重庆市某中学2025届高三数学（文）月考试题（含解析）

重庆市第一中学2025届高三数学12月月考试题文(含解析)

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题.(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项)

1.已知集合人=法|」一>0},：6=⑻丫=11102-1)},则APIB=()

X-1

A.(-00-1)B.(-1,1)C.(-00-1)U(1,+oo)D.(1,+oo)

【答案】D

【解析】

【分析】

解出集合A和集合B,取交集即可.

【详解】由/中不等式得：x-1〉0,

解得：x>l,BPA=(1,+8)；

由夕中/=加(f-1),得到即x<-l或x>l

：.B=(-8,-1)U(1,+oo)

则AC\B=(1,+8).

故选：D.

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.

2.若a,b,ceR且a>b,则下列不等式中肯定成立的是()

222

A.ac>beB.(a-b)c>0C.a<bD.3c-2av3c-2b

【答案】D

【解析】

【分析】

利用不等式的性质逐个检验即可得到答案.

【详解】A,a>6且cdR,当c小于等于0时不等式不成立，故错误；

B,a,b,cGR,且a>6,可得a-6>0,当c=0时不等式不成立，故错误；，

C,举反例，a=2,b=T满意a>b,但不满意a2Vb2,故错误；

D,将不等式化简即可得到a〉b,成立，

故选：D.

【点睛】本题主要考查不等式的性质以及解除法的应用，属于简洁题.用特例代替题设所给

的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的推断，这种方法

叫做特殊法.若结果为定值，则可采纳此法.特殊法是“小题小做”的重要策略.常用的特

例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.

3.已知数列1,曲,&巾，…,j2nT,…，贝的拈是它的（）

A.第62项B.第63项C.第64项D.第68项

【答案】B

【解析】

【分析】

分析可得该数列的通项公式为标刁，解方程扬百=5拈即可得答案

【详解】数列1,4,布,币,…，标」，…，则该数列的通项公式为4=后」，

若，2nT=5而,即2〃T=125,

解可得/?=63,

则5拈是这个数列的第63项；

故选：B.

【点睛】本题考查数列的概念及数列通项的概念，属基础题.

4.鞋柜里有4双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（）

1132

A.—B.—C.—D.—

4255

【答案】A

【解析】

【分析】

求出基本领件总数A,恰好成双包含的基本领件个数〃，由概率公式即可得到答案.

【详解】鞋柜里有4双不同的鞋，从中取出一只左脚的，一只右脚的，

基本领件总数〃=C：C：=16,

恰好成双包含的基本领件个数"=C：C；=4,

•••恰好成双的概率为P=~=-=

n164

故选：A.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础学问，考查运算求解实力,

是基础题.

22

5.已知双曲线C：2-==1（2>0力>0）的离心率为上，则c的渐近线方程为（）

a2b22

111

A.y=±-xB.y=±-xC.y=±-XD.y=±x

432

【答案】C

【解析】

c1+—=—,故2=1,即故渐近线方程为y=±2x=±L.

e=-

aJa22a24a2」a2

【考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化实力.

（y>x

6.已知实数x,y满意约束条件|x+y02，贝！Jz=2x+y的最大值为（

（2x>l

53

A.4B.3C.-D.

22

【答案】B

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程

组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.

（y>x

【详解】由约束条件x+yW2作出可行域如图,

（2x>l

联立，解得/（1'1）'

化目标函数2=2广夕为y=-2x+z,

由图可知，当直线y=-2x+z过2时，直线在p轴上的截距最大，z有最大值为3.

故选：B.

【点睛】本题考查二元一次不等式组与平面区域问题、

函数的最值及其几何意义，线性规划中的最值问题主要涉及三个类型：1.分式形式z=〃°：

x-x。

与斜率有关的最值问题：表示定点P（Xo，yo）与可行域内的动点M（x,y）连线的斜率.2.一次形

式z=ax+by:与直线的截距有关的最值问题，特殊留意斜率范围及截距符号.

