人教版初中八年级数学上册同步讲义-全等三角形的判定与性质（30题）（解析版）

专题第01讲全等三角形的判定与性质

1.(2023•长沙)如图，AB=AC,CDLAB,BELAC,垂足分别为D,E.

A

(1)求证：AABE沿AACD；A

(2)若NE=6,CD=8,求3D的长./\

【分析】(1)利用“44S”可证明△/AE0A4CD；

BC

(2)先利用全等三角形的性质得到ND=4E=6,再利用勾股定理计算出/C,从而得到N8的长，然后

计算即可.

【解答】(1)证明：'JCDLAB,BELAC,

:.NAEB=NADC=90°,

在△/BE和△/CD中，

，ZAEB=ZADC

.ZBAE=ZCAD,

AB=AC

:.AABE咨4ACD(AAS)；

(2)解：V/XABE^/\ACD,

：.AD=AE=6,

在RtA^CD中,AC^7AD2CD2=7S2+82=10,

：A8=ZC=10,

：.BD=AB-AD=\0-6=4.

2.(2022秋•黔江区期末)如图，已知NC=/b=90°,AC=DF,AE=DB,BC与EF交于点、O.

(1)求证：Rt^\ABC^RtADEF；

(2)若//=51°,求/8。9的度数.

【分析】（1）根据乩证明两个三角形全等；

（2）根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论.

【解答】（1）证明：

：.AE+EB=DB+EB,即AB=DE,

在RtA^CB和RtADFA中,

[AC=DF,

1AB=DE'

；.Rt/\ABC名RtADE尸(HL)；

(2)解：VZC=90°,ZA=51a,

：.AABC=Z.C-ZA=90°-51°=39°,

由(1)知RtZ\48C且RtZXDE凡

NABC=ZDEF.

：.ZDEF=39°,

：.ZBOF=ZABC+ZBEF=390+39°=78°.

3.(2022秋•鼓楼区期末)如图，点/、C、。在同一直线上，BCLAD,垂足为C,BC=CD,点、E在BC

上，AC=EC,连接N3,DE.

(1)求证：△43C0△EDC；

(2)写出与。£的位置关系，并说明理由.

【分析】(1)在RtZUCB和RtZkECD中，由4SL4证明三角形全等;

(2)根据(1)得出//加=90°即可.

【解答】(1)证明：

/.ZACB=ZECD=90°,

在RtZX/CB和Rt/\ECD中，

'BC=DC

<ZACD=ZECD，

,AC=EC

.•.△/8C0△EDC(SAS\

(2)解：ABIDE.理由：

如图延长DE交于点H

AABC沿AEDC,

：.ZB^ZD,

VZ^C5=90°,

：.ZA+ZB^9Q°,

/.ZD+ZA=90°,

AZAFD=90°,

：.AB±DE.

4.(2023•黄石模拟)如图所示，在△/8C中，4D_L2C于。，CEUB于E,4D与CE交于点R且工。

=CD

(1)求证：△43。g△CEO；

(2)已知3C=7,AD=5,求Nb的长.

【分析】(1)由NS4证明即可;

(2)理由全等三角形的性质即可解决问题；

【解答】(1)证明：'：ADLBC,CELAB,

AADB=ZCDF=ZCEB=90°,

AZBAD+ZB=ZFCD+ZB=90°,

ZBAD=ZFCD,

在△48。和CFD中，

,ZADB=ZCDF

<AD=DC，

LZBAD=ZDCF

.,.△ABD名ACFD(ASA),

(2)解：丫AABD沿△CFD,

：.BD=DF,

,:BC=1,AD=DC=5,

：.BD=BC-CD=2,

：.AF=AD-DF=5-2=3.

5.（2023春•嘉定区期末）如图，在四边形N3C£>中，点£为对角线3。上一点，NA=/BEC,

且4D=3£.

（1）求证：△ABg^ECB；

（2）如果NBDC=75°,求N/D5的度数.

【分析】（1）由“4SL4”可证g△EC8；

（2）由全等三角形的性质可得8O=8C,由等腰三角形的性质可求解.

【解答】（1）证明..【。〃台。，

ZADB=ZCBE,

在和△EC2中，

，ZA=ZBEC

<AD=BE，

,ZADB=ZCBE

：./\ABD^/\ECB（4W；

（2）解：,:△ABD94ECB,

:.BD=BC,

：.ZBDC=ZBCD=15°,

：.ZDBC=3O°,

:.NADB=NCBD=30°.

