2019-2020学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.1基本立体图形第2课时圆柱圆锥圆台球简单组合体的结构特征应用案巩固提升新人教A版必修第二册

PAGE1-第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体的结构特征[A基础达标]1．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是()A．两个圆锥拼接而成的组合体B．一个圆台C．一个圆锥D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥解析：选D.以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周，如图，钝角△ABC中，AB边最小，以AB为轴，其他两边旋转一周，得到的几何体是一个圆锥挖去一个同底的小圆锥．故选D.2．如图所示的组合体的结构特征是()A．一个棱柱中截去一个棱柱B．一个棱柱中截去一个圆柱C．一个棱柱中截去一个棱锥D．一个棱柱中截去一个棱台解析：选C.如题图，可看成是四棱柱截去一个角，即截去一个三棱锥后得到的简单组合体，故为一个棱柱中截去一个棱锥所得．3．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是()A．该几何体是由2个同底的四棱锥组成的几何体B．该几何体有12条棱、6个顶点C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余各面均为三角形解析：选D.该几何体用平面ABCD可分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面．故D说法不正确．4．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是()A．圆锥B．圆锥和球组成的简单组合体C．球D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体答案：D5.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是()A．①② B．①③C．④ D．①⑤解析：选D.一个圆柱挖去一个圆锥，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分．6．如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法：①由一个长方体割去一个四棱柱构成．②由一个长方体与两个四棱柱组合而成．③由一个长方体挖去一个四棱台构成．④由一个长方体与两个四棱台组合而成．其中正确说法的序号是__________．解析：该组合体可以看作是由一个长方体割去一个四棱柱构成的，也可以看作是由一个长方体与两个四棱柱组合而成的．答案：①②7．若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________．解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝eq\r(42－r2).由题意可知eq\f(1,2)·2r·h＝req\r(42－r2)＝8，所以r2＝8，所以h＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)8．一个圆台上、下底面的半径分别为3cm和8cm，若两底面圆心的连线长为12cm，则这个圆台的母线长为________cm.解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C.在Rt△ABC中，AC＝12cm，BC＝8－3＝5(cm)．所以AB＝eq\r(122＋52)＝13(cm)．答案：139．指出图中的三个几何体分别是由哪些简单几何体组成的．解：(1)几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个圆台拼接而成．(2)几何体由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成．(3)几何体由一个球和一个圆柱中挖去一个以圆柱下底面为底面、上底面圆心为顶点的圆锥拼接而成．10．一个圆锥的高为2cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．解：如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°.在Rt△SOA中，AO＝SO·tan30°＝eq\f(2\r(3),3)(cm)．SA＝eq\f(SO,cos30°)＝eq\f(2,\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3)(cm)．所以S△ASB＝eq\f(1,2)SO·2AO＝eq\f(4\r(3),3)(cm2)．所以圆锥的母线长为eq\f(4\r(3),3)cm，圆锥的轴截面的面积为eq\f(4\r(3),3)cm2.[B能力提升]11．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是()A．2 B．2πC.eq\f(2,π)或eq\f(4,π) D.eq\f(π,2)或eq\f(π,4)解析：选C.如图所示，设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝eq\f(4,π)；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱的底面周长，则2πr＝4，所以r＝eq\f(2,π).所以选C.12．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12πcm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径R＝eq\f(6,cos30°)＝4eq\r(3)cm.答案：4eq\r(3)13．圆锥底面半径为1cm，高为eq\r(2)cm，其中有一个内接正方体，这个内接正方体的棱长为________cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC1A1如图．设正方体的棱长为xcm，则AA1＝xcm，A1C1＝eq\r(2)xcm.作SO⊥EF于点O，则SO＝eq\r(2)cm，OE＝1cm.因为△EAA1∽△ESO，所以eq\f(AA1,SO)＝eq\f(EA1,EO)，即eq\f(x,\r(2))＝eq\f(1－\f(\r(2),2)x,1).所以x＝eq\f(\r(2),2)，即该内接正方体的棱长为eq\f(\r(2),2)cm.答案：eq\f(\r(2),2)14．一个圆台的母线长为12cm，两底面面积分别为4πcm2和25πcm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图所示)．由已知可得上底半径O1A＝2cm，下底半径OB＝5cm，又因为腰长为12cm，所以高AM＝eq\r(122－（5－2）2)＝3eq\r(15)(cm)．(2)如图所示，延长BA，OO1，CD，交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO可得eq\f(l－12,l)＝eq\f(2,5)，解得l＝20(cm)，即截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.[C拓展探究]15.如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面直径构成边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食．此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程．(结果不取近似值)解：因