(2)如图，因为。是DG的中点，OE||平面BCGF,OEu平面OEFG,且平面OEFGn平面BCGF=GF,

所以。E||GF,

因为平面力BC||平面DEFG,

平面4BCn平面ZMCG=AC,平面DEFGC平面EMCG=DG,

平面ABCC平面BCGF=BC,平面DEFGC平面BCGF=GF,

所以ACIIDG,BCIIGF,

因为△力BC是等腰直角三角形，

所以=4DGF=Z.ACB=45°,

又因为力B=BC=V2,侧面力CGD是正方形，

所以4C=CG=2,OE=|Z)G=1,

所以点E到DG的距离为。Esin45。=y,

所以SADEG=gx2x^=苧，则唳-DEG=gx苧、2=亨，

又BC=V^,GC=2,所以BG=BD=y^,OB=近,

所以SABCD=1x2xV5=V5,

设点E到平面BCG的距离为h,

由^B-DEG=，E-BDG可得gXX八=/，解得”

所以直线。E与平面BDG所成角的正弦值为白=

OE5

2.如图，在三棱柱力BC—AiBiCi中，AB=BC,ABr=BrC.

(1)证明：AC1BXB-,

(2)若AB==2,ABr=V6,^ABC=120°,点£为4Bi的中点，求三棱锥C-B/E的体积.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)取AC的中点D,连接BD,BiD,即可证明AC平面BB]D,从而得证；

(2)证明BiDl平面ABC,根据点E为AB1的中点得出体积的关系，最后应用棱锥的体积公式计算即可.

【详解】(1)取AC的中点D,连接BD,BiD,

AB=BC,AB1=B1C,・•・AC_LBD,AC1B1D,

又BDnB]D=D,BiDu平面BBiD,BDu平面BB[D,・,.AC_L平面BB】D,

而BBiu平面BBiD,

・•.AC1BiB；

(2)在△ABC中，AB=BC=2,Z.ABC=120°,

可得BD=|AB=1,AC=2AD=2四,

在AABiC中，AB]=BiC=V^,AC=2百，可得BR==百，

在4BBj_D中，BD=1,Bj,D=V3,BBj=2,

可得BD?+BR2=BiB2,即BIDIBD,

由(1)知，AC1平面BBiD,ACu平面ABC,所以平面ABC1平面BBiD,

又平面ABC。平面BBiD=BD,B】Du平面BBjD,

•••BiD1平面ABC,点E为AB1的中点，

三棱锥C-BBiE的体积

111111W广,

VC-BBIE=5VJBBIA=yVfii-ABC=另义SABCxBiD=yx-x-x2x2x—xV3=-

3.《九章算术・商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖席.阳马居二，鳖席居一，不易

之率也.合两鳖席三而一，验之以恭，其形露矣.”刘徽注：“此术席者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘,

(1)若AB=1,BC=2,CD=1,试求异面直线/C与AD所成角的余弦值.

(2)若BD1CD,AB=BD=CD=2,点、P在棱/C上运动.试求△PBD面积的最小值.

【答案】(1《指

(2)72.

【分析】(1)分两种情况BC，CD,BD1DC讨论，分别求解异面直线AC与BD所成角的余弦值.

(2)作PQ1BC于点Q,作QM1BD于点M,连结PM,先证明PM1BD,从而表示出面积S&PBD=|BD-PM,

最后通过平行线分线段成比例求解PM范围，从而求解面积的最小值;

【详解】(1)如图，以DB,DC为临边作平行四边形BDCE,连结AE,则异面直线AC和BD所成的角为NACE

或其补角,

当BC1CD时，AB=1,BC=2,CD=1,

且由（1）可知，AE=Vl2+I2=VLAC=Vl2+22=V5,EC=BD=V22+I2=V5,

AC2+EC2-AE24

△ACE中,coszACE=

2xACxEC5,

所以异面直线AC和BD所成的角的余弦值为/

当BD_LDC时，AE=a,AC=V5,EC=BD=V22-l2=V3,

AC2+EC2-AE2V15

△ACE中,cosZ.ACE=

2xACxEC—

所以异面直线AC和BD所成的角的余弦值为W；

综上可知，异面直线AC和BD所成的角的余弦值为之或?；

如图，作PQ1BC于点Q,作QM1BD于点M,连结PM,

AABC中,AB,PQ都垂直于BC,所以AB〃PQ,

所以PQ_L平面BCD,且BDu平面BCD,所以PQ1BD,

又因为QMJ.BD,PQCQM=Q,PQ,QMu平面PQM,

所以BD1平面PQM,PMu平面PQM,所以PM1BD,

设CQ=x,CB=2方，由丝=0=吧=予，

“ABCB22V2

得PQ=^,(0<x<2V2),

2V2-X_QM

△BCD中，罂n一~9

2V2

得QM=^

V2

PM=,PQ2+QM2=号+吟J&一2岳+4

2,当且仅当x=&时，等号成立,

所以SAPBD-|BD-PM>|X2XV2=V2.

