2019-2020学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算应用案巩固提升新人教A版必修第一册

PAGE1-4.3.2对数的运算[A基础达标]1．化简eq\f(1,2)log612－2log6eq\r(2)的结果为()A．6eq\r(2) B．12eq\r(2)C．log6eq\r(3) D.eq\f(1,2)解析：选C.原式＝log6eq\r(12)－log62＝log6eq\f(\r(12),2)＝log6eq\r(3).2．若lgx－lgy＝t，则lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)＝()A．3t B.eq\f(3,2)tC．t D.eq\f(t,2)解析：选A.lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(3)－lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,2)))eq\s\up12(3)＝3lgeq\f(x,2)－3lgeq\f(y,2)＝3lgeq\f(x,y)＝3(lgx－lgy)＝3t.3．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为()A.eq\f(1,2) B．9C．18 D．27解析：选B.由题意得eq\f(lg4,lg3)·eq\f(lg8,lg4)·eq\f(lgm,lg8)＝log416＝log442＝2，所以eq\f(lgm,lg3)＝2，即lgm＝2lg3＝lg9.所以m＝9，选B.4．如果lgx＝lga＋3lgb－5lgc，那么()A．x＝eq\f(ab3,c5) B．x＝eq\f(3ab,5c)C．x＝a＋3b－5c D．x＝a＋b3－c3解析：选A.因为lgx＝lga＋3lgb－5lgc＝lga＋lgb3－lgc5＝lgeq\f(ab3,c5)，所以x＝eq\f(ab3,c5).5．已知2x＝3，log4eq\f(8,3)＝y，则x＋2y等于()A．3 B．8C．4 D．log48解析：选A.因为2x＝3，所以x＝log23.又log4eq\f(8,3)＝y，所以x＋2y＝log23＋2log4eq\f(8,3)＝log23＋2(log48－log43)＝log23＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)log22－\f(1,2)log23))＝log23＋3－log23＝3.故选A.6．log48－logeq\s\do9(\f(1,9))3＝________．解析：log48＝log2223＝eq\f(3,2)，logeq\s\do9(\f(1,9))3＝－eq\f(1,2)，所以原式＝eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝2.答案：27．已知m＞0，且10x＝lg(10m)＋lgeq\f(1,m)，则x＝________．解析：lg(10m)＋lgeq\f(1,m)＝lg10＋lgm＋lgeq\f(1,m)＝1，所以10x＝1＝100，所以x＝0.答案：08．若lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，则eq\f(x,y)＝__________．解析：因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，y＞0，,x－2y＞0，,xy＝（x－2y）2.))由xy＝(x－2y)2，知x2－5xy＋4y2＝0，所以x＝y或x＝4y.又x＞0，y＞0且x－2y＞0，所以舍去x＝y，故x＝4y，则eq\f(x,y)＝4.答案：49．用lgx，lgy，lgz表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lgeq\f(xy2,z)；(3)lgeq\f(xy3,\r(z)).解：(1)lg(xyz)＝lgx＋lgy＋lgz.(2)lgeq\f(xy2,z)＝lg(xy2)－lgz＝lgx＋2lgy－lgz.(3)lgeq\f(xy3,\r(z))＝lg(xy3)－lgeq\r(z)＝lgx＋3lgy－eq\f(1,2)lgz.10．计算下列各式的值：(1)log3(81eq\r(3))；(2)eq\f(2lg（lga100）,2＋lg（lga）)；(3)log6eq\f(1,12)－2log63＋eq\f(1,3)log627.解：(1)原式＝log381＋log3eq\r(3)＝log334＋log33eq\s\up6(\f(1,2))＝4＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,2).(2)原式＝eq\f(2lg（100lga）,2＋lg（lga）)＝eq\f(2[lg100＋lg（lga）],2＋lg（lga）)＝eq\f(2[2＋lg（lga）],2＋lg（lga）)＝2.(3)法一：原式＝－log6(22×3)－2log63＋eq\f(1,3)log633＝－(log622＋log63)－2log63＋log63＝－(2log62＋log63)－2log63＋log63＝－2(log62＋log63)＝－2log6(2×3)＝－2.法二：原式＝log6eq\f(1,12)－log632＋log627eq\s\up6(\f(1,3))＝log6eq\f(3,12×9)＝log6eq\f(1,36)＝log66－2＝－2.[B能力提升]11．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与eq\f(M,N)最接近的是()(参考数据：lg3≈0.48)A．1033 B．1053C．1073 D．1093解析：选D.因为lg3361＝361×lg3≈361×0.48≈173，所以M≈10173，则eq\f(M,N)≈eq\f(10173,1080)＝1093，故选D.12．设a＝log2m，b＝log5m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，则m＝________．解析：因为a＝log2m，b＝log5m，所以eq\f(1,a)＝eq\f(1,log2m)＝logm2，eq\f(1,b)＝eq\f(1,log5m)＝logm5，因为eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以logm2＋logm5＝logm10＝1，所以m＝10.答案：1013．计算下列各式的值：(1)log535＋2logeq\s\do9(\f(1,2))eq\r(2)－log5eq\f(1,50)－log514.(2)[(1－log63)2＋log62·log618]÷log64.解：(1)原式＝log535＋log550－log514＋2logeq\s\do9(\f(1,2))2eq\s\up6(\f(1,2))＝log5eq\f(35×50,14)＋logeq\s\do9(\f(1,2))2＝log553－1＝2.(2)原式＝[(log66－log63)2＋log62·log6(2×32)]÷log64＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log6\f(6,3)))\s\up12(2)＋log62·（log62＋log632）))÷log622＝[(log62)2＋(log62)2＋2log62·log63]÷2log62＝log62＋log63＝log6(2×3)＝1.14．若a，b是方程2(lgx)2－lgx4＋1＝0的两个实根，求lg(ab)·(logab＋logba)的值．解：原方程可化为2(lgx)2－4lgx＋1＝0，设t＝lgx，则原方程可化为2t2－4t＋1＝0.所以t1＋t2＝2，t1t2＝eq\f(1,2).由已知a，b是原方程的两个根，则t1＝lga，t2＝lgb，即lga＋lgb＝2，lga·lgb＝eq\f(1,2)，所以lg(ab)·(logab＋logba)＝(lga＋lgb)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lgb,lga)＋\f(lga,lgb)))＝eq\f(（lga＋lgb）[（lgb）2＋（lga）2],lgalgb)＝(lga＋lgb)·eq\f(（lgb＋lga）2－2lgalgb,lgalgb)＝2×eq\f(22－2×\f(1,2),\f(1,2))＝12.即lg(ab)·(logab＋logba)＝12.[C拓展探究]15．已知2y·logy4－2y－1＝0，eq\r(logx\r(5x))·log5x＝－1，试问是否存在一个正数P，使得P＝eq\r(\f(1,x)－y)？解：由2y·logy4－2y－1＝0得2yeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logy4－\f(1,2)))＝0，所以logy4＝eq\f(1,2)，即y＝16.由eq\r(logx\r(5x))·log5x＝－1得eq\r(logx\r(5x))＝－eq\f(