高考数学一轮复习高频考点精讲精练(新高考专用)第07讲拓展二：三角形中线角平分线方法技巧篇(高频精讲)(原卷版+解析)

第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高频考点一遍过 2高频考点一：中线长问题 2方法一：中线向量形式 2方法二：中线分第三条边所成两角互余 8高频考点二：已知角平分线问题 12方法一：内角平分线定理 12方法二：等面积法（核心方法） 17方法三：角平分线分第三条边所成两角互余 26温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、中线：在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）核心技巧：结论：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分线如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，2.1内角平分线定理：核心技巧：或2.2等面积法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;第二部分：高频考点一遍过高频考点一：中线长问题方法一：中线向量形式典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，，，平分，的面积是的面积的两倍．(1)求的面积；(2)求的边上的中线的长．例题2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：(1)求角的大小；(2)求边中线长的最小值.例题3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线的长.例题4．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)设，，分别是的三个内角，,，所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．练透核心考点1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求的中线的最小值.2．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足______．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：①外接圆半径；②；③．(1)求锐角；(2)求的BC边上的中线的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．3．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．(1)求角A的大小；(2)若，边上的中线，求的面积．方法二：中线分第三条边所成两角互余核心技巧：典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（

）A．3 B． C．1或2 D．2或3例题2．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）如图,已知的内角，，的对边分别为，，，.(1)求；(2)若边上的中线，且，求的周长．例题3．（2023春·广东·高二校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小.（2）若边上的中线，且,求的周长.练透核心考点1．（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足．(1)求角B．(2)若边上的中线长为，求的面积和周长．2．（2023春·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若BC边上的中线长为，且，求的面积.高频考点二：已知角平分线问题方法一：内角平分线定理典型例题例题1．（2023·江苏·统考一模）在中，，的角平分线交于点，的面积是面积的3倍，则（

）A． B． C． D．例题2．（2023春·全国·高一专题练习）在中，是的角平分线，且交于.已知，则__________.例题3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．(1)求及线段的长；(2)求的面积．练透核心考点1．（2023·河南郑州·统考二模）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______.2．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，，是的角平分线交于点，且满足，则______.3．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第三中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且(1)求的值；(2)给出以下三个条件：条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.方法二：等面积法（核心方法）典型例题例题1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）在中，角,，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．36例题2．（2023·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．(1)求；(2)若外接圆面积为，求的最大值；(3)若，且的角平分线，求．例题3．（2023·山东济南·一模）已知函数．(1)求的单调递减区间；(2)中内角，，所对的边分别为，，，，求的内角平分线的长．例题4．（2023·湖南郴州·统考三模）在中，内角所对的边分别为，已知(1)求角.(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.例题5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，

条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，(1)求；(2)若是的角平分线，且，求的最小值．练透核心考点1．（多选）（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，B的角平分线交AC于D，，则（