6.（2023•营口）如图，点4,B,C,。在同一条直线上，点E,尸分别在直线48的两侧，MAE=BF,Z

A=/B,NACE=NBDF.

（I）求证：LACE咨LEDF；

（2）若/8=8,AC=2,求CD的长.

E

【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证明△/（主也△DBF即可；

（2）根据全等三角形的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：在和△AD尸中，

2A=NB

<NACE=/BDF，

AE=BF

:.AACE沿ABDF（//S）；

（2）由（1）知△4CE四△8。尸，

：.BD=AC=2,

"：AB=8,

：.CD=AB-AC-BD=4,

故CD的长为4.

7.（2023•朔城区一模）如图，在四边形N3CD中，AB//CD,在8。上取两点£,F,使DF=BE,连接NE,

CF.

（1）若AE〃CF,试说明1也△CDF；

（2）在（1）的条件下，连接//，CE,试判断/尸与CE有怎样的数量关系，并说明理由.

【分析】（1）由“N&4”可证尸；

（2）由全等三角形的性质可得=由“&4S”可证△/8E/凡可得结论.

【解答】（1）证明：：/夕〃。。，

N4BD=NCDF,

'：AE//CF,

：.ZAEB=ZCFD,

,:BF=DE,

：.BF+EF=DE+EF,

:.BE=DF,

在△4BE和△a）厂中，

，ZABD=ZCDF

-BE=DF，

LZAEB=ZCFD

:.△ABE妾ACDF(ASA)；

(2)解：AF=CE,理由如下:

AABE妾ACDF,

：.AB=CD,AE=CF,

在ANB尸和△0£>£中，

'AB=CD

•ZABD=ZCDB-

,BF=DE

:AABEtACDF(SAS),

：.AF=CE.

8.(2023春•岑溪市期末)如图，在四边形A8CD中，AB=CD,BE=DF-,AELBD,CFLBD,垂足分别

为E,F.

(1)求证：AABE义ACDF；

(2)若/C与AD交于点。，求证：40=C0.

【分析】（1）由“4X4"可证△NAE1乌△（?£）/；

（2）由全等三角形的性质可得NE=CF,可证四边形4ECF是平行四边形，可得/。=。。.

【解答】证明：（1）'JAB//CD,

二/ABE=ZCDF,

在△/BE和△CZ）尸中，

，ZABE=ZCDF

,BE=DF，

1ZAEB=ZCFD=90°

:AABE<4CDF(ASA)；

(2)如图，

•；AABE妾LCDF,

：.AE=CF,

:AELBD,CFLBD,

：.AE//BD,

...四边形AECF是平行四边形,

：.AO=CO.

9.（2023春•梅州期末）如图，在中，4B=AC=3,NB=42°,点。在线段3c上运动（点。不与

点、B、C重合），连接4D,作//。£=42°,交线段/C于点E.

C1）当时，ZEDC=°,NAED=°；

（2）若DC=3,试说明△48。之△DCE；

（3）在点。的运动过程中，△，£>£的形状可以是以/£为腰的等腰三角形吗？若可以，求/8D4的度

数；若不可以，请说明理由.

【分析】（1）根据三角形内角和定理得到/氏4。=25°,根据等腰三角形的性质得到NC=N2=42°,

根据三角形内角和定理计算，得到答案；

（2）当£>C=3时，利用NOEC+N£r）C=140°,ZADB+ZEDC=140°,得至/DEC,根据

AB=DC=3,证明空△OCE；

（3）用DA=DE、AE=AD、£/=£。三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算.

【解答】解：（1）-：AB=AC,

；./。=/8=42°,

VZADE=42°,/皿1=118°,

:/助C=180°-NADB-NADE=20°,

：.ZAED=Z££>C+ZC=20°+42°=62°,

故答案为：20；62；

（2）当£>C=3时，△ABDmADCE,

理由：'：AB=3>,£>C=3,

：.AB=DC,

VZC=42°,

:./DEC+NEDC=138°,

VZADE=42a,

：.ZADB+ZEDC=13S°,

ZADB=/DEC,

在△43。和△OCE中，

，ZADB=ZDEC

•ZB=ZC，

,AB=DC

:AABD安/XDCE(AAS)；

(3)当/5D4的度数为110°或80°时，△4DE的形状是等腰三角形，

①当。时，/DAE=/DEA=70°,

:./BDA=/DAE+/C=10°+42°=112°；

②当AD=/£1时，NAED=NADE=42°=ZC,

此时，点。与点8重合，不合题意；

③当E/=E。时，ZEAD=ZADE^42°,

：.ZBDA^ZEAD+ZC=420+42°=84°；

综上所述，当的度数为112。或84°时，△NOE的形状是等腰三角形.