所以△PBD面积的最小值是VI

【点睛】关键点睛：读懂题意，第一问容易忽略一种情况，是本题的易错点；第二问通过平行线分线段成

比例求解PM范围时题目的难点和突破点.

4.如图，在四棱锥P—HBCD中，四边形4BCD是正方形，PD=4D=1,PD_L平面力BCD,点E是棱PC的

中点，点尸是棱PB上的一点，且EFLPB.

(1)求证：P4//平面EDB；

⑵求点F到平面EDB的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2尊

【分析】(1)利用三角形中位线证明线线平行，即可由线面平行的判断求证,

(2)根据垂直关系以及相似求解长度，即可利用等体积法求解.

【详解】(1)连接AC交BD于G,连接EG,如图所示.

因为四边形ABCD是正方形，所以G是AC的中点，又点E是棱PC的中点，

所以EG是APAC的中位线，所以PA〃EG,

又PA0平面EDB,EGu平面EDB,所以PA〃平面EDB.

(2)因为PD1平面ABCD,DC,BCu平面ABCD,所以PD1DC,PD1BC,

又BC1CD,CDnPD=D,CD,PDu平面PCD,所以BC_L平面PCD,

又PC,DEu平面PCD,所以PCJ.BC,DE1BC.

在APDC中，PD1DC,PD=CD=1,E是PC的中点，所以PE=EC=DE=/,DE1PC,

XDE1BC,BCnPC=C,BC,PCu平面PBC,

所以DE1平面PBC,所以DE是三棱锥D-BEF的高.

在APBC中，PC1BC,PC=V2,BC=1,所以PB=b,

所以RtABCP〜RtAEFP,所以空二肛=军，

PFEPEF

zBnT?PCEPV3BC-EPV62V3

BP3BP63

1111

VD-BEF=：SABEF•DE=：XTXBF.EF.DE=总

在八BDE中，BD=&,DE=亨，BE=VEC2+BC2=J停j+l2=y,

所以BD2=DE2+BE2,所以DE1BE,

所以SABDE=}DE-BE=g

L4

设点F到平面EDB的距禺为h,所以VF-BDE==VD-BEF=而，解得h=

即点F到平面EDB的距离为等.

5.如图所示的几何体中，四边形A8CD为平行四边形，/.ACD=90°,AB=1,4。=2,四边形48EF为正

方形，平面ABEF，平面力BCD,P为DF的中点，AN1CF,垂足为N.

⑴求证：力NJ■平面CDF；

(2)求异面直线B尸与PC所成角的正切值;

(3)求三棱锥B-CEF的体积.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)由AB_LAF,CD1AF,可证得CD_L平面ACF,得CD1AN,又ANJ.CF,即可证得结论；

(2)设ACCBD=O,P为DF的中点，。是BD中点，得BF||P0,贝叱CP。是异面直线BF与PC所成角,

即可求解；

(3)可证得AFL平面ABCD,则三棱锥B-CEF的体积：VBYEF=VJBEF，计算即可.

【详解】(1)「四边形ABEF为正方形，.'ABJ.AF,

•••四边形ABCD为平行四边形，ZACD=90°,

•••CD1AC,AB||CD,CD1AF,

VAFnAC=A,AF,ACu平面ACF,CDJ_平面ACF,

•••ANu平面AFC,•••CD1AN,

AN1CF,CFnCD=C,CF,CDu平面CDF,AN_L平面CDF.

(2),四边形ABCD为平行四边形，NACD=90。，AB=1,AD=2,

•••AC=VAD23-CD2=V4-1=V3,AO=CO=y,

•••四边形ABEF为正方形，平面ABEF_L平面ABCD,平面ABEFCl平面ABCD=AC,NACD=90。，CDu平

面ABCD,

CD，平面PAC,vPCu平面PAC,•••CD1PC,

P为DF的中点，AP=CP=泗=1VAF2+AD2=1V1T4=y,

设ACCBD=O,•••P为DF的中点，0是BD中点，BF||PO,

•••NCPO是异面直线BF与PC所成角,

V3L

•/CDCCOV15

sin/CPO正=逅=可

2

•••cosZCPO=?，tan/CPO=当,

••・异面直线BF与PC所成角的正切值为当

(3),••平面ABEF_L平面ABCD,平面ABEFC平面ABCD=AB,AFIAB,AFu平面ABEF,

AF1平面ABCD,CA=VBC2-BA2=V3,

•••三棱锥B-CEF的体积:VBYEF=VC-BEF=|sABEFXCA=|xiX1X1xV3=$.

