2024-2025学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算（教学用书）教案 新人教A版选修2-1

2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算（教学用书）教案新人教A版选修2-1主备人备课成员教学内容2024-2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何，本节课主要围绕3.1空间向量及其运算展开。具体内容包括：

1.空间向量及其加减运算（3.1.1）：介绍空间向量的概念，引导学生理解空间向量的坐标表示；讲解空间向量的加减运算及其几何意义。

2.空间向量的数乘运算（3.1.2）：探讨空间向量的数乘运算，包括数乘运算的定义、性质以及在实际问题中的应用。

本节课将紧密结合教材新人教A版选修2-1，确保教学内容的相关性和实用性。通过实例分析与实际操作，帮助学生掌握空间向量的基本概念和运算方法，为后续学习立体几何打下坚实基础。核心素养目标本章节旨在培养学生以下核心素养：

1.逻辑推理：通过空间向量的概念引入与运算方法的学习，使学生能够运用逻辑推理能力，理解向量加减与数乘的运算规则，并能解决相关问题。

2.数学建模：培养学生利用空间向量进行数学建模的能力，将现实问题转化为数学问题，通过向量运算求解，增强解决实际问题的能力。

3.抽象思维：引导学生从具体实例中抽象出空间向量的概念，形成对空间向量及其运算的抽象认识，提高学生的抽象思维能力。

4.数学表达：通过课堂讲解、练习与讨论，提升学生运用数学语言准确表达空间向量及其运算过程的能力，加强数学交流与表达。重点难点及解决办法重点：

1.空间向量的概念及坐标表示。

2.空间向量的加减运算及数乘运算。

难点：

1.空间向量的几何意义理解。

2.向量运算在实际问题中的应用。

解决办法及突破策略：

1.采用直观教具和动画演示，帮助学生形象理解空间向量的几何意义，强化对向量概念的记忆。

2.通过典型例题和练习题，引导学生运用向量加减和数乘运算解决问题，总结运算规律，提高解题技巧。

3.组织小组讨论，让学生互相交流解题思路，激发思维碰撞，共同突破难点。

4.创设实际情境，将空间向量运算与生活实例相结合，增强学生对向量运算在实际问题中应用的理解，提高学生解决实际问题的能力。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学方法与策略1.教学方法：采用讲授法、讨论法和案例研究法。通过讲授法明确空间向量的概念及运算规则；利用讨论法鼓励学生发表见解，深化理解；结合案例研究法，以实际问题为载体，引导学生探索空间向量的应用。

2.教学活动：设计实验、小组讨论和角色扮演等互动环节。实验活动帮助学生直观感受空间向量的几何意义；小组讨论促进学生交流与合作，共同解决问题；角色扮演激发学生兴趣，提高课堂参与度。

3.教学媒体：使用多媒体课件、实物模型和数学软件等教学工具。多媒体课件展示空间向量运算的动态过程，增强直观感受；实物模型辅助理解几何意义；数学软件辅助学生进行向量运算的实践操作，提高实际运用能力。教学过程1.导入新课

（1）复习提问：

同学们，我们在之前的学习中已经接触过向量的概念，谁能来说一说平面向量的定义及其基本运算？

（2）导入：

很好，今天我们将进一步学习空间向量及其运算。空间向量与现实生活密切相关，它在立体几何中具有重要作用。

2.空间向量的概念及坐标表示

（1）展示概念：

请同学们翻到教材第3章第1节，我们一起来学习空间向量的概念。

空间向量是有大小、方向的量，它可以用一个箭头表示。与平面向量类似，空间向量也可以用坐标表示。

（2）探究坐标表示：

现在请同学们观察教材中的图3.1，思考如何用坐标表示空间向量？

（3）学生回答：

空间向量可以用一个有序数对表示，例如：(x,y,z)。

（4）讲解坐标表示：

非常好！空间向量的坐标表示就是这样的有序数对。其中，x、y、z分别表示向量在x轴、y轴、z轴上的投影长度。

3.空间向量的加减运算

（1）讲解加减运算：

（2）示例：

假设有两个空间向量A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，那么它们的和C=A+B=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)。