10.(2023春•甘州区校级期末)已知△48C,点。、尸分别为线段NC、上两点，连接瓦入C下交于点£.

(I)若BDUC,CFLAB,如图1所示，/4+/BEC=度；

(2)若BD平分N4BC,CF平分NACB,如图2所示，试说明此时NA4c与NBEC的数量关系；

(3)在(2)的条件下，若/加1C=6O°,试说明：EF=ED.

【分析】(1)根据余角的性质得到/D£C=NA4C,由于/D£C+N3£C=180°,即可得到结论；

(2)根据角平分线的性质得到NMC=LBC,AECB=^/ACB,于是得到结论；

22

(3)作N8EC的平分线交8c于由NR4c=60°,得到/3£。=90°+//R4C=120°,求得

ZFEB=ZDEC=60°,根据角平分线的性质得到/8EM=60°,推出△FSE名△E8M,根据全等三角

形的性质得到£尸=£加，同理D£=£M,即可得到结论.

【解答】解：(1)'CBDLAC,CFLAB,

：.ADCE+ADEC=ZDCE+ZFAC=90°,

：.ZDEC=ZBAC,NDEC+NBEC=18Q°,

AZBAC+ZBEC=\SO°；

故答案为：180.

(2);BD平分NABC,C尸平分

：.AEBC=^/ABC,AECB=^/ACB,Z5£C=180°-(ZEBC+ZECB)=180°-A(ZABC+

222

NACB)=180°-工(180°-ZBAC)=90°+1-ZBAC；

22

(3)作/BEC的平分线EM交5c于M,

VZBAC=60°,

:./BEC=90。+,/8/C=

:.NFEB=NDEC=6Q°,

,:EM平分/BEC,

：.ZBEM=60°,

在/XFBE与AEBM中,

，ZFBE=ZEBM

<BE=BE，

,ZFEB=ZMEB

AFBE乌AEBM,

:.EF=EM,同理

:.EF=DE.

图2

11.（2023春•佛山月考）已知，如图1,在△48C中，/£＞为△/8C的中线，£为/。上一个动点（不与点

A,。重合）.分别过点E和点C作与4D的平行线交于点R连

（1）求证：AF=BE；

（2）如图2,延长交NC于点G,^BGLAC,且4D=3G,请判断EG与/£的数量关系，并说明

理由.

FF

【分析】（1）过点。作。河〃45交/。于点M,连接证明△45。2△MOCG4”）,推出45=〃。,

再证明四边形瓦加F和四边形45£厂是平行四边形，可得结论；

（2）过点。作ZW〃5G交ZC于点N,根据平行线分线段的性质得CN=GN,根据三角形中位线定理得

DN=LBG,再根据直角三角形边角的关系得ND4N=30°,可得结论.

2

【解答】（1）证明：如图1中，

图1

过点。作。加〃交尸。于点连接

,:DM〃AB,

：.NMDC=/ABD,

,:CF〃AD,

：./MCD=/ADB,

・・Z。是△45。的中线，

：.BD=DC,

:•△ABDmAMDCCASA)f

：.AB=MD,

U：AB//EF,

：.EF//DM,

,:DE〃FM,

J四边形EDMF是平行四边形,

:・DM=EF,

：.AB=EF,

，四边形ABEF是平行四边形，

：.AF=BE-,

(2)解：EG=LE,

2

理由：如图2中，过点。作8G交4C于点N,

图2

,:BD=CD,DN//BG,

:.CN=GN,

:.DN=LBG,

2

•：AD=BG,

：.DN^—AD,

2

'：BG±AC,DN//BG,

C.DNLAC,

：.NAND=90°,

:./DAN=30°,

；.EG=—AE.

2

12.（2023春•子洲县期末）【问题背景】

如图，AB//CD.连接8C,点E,b在5c上，且8P=C£,连接/£,DF,且

【问题探究】

（1）试说明：AE=DF：

（2）若4B=CF,

①试判断△CD尸的形状，并说明理由：

②若NB=30°,求/DFS的度数.

AB

【分析】(1)根据/2〃CD可证明N8=NC,根据8尸=CE可证明8E=CF,再依据44s证明1也

△OCT即可得到结论；

(2)①证明CD=CF即可得出结论；

②由平行线的性质得出NC=30°,再根据/是等腰三角形求底角的度数即可解答.