□3ZO

6.如图，在四棱锥P—HBCD中，PD=PB,底面A8CD是边长为2的菱形.

⑴证明：平面P4C1平面4BCD；

（2）若PD11PC,且=求四棱锥P—ABCD的体积

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）连接DB交AC于点0,连接P0,根据ABCD是菱形，得到BD，AC,且0为BD的中点，再

由PB=PD,得到P01BD,进而得到BD，平面APC,然后利用面面垂直的判定定理证明；

（2）解法一：由（1）知平面APC，平面ABCD,利用面面垂直的性质定理得到BD1平面APC,从而由Vp一ABCD=

2VB_PAC求解；解法二：易得三棱锥P-ABD是为棱长为2的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为企，

从而由Vp_ABCD=2Vp_ABD=2X（xV正方体求解；解法三：取AB中点M,连接DM交AC于点H,连接PH.

由小ABD是等边三角形，得至UDM1AB,再由PD1AB,得到AB_L平面PDM,从而AB_LPH,再由BD1PH,

得到PH_L平面ABCD,然后由四棱锥的体积为V=/SABCD，PH求解.

【详解】（1）证明：如图所示：

连接DB交AC于点0,连接P0,

因为ABCD是菱形，所以BD1AC,且0为BD的中点,

因为PB=PD,所以PO1BD,

又因为AC,POu平面APC,且ACCP。=O,AC,POu平面APC,

所以BD1平面APC,

又BDu平面ABCD,所以平面APC_L平面ABCD.

(2)解法一：由(1)可知，平面APC_L平面ABCD,

又平面APCC平面ABCD=AC,BD1AC,BDu平面ABCD,所以BD_L平面APC,

所以VP_ABCD=2VB_PAC,由已知可得AC=2A/3,BD=2,

又APIPC,且。为BD的中点.所以OP=W,PD=2,

又PD1AB,AB||CD,所以PD1CD,

所以PC=2vXPA=2,

所以Vp_ABCD=2VB_PAC=(xSAPACxBD-|xix2x2V2x2=^.

解法二：由已知可得：△ABD为正三角形，且AC=2^,BD=2,

又APLPC,且0为BD的中点，

所以OP=|AC=V5,PD=PB=2,又PD_LAB,AB||CD,

所以PD1CD,

从而PC=2V2,PA=2,

所以三棱锥P-ABD是为棱长为2的正四面体，而它所对应的正方体的棱长为方,

所以Vp_ABCD-2Vp_ABD=2XgXV正方体=苧一

解法三：如图所示：

取AB中点M,连接DM交AC于点H,连接PH.

因为NBAD=］所以△ABD是等边三角形，所以DM1AB,

又因为PD1AB,PDnDM=D,PD,DMu平面PDM,

所以AB_L平面PDM,PHu平面PDM,所以ABIPH,

由（1）知BD_LPH,且ABnBD=B,AB,BDu平面ABCD,所以PH_L平面ABCD.

由ABCD是边长为2的菱形，

在小ABC中，AH==—,A0=AB-cos300=V3,

cos303

由APIPC,在AAPC中，PH2=AH♦HC=^x竽=g,所以PH=半.

所以四棱锥的体积为V=，SABCD•PH=（XX乎=竽.

7.如图，在三棱柱力BC—AJFJCI中，侧面BBjCiC为菱形，zCBfij=60°,AB=BC=2,AC=ABr=V2.

(1)证明:平面2cBi1平面BBiCiC；

(2)求二面角力-41cl-J的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

唠

【分析】(1)先证明AD1平面BBigC,再根据面面垂直的判定可得平面ACBi1平面BBigC；

(2)取AiCi的中点E,连ACi，AE,B隹,可证NAEB1为二面角A-ARi-B1的平面角，计算可得结果.

【详解】(1)连BC】、BiC交于D,则D为BCi、BiC的中点，连AD,

因为AC=ABi，所以AD_LBiC,

因为侧面BBigC为菱形，zCBBi=60°,AB=BC=2,AC=AB1=&,

所以BD=g,AD=1,所以AB?=BD2+AD2,即AD1BD,

因为B]CnBD=B,B]C,BDu平面BBigC,

所以AD_L平面BBigC,因为ADu平面ACBi，

所以平面ACBi1平面BBigC.

(2)取AiCi的中点E,连A"AE,B】E,

由(1)知，AD1BD,又BD=Dg,所以Ag=AB=2,

又AAi=Cg=2,所以AE_LAiCi，同理得B】E_LAig,

所以NAEBi为二面角A-AiJ-Bi的平面角，

在八AEBi中，AE=JAA”AIE2=^4-(y)2=苧，

BiE=JA同一人住2=14一(苧下=当，ABI=&，

所以二面角A-AiQ-Bi的余弦值为*

8.如图，在直三棱柱ABC-481cl中，AC1BC,且AC=BC/B=BB1=4,E为A4的中点，尸为线段/C

上一点，设CF=/LCBi.