）A． B．C． D．2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且.(1)求角B；(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.3．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，(1)求c的值；(2)设是的角平分线，求的长.4．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．(1)求角的大小；(2)求线段的长．5．（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）在中，内角所对的边分别为，且.(1)求C；(2)若角C的内角平分线与AB边交于点D，且CD＝2，求b＋4a的最小值.方法三：角平分线分第三条边所成两角互余核心技巧：典型例题例题1．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）已知的内角、、的对边分别为、、，，，点满足.(1)若为的角平分线，求的周长；(2)求的取值范围.例题2．（2023·福建福州·高一福建省福州第一中学校考）已知中，角，，所对的边分别为，，，点D在边上，为的角平分线．．(1)求；(2)若，求的大小．练透核心考点1．（2023春·山西大同·高一大同一中校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的单调递增区间；(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）第07讲拓展二：三角形中线，角平分线方法技巧篇(精讲）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高频考点一遍过 2高频考点一：中线长问题 2方法一：中线向量形式 2方法二：中线分第三条边所成两角互余 8高频考点二：已知角平分线问题 12方法一：内角平分线定理 12方法二：等面积法（核心方法） 17方法三：角平分线分第三条边所成两角互余 26温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、中线：在中，设是的中点角,,所对的边分别为，，1.1向量形式：（记忆核心技巧，结论不用记忆）核心技巧：结论：1.2角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;2、角平分线如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，2.1内角平分线定理：核心技巧：或2.2等面积法核心技巧2.3角形式：核心技巧：在中有：;在中有：;第二部分：高频考点一遍过高频考点一：中线长问题方法一：中线向量形式典型例题例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）在中，是边上的点，，，平分，的面积是的面积的两倍．(1)求的面积；(2)求的边上的中线的长．【答案】(1)(2)．【详解】（1）由已知及正弦定理可得：，化简得：．又因为：，所以，所以，所以△ACD的面积为．（2）由（1）可知，因为AE是△ABC的边BC上的中线，所以，所以，所以△ABC的边BC上的中线AE的长为．例题2．（2023春·河北石家庄·高三石家庄二中校考阶段练习）已知内角所对的边分别为，面积为，且，求：(1)求角的大小；(2)求边中线长的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1），由余弦定理可得，即，由正弦定理可得，，.，即，又，所以.（2）由（1）知，，的面积为，所以，解得.由平面向量可知，所以，当且仅当时取等号，故边中线的最小值为.例题3．（2023春·湖南衡阳·高二衡阳市八中校考阶段练习）在中，内角的对边分别为，.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线的长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以；（2）由，所以，由（1），所以，因为为边上的中线，所以，所以，所以，所以边上的中线的长为：.例题4．（2023秋·江西赣州·高三统考期末）已知函数．(1)求函数的单调递减区间；(2)设，，分别是的三个内角，,，所对的边，且边上的中线，求面积的最大值．【答案】(1)(2)．【详解】（1），令，得，即函数的单调递减区间为．（2）由（1）知得，所以，即，又，得，而由是边上的中线可得，故，所以，所以当且仅当时等号成立，所以的面积为．所以的面积的最大值为．练透核心考点1．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在中，角所对的边分别为.(1)求；(2)若，求的中线的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为所以，由正弦定理可得，所以，因为，则；（2）由题意，则，则，即的中线的最小值为（当且仅当取最小值）；综上，的最小值为.2．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且满足______．请从以下三个条件中选择一个作为已知条件补充在题目上，并完成下面问题：①外接圆半径；②；③．(1)求锐角；(2)求的BC边上的中线的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【详解】（1）解：若选①，由，解得，又A为锐角，故；若选②，由正弦定理得，即，又，所以，则，又A为锐角，故；若选③，由，则有，即，又A为锐角，所以，所以，故；综上所述；（2）解：由余弦定理可得，所以，因为，当且仅当时等号成立，所以．设BC的中点为M，则，等式两边平方可得：，当且仅当时等号成立，所以，即BC边上的中线的最大值为．3．（2023春·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考开学考试）设的内角所对的边分别为，且．(1)求角A的大小；(2)若，边上的中线，求的面积．【答案】(1)(2)6【详解】（1）由题意利用正弦定理可得．．，，即．（2）．由中线，得，．方法二：中线分第三条边所成两角互余核心技巧：典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）在中，内角的对边分别为，且边上的中线，则（

）A．3 B． C．1或2 D．2或3【答案】C【详解】由得，∴，∵，∴，即.在中，由余弦定理可得，整理得，在中，，∴，即（*），当时，（*）式可解得，；当时，（*）式可解得，；故选：C例题2．（2023春·江苏常州·高一校联考阶段练习）如图,已知的内角，，的对边分别为，，，.(1)求；(2)若边上的中线，且，求的周长．【答案】(1)(2)【详解】（1）∵，由余弦定理可得，∴，∴，由，∴.（2）如图，由（1）得，，①由余弦定理知，即，②

在中，由余弦定理得：，在中，由余弦定理得：，因为，所以③

由①②③，得，所以，

所以的周长．例题3．（2023春·广东·高二校联考阶段练习）在中，内角的对边分别为，且.（1）求角的大小.（2）若边上的中线，且,求的周长.【答案】（1）（2）【详解】解：（1）由已知