【解答】解：(1),：AB//CD,

Z5=ZC,

'：BF=CE,

BF+EF=CE+EF.即BE=CF,

在△48E和△DCF中，

；/4=ND,ZB=ZC,BE=CF,

:AABE沿ADCF(AAS),

：.AE=DF；

(2)①△CD厂是等腰三角形；

理由：:LABE咨ADCF,

：.AB=CD,

'：AB=CF,

：.CD=CF,

...△CDb是等腰三角形；

(2),：AB//CD,ZB=30°,

，/。=/8=30°,

•••△CDF是等腰三角形，

-'-ZD=ZCFD=yX(180°-30°)=75°，

AZ£»F5=180°-ZCFD=105°.

13.(2023春•漳州期末)如图，在△4BC中，4B=AC,点D,E分别在边/C,3c上，连接/E,BD交于

点尸，NBAC=NBFE=2NAEB.

(1)说明：NEAC=/ABD；

(2)若BD平分/ABC,BE=15,AF=6,求△BEF的面积；

(3)判断所，BF,/尸之间的数量关系，并加以说明.

A

D

BEC

【分析】(1)根据N8/E+NE4C=NR4C,ZBAE+ZABD=ZBDC,NBAC=NBFE,即可证明结论；

(2)过点尸作/G_L8C于点G,求出//BE+N4EB=90°,得出/54E=180°-90°=90°,证明E4

±AB,根据角平分线的性质得出FG=4F=6,根据三角形面积公式求出

SABEF-|BEXFG=1X15X6=45；

(3)在2。上截取BH=4E,连接AH,证明dABg△CAE(SAS),得出ZAHB=NAEC,ZC=ZBAH,

证明NHAF=ZAHF,得出AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,即可证明结论.

【解答】(1)证明：VZBAE+ZEAC=ZBAC,ZBAE+ZABD=ZBDC,

又：NBAC=/BFE,

：.ZBAE+ZEAC=ZBAE+ZABD,

：.ZEAC=ZABD；

(2)解：过点/作/G_L8C于点G,如图所示：

ZABE=ZC,

：.ZBAC=1800-2/ABE,

•'•ZAEB=yZBAC=90°-/ABE，

/.ZABE+ZAEB=90°,

/£=180°-90°=90°,

：.FALAB,

:BD平分/ABC,FGLBC,

；.FG=AF=6,

SABEF-|BEXFG=yX15X6=45：

(3)解：2AF=BF-EF；理由如下：

在上截取连接/H如图所示:

在△488和■中，

，AB=AC

•ZABH=ZCAE-

,BH=AE

:AABH%4CAE(SAS),

：.ZAHB=ZAEC,NC=/B4H,

ZAHF=ZAEB-j-ZBAC=y(180°-2ZC)=90°-ZC-

根据解析(2)可知，NBAE=90°,

：.ZHAF=900-NBAH=90°-ZC,

：./HAF=ZAHF,

：.AF=FH=BF-BH=BF-AE=BF-AF-EF,

：.2AF=BF-EF.

14.(2023春•宣汉县校级期末)已知：NACB=90°,AC=BC,ADLCM,BELCM,垂足分别为D,E,

(1)如图1，把下面的解答过程补充完整，并在括号内注明理由.

①线段CD和BE的数量关系是：CD=BE；

②请写出线段BE,DE之间的数量关系并证明.

解：①结论：CD=BE.

理由："JADLCM,BELCM,

；./4CB=NBEC=NADC=90°,

：.ZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

N4CD=______________

在和中，()

:AACD丝4CBE,()

：.CD=BE.

②结论：AD=BE+DE.

理由：•:AACD沿MBE,

,/CE=CD+DE=BE+DE,

：.AD=BE+DE.

(2)如图2,上述结论②还成立吗？如果不成立，请写出线段N。，BE,OE之间的数量关系.并说明

理由.

【分析】(1)根据同角的余角相等，全等三角形的判定和性质即可解决问题；

(2)结论：DE-BE=AD,只要证明△/CD四△C3E即可解决问题；

【解答】解：(1)\"ADLCM,BELCM,

：.ZACB=ZBEC=ZADC=90°,

：.ZACD+ZBCE^90°,NBCE+NCBE=90°,

：./ACD=NCBE

"ZADC=ZBEC

在△48和△C5E中，(.ZACD=ZCBE)

,AC=BC

:AACD咨ACBE,(AAS)

：.CD=BE.

