苏教版高中数学必修第二册12.4复数的三角形式【课件】

12.4复数的三角形式*通过复数的几何意义，了解复数的三角形式；了解复数的代数形式与三角形式之间的关系；了解复数三角形式的乘除运算及其几何意义.课标要求素养要求通过了解复数的三角形式及复数三角形式乘、除的几何意义，发展数学抽象及数学运算素养.课前预习课堂互动分层训练内容索引课前预习知识探究11.复数的辐角非负半轴任一非零的复数z＝a＋bi(a，b∈R)的辐角有无限多个值，这些值相差______的整数倍，其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z＝a＋bi的辐角主值，记作argz，即0≤argz<2π.2.辐角主值2π3.复数的三角形式r(cosθ＋isinθ)两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的____，其积的辐角等于这两个复数的辐角的____.即r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝__________________________________.4.复数三角形式的乘法积和r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的____，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的____.5.复数三角形式的除法商差点睛复数三角形式的特征(1)r≥0.(2)相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值.(3)cosθ与isinθ之间用“＋”号连接.

1.思考辨析，判断正误(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.()(2)复数0的辐角是任意的.(

)(3)复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(

)(4)两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等.(

)√√√√2.复数1＋i的辐角主值为(

)CB4.若z＝cos30°＋isin30°，则argz2＝________.

解析

因为z＝cos30°＋isin30°，

则z2＝(cos30°＋isin30°)2＝(cos30°＋isin30°)×(cos30°＋isin30°)＝cos60°＋isin60°，故argz2＝60°.60°课堂互动题型剖析2题型一求辐角主值、模明确复数三角形式的相关概念是准确解答此类问题的基础，另外掌握复数代数形式的乘、除运算是关键.思维升华【训练1】

已知z＝1＋cosθ＋isinθ(π<θ<2π)，求argz.∴复数z对应的点在第四象限，题型二复数的代数形式化为三角形式【例2】

将下列复数代数式化成三角形式：将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：(1)先求复数的模；(2)确定复数对应的点所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.思维升华D题型三复数三角形式的乘法运算【例3】

计算：直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.思维升华2i＝2(cos90°＋isin90°)＝2i.题型四复数三角形式的除法运算A.2π－3θ

B.3θ－2πC.3θ

D.3θ－πB直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.思维升华一、牢记4个知识点1.复数的辐角及辐角主值.2.复数三角形式的特征.3.复数的代数形式与三角形式的互化.4.复数的三角形式乘法与除法的法则.二、掌握1种方法——转化法三、注意1个易错点辐角与辐角主值的区别与联系：区别：辐角θ有无数个，在0≤θ<2π范围内的辐角才是辐角主值，辐角主值只一个.联系：θ＝2kπ＋argz，k∈Z.

课堂小结分层训练素养提升3

BA.cos60°＋isin60° B.－cos60°＋isin60°C.cos120°＋isin60° D.cos120°＋isin120°D∴z＝cos120°＋isin120°.3.(多选题)下列复数不是复数三角形式表示的是(

)ABCA.3 B.5 C.11 D.12BC结合各选项，可知n＝5或11.5.设A，B，C是△ABC的内角，若z＝(cosA＋isinA)÷(cosB＋isinB)·(cosC＋isinC)是一个实数，则△ABC是(

)A.锐角三角形

B.钝角三角形C.直角三角形

D.形状不能确定C二、填空题4－3－3i8.设(1＋i)z＝i，则复数z的三角形式为__________________.解析∵(1＋i)z＝i，三、解答题9.写出下列复数的三角形式：10.求证：(1)[r(cosθ＋isinθ)]2＝r2(cos2θ＋isin2θ)；(2)[r(cosθ＋isinθ)]3＝r3(cos3θ＋isin3θ).证明(1)[r(cosθ＋isinθ)]2＝r2(cosθ＋isinθ)2＝r2(cos2

θ－sin2θ＋2icosθsinθ)＝r2(cos2θ＋isin2θ)，所以待证式成立.(2)[r(cosθ＋isinθ)]3＝[r(cosθ＋isinθ)]2·[r(cosθ＋isinθ)]＝r2(cos2θ＋isin2θ)·r(cosθ＋isinθ)＝r3[cos(2θ＋θ)＋isin