人教版中学七年级数学下册期末解答题压轴题附答案

人教版中学七年级数学下册期末解答题压轴题（附答案）

一、解答题

1.如图，用两个面积为200c＞的小正方形拼成一个大的正方形.

（1）则大正方形的边长是—；

（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为

4:3,且面积为360°“2?

2.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的，已知一个长方形纸

板的面积为162平方厘米，求正方形纸板的边长.

3.动手试一试，如图1,纸上有10个边长为1的小正方形组成的图形纸.我们可以按图

2的虚线将它剪开后,重新拼成一个大正方形ABCD.

（1）基础巩固：拼成的大正方形ABCD的面积为,边长AD为；

（2）知识运用：如图3所示，将图2水平放置在数轴上，使得顶点B与数轴上的-I重

合.以点B为圆心，边为半径画圆弧，交数轴于点E,则点E表示的数是；

（3）变式拓展：

①如图4,给定5x5的方格纸（每个小正方形边长为1）,你能从中剪出一个面积为13的

正方形吗？若能，请在图中画出示意图；

②请你利用①中图形在数轴上用直尺和圆规表示面积为13的正方形边长所表示的数.

图4备用图

4.如图，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64.

（1）求出这个魔方的棱长；

（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD,求出阴影部分的边长.

5.张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长

方形纸片，使它的长宽之比为3：2.他不知能否裁得出来，正在发愁.李明见了说："别

发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片."你同意李明的说法吗？张华能

用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

二、解答题

6.已知，AE//BD,ZA=ZD.

（1）如图1,求证：AB//CD-,

（2）如图2,作44E的平分线交。于点/，点G为上一点，连接FG,若NC9G的

平分线交线段AG于点连接AC,ZACE=ABAC+ZBGM,过点H作HM_LFH交

FG的延长线于点且3/£1-5/470=18°,求NE4F+NGMH的度数.

7.如图，直线尸Q//W,点C是尸。、肱V之间（不在直线尸Q,MN上）的一个动点.

（1）如图1,若N1与N2都是锐角，请写出NC与Nl,Z2之间的数量关系并说明理由；

（2）把直角三角形ABC如图2摆放，直角顶点C在两条平行线之间，CB与尸。交于点

D,CA与MN交于点E,54与PQ交于点尸，点G在线段CE上，连接。G,有

ZBDF=ZGDF,求彳/A黑FN的值；

（3）如图3,若点。是下方一点，BC平分NPBD,AM平分NC4D,己知

NPBC=25°,求NACB+ZAD3的度数.

8.已知，如图1,射线PE分别与直线AB,C。相交于E、F两点，NPF。的平分线与直线

AB相交于点M,射线PM交CD于点N,设NPF/W=a。，ZEMF=6°,且（40-2a）2+|6

-201=0

（1）a=,6=；直线AB与CD的位置关系是；

（2）如图2,若点G、H分别在射线MA和线段MF上，且NMGH=NPNF,试找出NFMN

与NGHF之间存在的数量关系，并证明你的结论；

（3）若将图中的射线PM绕着端点P逆时针方向旋转（如图3）,分别与AB、CD相交于

点Ml和点N1时，作NPM1B的角平分线M1Q与射线FM相交于点Q,问在旋转的过程中

毁匕的值是否改变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.

9.汛期即将来临，防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看

河水及两岸河堤的情况.如图1,灯A射出的光束自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯

B射出的光束自顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A射出的

光束转动的速度是a°/秒，灯8射出的光束转动的速度是6。/秒，且“、6满足

|a—3b|+（a+b—4）2=0.假定这一带水域两岸河堤是平行的，即PQ〃跖V,且

ZBAN=45°.

(1)求。、6的值;

(2)如图2,两灯同时转动，在灯A射出的光束到达AN之前，若两灯射出的光束交于点

C,过C作CDJ_AC交尸Q于点。，若N3CD=20。，求ZBAC的度数；

(3)若灯8射线先转动30秒，灯A射出的光束才开始转动，在灯B射出的光束到达

之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？

10.已知，AB//CD.点M在AB上，点N在C。上.

(1)如图1中，NBME、NE、/END的数量关系为：；(不需要证明)；如图2

中，ZBMF、N尸、NRVD的数量关系为：；(不需要证明)

(2)如图3中，NE平令4FND,MB平分NFME,且2NE+NF=180,求/RWE的度

数；

(3)如图4中，ZBME=60,EF平分ZMEN,NP平分ZEND,且EQ〃NP,贝ijN尸EQ

的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出么NFEQ的度数.