②结论：AD=BE+DE.

理由：•:AACD咨ACBE,

：.AD=CE

'：CE=CD+DE^BE+DE,

：.AD=BE+DE.

，ZADC=ZBEC

故答案为：NCBE,<ZACD=ZCBE-AAS,AD=CE.

LAC=BC

(2)不成立，结论：DE-BEAD.

理由："JADLCM,BELCM,

：.ZACB=ZBEC=ZADC=90°,

AZACD+ZBCE=90°,ZBCE+ZCBE=90°,

：.ZACD=ZCBE

在△4CD和△C8E中，

，ZADC=ZBEC

<ZACD=ZCBE>

AC=BC

:.AACD"LCBE,(AAS)

：.AD=CE,CD=BE,

图2

15.(2022秋•邹城市校级期末)(1)如图①，在四边形/BCD中，AB=AD,NB=ND=90°,E,F分

别是边8C,CO上的点，且/区4尸=工/8/。.请直接写出线段跖，BE,ED之间的数量关系：；

2

(2)如图②，在四边形A8CD中，AB=AD,N3+/D=180°,E,尸分别是边3C,CD上的点，且/

EAF=1ZBAD,(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

2

(3)在四边形/BCD中，AB=AD,/8+/。=180°,E,尸分别是边BC,CD所在直线上的点，且/

EAF=^ZBAD.请直接写出线段£尸，BE,ED之间的数量关系：

【分析】(1)如图1,延长班到G,使3G=。尸，连接/G,即可证明可得4F=/G,

再证明尸0ZXNEG,可得EF=EG,即可解题；

(2)如图2,同理可得：EF=BE+DF；

(3)如图3,作辅助线，构建△/BG,同理证明下和△/EG

^/XAEF.可得新的结论：EF=BE-DF.

【解答】解：(1)如图1,延长匹到G,使BG=DF,连接NG.

:在△N3G与△为□尸中，

'AB=AD图1

<ZABG=ZADF=90°，

BG=DF

:.△ABG沿4ADF(SAS).

J.AG^AF,Z1=Z2,

：.Zl+Z3=Z2+Z3=^-ZBAD=ZEAF.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又AE=AE,

易证△/EG之△/£1?

：.EG=EF.

;EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的结论斯仍然成立.

理由是：如图2,延长£8到G,BG=DF,连接NG.

VZABC+ZD^ISO°,ZABG+ZABC^1SQQ,

ZABG=ZD,

:在△N3G与△为□尸中，

图2

，AB=AD

«NABG=ND，

BG=DF

:.AABG沿4ADF(SAS).

C.AG^AF,/l=/2,

N1+N3=N2+N3=L/BAD=NEAF.

2

：.NGAE=NEAF.

又AE=AE,

：.4AEG咨AAEF.

：.EG=EF.

,:EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(3)当(1)结论EF=BE+FD成立,

当图三中，EF=BE-FD或EF=FD-BE.

证明：在BE上截取2G,使2G=Z)R连接NG.

VZB+Z^DC=180°,ZADF+ZADC^18Q°,

ZB=ZADF.

:在△43G与△//)尸中，

'AB=AD

-ZABG=ZADF-

.BG=DF

:.△ABG/AADF(S4S).

AZBAG^ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=ZDAF+ZEAD=ZEAF=^-ZBAD.

2

：.NGAE=NEAF.

\'AE=AE,

:.AAEG9/XAEF(S/S).

：.EG=EF

,:EG=BE-BG

：.EF=BE-FD.

同理可得：：.EG=EF

,:EG=BG-BE

:.EF=FD-BE.

故答案为：(A)EF=BE+FD；(2)成立；(3)EF=BE+FD或EF=BE-FD或EF=FD-BE.

16.(2023春•荣成市期末)已知在△4BC中，AC=BC,分别过4,3两点作互相平行的直线ZM,BN,过

点。的直线分别交直线BN于点D,E.

(1)如图1,AMLAB,求证：CD=CE；

(2)如图2,ZABC=ZDEB=60°,判断线段N。，0c与之间的关系，并说明理由.

【分析】(1)延长/C交8N于点尸，证明△/OCg△尸EC(ASA),即可得出结论;

(2)在协上截取£〃=EC,连接CH,证明△ZX4C之■4D_______i/

(44S),得出/Q=C",DC=BH,即可得出结论.