⑵当三棱锥的-4BF的体积为轲，求4的值.

【答案】（1）证明见解析

⑵入=；或入=*

【分析】（1）由题，取BC的中点G,连接GF,GA,通过证明四边形EFGA为平行四边形可证明结论；（2）

注意到VC[-ABF=VA-C[BF，AC为二棱锥A—BC\F的IWJ,VA-CC^BI=了=2VA-C[BF，贝U可得F至!jBg的距禺

为C到BCi的距离的%据此可得答案.

【详解】(1)当入=g时，F为B£的中点，取BC的中点G,连接GF,GA,

有GF〃BBi，MGF=1BB1=2,在直三棱柱ABC-ASig中，AA//BB1，

所以GF〃AAi.因为AE=1AAi=2,所以FG〃AE且FG=AE,

所以四边形EFGA为平行四边形，所以EF〃AG.

又EFC平面ABC,AGu平面ABC,所以EF〃平面ABC.

(2)三棱锥J-ABF的体积相当于三棱锥A-BC/的体积，

因为eg1平面AB&ACu平面ABC,所以CCJAC,MAC1BC.

因为BCCCCi=C,BC,CCiu平面BCC1B1，所以AC_L平面BCCiBi，即AC为三棱锥A—BgF的高.

在平面BCgBi中，△8和(：的面积1乂4*2/=4鱼，

那么三棱锥A-BCiC的体积V=(x4立x2位=4=2VCI_ABF，

且这两个三棱锥的高相等，可得％BCiC=2SABC1F,

可得F至IJBC1的距离为C至!JBC1的距离的也

因此F为BiC的四等分点，即入=；或入=*

A

9.如图，四棱柱力BCD-4中心小的侧棱44J底面ABCD,四边形ABCD为菱形，E,厂分别为CC「AA1

的中点.

(1)证明:一四点共面;

(2)若AB=441=2,乙DAB=全求点A到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)取DiD的中点为G,通过证明FDJ/AG、AG//BE,进而证明FD/BE即可.

(2)运用等体积法VA-BEF=VB-AEF即可求得结果.

【详解】(1)取DiD的中点为G,连接AG,GE,由E,G分别为Cg,DD1的中点，

所以EG〃DC〃AB,且EG=DC=AB,

所以四边形ABEG为平行四边形，

故AG〃BE,

又因为F是AAi的中点，

所以FDJ/AG,

所以FDJ/BE,故B,F,Di，E四点共面.

(2)易知四边形BED#为菱形,且BE=遥,BDi=JBD?+Dp=V22+22=2金,EF=AC=2疗,BD=

2,

所以菱形BED/的面积为（BDi•EF=gx2&x2旧=2遍，

设点A到平面BEF的距离为d,点B到平面AEF距离为h,且〃AEF=jx1x2A/3=V3,

由ABEFBAEF，得：

V-=V-gSABEF-d=-SAAEF-h,

因为ACJ.BD,AC//EF,

所以BD1EF,

又因为BD1AF,AFClEF=F,AF、EFu面AEF,

所以BD，面AEF,

所以h=^BD=1,

所以1-2A/6-d=V3,1=>d=奈

故点A到平面BED"的距离为当

】

10.如图所示，已知三棱台ABC—AiBiCi中，ABX1BBr,CBr1BBr,^ABB=4CBB[=60°,AB1BC,

BBi=1.

（1）求二面角力—BiB-C的余弦值；

（2）设E,F分别是棱AC,&Ci的中点，若EFL平面ABC,求棱台力BC-&8心的体积.

参考公式：台体的体积公式为％体=］（S上+Js上S下+S下）儿

【答案】（1）—（

【分析】（1）依题意NABiC为二面角A-BBi-C的平面角，利用余弦定理计算可得；

（2）将棱台补全为三棱锥，依题意可得BBi1面ABiC,即可得到BBi1EB〉再由EE1平面ABC得到EF1EB,

即可得到F为OE的中点，最后根据V=Vo-ABC—V（）_A1B1C1=gVo.ABC计算可得.

【详解】（1）因为ABi^BBi，CBi1BBV所以二面角A-BB1一C的平面角为4ABic.

因为NABB1=NCBB1=60。，BBi=1,所以ABI=CBI=K,AB=CB=2.

因为ABJ.BC,所以AC=2&.

2

因为AC=AB"+CB?-2ABi•CBt-COSNAB©

所以coszAB^C=—p故二面角A—BB]—C余弦值为—g.