三、解答题

11.为更好地理清平行线相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条A3、BC、

CD、DE,做成折线ABCDE,如图1,且在折点B、C、D处均可自由转出.

(1)如图2,小明将折线调节成ZB=50。，ZC=85°,ZD=35°,判断A3是否平行于

ED,并说明理由；

(2)如图3,若NC=ND=35。，调整线段AB、8C使得AB//CD求出此时D8的度数，

要求画出图形，并写出计算过程.

(3)若NC=85。，ND=35。,ABI/DE,请直接写出此时的度数.

12.如图1,点。在肱V上，ZAOB=90。,ZAOM=律/OCQ=,射线交尸。于点C,已

知m,"满足：|机-20|+(〃-70)2=0.

(2)如图2,平分NAON,C尸平分NOCQ,直线。£＞、CF交于点E,贝|

NOEF=°；

(3)若将ZAO3绕点。逆时针旋转口(0＜夕＜90。)，其余条件都不变，在旋转过程中，

NOEF的度数是否发生变化？请说明你的结论.

13.已知：三角形ABC和三角形OEF位于直线MN的两侧中，直线MN经过点C,且

BCLMN,其中NABC=/ACB,ZDEF=ZDFE,ZABC+NDFE=90°,点、E、F均落

在直线MN上.

利用这条辅助线解决了问题.请你根据小丽的思考，写出解决这一问题的过程.

(2)将三角形。EF沿着NM的方向平移，如图2,求证：DE//AC；

(3)将三角形OEF沿着NM的方向平移，使得点E移动到点万，画出平移后的三角形

DEF,并回答问题，若NDFE=a,则NQtB=.(用含。的代数式表示)

14.(1)学习了平行线以后，香橙同学想出了过一点画一条直线的平行线的新方法，她是

通过折纸做的，过程如(图1).

b

图2图3

①请你仿照以上过程，在图2中画出一条直线b,使直线b经过点P,且6〃a,要求保留

折纸痕迹，画出所用到的直线，指明结果.无需写画法：

②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点P的直线a的一线.

（2）已知，如图3,AB//CD,8E平分/ABC,CF平分/BCD.求证：BE//CF（写出每

步的依据）.

15.如图，己知A/WIIBN,Z71=64°.点P是射线A/W上一动点（与点A不重合），BC、

B。分别平分N4BP和NP8M分别交射线AM于点C,D.

（1）①NABN的度数是；（2）-/AMWBN,二NACB=N；

（2）求NCBD的度数；

（3）当点P运动时，N4PB与NADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写

出它们之间的关系，并说明理由：若变化，请写出变化规律；

（4）当点P运动到使NACB=NAB。时，NABC的度数是.

四、解答题

16.（1）如图1,NBAD的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点E,ABWCD,

NADC=50。，NABC=40°,求NAEC的度数；

图3

（2）如图2,NBAD的平分线AE与NBCD的平分线CE交于点E,NADC=a。，NABOB。，

求NAEC的度数；

（3）如图3,PQ_LMN于点。，点八是平面内一点，AB,AC交MN于B、C两点，A。平

NADP

分NBAC交PQ于点。，请问।/〃〃小的值是否发生变化?若不变，求出其值；若改

Z-/1C£>—Z-AnC

变，请说明理由.

17.如图，直线m与直线n互相垂直，垂足为0、A、B两点同时从点。出发，点A沿直

线m向左运动，点B沿直线n向上运动.

⑴若NBA0和NAB0的平分线相交于点Q,在点A,B的运动过程中，ZAQB的大小是否

会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由.

⑵若AP是NBA0的邻补角的平分线，BP是NAB0的邻补角的平分线，AP、BP相交于点

P,AQ的延长线交PB的延长线于点C,在点A,B的运动过程中，NP和NC的大小是否

会发生变化？若不发生变化，请求出NP和NC的度数；若发生变化，请说明理由.

18.【问题探究】如图1,DFIICE,ZPCE=Za,ZPDF=Zd猜想NDPC与a、B之间有

何数量关系？并说明理由；

【问题迁移】

如图2,DFIICE,点P在三角板AB边上滑动，NPCE=Na,ZPDF=Zp.

（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果a=30。，*40。，则NDPC=°.

/r

D

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出NDPC

与a、B之间的数量关系，并说明理由.

19.直线MN与直线PQ垂直相交于。，点A在射线0P上运动，点B在射线0M上运

动/、B不与点。重合，如图1,己知AC、BC分别是NBAP和NABM角的平分线，

（1）点4B在运动的过程中，NACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出NACB的大小.