7.下列说法中错误的是（）

A.先把高二年级的2000名学生编号为1到2000,再从编号为1到50的50名学生中随机抽

取1名学生，其编号为m,然后抽取编号为m+50,m+100,m+150……的学生，这样的抽样

方法是系统抽样法；

B.独立性检验中，/越大，则越有把握说两个变量有关；

C.若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1；

2

D.若一组数据1、a、3的平均数是2,则该组数据的方差是-.

3

【答案】C

【解析】

【分析】

对选项逐个进行分析，解除即可得到答案.

【详解】对于4依据个体数目较多，且没有明显的差异，抽取样本间隔相等，知这种抽样方

法是系统抽样法，.•/正确；

对应B,独立性检验中，/越大，应当是说明两个变量有关系的可能性大，即有足够的把握

说明两个变量有关，方正确；

对于G两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数旧的值越接近于1,C错误；

对于2,一组数据1、a、3的平均数是2,；.a=2；

12

•••该组数据的方差是s2=-X[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=-,〃正确.

33

故选：C.

【点睛】本题利用命题真假的推断考查了概率与统计的应用问题，是基础题.

8.已知不共线的两个向量a6满足|a-b|=2且a1(a-2«),则的=

A.也B.2C.2加D.4

【答案】B

【解析】

向量a$满足|a-=2，两边平方得到/-ZaE+b?=4,S1(0-20)=>S(S-20)=0,化简得到

S2=2萩，联立两式得到向=2.o

故答案为：Bo

9.已知一个几何体的三视图如下图所示，则此几何体的表面积为()

A.47ta2B.3%a2C.(3+&)溷？D.(5+物兀a?

【答案】D

【解析】

【分析】

由三视图可知该几何体下部为圆柱，上部为圆锥，由面积公式即可得到答案.

【详解】由三视图可知，该几何体下部为圆柱，上部为圆锥，圆柱底面圆的半径为a,高为2a,

圆锥的高为a,圆锥的母线长为他a,

2

所以表面积为S=Ka+27tax2a+-x27cxax垃a=(5+物Tta)，

故选：D

【点睛】本题考查三视图的还原，考查圆锥，圆柱的表面积公式的应用，属于基础题.

/x+3

10.从区间(0,5)中任取一个值a,则函数f(x)=,:，x\T是增函数的概率为()

((3-a)x-a+7,x>-1

5555

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数为增函数得到a的取值范围，然后利用几何概型的概率公式计算干脆得到答案.

【详解】•函数f(x)=|，为递增函数，

''((3-a)x-a+7,x>-1

(3-a>0,a<3

a>l叫a>1

(a1+3<-(3-a)-a+7\_2<a<2

解得l<a<2,

2-11

又a从区间(0,5)中任取一个值，由概率公式可得p=《

故选：A.

【点睛】本题主要考查长度型几何概型，考查函数单调性的性质，以及分段函数的单调性,

同时考查了计算实力.

H.函数f(x)=lnx2+x2-bx+a(bN2,aeR)的图像在点(b,f(b))处的切线斜率的最小值是()

A.2B.2企C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

求出原函数的导函数，得到函数在x=6时的导数值，利用基本不等式求最值得答案.

2

【详解】由f(x)=Inx?+x?-bx+a，得/'(x)—-+2x-b,

x

2

：.f")=-+b(622)

b

2

：.f(6)=-+6在622时单调递增，

b

2

f(6)=-+b>1+2=3

b一

当且仅当6=2时上式取“="，切线斜率的最小值是3.

故选：C.

【点睛】本题考查了利用导数探讨过曲线上某点处的切线方程，考查了利用基本不等式求

最值，是基础题.

12.已知椭圆J+l(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点，若AF-LBF,

a2b2

设NABF=a,且aC--,则该椭圆离心率e的取值范围为()

[43]

A.咨同]B.[&/)C.[磐]。•专专

【答案】A

【解析】

【分析】

由题设条件结合椭圆的对称性推导出I明+1即=2a,\AB\=2c,设/ABF=a,则能推导出

2csina+2ccosa=2a,由此能求出结果.