(2)因为ABC-AiBig是三棱台，所以直线AAi、BBnCg共点，设其交点为0,

因为E、F分别是棱AC、A1。的中点，所以直线EF经过点O.

因为ABJBBi，CBi1BB1；AB〔CCB1=B1且AB1,CB】u面AB©所以BB】_L面AB©

又EBiU面ABC所以BB—EBi.

因为EB=&,BBj=1,所以NBjBE=45。.

因为EE_L平面ABC,EBu平面ABC,所以EF_LEB,

所以EF=BBI•sin/EBBi=苧，OE=EB=&,故F为OE的中点.

三棱台ABC-A隹iCi的体积V=V0.ABC-V0.A1B1C1=(VO_ABC

71CLc711OO7A/2

=-X—xOExSARC=-x—x72x—x2x2=—

83△AAH83212

11.如图，在四棱锥P-A8MN中，△PNM是边长为2国的正三角形，AN1NP,AN//BM,AN=3®BM=

V3,AB=2V6,C,。分别是线段AB,NP的中点.

A

(1)求证：CD〃平面PBM；

(2)求四棱锥P-力BMN的体积.

【答案】(1)证明见解析

⑵12

【分析】(1)取MN中点Q,连接CQ,DQ,则由已知条件结合线面平行的判定可证得DQ||平面BMP,CQ||

平面BMP,则平面CDQ||平面BMP,再由面面平行的性质可证得结论；

(2)过B作BE||MN交AN于E,可证得AEJ.BE,贝!JAN_LNM,得AN_L平面NMP,再由面面垂直的判

定可得平面ANMB1平面NMP,再利用面面垂直的性质可得PQ上平面ANMB,从而可求得结果.

【详解】(1)证明：如图，取MN中点Q,连接CQ,DQ,

因为D是线段NP的中点

所以DQ||MP,

因为DQC平面BMP,MPu平面BMP,

所以DQ||平面BMP.

因为在梯形ABMN中，Q为MN的中点，C是AB的中点,

所以CQ||MB,

因为CQC平面BMP,MBu平面BMP,

所以CQII平面BMP,

因为DQCCQ=Q,DQ,CQu平面CDQ,

所以平面CDQ||平面BMP,

因为CDu平面CDQ,

所以CD||平面BMP；

(2)如图，在梯形ABMN中，过B作BE||MN交AN于E,则四边形MNEB为平行四边形，

所以MN=EB=2V3,

在AAEB中，得AE=2%,BE=2b，AB=2逐，

则AB2=AE2+BE2,所以AE_LBE,

因为BE||MN,

所以AN1NM,

XAN1NP,NMnNP=N,NM,NPu平面NMP,

所以AN_L平面NMP,

XANu平面ANMB,

平面ANMB1平面NMP,

连接PQ,因为APNM为等边三角形，Q为MN的中点，

所以PQ1MN,

又平面ANMBC面NMP=MN,PQu平面MNP,

所以PQ，平面ANMB,

因为在等边APNM中，MN=2V3,Q为MN的中点，

所以PQ=3,

所以四棱锥P-ABMN的体积为：

IXS梯形ABMNXPQ=ixix(3g+g)x2bx3=12.

12.如图所示，在直四棱柱力BCD中，AB//CD,ABLAD,且AB=AD=1,CD=2,M是的

中点.

(1)证明：BClBjM；

⑵若为M1CM,求四棱柱力BCD-48修1%的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)372

【分析】(1)连接BD,求出BD、BC,即可得至(JBC1BD,由线面垂直得到BB11BC,即可证明BC1平面

BiBDDi，从而得证；

(2)设AAi=2a(a>0),利用勾股定理表示出当!^、CM2,BiC2,再由B】M_LCM求出a,最后根据柱体

体积公式计算可得.

【详解】(1)如图，连接BD,•；AB=AD=1,CD=2,AB//CD,AB1AD,

BD=VAB2+AD2=V2,BC=J/+(2-1产=V2,

vBBi1平面ABCD,BCu平面ABCD,BB11BC,

又BBiCBD=B,BBi，BDu平面BiBDDi，BC_L平面B$DDi，

•••BiMu平面BiBDDi，BCIBiM.

(2)设AAi=2a(a>0),则由已知可得RjM?=B。：+DiM?=2+a?,

CM2=CD2+MD2=4+a2,BjC2=BB^+BC2=2+4a2,

1CM,BiM?+CM2=8也2,BP2+a2+4+a2=2+4a2,

解得a=V2(负值舍去)，・•.AAi=2V2,

二四棱柱ABCD-AiBiJDi的体积V=S梯形ABCD-AAJ=1X(1+2)X1X2V2=3A/2.

