2024-2025学年七年级数学上学期期中考点专题04有理数的乘除法含解析新人教版

PAGEPAGE10专题04有理数的乘除法重点突破学问点一有理数的乘法有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把肯定值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0.倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。【留意】0没有倒数。（数的倒数是）确定乘积符号：(1)若a＜0,b＞0,则ab<0;(2)若a＜0,b＜0,则ab>0;(3)若ab＞0,则a、b同号(4)若ab＜0,则a、b异号(5)若ab=0,则a、b中至少有一个数为0.多个有理数相乘的法则及规律：（1）几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数；负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的肯定值相乘。（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，假如积为0，那么至少有一个因数是0.[留意]在乘法计算时，遇到带分数，应先化为假分数；遇到小数，应先化成分数，再进行计算。有理数的乘法运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即。乘法安排律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。学问点二有理数的除法有理数除法法则：（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把肯定值相除。【留意】0除以任何不为0的数，都得0。除法步骤：1.将除号变为乘号。2.将除数变为它的倒数。3.依据乘法法则进行计算。考查题型考查题型一有理数的乘法运算典例1．（2024·重庆市期末）在﹣2，3，4，﹣5这四个数中，任取两个数相乘，所得积中最大的是（）A．20B．﹣20C．12D．10【答案】C【解析】本题考查的是有理数的乘法依据有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，而正数大于一切负数，可知同号两数相乘的积大于异号两数相乘的积，则只有两种状况，-2×（-5）与3×4，比较即可得出．，，所得积最大的是，故选C。变式1-1．（2024·保定市期中）已知：a＝－2＋(－10)，b＝－2－(－10)，c＝－2×(－110)，下列推断正确的是A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b【答案】B【提示】首先利用有理数的加法法则、减法法则、乘方法则计算出a、b、c的值，再比较大小即可．【详解】a=-2+（-10）=-12，b=-2-（-10）=-2+10=8，c=-2×（-110）=1∵8＞15＞-12∴b＞c＞a，故选：B．【名师点拨】此题主要考查了有理数的乘法、加法和减法，关键是娴熟驾驭计算法则．变式1-2．（2024·漯河市期末）若|a|=4，|b|=5，且ab＜0，则a+b的值是（）A．1 B．﹣9 C．9或﹣9 D．1或﹣1【答案】D【解析】试题提示：∵|a|＝4，|b|＝5，且ab＜0，∴a＝4，b＝﹣5；a＝﹣4，b＝5，则a＋b＝1或﹣1，故选D．变式1-3．（2024·银川市期中）已知两个有理数a，b，假如ab＜0且a+b＞0，那么（）A．a＞0，b＞0B．a＜0，b＞0C．a、b同号D．a、b异号，且正数的肯定值较大【答案】D【提示】先由有理数的乘法法则，推断出a，b异号，再用有理数加法法则即可得出结论．【详解】∵ab＜0，∴a，b异号，∵a+b＞0，∴正数的肯定值较大，故选D．【名师点拨】本题考查了有理数的乘法、加法，娴熟驾驭和敏捷应用有理数的加法法则和乘法法则是解题的关键.考查题型二有理数乘法的运算律典例2．（2024·承德市期末）用安排律计算，去括号后正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【提示】依据乘法安排律可以将括号去掉，本题得以解决，留意符号的改变．【详解】解：=，故选D．【名师点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．变式2-1．（2024·梁山县期中）在中，运用的是乘法的（）A．交换律 B．结合律 C．安排律 D．交换律和结合律【答案】D【提示】①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b=b×a．②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c=a×（b×c）．【详解】，运用了乘法的交换律与结合律．故选D.【名师点拨】此题考查有理数的乘法，运算定律与简便运算，解题关键在于驾驭运算法则变式2-2．（2024·福州市期末）若2024×24=m，则2024×25的值可表示为()A．m+1B．m+24C．m+2024D．m+25【答案】C【提示】因为2024×25=2024×（24+1），利用乘法安排律得2024×25=2024×24+2024×1，即可求解.【详解】∵2024×25=2024×（24+1）=2024×24+2024×1=2024×24+2024,又∵2024×24=m,∴2024×25=m+2024.故选C.【名师点拨】本题考查有理数的乘法-乘法安排律.变式2-3．（2024·绍兴市期中）运用安排律计算时，下列变形最简便的是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，∴计算，最简便的方法是.故选：D考查题型三倒数典例3．