【详解】椭圆)+==l(a>b>0)焦点在x轴上，椭圆上点/关于原点的对称点为点8,6为其

a2b2

右焦点，设左焦点为£,连接/将AF„BF,明，，四边形加班为长方形.

依据椭圆的定义：\AF\+\AFi\=2a,/ABF=a,贝！J：NAFiF=Q,.\2a=2ccosa+2csina

2c11

--------------[TUTV

椭圆的离心率e=%sina+cosa「兀，aE——

J2sin(a+-)[43.

.兀兀7兀

•・—WaH—W—，

2412

+兀

则•n(za+IX0

1\一

44Z

・・——W厂.兀W布-1,

2屈sin(a+-)

4

，椭圆离心率e的取值范围：[号而一1],

故选：A

【点睛】本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换,

利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题型.

第II卷(非选择题共90分)

二、填空题.(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上)

13.已知ae(无)且sinS+g)=则tan(a+兀)=

【答案】-2梃

【解析】

【分析】

依据诱导公式得到cosa,结合角的范围得到sma,再利用诱导公式和同角三角函数关系式计算

即可得到答案.

■'-V'kjj，•兀1•2218

【详用牛】sin(a+—)=cosa=--,sina=1-cosa=1一一=一，

2399

又a€(九>得sina=

2亚

sina3

tan(a+兀)=tana=---=----=-2[2r

cosa1

3

故答案为：-2屈

【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，属于基础题.

14.等比数列｛aj各项均为正数，a3ag+a4a7=18,则logj^+log庠2+…+bg杼10=

【答案】20

【解析】

由a3a&+a4a7=18,得a4a7=9

所以log砰1+bg产2+…+嚏护io=

aa,a*5*910

log^(i2"ia)=3息aiaj=]og,(a4a7)s=log^(9)=21og33=20

2

15.在区间01]上随机取两个数x,y,记P为事务“x+yW」’的概率，贝伟=_____

-3

2

【答案】-

9

【解析】

【分析】

由题意可得总的基本领件为｛(x,y)|0W出1,0WJ<1｝，事务?包含的基本领件为｛("

2

y)|0WxWl,0WZ1，AZ-｝，数形结合利用面积比可得概率.

3

【详解】由题意可得总的基本领件为｛(X,y)|OWxWl,OWJ<1｝，

2

事务户包含的基本领件为｛(x,y)|0WxWl,0WZ1，x+y^-｝,

3

它们所对应的区域分别为图中的正方形和阴影三角形,

122

—*—x-

故所求概率々233_2,

1x19

2

故答案为：--

9

【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，解决几何概型

问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关键

是计算事务的总面积以及所求事务的面积；几何概型问题还有以下几点简洁造成失分，(1)

不能正确推断事务是古典概型还是几何概型导致错误；(2)基本领件对应的区域测度把握

不准导致错误；(3)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事务是否等可能性导致错误.

16.已知定义在7?的函数y=f(x)对随意的x满意f(x+1)=-f(x),当-1vx<1,f(x)=x，函数

Jlogax|,x>0

g(x)=1c,若函数h(x)=f(x)-g(x)在J6,o)u(o,+oo)上有6个零点，则实数a的

I——，x<0

\X

取值范围是

【答案】(，ju(7,9]

【解析】

【分析】

函数h(x)=f(x)-g(x)在[-6,+8)上有6个零点，即函数f(x)与g(x)的图像

有6个交点，分别做出y=F(x)与尸g(x)的图象，由此求得3的取值范围.

【详解】•・,对随意的x满意f(x+1)=-f(x),.,・/1(x+2)=-f(x+1)=f(x),函数f

(x)是以2为最小正周期的函数，画函数广(x)、g(x)在「6,0)U(0,+oo)图象,

由图象可知：在y轴的左侧有2个交点，只要在右侧有4个交点即可.

(a>7或0<a<-

|1呜7|<17故7VaW9或IwavL

则即有1

M>111<a<9^-<a<197

故答案为：:；)U(7,9].