13.在四棱锥P-力BCD中，ABCD为等边三角形，ADAB=120°,AD=AB=PD=PB=2,点E为PC

的中点.

(1)证明：8£7/平面PAD；

(2)已知平面PBD_L平面力BCD,求三棱锥P-4BE的体积.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)作出辅助线，证明出面面平行，进而得到线面平行；

(2)作出辅助线，由面面垂直得到POL平面ABCD,结合AD=AB=PD=PB=2,求出各边长，利用

线段比例关系和等体积法求解三棱锥的体积.

【详解】(1)证明：取CD的中点M,连EM,BM,

；E为PC中点，

/.EM//PD,

又EMC平面PAD,PDu平面PAD,EM〃平面PAD,

又：ABCD为等边三角形，AMBXCD,

•/Z.DAB=120°,AD=AB,

/.Z.ADB=NABD=30°,ZADC=ZCDB+ADB=60°+30°=90°,

AAD±CD,

/.MB//AD,

又MB0平面PAD,ADu平面PAD,

，MB〃平面PAD,EMnMB=M,EM,MBc3p®EMB,

平面EMB〃平面PAD,

VEBu平面EMB,

；.EB〃平面PAD.

(2)连接AC交BD于O,连接PO,

因为BC=CD,AD=AB,AC垂直平分BD,

故。为BD中点，AC±BD,

因为PD=PB=2,所以PO_LBD,

:平面PBD_L平面ABCD,交线为BD,POu平面PBD,

；.PO_L平面ABCD,

VAD=AB=PD=PB=2,

/.BO=OD=2cos30°=V3,

由勾股定理得PO=AO=J22-V32=1,

法1：因为ADJ_CD,CD=2V3,所以SAACD=；AD•CD=2百，

因为EM〃PD,M为CD中点，

所以Vp-ABE=Vp_ADE=VE_PDA=VM-PDA=Vp-MDA=|Vp_CDA=|X|X2近X1=

法2：因为ABLBC,BC=2V3,所以S&ABC=*B•BC=2百，

因为E为PC中点，所以Vp_ABE=VB-APE=^VB-APC=^Vp-ABC=gxgx2V3X1=奈

14.如图，平面多边形ZBCDE,EA=ED=AD=2BC=2,BC//AD,CD1AD,^BAD=p将△ADE沿

着AD翻折得到四棱锥P-ABCD,使得PB=粕,F、G分别是PB、CD的中点.

（1）证明：FG〃平面PAD；

（2）求点G到平面/MB的距离.

【答案】（1）证明见解析

（2喑

【分析】（1）先利用中位线定理得到FH〃PA,再利用线面平行的判定得到FH//平面PAD,同理得至UGH〃

平面PAD,从而利用面面平行的判定得到平面FGH〃平面PAD,由此利用面面平行的性质即可得证；

（2）先利用线面垂直的判定和面面垂直的判定与性质得到P01平面ABCD,再利用体积相等即可求解.

【详解】（1）如图，取AB中点H,连接FH,GH.

VF,H分别是PB,AB的中点，AFH//PA.

VPAu平面PAD,FH，平面PAD,；.FH〃平面PAD.

VG,H分别是CD,AB的中点，.-.GH//DA,

VDAu平面PAD,GH仁平面PAD,；.GH〃平面PAD.

又；FH,GHu平面FGH,FHnGH=H,

平面FGH〃平面PAD,

：FGu平面FGH,；.FG〃平面PAD.

(2)如图，取AD中点0,连接P0,B0.

:AD=2BC=2,BC//AD,CD1AD,/BAD=泉

.-.0A=0D=1,OB=DC=V3,OB1AD,AB=2.

；PA=PD=AD=2,APO1AD,PO=百，

又PB=VS,贝！JPO2+BC>2=PB2,APO1OB,

又P010D,ODnOB=0,OD,OBu平面ABCD,，PO1平面ABCD,

SAGAB=SABCD-SAGBC-SAADG=1x(l+2)xV3--|xlXy--|x2Xy=苧,

VP-GAB-&AGAB,PO=Ix学xV3=I，SAPAB=IxV6xJ2?一(苧)=苧,

设点G到平面PAB的距离为d,VG-PAB=^SAPAB.d=gX

3位

d=

10

15.如图，矩形力BCD所在的平面与平面ABE垂直，且AE_LBE.已知力B==2BE=2.

⑴求证：BE1DE；

(2)求四棱锥E-A8CD的表面积.

【答案】(1)证明见解析

77+2遮+5

(2)2

【分析】(1)由条件根据面面垂直性质定理证明AD_L平面ABE,由此可得BEJ.AD,结合AE_LBE根据线

面垂直判定定理证明BE1平面ADE,由此可得结论；

(2)由条件依次求出各各面的面积相加即可.