（2）如图2,将△ABC沿直线折叠，若点C落在直线PQ上，贝此48。=,

如图3,将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线/WN上，贝此ABO=

（3）如图4,延长BA至G,已知NBA。、NOAG的角平分线与NBOQ的角平分线及其反

3

向延长线交于£、F,则NEAF=_；在AAEF中，如果有一个角是另一个角的不倍，求NAB。

的度数.

20.如图，MNUGH,点A、B分别在直线MN、GH上,点。在直线MA/、G”之间，若

ZNAO=116°,ZOBH=144°.

（1）ZAOB=—°；

（2）如图2,点C、D是ZNAO、NGBO角平分线上的两点，且NCDB=35。，求NACD的

度数；

（3）如图3,点F是平面上的一点，连结以、FB,E是射线供上的一点，若ZMAE=

nZOAE,NHBF=nZOBF,且ZAFB=60°,求n的值.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）;（2）无法裁出这样的长方形.

【分析】

（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解；

（2）设长方形长为cm,宽为cm,根据题意列出方程，解方程比较4x与20的大小

解析：（1）20；（2）无法裁出这样的长方形.

【分析】

（1）先计算两个小正方形的面积之和，在根据算术平方根的定义，即可求解；

（2）设长方形长为4xcm,宽为3xcm,根据题意列出方程，解方程比较4x与20的大小即

可.

【详解】

解：（1）由题意得，大正方形的面积为200+200=400cm2,

「•边长为：^400=20cm;

⑵根据题意设长方形长为4xcm,宽为3xcm,

由题:4x-3x=360

贝吐=30

x>0

/.x=y/30

长为4曲

4病>20

,无法裁出这样的长方形.

【点睛】

本题考查了算术平方根，根据题意列出算式(方程)是解决此题的关键.

2.正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为厘米，即得正方形纸板的边

长是厘米，根据题意得：

取正值，可得，

解析：正方形纸板的边长是18厘米

【分析】

根据正方形的面积公式进行解答.

【详解】

解：设小长方形的宽为x厘米，则小长方形的长为2x厘米，即得正方形纸板的边长是2x

厘米，根据题意得：

2x-x-162,

,f=81,

取正值x=9,可得2x=18,

二答：正方形纸板的边长是18厘米.

【点评】

本题考查了算术平方根的实际应用，解题的关键是熟悉正方形的面积公式.

3.(1)10,；(2)；(3)见解析；(4)见解析

【分析】

(1)易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面

积的算术平方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实

解析：（1）10,710;（2）V10-1；（3）见解析；（4）见解析

【分析】

（1）易得10个小正方形的面积的和，那么就得到了大正方形的面积，求得面积的算术平

方根即可为大正方形的边长；

（2）根据大正方形的边长结合实数与数轴的关系可得结果；

（3）以2x3的长方形的对角线为边长即可画出图形；

（4）得到①中正方形的边长，再利用实数与数轴的关系可画出图形.

【详解】

解：（1）,图1中有10个小正方形，

，面积为10,边长AD为9；

（2）BC=7i0,点B表示的数为-1,

BE=7io,

•••点E表示的数为JQ-1；

（3）①如图所示：

图4

②：正方形面积为13,

•边长为年，

如图，点E表示面积为13的正方形边长.

谷川图

【点睛】

本题考查了图形的剪拼，正方形的面积，算术平方根，实数与数轴，巧妙地根据网格的特

点画出正方形是解此题的关键.

4.（1）棱长为4；（2）边长为：（或）

【分析】

（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算

得到答案.

【详解】

解：（1）设正方体的棱长为，贝U，所以，即正方体的棱长为4.

解析：（1）棱长为4；（2）边长为：瓜（或2立）

【分析】

（1）由立方体的体积为棱长的立方可以得到答案；（2）用勾股定理直接计算得到答案.

【详解】

解：（1）设正方体的棱长为x,则丁=64,所以x=4,即正方体的棱长为4.

（2）因为正方体的棱长为4,所以AB=,22+22=曲=20.

【点睛】

本题考查的是立方根与算术平方根的理解与计算，由实际的情境去理解问题本身就是求一

个数的立方根与算术平方根是关键.

5.不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则

3x・2x=300,x2=50,解得x=,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘

米，由于

解析：不同意，理由见解析.

【详解】

试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x・2x=300,

X2=50,解得x=5收,而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于150>20,

所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方

厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2.