【解答】(1)证明：如图1,延长4C交5N于点R

•：AC=BC,BEF

，/CAB=/CBA,图1

ABLAM,

：.ZBAM=90°,

又。：AM〃BN,

：.ZBAM+ZABN=1^0°,

AZABN=90°,

：.NBAF+NAFB=90°,NABC+NCBF=90°,

：.ZCBF=ZAFB,

：.BC=CF,

：.AC=FC,

又"JAM//BN,，ZDAF=ZAFB,

，ZDAC=ZEFC

在△/DC和△BE'C中，，AC=FC，

,ZACD=ZFCE

:.△AD84FEC(ASA),

：.DC=EC；

(2)解：AD+DC=BE；理由如下：

如图2,在班上截取即=EC,连接CH,

,:AC=BC,ZABC=60°,

：./\ABC为等边三角形，

:NDEB=60°,

.♦.△CHE是等边三角形，

图2

；.NCHE=60°,/HCE=6Q°,

：.ZBHC=nO0,

'：AM//BN,

：.ZADC+ZBEC=1?,O0,

：.ZADC=120°,

AZDAC+ZDCA^60°,

又：ZDCA+ZACB+ZBCH+ZHCE^1SO0,

：.NDCA+NBCH=60°,

：.ZDAC=ZBCH,

，ZDAC=ZHCB

在△£UC与中，，NADC=/CHB，

,AC=CB

:.ADA(WAHCB(44S),

：.AD=CH,DC=BH,

又＜CH=CE=HE,

：.BE=BH+HE=DC+AD,

即AD+DC=BE.

17.（2023春•吉安县期末）如图，Zi/BC中，。为48的中点，/。=5厘米，NB=/C,3c=8厘米.

（1）若点P在线段3c上以3厘米/秒的速度从点8向终点C运动，同时点。在线段。上从点。向终

点/运动，若点。的速度与点P的速度相等，经1秒钟后，请说明△APD以△C0P；

（2）若点尸以3厘米/秒的速度从点8向点C运动，同时点。以5厘米/秒的速度从点。向点N运动,

它们都依次沿△N8C三边运动，则经过多长时间，点。第一次在△N3C的哪条边上追上点尸？

【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到N8=NC,再加上AP=CQ=3,PC=BD=5,则可判断△APD

与ACQP全等;

（2）设经过x秒后，点0第一次追上点尸，由题意得5x-3x=2X10,解方程得到点P运动的路程为3

X10=30,得到此时点P在2C边上，于是得到结果.

【解答】解：（1）尸=3X1=3,00=3X1=3,

：.BP=CQ,

:D为AB的中点，

：.BD=AD=5,

,:CP=BC-BP=5,

：.BD=CP,

在/\BPD与△CQP中，

'BD=CP

"ZB=ZC，

,BP=CQ

:.XBPD经XCQP（S/S）；

（2）设经过x秒后，点。第一次追上点尸，由题意得5x-3x=2X10,

解得：x=10,

点尸运动的路程为3X10=30,

:30=28+2,

，此时点尸在边上，

经过10秒，点0第一次在8C边上追上点尸.

18.（2022秋•葫芦岛期末）在等腰△/BC中，AB=AC,。为N8上一点，E为CD的中点.

(1)如图1,连接作E7f_L4C,若AD=2BD,S&BDC=6,EH=2,求A8的长.

(2)如图2,尸为ZC上一点，连接8尸，BE.若NBAC=NABE=/CBF,求证：BD+CF=AB.

A

【分析】(1)利用三角形面积之间的关系进行转化，可得：S△,c=6,再利用三角形面积公式可求得力5

=6；

(2)通过倍延中线构造全等三角形的方法，延长8E至G,使EG=BE,连接CG,则

(SAS)f再证明：AABF经AGBC(AAS)即可.

【解答】(1)解：,.ZQ=25。，SgDC=6,

:♦S丛ACD=2S丛BCD=2X6=12,

•・•£为CD中点，

S”CE=—S^ACD=^>,

2

•：EH2AC,

:.LC，EH=6,

2

'：EH=2

：.AC=6

"：AB=AC

：.AB=6

(2)证明：如图2,延长BE至G,4吏EG=BE,连接CG,

图2

在△AEZ»和△GEC中,

'BE=EG

<ZBED=ZGEC-

DE=CE

:.ABED%AGEC(SAS),

:・BD=CG,NABE=NG,

9：AB=AC,

：./ABC=N4CB,

即：NABF+NCBF=/ACB,

•.*/BAC=/CBF,

：./ABF+/BAC=/ACB,

・.・ZBFC=NABF+NBAC,

：./BFC=/ACB,

：.BF=BC,

ZBAC=NABE=/CBF,

:・/BAC=/G,/ABF+/EBF=/CBG+/EBF,

：.NABF=NGBC,

在/和△G5C中，

<ZBAC=ZG

<NABF=NGBC，

BF=BC

:•△ABF^AGBC(AAS)f

：.AF=CG,

又,：BD=CG,

：.AF=BD,

U：AF+CF=AC,AB=AC,

：.BD+CF=AB.