（2024·南昌市期末）的倒数是（）A． B． C． D．【答案】B【提示】干脆利用倒数的定义进而得出答案．【详解】∵×()=1，∴的倒数.故选B.【名师点拨】此题主要考查了倒数，正确把握倒数的定义是解题关键．变式3-1．（2024·枣庄市期中）2024的倒数的相反数是（）A．-2025 B． C． D．2024【答案】B【提示】先求2024的倒数，再求倒数的相反数即可.【详解】2024的倒数是，的相反数为，所以2024的倒数的相反数是，故选B．【名师点拨】本题考查了倒数和相反数，娴熟驾驭倒数和相反数的求法是解题的关键．变式3-2．（2024·石家庄市期中）若-12的倒数与m+4互为相反数，则m的值是（A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】D【提示】依据一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号，求解即可．【详解】-12的倒数与m+4m+4=2，解得m=−2，故选：D.【名师点拨】本题考查了倒数与相反数定义。变式3-3．（2024·长沙市期中）下列各对数是互为倒数的是（）A．4和－4 B．－3和 C．－2和 D．0和0【答案】C【解析】试题解析：A、4×（-4）≠1，选项错误；B、-3×≠1，选项错误；C、-2×（-）=1，选项正确；D、0×0≠1，选项错误．故选C．考查题型四有理数的除法运算典例4．（2024·长沙市期中）小华作业本中有四道计算题：①0﹣（﹣5）=﹣5；②（﹣3）+（﹣9）=﹣12；③23×（﹣94）=﹣32；④（﹣36）÷（﹣9）=﹣4．其中他做对的题的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【提示】依据有理数的运算法则逐个计算提示.【详解】①0﹣（﹣5）=5；②（﹣3）+（﹣9）=﹣12；③23×（﹣94）=﹣④（﹣36）÷（﹣9）=4．所以，只有②③正确.故选：B【名师点拨】本题考核学问点：有理数运算.解题关键点:驾驭有理数运算法则.变式4-1．（2024·泉州市期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列推断正确的是()A．>0 B．a＋b>0 C．|a|<|b| D．a－b<0【答案】D【提示】依据数轴可得a、b的符号和肯定值的大小关系，分别利用有理数的除法、加法和减法法则对各个选项进行验证即可．【详解】解：由图可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，∴＜0，a+b＜0，a-b＜0．所以只有选项D成立．故选：D．【名师点拨】此题考查了数轴的有关学问，利用数形结合思想，可以解决此类问题．数轴上，原点左边的点表示的数是负数，原点右边的点表示的数是正数．变式4-2（2024·邯郸市期中）有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则的值是()A．负数 B．正数 C．0 D．正数或0【答案】B【提示】依据数轴可得:,,继而可得:,,再依据两数相除,同号得正,异号得负,进行判定即可.【详解】依据数轴可得:,,所以,,因为两数相除,同号得正,异号得负,所以,故选B.【名师点拨】本题主要考查数轴和有理数的除法,解决本题的关键是要娴熟驾驭数轴和有理数除法法则.变式4-3．（2024·长春市期末）若m、n≠0，则的取值不行能是()A．0 B．1 C．2 D．-2【答案】B【详解】若m、n都是正数，则==1+1=2；若m、n都是负数，则==-1-1=-2；若m>0、n<0，则==1-1=0；若m<0、n>0，则==-1+1=0；综上可知的值为0或2或-2，不行能是1，故选B.【名师点拨】本题考查了肯定值的化简，分类探讨m、n的不同状况是解决本题的关键.考查题型五有理数的除法应用典例5．（2024·宜昌市期中）一道计算题不慎被墨水覆盖了一部分，则覆盖的数字为（）A． B．3 C． D．【答案】B【提示】设被墨水覆盖了一部分为x，在代入式中计算即可.【详解】设被墨水覆盖了一部分为x，则（-3）×x=-9，x=3.故答案选：B.【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是娴熟的驾驭一元一次方程的应用.变式5-1．（2024·大庆市期中）一双鞋打八折后是60元，这双鞋原来()元．A．65 B．72 C．75 D．20【答案】C【提示】打八折是指现价是原价的80%，用除法就可以求出原价．【详解】这双鞋原来价格为：60÷80%=75（元）．故选：C．【名师点拨】此题考查有理数除法的应用，解题关键是理解打折的含义，打几折，现价就是原价的百分之几十．变式5-2．（2024·北京市期末）（原创）按100分制60分及格来算，满分是150分的及格分是（）A．60分B．72分C．90分D．105分【答案】B【解析】试题提示：先依据“100分制60分及格”求得及格的百分数，即可求得结果.由题意得满分是120分的及格分分，故选B.考查题型六有理数的乘除混合运算典例6（2024·北京市期中）．【答案】【解析】．变式6-1．（2024·北京市期中）．【答案】【解析】==．变式6-2．（2024·怀柔区期末）计算：（﹣）×（﹣）÷（﹣2）【答案】﹣【提示】先确定结果的符号，把除法统一成乘法，利用乘法法则计算出结果.【详解】原式＝﹣××＝﹣．【名师点拨】此题考查有理数的乘除混合运算，娴熟驾驭运算法则和运算依次是解答此题的关键.考查题型七有理数加减乘除混合运算典例7．（2024·陕西洛南·初一期末）计算：【答案】依据有理数混合运算法则可以解答本题．【详解】原式===．【名师点拨】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．变式7-1．（2024·石家庄市期中）计算：【答案】【提示】依据有理