试题解析：解:不同意李明的说法.设长方形纸片的长为3x（x>0）cm,则宽为2xcm,

依题意得：3x・2x=300,6x2=300,x2=50,<x>0,二乂=病=5五，二长方形纸片的长为

15A/2cm,50>49,,50>7,,15&>21,即长方形纸片的长大于20cm,由正方形

纸片的面积为400cm2,可知其边长为20cm,.•.长方形纸片的长大于正方形纸片的边长.

答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.

点睛：本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0

的算术平方根为0.也考查了估算无理数的大小.

二、解答题

6.（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据平行线的性质得出，再根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即

可得证；

（2）过点E作，延长DC至Q,过点M作，根据平行线的性质及等量代换可得

出，再根据平角的

解析：（1）见解析；（2）72°

【分析】

（1）根据平行线的性质得出Z4+ZB=180。，再根据等量代换可得/3+/D=180。，最后根

据平行线的判定即可得证；

（2）过点E作EP//CD,延长DC至Q,过点/W作肱V//AB,根据平行线的性质及等量

代换可得出"CQ=ZBGM=ZDFG,再根据平角的含义得出ZECF=ZCFG,然后根据

平行线的性质及角平分线的定义可推出NBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB；设

==〃，根据角的和差可得出=结合已知条件

3NA£C-5"H=180。可求得乙”旧=18。，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可

得出答案.

【详解】

（1）证明：AEHBD

.-.ZA+ZB=180o

ZA=ZD

.-.ZB+ZD=180°

ABIICD-,

（2）过点E作EP//CD,延长DC至Q,过点M作

AB//CD

.ZQCA=ZCAB,ZBGM=ZDFG,NCFH=NBHF,ZCFA=FAG

ZACE=ABAC+ZBGM

ZECQ+ZQCA=ABAC+ZBGM

.ZECQ=ZBGM=ZDFG

ZECQ+ECD=180°,ZDFG+CFG=180°

:.ZECF=ZCFG

AB//CD

:.AB//EP

/PEA=/EAB,/PEC=ZECF

ZAEC=ZPEC-ZPEA

ZAEC=ZECF-ZEAB

ZECF=ZAECZEAB

4F平分44E

ZEAF=ZFAB=-ZEAB

2

FH平分NC尸G

/.ZCFH=ZHFG=-ZCFG

2

QCD//AB

ZBHF=ZCFH,ZCFA=ZFAB

设ZFAB=a,/CFH=J3

ZAFH=ZCFH-ZCFA=ZCFH-ZFAB

AAFH=f3-a,/BHF=/CFH=0

ZECF+2ZAFH=ZAEC+ZEAB+2ZAFH=ZAEC+2J3

ZECF+2ZAFH=ZE+2ZBHF

.\ZAEC=2ZAFH

3ZAEC-5ZAFH=1SO°

:.ZAFH=18°

FHLHM

:.ZFHM=90°

/GHM=90。—。

ZCFM+ZNMF=180°

ZHMB=ZHMN=90。一4

ZEAF=ZFAB

ZEAF=ZCFA=ZCFH-ZAFH=力—18。

ZEAF+ZGMH=/3-lS°+90o-/3=r72°

:.AEAF+Z.GMH^1T.

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行

推理是解此题的关键.

7.(1)见解析；(2)；(3)75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以

解析：（1）见解析；（2）|；（3）75°

【分析】

（1）根据平行线的性质、余角和补角的性质即可求解.

（2）根据平行线的性质、对顶角的性质和平角的定义解答即可.

（3）根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和解答即可.

【详解】

解：⑴NC=N1+N2,

证明：过C作/IIMN,如下图所示，

/IIMN,

..Z4=Z2（两直线平行，内错角相等），

/IIMN,PQIIMN,

/IIPQ,

.N3=Z1（两直线平行，内错角相等），

Z3+Z4=N1+Z2,

ZC=Z1+Z2；

（2）,,,ZBDF=NGDF,

'：ZBDF=NPDC,

：.ZGDF=ZPDC,

■：ZPDC+NCOG+NGDF=180°,

ZCOG+2NPDC=180",

ZPDC=90。-；/CDG,

由（1）可得，ZPDC+NCEM=NC=9Q°,

：.ZAEN=NCEM,

NAEN_NCEM_90。-/尸£＞。_90。--5"DG）_工,

NCDG~ZCDG~-ZCDG~NCDG-2

（3）设BD交MN于J.