19,(2022秋•莱州市期末)在△ZBC中，AB=AC,。是边5C上一点，点£在4。的右侧，线段

且NZ)4E*=ZBAC=a.

(1)如图1,若a=60°,连接CE,DE.则NZOE的度数为；与CE的数量关系是.

(2)如图2,若a=90°,连接£C、BE.试判断△BCE的形状，并说明理由.

图1图2

【分析】(1)根据已知条件证明△4/用是等边三角形，然后证明△45。也△4CE("S),即可解决问题;

(2)根据已知条件证明△NBC,△/£>£是等腰直角三角形，然后证明咨△NCE(MS),可得

=NACE=45°,进而可以解决问题.

【解答】解：(1)当NZX4E=/A4C=a=60°时，

;AE=AD,ZDAE=60°,

.♦.△/DE是等边三角形，

；./4DE=60°,

'：AB=AC,ZBAC=60°,

：.^ABC是等边三角形，

AZBAC=60°,

ZDAE-ZDAC=ZBAC-ADAC,即NG4E=/BAD,

在△N8D和△4CE中，

，AB=AC

<ZBAD=ZCAE-

,AD=AE

:ABD咨LACE(SAS),

：.BD=CE,

故答案为：60°,BD=CE；

(2)△BCE是直角三角形，理由如下：

当ND4E=/BAC=a=90°时，

:.△ABC,△*£>£是等腰直角三角形，

ZDAE-ZCAD=ZBAC-ACAD,即/BAD=ZCAE,

在△48。和△/(?£■中，

，AB=AC

'ZBAD=ZCAE-

,AD=AE

:.AABD/AACE(SAS),

：.ZABD^ZACE=45°,

：.NBCE=ZACB+ZACE=90°,

...△BCE是直角三角形.

20.(2023春•本溪期末)在△NBC中，/3=/C,点。在射线24上，点£在/C的延长线上，且8O=CE.连

接。£,与3C边所在的直线交于点尸.

(1)当点。在线段3/上时，如图所示，求证：DF=EF.

(2)过点。作交直线3C于点若BC=4,CF=1,求瓦7的长是多少？

AA

D

B--------------Bz-----------------------------------------"

备用图

【分析】（1）过点。作0G〃/C,交BC于点G,利用平行线的性质和等边对等角证明NQG8=NS得

到5Q=G。，进而推出GO=CE,再证明△DG尸丝△ECF,即可证明。尸=所；

（2）分当点。在线段45上时，过点E作EOLSC,交5。延长线于。，当点。在A4的延长线上时，

过点E作EO_L5C交5C的延长线于点O,先证明△。/ffigZXEOC,得到5H=C。，进而求出80=4,

再证明/二△EOR得到〃/=。9=2,再根据线段之间的关系求出瓦7的长即可.

【解答】（1）证明：过点。作。G〃4C,交BC于点G.

,ZDGB=ZACB,

U：AB=AC,

：.ZB=AACB,

：.ZDGB=ZB,

:・BD=GD,

,:BD=CE,

：.GD=CE,

'JDG//AC,

:・/GDF=/CEF,ZDGF=ZECF,

在尸和/中

<ZGDF=ZCEF

,GDnCE，

tZDGF=ZECF

ADGF^AECF(ASA),

:,DF=EF；

(2)解：如图所示，当点。在线段45上时，过点E作EO_L8C,交3C延长线于。,

U：AB=AC,

：./B=/ACB=/OCE,

又•：NDHB=/EOC=90°,BD=CE,

：./\DHB^/\EOC(AAS),

：.BH=CO,

：.HO=HC+CO=HC+HB=BC=4f

VZDHF=ZEOF=90°,ZDFH=ZEFO,。尸=斯(由第一小问已经证明),

:•△DHF/AEOF(AAS)f

•'-HF=0F=yH0=2-

•.*CF=1,

/.BH=CO=OF-CF=2-1=1；

当点D在的延长线上时，过点E作EOLBC交BC的延长线于点O,

同理可证ADHF出AEOF,

:.H0=HC+C0=HC+HB=BC=4,

•'-HF=0F=-|-H0=2'

'：CF=1,

：.BH=CO=OF+CF=2+1=3；

综上所述，3”的长为1或3.