【详解】(1)因为平面ABCD_L平面ABE,平面ABCDn平面ABE=AB,

且ADJ.AB,ADu平面ABCD,

，AD1平面ABE,又BEu平面ABE,

ABE1AD,XAE1BE,且AEnAD=A,AE,ADu平面ADE,

/.BE1平面ADE,又DEu平面ADE,

ABE1DE.

(2)因为AB=2AD=2BE=2,

所以矩形ABCD的面积为2,

在R3ABE中，BE=1,AB=2,故AE=百，

故^ABE的面积为圣

RtAADE和RtABCE的面积分别为看吟

而EC=&,DE=2,CD=2,

故CE边上的高为工4一；=

故4CDE的面积为(xV2x^p=y,

故四棱锥E—ABCD的表面积为2+9+亨+[+/=必等里

16.已知四棱锥P-力BCD的底面是正方形，ACCiBD=0,PA=PD=V5,PO=V3,4D=2,E是棱PC上任

p

(1)求证：平面BDE1平面PAC；

⑵若PE=2EC,求点4到平面BDE的距离.

【答案】(1)证明见解析

(2噜

【分析】（1）由勾股定理证得P010A,P010D,得到P01平面ABCD,证得POLBD,从而证得BD，

平面PAC,进而利用面面垂直的判定定理，即可证得平面BDE，平面PAC；

（2）根据题意点A到平面BDE的距离转化为C到平面BDE的距离，过点C作CM10E证得CM,平面BDE,

转化为AOCE边0E的高CM,在AOCE中，利用面积相等，即可求解.

【详解】（1）证明：因为ABCD是正方形，且AD=2,可得AO=DO=«,且AC1BD,

又因为P02+0A2=PA2,PO2+0D2=PD2,可得P01OA,PO10D,

因为OAC0D=0且OA,ODu平面ABCD,所以P0，平面ABCD,

又因为BDu平面ABCD,所以PO1BD,

因为ACnPO=O,且AC,POu平面PAC,所以BD1平面PAC,

又因为BDu平面BDE,所以平面BDE1平面PAC.

（2）解：因为AC与平面BDE交点为。，且OA=OC,

可得点A到平面BDE的距离等于C到平面BDE的距离，

过点C作CM10E于点M,

由（1）知BD1平面OCE,且CMu平面OCE,所以BD1CM,

因为BDC0E=0且BD,OEu平面BDE,所以CM_L平面BDE,

即C到平面BDE的距离为^OCE边0E的高CM,设为h=CM,

过E作EG_LOC于G,贝ljEG=1PO=/,OG=：OC=『，所以0E=^,

所以h=竽=尊=等，即点A到平面BDE的距离等于萼.

OEV—1111

17.在三棱锥。—48C中，AB==OB==120°,平面BC。1平面ABC,S.OB1AB.

o

(1)证明：OB，AC；

(2)若尸是直线。C上的一个动点，求直线AF与平面4BC所成的角的正切值最大值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)2.

【分析】(1)根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的判定和性质证明即可；

(2)作出直线AF与平面ABC所成的角，并得到该角正切的函数关系，再借助二次函数求解作答.

【详解】(1)在三棱锥O-ABC中，在平面ABC内过点B作直线BDLBC,如图，

因为平面BCO1平面ABC,平面BCOn平面ABC=BC,BDu平面ABC,

所以BD1平面BCO,又OBu平面BCO,所以OB_LBD,

因为OB1AB,ABCBD=B,AB,BDu平面ABC,

所以又ACu平面ABC,

所以OBJ.AC.

(2)过F作FH〃OB交BC于H,连接AH,由(1)知FH1平面ABC,

因此NFAH是直线AF与平面ABC所成的角，

又AH,BCu平面ABC,所以FH1AH,FH1BC,

设FH=t,由OB=BC=2,OB1BC,得NFCH=45°,CH=FH=t,

又AB=BC=2,/ABC=120°,所以NACB=30°,AC=2BCcos30°=2日，

在AACH中，由余弦定理，

得AH2=AC2+CH2-2AC-CHcos30°=12+t2-2X2倔X—=t2-6t+12,

所以tan2/FAH=黑=-=东=白韦W4,当且仅当t=4时取等号,

所以直线AF与平面ABC所成的角的正切值最大值为2.

18.如图，在四棱锥P-2BCD中，平面P481平面4BCD,底面力BCD为菱形，△PAB为等边三角形，且P4=2,

PCLCD,。为4B的中点.

(1)若E为线段PC上动点，证明：AB10E-,

(2)求点B与平面PCD的距离.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)因E为线段PC上动点，明显要证明AB，平面POC,利用线面垂直判定定理，分别证明PC1AB,

OP1AB即可；

(2)利用等体积变换求距离即得.