【点睛】本题考查函数图象的运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等学问点，关键

是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数.

三、解答题.(共70分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程)

17.已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x-l,xER-

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；

⑵在△48C中，A,B,。的对边分别为a,b,c,已知c=后,f(C)=l,sinB=2sinA,求△46。面

积S.

【答案】⑴最小正周期为兀，递减区间为「+团3t+k7i|(kez)；(2)£

[63J2

【解析】

【分析】

⑴利用二倍角公式和协助角公式将函数f(x)进行化简，然后利用正弦函数图像的性质可得周

期和单调区间；(2)由f(C)=l,得角C,由正弦定理得b=2a,然后利用余弦定理可得a和b的

值，代入面积公式即可得到答案.

兀

【详解】f(x)=招sin2x+cos2x-2sin(2x+-)

(1)最小正周期为T=7l,

兀713兀

因为一+2k7T<2x+-<--F2k%,keZ

2—6-2

I兀2冗

所以一+k%<X<---FkTT,

63

jr2冗

所以函数的单递减区间为[-+kTT,--Fk7r],k€Z

63

(2)因为f(C)=2sin(2C+3=1,所以C=—

所以(我2=a)+b?-2abeosg,a2+b2-ab=3①

又因为sinB=2sinA,所以b=2a②

由①，②可得a=l,b=2

1而

S=-absinC=——•

22

【点睛】本题考查二倍角和协助角公式的应用，考查正弦函数图像的性质，考查正余弦定理

及三角形面积公式的应用，属于常考题型.

18.如图，也为圆。的直径，点区户在圆。上，AB//EF,矩形/灰/所在平面和圆。所在的平

面相互垂直，已知AB=3,EF=1.

(1)求证：平面DAFJ•平面CBF；

(2)设几何体F-ABCD、F-BCE的体积分别为V2,求V^V2.

【答案】⑴详见解析;(2)6.

【解析】

【分析】

(1)利用面面垂直的性质定理得到CB，平面ABEF,再利用线面垂直的判定定理得到AF1平面

CBF,由面面垂直的判定定理即可得到证明；(2)利用棱锥体积公式计算求比值即可.

【详解】(1)如图，矩形ABCD中，CB_LAB,:平面ABCD1平面ABEF,平面ABCDA平面

ABEF=AB,

，CB1平面ABEF,

：AFu平面ABEF,/.AF1CB.

又：AB为圆O的直径，，AF_LBF,

VCBnBF=B,CB、BFu平面CBF,

AFI平面CBF,

AFu平面ADF,平面DAF1平面CBF.

另解：也可证明BF1平面ADF.

(2)几何体F-ABCD是四棱锥、F-BCE是三棱锥，过点F作FH_LAB,交AB于H.：平面ABCD1

平面ABEF,，FHJ■平面ABCD.

皿11/1\vi2AB

贝(IVi=-ABxBCXFH,V,=-x-EFxHFxBC-'.—=——=6

12

33\2)V2EF

【点睛】本题考查面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查棱锥体积公式的应用，属基

础题.

19.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费状况，从该市运用其平台且每周平均消费额超

过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人

数可构成等差数列.

(1)求m,n的值；

(2)分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发觉他们线性相关，得到

回来方程;=_5x+:已知100名运用者的平均年龄为38岁，试推断一名年龄为22岁的年轻

人每周的平均消费金额为多少.(同一组数据用该区间的中点值代替)

【答案】(1)m=0.0035,n=0.0025；(2)410.

【解析】

【分析】

⑴利用频率和为1得到m和n的等量关系，再结合等差数列即可得到m和n的值；(2)利用

频率分布直方图的平均数公式计算即可得到答案.

【详解】解：(1)由频率分布直方图可知，m+n=0.01-0.0015x2-0.001=0,006,

由中间三组的人数成等差数列可知m+0,0015=2n,

可解得m=0.0035,n=0.0025

(2)调查对象的周平均消费为

0.15x150+0.25x250+0.35x350+0.15x450+0.10x550=330,

由题意330=-5x38+3a=520y=-5x22+520=410.