BO

：BC平分NPBD,AM平分NCAD,ZPBC=25°,

■.ZPBD=2NPBC=50°,ZCAM=AMAD,

：PQIIMN,

■.ZBJA=ZPBD=50°,

/.ZAOB=NAJB-NJAD=500-ZJ4D=50°-ZCAM,

由(1)可得，ZACB=ZPBC+ACAM,

：.ZACB+NADB=NPBC+NCA/W+50°-NCA/W=25°+50°=75°.

【点睛】

本题考查了平行线的性质、余角和补角的性质，解题的关键是根据平行找出角度之间的关

系.

8.(1)20,20,；(2)；(3)的值不变，

【分析】

(1)根据，即可计算和的值，再根据内错角相等可证；

(2)先根据内错角相等证，再根据同旁内角互补和等量代换得出;

作的平分线交的延长线于

ZFPN

解析:(1)20,20,AB//CD；(2)NFMN+NGHF=180。；(3)四,的值不变,

NFPNJ2

NQ-

【分析】

(1)根据(40-24+1尸-20|=0,即可计算1和夕的值，再根据内错角相等可证AB〃CD;

(2)先根据内错角相等证GH//PN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

ZFMN+ZGHF=180°；

(3)作/尸耳乩的平分线交加卫的延长线于R,先根据同位角相等证应//尸。，得

ZFQMt=ZR,设NPER=NREB=x,ZPMtR=ZRM.B=y,得出NEPM=2NR,即可

得幺如=2

【详解】

解：⑴(40-2«)2+|/?-20|=0,

.-.40-2«=0,>0-20=0,

:.a=0=20,

ZPFM=ZMFN=20°,/F.MF=20°,

:.ZEMF=ZMFN,

：.AB//CD；

故答案为：20、20,AB//CD；

(2)NFMN+NGHF=180。；

理由：由(1)得AB//CD,

:.ZMNF=ZPME9

ZMGH=ZMNF,

:.ZPME=ZMGH,

:.GH//PN,

.\ZGHM=ZFMN,

ZGHF+ZGHM=180°,

/.AFMN+AGHF=180。；

4FPN\ZFPN,「

（3）^^的值不变，一刀’=2;

理由：如图3中，作NP£M的平分线交的延长线于R,

AB//CD,

NPEM]=ZPFN,

NPER=|ZPEM,,ZPFQ=-ZPFN,

:.ZPER=ZPFQ,

图3

ZFQMt=NR,

设NPER=NREB=x,ZPMXR=ARMXB=y,

[y=x+AR

则有：[2y=2x+ZEPM}'

可得=2NR,

NEPM\=2ZFQM,,

.NEPM、=2

"ZFQMt,

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

9.(1),；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子即可；

(2)根据，用含t的式子表示出，根据(2)中给出的条件得出方程式，求出

t的值，进而求出的度数；

(3)根据灯B的

解析：(1)a=3,6=1；(2)30°；(3)15秒或82.5秒

【分析】

(1)解出式子|a-36|+(a+6-4)~=0即可；

(2)根据尸Q//MN,用含t的式子表示出NBC4,根据(2)中给出的条件得出方程式

ZBCD=90°-ZBCA=90°-[180°-(2r)°]=(2?)°-90°=20°,求出t的值，进而求出ZBAC

的度数；

(3)根据灯B的要求，t<150,在这个时间段内八可以转3次，分情况讨论.

【详解】

解：(1)\a-3b\+(a+b-4)2=0.

又\|。一3昨0,(a+Z>-4)2>0.

♦.a=3,b=1；

(2)设A灯转动时间为/秒，

MAN

如图，作CEI/PQ,而PQ//MN,

/.PQ//CE//MN,

ZACE=ZCAN=180°-3/°,ZBCE=ZCBD=t0,

ZBCA=ZCBD+/CAN=产+180。一（3。。=180°—（2/）。,

NACD=90。，

/.ZBCD=90°-ZBCA=90°-[180°=（2°。-90°=20°,

:.t=55

「NCW=180。-⑶）。，

.•./胡。=45。-[180。-（3。。[=（3.）。-135。=165。-135。=30。

（3）设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行.

依题意得。v%v150

①当0v,v60时，

B

21

两河岸平行，所以N2=N3=(3t)°

两光线平行，所以N2=N1=3O+/。

所以，Z1=Z3

即：3/=30+7,

解得?=15；

②当60</<120时,

两光束平行，所以N2=N3=(30+/)。

两河岸平行，所以/1+/2=180。

4=3180。

所以，37—180+30+1=180,

解得/=82.5；

③当120</<150时，图大概如①所示

3t—360=/+30,

解得f=195>150(不合题意)

综上所述，当/=15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.

【点睛】

这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用.根据平行线的性质找到对应角列出

方程是解题的关键.