连接OC,0P.

：APAB为等边三角形，二OP1AB,OA=1,OP=百,

又,••平面PAB_L平面ABCD,平面PABC平面ABCD=AB,OPu平面PAB,

OP_L平面ABCD,

又•••OCU平面ABCD,OP1OC,

•­•PC1DC,CD||AB,.­•PC1AB,

x---OP1AB,OPu平面POC,PBu平面POC,OPnPC=P,

AB平面POC

又；OEu平面POC,AB1OE

（2）由（1）矢口AB1平面POC

OCu平面POC,AAB1OC.

由题意BC=AB=PA=20B=2,

/.PO=OC=V3,PC=V6,

△BOC中，ZCBO=p

/.△BDC中，ZBCD=y,

...△BDC中，由余弦定理得BD=2V3,

设点B到平面PCD的距离为h,

则VB-PCD=VP-BCD即（SAPCD'h=|SABCD-OP,

ihxix2xV6=ixV3xix2x2xsin—,

32323

得h=当，

故点B与平面PCD的距离为当

19.如图，在多面体4BCDEF中，四边形力BCD与2BEF均为直角梯形，AD//BC,AF//BE,D41平面4BEF,

AB1AF,AD=AB=2BC=2BE=2,G在4尸上，且力G=1.

(1)求证：BG〃平面DCE；

⑵若BF与CE所成的角为60°,求多面体A8CDEF的体积.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）延长DC交AB于点M,连接EM,根据已知求得BM=AB=2,易证AGEB为平行四边形，

WEG//AB,则BMEG为平行四边形，即BG〃EM,最后应用线面平行的判定证结论；

（2）取AD的中点N,可得CE〃NG,在平面ABEF内，过G作FB的平行线交AB于P,得NNGP=60。,

证明GP为AAFB的中位线，由棱台结构特征确定ABCDEF为棱台，最后应用棱锥体积公式求体积.

【详解】（1）延长DC交AB于点M,连接EM,则EM在面DCE内，

由BC〃DA,则粤=裂，又AD=AB=2BC=2,

AMDA

所以悬=3可得BM=AB=2,

由AF〃BE,G在AF上且AG=BE=1,故AGEB为平行四边形，

则EG〃AB,且EG=AB,又A,B,M共线，

所以EG〃BM,且EG=BM,故BMEG为平行四边形，则BG〃EM,

所以NCEG为平行四边形，贝！JCE//NG,

在平面ABEF内，过G作FB的平行线交AB于P,

所以BF与CE所成的角，即为NG与GP所成角，贝此NGP=60°,

DA1•平面ABEF,AG,APu平面ABEF,则DA_LAG,DA1AP,而AN=AG=1,

设AP=x,则ANGP中，NG=VAG2+AN2=&,NP=VAP2+AN2=Vx2+1,

PG=VAG2+AP2=Vx2+1,4NGP=60°,则4NGP为等边三角形，

故Vx2+1=V2,即X=1,

所以在AAFB中，P为AB的中点，且GP〃FB,故GP为AAFB的中位线,

所以AF=2AG=2,易知多面体ABCDEF为棱台，且BC1BE,且BC=BE=1,

体积V=VM_AFD-VM_BEC=|xiXAFxADxMA-|x|xBExBCxMB=^.

20.如图1,E、F、G分别是边长为4的正方形的三边48、CD、4)的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三

角形FDG裁掉，再将剩下的五边形2BCFG沿着线段EF折起，连接48、CG就得到了一个空间五面体，如图2.

图1图2

(1)若。是四边形EBCF对角线的交点，求证：A。//平面GCF；

(2)若NAEB=p求三棱锥力-BE尸的体积.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)在图2中取线段CF中点H,连接OH、GH,证明出四边形AOHG是平行四边形，可得出AO//HG,

再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；

(2)证明出EF1平面ABE,计算出AABE的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥A-BEF的体积.

【详解】(1)证明：在图2中取线段CF中点H,连接OH、GH,如图所示：

由图1可知，四边形EBCF是矩形，且CB=2EB,

因为0是线段BF与CE的中点，所以，OH〃BC且OH=(BC,

在图1中，AG〃EF且AG=^EF,而EF〃BC且EF=BC.

所以在图2中，AG//BCMAG=|BC,

所以，AG〃OH且AG=OH,

所以，四边形AOHG是平行四边形，则AO〃HG,

由于AOC平面GCF,HGu平面GCF,所以，AO〃平面GCF.

(2)解：翻折前，EF1AE,EF1BE,

翻折后，贝IJEF1AE,EF1BE,AE、BEu面ABE,AEnBE