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，主要考查频率和为1和平均数公式的应用，属于基

础题.

20.已知抛物线c：y2=2px(p>0)在第一象限内的点P(2,t)到焦点厂的距离为：

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线1与抛物线C相交于46两点，与圆乂依飞)2+丫2=1相交于〃£两点，。为坐标

原点，OA_LOB,试问：是否存在实数a,使得|施|的长为定值？若存在，求出a的值；若不

存在，请说明理由.

【答案】⑴y2=2x；(2)2=2时，w|为定长2.

【解析】

【分析】

(1)利用抛物线的定义，到焦点距离等于到准线距离即可求得结果；(2)设直线47的方程,

代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算，求得m的值，利用圆的弦长公式，求得

IDE即可得到答案.

【详解】⑴1/点P(2,t),2+B=3解得p=1,

22

故抛物线C的方程为：y2=2x.

(2)设直线巧的方程为*=0+111,代入抛物线方程可得丫2-2勺-2111=()，

设AMM)Bgy/,则yi+y2=2t,yjy2=-2m,①

由OAJLOB得：(tyi+m)(ty2+m)+y/2=0,

整理得(t?+Dy/?+tm(y]+yj+Hi2=0,②

将①代入②解得m=2,，直线l:x=ty+2

:圆心到直线1的距离d=^^,；.|DE|=2L一0

Jl+t2J1+t2

明显当a=2时，|DE|=2,|DE|的长为定值.

【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐

标运算，考查圆的弦长公式的应用，考查计算实力，属于中档题.

21.已知函数h(x)=mx---ex-lnx,p(x)=ex-31nx+2-

x

(1)求函数p(x)在区间［1,2］上的最大值；

(2)设f(x)=h(x)+p(x)在(0,2)内恰有两个极值点，求实数力的取值范围.

【答案】(1)e2-31n2+2；(2)&2).

【解析】

【分析】

(1)对函数求导，推断函数单调性，由单调性即可得到函数的最值；(2)先求出r(x),

4x

由题意知：m"o4x+m=0在(0,2)有两个变号零点，即111=——；在(0,2)有两个变号零

1+x2

点，构造函数，利用导数求出最值即可.

3

x

【详解】(1)p(x)=e-31nx+**P'(*)-，

x

3

：.p,f(x)=e'+G>°恒成立

x

所以"(x)=/-3在［1,2］单调递增，

X

,3

,：3(1)=e-3<0,p(2)=e2-->0,.*.3Xo^(1,2),使夕'(荀)=0,

当x£［l,照］时，p(x)<0,p(x)单调递减；

当［荀，2］时，p(x)>0,p(x)单调递增.

又P(l)=e+2,P(2)=eZ-31n2+2>e+2

：.p(x)在［1,2］上的最大值为0(2)=e2-37/72+2.

2

/、m,m4mx-4x+m

(2)f(x)=h(x)+p(x)=mx---41nx+2,f(x)=m+----=-----------

XX2xx2

由题意知：mx2-4x+m=0在(0,2)有两个变号零点,

4x

即01=——；在(0,2)有两个变号零点

1+x2

4x-4X2+4

令g(x)=，g'(x)=

1+x2(i+x¥

令g'(x)=O则x=l，且x£(0,1)时，g'(x)>0,，g(x)单调递增；x£(1,2)时，g'(x)<O,g(x)单调递减,

8

又g(0)=0,g(l)=2,g(2)=-,

5

【点睛】本题考查利用导数探讨其单调性极值与最值，考查了推理实力与计算实力，属于难

题.

留意：请考生在第22、23题中任选一题作答，假如多做，则按所做第一题计分.

22.已知曲线，在平面直角坐标系xOy下的参数方程为户=1+求c7。(。为参数)，以坐标原

点。为极点，以X轴正半轴为极轴，建立极坐标系.

(1)求曲线。的一般方程及极坐标方程；

(2)直线/的极坐标方程是pcos(0-||=3g.射线。T：e=：(p>0)与曲线C交于点4