10.(1)ZBME=ZMEN-ZEND；ZBMF=ZMFN+zFND.(2)120°(3)

NFEQ的大小没发生变化，ZFEQ=30°.

【分析】

(1)过E作EHAB,易得EHABCD,根据平行线的性质

解析：([)ZBME=ZMEN-NEND；NBMF=NMFN+NFND.(2)120°(3)NFEQ的

大小没发生变化，ZFEQ=30。.

【分析】

(1)过E作EH〃AB,易得EM〃AB〃CD,根据平行线的性质可求解；过F作FH//AB,易

得FHHABUCD,根据平行线的性质可求解；

（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（NBME+NEND）+ZB/WF-ZFND

180°,可求解NBMF=60°,进而可求解；

（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知NFEQ=^NBME,进而可求解.

【详解】

解：（1）过E作EH//AB,如图1,

二ZBME=NMEH,

■：AB//CD,

：.HEUCD,

：.ZEND=ZHEN,

：.ZMEN=NMEH+AHEN=NBME+AEND,

即NBME=NMEN-NEND.

如图2,过F作FM//AB,

ZBMF=AMFK,

-：AB//CD,

：.FH//CD,

：.ZFND=NKFN,

：.ZMFN=AMFK-NKFN=NBMF-ZFND,

即：NBMF=NMFN+NFND.

故答案为NBME=NMEN-NEND；ZBMF=ZMFN+zFND.

(2)由(1)得NBME=NMEN-ZEND；NBMF=ZMFN+zFND.

■：NE平分NFND,MB平分NFME,

：.ZFME=NB/WE+NBMF,ZFND=ZFNE+Z.END,

■：2ZMEN+A/WFN=180°,

2(ZB/WE+ZEND)4-ZBMF-ZFND=180°,

：.2ZBME+2NEND+NBMF-NFND=180°,

即2ZBMF+NFND+ZBMF-NFA/D=180°,

解得NBMF=60°,

ZFME=2NB/WF=120°；

(3)NFEQ的大小没发生变化，ZFEQ=30°.

由（1）知：NMEN=4BME+NEND,

■：EF平分NMEN,NP平分NEND,

:.NFEN=^ZMEN=gQBME+zEND）,NENP=^NEND,

EQ//NP,

：.ZNEQ=NENP,

：.ZFEQ=NFEN-ZNEQ=g（ZB/WE+zEND）-yZEND=，BME,

ZBME=60°,

ZFEQ=gx60°=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作辅助线是解题的关键.

三、解答题

11.（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50°

或130°或60°或120°

【分析】

（1）过点C作CFIIAB,根据NB=50。，ZC=85°,ZD=35",即可得C

解析：（1）平行，理由见解析；（2）35。或145。，画图、过程见解析；（3）50。或130。或

60。或120°

【分析】

⑴过点C作CFIIAB,根据NB=50。，ZC=85°,ZD=35°,即可得CFIIED,进而可以判断

AB平行于ED；

（2）根据题意作ABIICD,即可NB=NC=35。；

（3）分别画图，根据平行线的性质计算出NB的度数.

【详解】

解：（1）AB平行于ED,理由如下：

如图2,过点C作CFWAB,

：.ZBCF=N8=50°,

ZBCD=8E>°,

：.ZFCO=85°-50°=35°,

ZD=35",

/.ZFCD=ND,

：.CFWED,

■：CFWAB,

：.ABWED；

（2）如图，即为所求作的图形.

/.ZABC=NC=35°,

・•.NB的度数为:35°；

*/A'BWCD,

ZABC+AC=180°,

・•.NB的度数为：145°；

「•NB的度数为：35。或145°；

（3）如图2,过点C作CFWAB,

ABWDE,

/.CFIIDE,

/.ZFCD=ND=35°,

,/ZBCD=85°,

/.ZBCF=85o-35°=50°,

ZB=NBCF=50°.

答：N8的度数为50。.

如图5,过C作CFIIAB,则ABIICFIICD,

BA

ZFCD=N0=35",

,,,ZBCD=85°,

：.ZBCF=85°-35°=50°,

■，-ABWCF,

：.ZB+ZBCF=180",

Z8=130°；

如图6,•••ZC=85°,N。=35。,

图6

/.ZCro=180°-85o-35o=60°,

ABWDE,

：.ZB=ZCFD=60°,

如图7,同理得：ZB=35°+85°=120°,

综上所述，NB的度数为50。或130。或60。或120。.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是区分平行线的判定与性质，并熟练运

用.