同理，它们的差D=A-B=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)。

（3）练习：

请同学们在教材第3章第1节中完成例题3.1，并思考空间向量加减运算的几何意义。

（4）学生解答：

4.空间向量的数乘运算

（1）讲解数乘运算：

现在我们来看空间向量的数乘运算。数乘运算是指将一个向量与一个实数相乘。

（2）示例：

假设有一个空间向量A(x,y,z)，那么数乘运算B=kA=(kx,ky,kz)，其中k为实数。

（3）练习：

请同学们在教材第3章第1节中完成例题3.2，并思考数乘运算的几何意义。

（4）学生解答：

5.课堂小结

（1）总结：

（2）提问：

同学们，谁能来说一说空间向量加减运算和数乘运算的几何意义？

（3）学生回答：

空间向量加减运算表示向量在空间中的平移，数乘运算表示对向量进行缩放。

6.作业布置

（1）课后习题：

请同学们完成教材第3章第1节的课后习题，巩固所学知识。

（2）思考题：

思考空间向量在立体几何中的应用，下节课我们一起来讨论。

7.课堂结束

今天我们学习了空间向量及其运算，希望大家课后认真复习，为下节课的学习做好准备。同学们，再见！知识点梳理1.空间向量的概念

-空间向量的定义：具有大小和方向的量，用箭头表示。

-空间向量的表示：有序数对(x,y,z)，分别表示向量在x轴、y轴、z轴上的投影长度。

2.空间向量的坐标表示

-坐标表示方法：空间向量可以用一个有序数对表示，如(x,y,z)。

-坐标轴的投影：向量在x轴、y轴、z轴上的投影长度分别对应坐标的x、y、z分量。

3.空间向量的加减运算

-加法运算：两个空间向量相加，得到一个新的向量，其坐标为原向量坐标对应分量相加。

-减法运算：两个空间向量相减，得到一个新的向量，其坐标为第一个向量坐标减去第二个向量坐标的对应分量。

-几何意义：加法运算表示向量的平移，减法运算表示向量的反向平移。

4.空间向量的数乘运算

-数乘定义：将一个空间向量与一个实数相乘，得到一个新的向量。

-数乘运算规则：数乘向量的坐标为原向量坐标与实数的乘积。

-几何意义：数乘运算表示对向量进行缩放，实数为正时沿原方向缩放，为负时沿原方向的反向缩放。

5.空间向量的线性组合

-定义：空间向量的线性组合是指将多个空间向量与相应的实数相乘后再相加的结果。

-运算规则：线性组合的坐标为各个向量坐标与对应实数乘积的和。

6.空间向量的线性关系

-平行向量：方向相同或相反的向量，它们的线性组合仍为同方向或相反方向的向量。

-垂直向量：相互垂直的向量，它们的点积为零。

7.空间向量的应用

-立体几何中的向量运算：用于求解空间几何图形的长度、面积和体积等。

-物理学中的向量问题：描述物体运动的加速度、速度等向量关系。板书设计①重点知识点：

1.空间向量的概念与坐标表示

-定义：具有大小和方向的量

-坐标表示：(x,y,z)

2.空间向量的加减运算

-加法：A+B=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

-减法：A-B=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

3.空间向量的数乘运算

-数乘：kA=(kx,ky,kz)

②关键词与句：

1.向量加法：平移

2.向量减法：反向平移

3.数乘运算：缩放

③艺术性与趣味性：

1.使用不同颜色的粉笔，区分向量加、减和数乘运算。

2.在黑板上绘制向量箭头，直观展示向量的几何意义。

3.举例生活中的向量问题，如力的合成、速度方向等，激发学生兴趣。

板书设计条理清晰，重点突出，简洁明了，同时注重艺术性和趣味性，有助于学生理解和记忆空间向量的相关知识，提高学生的学习兴趣和主动性。课后作业1.计算题：

已知空间向量A(2,3,4)和B(-1,2,3)，求向量A+B和向量A-B。

答案：

A+B=(2+(-1),3+2,4+3)=(1,5,7)

A-B=(2-(-1),3-2,4-3)=(3,1,1)

2.应用题：

一物体受到两个力的作用，力F1的大小为5N，方向为(1,2,3)，力F2的大小为3N，方向为(2,-1,1)。求物体的合力方向。

答案：

设合力方向为向量C，则C=F1+F2

C=(5*1+3*2,5*2+3*(-1),5*3+3*1)=(11,7,18)

合力方向为向量C=(11,7,18)

3.计算题：

已知空间向量A(3,4,5)，求向量2A和向量-1.5A。

答案：

2A=2*(3,4,5)=(6,8,10)

-1.5A=-1.5*(3,4,5)=(-4.5,-6,-7.5)

4.应用题：

在三维坐标系中，点P