数形结合思想-2024届高三数学二轮复习讲义

微专题之数形结合思想

一、数形结合思想与直观想象素养

数形结合W中一个%要的数学思想方法.所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应

关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.数形结合在思想上互相沟通，在内容上

互相对应,在方法上互相转换.美国著名数学家斯蒂恩说,如果一个数学问题可以转化为一个

图形,那么思维整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法.笛卡尔所说,没有任何

东西比几何图形更容易引入脑际了，因为用几何这种方式来表达事物是非常有益的.

直观想象是指借助空间想象感知事物的形态与变化,利用几何图形理解和解决数学问题.

主要包括利用图形描述数学问题,建立形与数的联系,构建数学问题的直观模型,探索解决问

题的思路.通过直观想象核心素养的培养,学生能够养成运用图形和空间想象思考问题的习

惯,提升数形结合的能力,建立良好的数学直觉,理解事物本质和发展规律.

不难发现,数形结合是培养直观想象素养的一个重要载体.加强几何直观,重视图形在数

学学习中的作用，激励学生借助直观进行思考.借助几何直观,揭示代数问题的性质和关系，

是培养直观想象素养的重要组成部分.

高考试题从能力立意转向素养立意,试题经常在选填当中，以函数为载体考查直观想象

素养.此类试题一般是给出一个含参函数,告知函数有零点或者方程有实根,求参数的取值范

围.在解题中需要画出函数图像,数形结合,发挥直观想象能力,观察图像变化趋势,并借助函

数与方程思想进行转化,从而顺利求解.

二、应用举例

,.x2+lax+a,x<Q/、

试题1:已知a>0,函数〃x)=,，若关于％的方程/(%)=q恰有2

-x"+2ax-2a,x>0

个互异的实数解,则。的取值范围是

X~\---F2。,XV0

X

分析：由已知有直线y=a与曲线g(x)=<图像有两个不同的交点.如

2a_.

—X-----F2〃,X>U

X

图(1)所示，画出直线y=a与曲线g(力的图像,两者随着a的变化而变化.数形结合,从图

像分析变化趋势,可得2a-2石<a<2a-2&，解得4<a<8.

x-4,x>2

试题2:已知；le凡函数"%)=<当2=2时,不等式/(%)<0的解集是

工2—4尤+3,x<2

.若函数〃尤)恰有2个零点,则2的取值范围是.

分析:易知当2=2时,不等式/(x)<0的解集为(1,4).画出曲线/(%)的图像，随着几的变

化而变化.数形结合,从图像分析变化趋势,如图⑵,(3)所示,可得4E(1,3]u(4,+oo).

x2-x+3,x<1

试题3:已知函数"%)二12设aeH,若关于x的不等式〃司2]在

XH--,X>1

R上恒成立,则a的取值范围是

分析:画出/(X)的图象.

当。变化时，可以发现函数y=。是以(-2a,0)为顶点的V型函数,随着。的增大，图象

沿着x轴向左平行移动.画出图像,数形结合,从图像分析变化趋势.

如图⑷所示,设直线/z(x)=-鼻一。与曲线/(X)=x?-x+3相切于4(%,均)

则有//(x)=2x—1.令2xo—l=—L得/=!，故/工,§],代入力。)得。=—夕.

241416)16

Y2

如图⑸所示,设直线h(x)=4+4与曲线/(力=%+—相切于B(%0,%)

2x

221

则有//(力=1--.令1——^=—,得％=2,故8(2,3),代入入(X)得a=2.

xXQ2

尤「471

综上，要使]+a在R上恒成立，则ae--,2.

试题4:已知当xe[0,1]时，函数y=(皿—Ip的图象与y=、6+根的图象有且只有一个交

点，则正实数加的取值范围是

91

分析：由于加>0,所以函数y=(mx-l)为开口向上的二次函数，对称轴为九=—,过点

m

^,0^,(0,1),而且随着加的增大，图象沿X轴向左平行移动，开口不断变窄.函数

y=«+根的图象是在y=4x图象的基础上，向上平移加个单位,过点(0,m),而且随着

m的增大，图象沿y轴向上平行移动.画出图像，数形结合，从图像分析变化趋势，如图

⑹，⑺所示,察图像变化可得me(0,l]o[3,+oo).

试题5：

设函数y(x)='—Mx"",⑴若。=0,则4％)的最大值是_______⑵若"力无最

—2x,%〃

大值,则实数。的取值范围是

解析:易知当a=0时，/(%)的最大值为2.画出了(九)的图像随着实数a的变化而变化.数

形结合,从图像分析变化趋势,如图(8)所示，观察图像的变化可知当。<-1时，/(九)无最大

值.

|x|,x<m

己知函数/(%)=<,其中m>0.若存在实数。，使得关于x的方程

x1—2mx+4m,x<1

/(%)=/?有三个不同的根,则加的取值范是

分析：由已知有直线y=6与曲线/(%)的图像有三个交点.画出了(九)的图像,数形结合,从

图像分析变化趋势,如图⑼所示,观察图像变化趋势可得-m*+4m<b<m,解得》i>3.

三、结束语

从上述几道试题的分析中不难发现，以含参函数为载体考查求参数取值范围的试题经常

出现在选填试题中较为压轴的位置.此类试题往往给出一个动态的函数或者一个动态一个静

态的函数,解题时需要充分借助数形结合思想，函数与方程思想进行转化,充分感知图形变化

趋势,发挥直观想象能力，不断将未知转向己知,将抽象转向具体.数和形是高中数学知识中

辩证统一的两个方面，在学习数学的过程中经常把这两个方面结合起来,使得对知识与方法

的理解以及问题的解决过程变得既严谨又直观，既简洁又生动.数形结合,数形不分家,数形

兼思，相互转化,互为补充,才能相得益彰.通过数形结合思想的运用，培养了学生对图形变化

的感知与把控能力,提升了直观想象素养,能够较好地提高复习备考效益.

四.练习

%3xCI

练习1.已知函数〃x)='一，若存在实数。，使函数g(尤)=/(%)-/?两个零点，则

x,x>a

a的取值范围是

解析:函数g(x)=/(尤)-两个零点等价于y=/(九)与y=6的图像有两个交点.

画出函数y=/(x)的图像，该图像随着。的变化而变化.如图(10)所示,易知当OWaWl时,

不存在直线y=6使得两者的图像有两个交点.因此符合题意的a的取值范围是

U(l,+co).

练习2:

己知acH,〃x)=x+--a+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是

X

分析：显然当xe[l,4]时，x+±e[4,5].画出图像，数形结合，从图像分析变化趋势.

当aW4时，x+--a>0,/(x)=x+3，在xe［l,4］上的最大值为5.符合题意.

当a»5时，x+--a<0,f(x)=x+-|,由于2a210,此时/(x)»5,不符合题

XyJCJ

如图(11)所示，当ae(4,4.5］时，

44

XH--,XH--2Cl

X当xe[l,4]时,x+—e[4,5],2a-[x+-|<5,符合

414X(X)

XH,XH<〃

X)X

题意