12.(1)见解析；(2)45；(3)不变，见解析；

【分析】

(1)由可求得m及n,从而可求得NMOC=NOCQ,则可得结论；

(2)易得NAON的度数，由两条角平分线，可得NDON,NOCF的度数，也

解析：(1)见解析；(2)45；(3)不变，见解析；

【分析】

(1)由|加-20什("70)2=0可求得m及o，从而可求得N/WOC=NOCQ,则可得结论；

(2)易得NAON的度数，由两条角平分线，可得NOON,NOCF的度数，也易得NCOE的

度数，由三角形外角的性质即可求得NOEF的度数；

(3)不变，分三种情况讨论即可.

【详解】

(1)|/n-20|>0,(/I-70)2>0,且帆-20|+(〃-70)2=0

|ZM-20|=0,(“-70)2=0

/.m=20,n=70

ZMOC=90O-ZAOM=70°

/.ZMOC=NOCQ=70°

/.MNITPQ

(2)•/ZAON=180°-ZAOM=160°

又「0。平分NAON,C/平分NO。。

ZDON=^ZAON=80°fZOCF=^ZOCQ=35°

,/ZMOE=ZDON=SO°

：.ZCOE=ZMOE-ZMOC=10°

/.ZOEF=NOCF+NCOE=35°+10°=45°

故答案为：45.

(3)不变，理由如下：

如图，当0°<a<20。时，

,/CF平分NOCQ

/.ZOCF=AQCF

设NOCF=NQCF=x

则NOCQ=2x

「MNWPQ

/.ZMOC=NOCQ=2x

,/ZAON=360°-90°-(180°-2x)=90°+2x,OD平分N

/.ZDON=45°+x

,/ZMOE=NDOA/=45°+x

；NCOE=NMOE—NMOC=45°+x-2x=45°-x

二NOEF=NCOE+NOCF=45°-x+x=45°

D

当a=20。时，OD与OB共线，则NOCQ=90°,由CF平分NOCQ知，NOEF=45

当20°<a<90。时，如图

CF平分NOCQ

/.ZOCF=NQCF

设NOCF=ZQCF=X

则NOCQ=2x

■：MNWPQ

：.ZNOC=180°-ZOCQ=180°~2x

ZAON=90°+(180°-2x)=270°-lx,0。平分NAON

ZAOE=135°~x

：.ZCOE=90°-ZAOE=90°-(135x)=x—45°

/.ZOEF=NOCF-ZCOE=x-(x-45°)=45°

综上所述，NEOF的度数不变.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，角的和差关系，注意分类讨论,

引入适当的量便于运算简便.

13.（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；.

【分析】

（1）过点C作，得到，再根据，，得到，进而得到，最后证明；

（2）先证明，再证明，得到，问题得证；

（3）根据题意得到，根据（2）结论得到ND

解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；2a.

【分析】

（1）过点C作CG//DF,得到NDFE=ZFCG,再根据NBCF=90°,

ZABC+ZDFE=90°,得至ljZ4BC=N6CG,进而得到CG〃AB,最后证明。f7/AB；

（2）先证明NACB+ND£F=90。，再证明NACS+NACE=90。，得到ND£F=NACE,问

题得证；

（3）根据题意得到〃FE=ND£F=a,根据（2）结论得到NDEF二NECZ二。，进而得到

ZABC=ZACB=90°-a,根据三角形内角和即可求解.

【详解】

解：（1）过点。作CG〃。几

:./DFE=/FCG,

BC工MN,

.\ZBCF=90°,

:.NBCG+NFCG=90。,

ZBCG+/DFE=90。,

ZABC+NO庄=90。，

:.ZABC=ZBCGf

:.CG//AB,

DF//AB；

（2）解：ZABC=ZACB,/DEF=/DFE,

又ZABC-^-ZDFE=90°f

.•.ZACB+N。砂=90。，

BC工MN,

:.ZBCM=90°,

ZACB+ZACE=90°,

:.NDEF=ZACE,

:.DE//AC；

（3）如图三角形OEF即为所求作三角形.

/./DFE=/DEF=a,

由（2）得，DEWAC,

ZDEF=NEGA=。,

•/ZACB+ZACE=90°,

ZACB=90°-a,

ZABC=ZACB=9Q0-a,

ZA=lS0°-ZABC-ZACB=2a.

故答案为为：2a.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，三角形的内角和等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识，根

据题意画出图形是解题关键.

14.（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过点折纸，使痕迹垂直直线，然后过点折纸使痕迹与前面的痕迹垂

直，从而得到直线；

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点的直线的垂线.