21.(2023春•东源县期末)如图，NE与AD相交于点C,AC=EC,BC=DC,4B=8cm,点、P从点、出发,

沿方向以2cm/s的速度运动，点0从点。出发，沿。方向以/cm/s的速度运动，尸、。两点

同时出发，当点尸到达点/时，P、0两点同时停止运动，设点P的运动时间为f(s).

(1)求证：AB//DE.

(2)写出线段/尸的长(用含/的式子表示).

(3)连接尸。，当线段经过点。时，求1的值.

【分析】(1)证明△N3C之△EDC(SAS),可得N/=/E,然后根据内错角相等两直线平行即可得出结

论；

(2)分两种情况讨论：当0W/W4时，AP=2tcm,当4V/W8时，BP=(2-8)cm,可得4P=8-(2Z

-8)=(16-2/)cm,进而可以解决问题；

(3)先证尸也△EC0CASA),得”=EQ,再分两种情况列方程求解即可.

【解答】(1)证明：在△45C和△EDC中，

'AC=EC

<ZACB=ZECD«

LBC=DC

:AABC沿AEDC(SAS),

NA=NE,

(2)解：当0W/W4时，AP=2tcm,

当4</W8时，BP=(2Z-8)cm,

：.AP=8-(2z-8)=(16-2?)cm,

，线段NP的长为或(16-2，)cm；

(3)解:根据题意得。。=%加，

贝I]EQ=(8-/)cm,

由(1)得：NA=NE,ED=AB=8cm,

在△/CP和△EC。中，

2A=NE

，AC=EC，

,ZACP=ZECQ

A/\ACP^/\ECQ(ASA),

：.AP=EQ,

当0WfW4时,2t=K-t,

解得：片包；

3

当4</W8时，16-2/=8-t,

解得：f=8；

综上所述，当线段P0经过点C时，f的值为旦或8.

3

22.(2023春•梅江区期末)如图，在△NBC中，AB=AC=8,3C=12,点。从8出发以每秒2个单位的

速度在线段3c上从点3向点C运动，点£同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段C4上向点/运

动，连接40、DE,设D、E两点运动时间为/秒(0</<4)

(1)运动秒时，4£=工。(7；

3

(2)运动多少秒时，△/四名△£>(?£能成立，并说明理由；

(3)若△/3D学△OCE,ZBAC=a,则//£>£=(用含a的式子表示).

【分析】(1)依据8D=CE=2f,可得CD=U-It,AE=8-2t,再根据当4£=工£)。时，8-2尸工(12

33

-It),可得f的值；

(2)当△Z8D四△DCE1成立时，AB=CD=8,根据12-2f=8,可得f的值；

(3)依据NCDE=NA4。，ZADE=ISO°-ZCDE-ZADB,ZS=Z180°-ZBAD-ZADB,即可

得到//£>£■=NB,再根据N8/C=a,AB=AC,即可得出//DE.

【解答】解：(1)由题可得，BD=CE=2t,

；.CZ>=12-23NE=8-It,

当/£=工。。，时，8-2?=A(12-2t),

33

解得t=3,

故答案为：3；

(2)当△48。丝△£)(?£■成立时，AB=CD=8,

：.12-2f=8,

解得t=2,

，运动2秒时，AABD咨ADCE能成立；

(3)当AABD2ADCE时,ZCDE=ZBAD,

又；//。£=180°-ZCDE-ZADB,ZJB=Z1800-ZBAD-ZADB,

：.ZADE=ZB,

又,：匕BAC=a,4B=AC,

：.ZADE^ZB=—(180°-a)=90°-—a.

22

故答案为：90°--la.

2

23.（2022秋•通川区期末）已知：△NBC是等腰三角形，CA=CB,0°<N/CBW90°.点M在边NC上,

点N在边上（点M、点N不与所在线段端点重合），BN=AM,连接NN,BM,射线/G〃2C,延长

交射线NG于点。，点£在直线NN上，且AE=DE.

（1）如图，当//CB=90°时；

①求证：4BCM出AACN；

②求NBDE的度数；

（2）当//