由正弦定理得：由余弦定理得：在中，因为,所以（2）由，得①由（1）知，即②在中，由余弦定理得：在中，由余弦定理得：因为，所以③由①②③，得所以所以的周长.练透核心考点1．（2022秋·四川巴中·高二四川省通江中学校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足．(1)求角B．(2)若边上的中线长为，求的面积和周长．【答案】(1)(2)，周长为．【详解】（1）由外接圆半径为得，由，得，利用正弦定理得：，即，化简得，由C为的内角，得，可得，又B为的内角，所以．（2）由正弦定理得：，设D为边上的中点，则，在中，，在中，，因为，所以，可得，由余弦定理，即，，由三角形面积公式得：，由，得，得，所以周长为．2．（2023春·全国·高一专题练习）在中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足.(1)求角A；(2)若BC边上的中线长为，且，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以，化简得，因为，所以，因为,所以；（2）设中线交于，则，由余弦定理得，即，化简得，因为，所以，所以.高频考点二：已知角平分线问题方法一：内角平分线定理典型例题例题1．（2023·江苏·统考一模）在中，，的角平分线交于点，的面积是面积的3倍，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，即，在中，作边上高，垂足为，则，故选:A.例题2．（2023春·全国·高一专题练习）在中，是的角平分线，且交于.已知，则__________.【答案】【详解】由题意是的角平分线，，由角平分线的性质知：，设，因为，则，则,所以，整理得，解得或（舍）.所以,.故答案为：例题3．（2023春·全国·高一专题练习）如图，在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，且为边上的中线，为的角平分线．(1)求及线段的长；(2)求的面积．【答案】(1)，BC＝6(2)【详解】（1）由题意在中，，∴，∴，而，，∴，由余弦定理得（舍去），即.（2）在中，，，，∴，∵AE平分∠BAC，，由正弦定理得：，其中，∴，则,,∵AD为BC边的中线，∴，∴.练透核心考点1．（2023·河南郑州·统考二模）在△ABC中，角所对的边分别是，其中，，.若B的角平分线BD交AC于点D，则______.【答案】##【详解】由题设，则，又，则，故，又，即，在△中，由余弦定理知：，即，得，故，在△中，由余弦定理知：，故，故或，又，即，故.故答案为：2．（2023春·重庆北碚·高一西南大学附中校考阶段练习）在中，，是的角平分线交于点，且满足，则______.【答案】【详解】解：如图所示：因为是的角平分线，所以，设，又因为，设，又因为，，所以，在中，由正弦定理可得：，即①,在中，由正弦定理可得：，即②,由①②可得即,又因为，所以.故答案为：3．（2022秋·江苏徐州·高三徐州市第三中学校考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且(1)求的值；(2)给出以下三个条件：条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.【答案】(1)；(2)条件正确，(i)；(ii).【详解】（1），，，，得Z，由，得；（2）若条件①正确，由，得，由余弦定理，得，即，解得不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确；(i)由，，得，解得，由余弦定理，得，因为，所以，由正弦定理，得，即；(ii)由正弦定理，得，即，因为平方，，所以，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，又，上述两式相除，得，解得，所以.方法二：等面积法（核心方法）典型例题例题1．（2023春·安徽马鞍山·高一马鞍山二中校考期中）在中，角,，的对边分别为，，，已知，若角的内角平分线的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【详解】因为，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：A.例题2．（2023·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．(1)求；(2)若外接圆面积为，求的最大值；(3)若，且的角平分线，求．【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由题知，即，由，解得．（2）由外接圆面积为得外接圆半径，由（1），所以，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，即，化简得，当且仅当a＝c时等号成立．所以ac的最大值为．（3）因为BD是的角平分线，则，所以的面积，所以，则，由，所以，解得（负值舍去），综上，．例题3．（2023·山东济南·一模）已知函数．(1)求的单调递减区间；(2)中内角，，所对的边分别为，，，，求的内角平分线的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为所以，,解得，,所以的单调递减区间为．（2）因为，所以．因为，所以，所以，所以，故，由题意知，，所以，即，所以．例题4．（2023·湖南郴州·统考三模）在中，内角所对的边分别为，已知(1)求角.(2)的角平分线交于点，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1），故，即，，，故，，，故，，.（2），的平分线交于点，故，由三角形的面积公式可得，化简得，又，所以，则，当且仅当时取等号，故的最小值为.例题5．（2023·广东惠州·统考模拟预测）条件①，

条件②，条件③．请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，且满足________，(1)求；(2)若是的角平分线，且，求的最小值．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【详解】（1）解：选①：因为，由正弦定理可得，即，所以，而，，故，因为，所以；选②：因为，由正弦定理，即，由余弦定理，因为，所以；选③：因为，正弦定理及三角形内角和定理可得，即，因为、，则，所以，，，所以，所以，即.（2）解：由题意可知，，由角平分线性质和三角形面积公式得，

化简得，即，因此，当且仅当时取等号，所以的最小值为．练透核心考点1．（多选）（2023春·山东济南·高一校考阶段练习）在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，B的角平分线交AC于D，，则（

）A． B．C． D．【答案】BCD【详解】因为是角的平分线，所以.由题意可知，,即,所以，即，因为为锐角三角形，所以,所以，所以，所以，即，所以，即,故A错误；在中，,即，因为为锐角三角形，所以，解得，故B正确；由正弦定理得,即,因为，所以，即，所以，故C正确；由正弦定理，所以所以，因为，所以，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD.2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且.(1)求角B；(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由已知及正弦定理得：，又在中，,∴，即，又，∴,又，∴，即角B的大小为.（2）∵.是的角平分线，而，∴，即，∴.∵，∴，∵，∴，即,当且仅当时取等号，则，即的面积的最小值为.3．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，(1)求c的值；(2)设是的角平分线，求的长.【答案】(1)3(2)【详解】（1）由的面积，则，且，解得，故c的值为3.（2）由（1）可得：，由题意可得：，∵，则，即，解得，故的长.4．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．(1)求角的大小；(2)求线段的长．【答案】(1)(2)．【详解】（1）在中，由已知，可得：则有：，即又