（2）先根据

解析：（1）①见解析；②垂；（2）见解析

【分析】

（1）①过户点折纸，使痕迹垂直直线”，然后过尸点折纸使痕迹与前面的痕迹垂直，从而

得到直线匕；

②步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点尸的直线。的垂线.

（2）先根据平行线的性质得到=再利用角平分线的定义得到一2=-3,

然后根据平行线的判定得到结论.

【详解】

（1）解：①如图2所示：

图2

②在（1）中的步骤（b）中，折纸实际上是在寻找过点尸的直线。的垂线.

故答案为垂；

（2）证明：BE平分/ABC,CF平分/BCD（已知），

二/1=/2,Z3=Z3（角平分线的定义），

AB//CD（已知）,

:.ZABC=ZBCD（两直线平行，内错角相等），

,-.2Z2=2Z3（等量代换），

.-.Z2=Z3（等式性质），

：.BE//CF（内错角相等，两直线平行）.

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合

了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结

合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了平行线的性质与

判定.

15.(1)①②；(2)；(3)不变，，理由见解析；(4)

【分析】

(1)①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行

线的性质，两直线平行，内错角相等可直接写出；

(2)由角平分线的

解析：(1)①116。，②CBN；(2)58°；(3)不变，ZAPB:ZADB=2:1,理由见解析；

⑷29°.

【分析】

(1)①由平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可直接求出；②由平行线的性质，

两直线平行，内错角相等可直接写出；

(2)由角平分线的定义可以证明NCBD=：NABN,即可求出结果；

(3)不变，ZAPB：NADB=2：1,证NAPB=NPBN,NPBN=2NDBN,即可推出结论；

(4)可先证明NABC=NDBN,由(1)ZABN=116°,可推出NCBD=58。，所以

NABC+NDBN=58。，则可求出NABC的度数.

【详解】

解：(1)①,；AM〃BN,NA=64。，

ZABN=180°-ZA=116°,

故答案为：116。；

②AM//BN,

ZACB=ZCBN,

故答案为：CBN；

(2)AM//BN,

ZABN+ZA=180",

ZABN=180°-64°=116°,

/.ZABP+ZPBN=116",

,JBC平分NABP,BD平分ZPBN,

NABP=2NCBP,NPBN=2NDBP,

2ZCBP+2ZDBP=116°,

ZCBD=NCBP+ZDBP=58°；

(3)不变,

ZAPB：NADB=2：1,

AM//BN,

ZAPB=ZPBN,NADB=NDBN,

BD平分ZPBN,

ZPBN=2NDBN,

NAPB：ZADB=2：1；

(4)AM//BN,

ZACB=ZCBN,

当NACB=ZABD时，

则有NCBN=ZABD,

ZABC+ZCBD=ZCBD+ZDBN

/.ZABC=ZDBN,

由(1)ZABN=116°,

ZCBD=58",

ZABC+ZDBN=58°,

/.ZABC=29°,

故答案为：29。.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，平行线的性质等，解题关键是能熟练运用平行线的性质并能

灵活运用角平分线的定义等.

四、解答题

16.(1)ZE=45°；(2)NE=；(3)不变化，

【分析】

(1)由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,

NB+NEAB=NE+NECB,由角平分线的性质，可得NECD=NECB=N

解析：(1)NE=45。；(2)NE=2j；(3)不变化，!

22

【分析】

(1)由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,NB+NEAB=NE+NECB,由角平

分线的性质，可得NECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,则可得NE=-

222

(zD+NB),继而求得答案；

(2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质，可得NBCD=NB+NBAD+ND,又

由角平分线的性质，即可求得答案.

(3)由三角形内角和定理，可得

ZADP+90°=ZACB+ADACZADP+ZDFO=ZABC+NOEB,利用角平分线的性质与三

角形的外角的性质可得答案.

【详解】

解：(1)CE平分ZBCD,AE平分NBAD

11

ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

ZD+NECD=ZE+NEAD,ZB+NEAB=ZE+NECB,

/.ZD+NECD+ZB+NEAB=ZE+NEAD+ZE+NECB

/.ZD+NB=2ZE,

1,、

ZE=-(zD+ZB),

2

,/ZADC=50°,NABC=40°,

/.ZAEC=-x(50°+40°)=45°；

2

图1

(2)延长BC交AD于点F,

,/ZBFD=ZB+NBAD,

:ZBCD=ZBFD+ZD=ZB+NBAD+ZD,

,/CE平分NBCD,AE平分NBAD

11

/.ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEA