高三数学一轮复习五层训练(新高考地区)第33练直线、平面垂直的判断与性质(原卷版+解析)

第33练直线、平面垂直的判断与性质一、课本变式练1.（人A必修二P148练习T3变式）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．2.（人A必修二P161练习T3变式）设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件3.（人A选择性必修二P162习题8.6T2变式）下列说法中可以判断直线平面的是（

）A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直4.（人A必修二P162习题8.6T5变式）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．求证：平面二、考点分类练(一)线线垂直5.（2022届浙江省杭州二中、温州中学，金华一中三校高三下学期5月仿真模拟）在四棱锥中，底面是等腰梯形，若，，则下列结论可能成立的是（

）A． B． C． D．6.（多选）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（

）A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD7.（2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考）如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．(1)求证：；(2)求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．(二)线面垂直8．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．以上都有可能9.已知平面、和直线、，则下列说法：①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，，，则.其中正确的说法序号为________．10.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．(1)证明：平面；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．(三)面面垂直11.（2022届吉林省洮南市第一中学高三下学期第一次线上考试）已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．12.（2023届广东省高三上学期开学联考）如图所示，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，是的中点，是上一点．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．(四)异面直线所成角13.在长方体中，点E为的中点，，且，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．14.（2022届重庆市缙云教育联盟高三下学期3月质量检测）在三棱锥中，，，异面直线PA，BC所成角为，，，则该三棱锥外接球的表面积为______．(五)直线与平面所成角15.在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（

）A．45° B．90°C．正切值为2 D．正切值为16.如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为________．三、最新模拟练17.（2022届广东省潮州市高三上学期期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（

）A． B． C． D．18.（2022届河南省安阳市重点高中高三模拟调研）在四面体ABCD中，，平面BCD，.过点B作垂直于平面ACD的平面截该四面体，若截面面积存在最大值，则的最大值为（

）A． B． C． D．19.（多选）（2022届湖北省襄阳市第五中学高三下学期适应性考试）是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（

）A． B．C． D．20.（2023届广东省惠州市高三上学期第一次调研）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）21.（2022届福建省福州格致中学高三模拟）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.22.（2023届湘豫名校联考高三上学期8月入学摸底）如图，在四棱锥中，平面，且.(1)证明：；(2)若点为的中点，求点到平面的距离.四、高考真题练23.（2022新高考全国卷Ⅰ）（多选）已知正方体,则A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面ABCD所成的角为24.（2022高考全国卷乙）在正方体中,E,F分别为的中点,则（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面25.（2022高考全国卷乙）如图,四面体中,,E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设,点F在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值．26.（2022高考全国卷甲）在四棱锥中,底面．

（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．五、综合提升练27.（2022届浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5月适应性考试）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（

）A．B．C．D．28.（多选）（2022届海南省海南中学高三下学期月考）如图，菱形边长为，，为边的中点，将沿折起，使到，且平面平面，连接、，则下列结论中正确的是（

）A．平面面B．三棱锥外接球的表面积为C．二面角的余弦值为D．若在线段上，则异面直线与所成角的范围是29.如图，已知边长为4的菱形中，，将沿对角线翻折至所在的位置，若二面角的大小为，则过，，，四点的外接球的表面积为___________.30.如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.(1)求证：平面；(2)求证：平面；(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.第33练直线、平面垂直的判断与性质一、课本变式练1.（人A必修二P148练习T3变式）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，M、N分别是BB1和B1C1的中点，则直线AM与CN所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作的中点，连接，作的中点，连接、,即为异面直线AM与CN所成的角，由已知条件得，则,,由余弦定理得,在△中，有余弦定理可知,即,解得，故选D.2.（人A必修二P161练习T3变式）设表示两条不同的直线，表示平面，且，则“”是“”成立的（

）A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面.所以由“”可得“”，充分性成立；反之亦成立.所以“”是“”成立的充要条件.故选A3.（人A必修二P162习题8.6T2变式）下列说法中可以判断直线平面的是（

）A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直【答案】C【解析】根据线面垂直的判定定理：直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A、B不正确，C正确；根据线面垂直定义：直线垂直平面内得任一条直线，此时强调任一条，不是无数条，因为这无数条直线可能是平行的，D不正确．故选C．4.（人A必修二P162习题8.6T5变式）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．求证：平面【解析】因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.二、考点分类练(一)线线垂直5.（2022届浙江省杭州二中、温州中学，金华一中三校高三下学期5月仿真模拟）在四棱锥中，底面是等腰梯形，若，，则下列结论可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若，取中点，中点，连接，易得，，则，又，面，，则面，又面，则，与矛盾，A错误；过作交延长线于，连接，易得，则，由可得，又面，，则面，又面，则，则，B错误；若，连接，易得四边形为平行四边形，则，，则，又，则，由B选项知，矛盾，C错误；若，同C选项可得，又由B选项知，可能成立，D正确.故选D.6.（多选）如图所示，已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30的直角三角形ACD拼接而成，将△ACD绕AC边旋转的过程中，下列结论中可能成立的是（

）A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD【答案】ACD【解析】当将△ACD绕AC边旋转到CD⊥BC时，因为CD⊥AC，，此时CD⊥平面ABC，而平面ABC，则CD⊥AB，CD⊥BC，AD正确；此时AB⊥平面BCD，平面BCD，所以AB⊥DB，C正确；若，而AB⊥BC，，故必有BC⊥平面ABD，由图形可知，D点在B点正上方，而，所以显然不可能；故选ACD7.（2023届云南省下关第一中学高三上学期见面考）如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．(1)求证：；(2)求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．【解析】（1）因为，且BE平分，所以，又因为平面平面SAB，且平面平面，平面SAB，所以平面BDE，又因为平面BDE，所以；（2）取的中点M，连接OM，OS，则OM，OS，OA两两垂直，所以以O为坐标原点，以OM为x轴，以OA为y轴，以OS为z轴建立如图空间直角坐标系，则，，，，，由（1）知平面BDE，所以是平面BDE的一个法向量，设平面BDC的法向量为，因为，则，取，则，因此，由图可知平面EBD与平面BDC所成角为钝角，所以平面EBD与平面BDC所成角的余弦值为．(二)线面垂直8．已知在长方体中，在平面上任取一点，作于，则（

）A．平面 B．平面C．平面 D．以上都有可能【答案】A【解析】平面，，即平面，平面，又平面平面，平面平面，平面.故选A.9.已知平面、和直线、，则下列说法：①若，，，则；②若，，，则；③若，，则；④若，，，，则.其中正确的说法序号为________．【答案】④【解析】对于①，若，，，则与的位置关系不确定，①错；对于②，若、不垂直，则与不垂直，②错；对于③，若，，则与不一定垂直，③错；对于④，由面面垂直的性质定理可知④对.10.如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于的母线．(1)证明：平面；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值．【解析】(1)证明：如图，连接，由题意知为的直径，所以．因为是圆柱的母线，所以且，所以四边形是平行四边形．所以，所以．因为是圆柱的母线，所以平面，又因为平面，所以．又因为，平面，所以平面．(2)由（1）知是三棱锥底面上的高，由（1）知，所以，即底面三角形是直角三角形．设，则在中有：，所以，当且仅当时等号成立，即点E，F分别是，的中点时，三棱锥的体积最大，（另解：等积转化法：易得当F与距离最远时取到最大值，此时E、F分别为、中点）下面求二面角的正弦值：法一：由（1）得平面，因为平面，所以．又因为，所以平面．因为平面，所以，所以是二面角的平面角，由（1）知为直角三角形，则．故，所以二面角的正弦值为．法二：由（1）知两两相互垂直，如图，以点E为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则．由（1）知平面，故平面的法向量可取为．设平面的法向量为，由，得，即，即，取，得．设二面角的平面角为，，所以二面角的正弦值为(三)面面垂直11.（2022届吉林省洮南市第一中学高三下学期第一次线上考试）已知三棱锥中，，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球的表面积为______．【答案】【解析】取的中点，连接，，如图所示：因为，所以为的外接圆圆心，又因为，为的中点，所以.因为平面平面，所以平面，所以三棱锥的外接球球心在直线上.在上取一点，使得，即为三棱锥的外接球球心，设，，所以，.在中，，所以，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.12.（2023届广东省高三上学期开学联考）如图所示，在直三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，是的中点，是上一点．(1)求证：平面平面；(2)若平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．【解析】（1）在直三棱柱中，平面，因为平面，所以，因为是等边三角形，D是AB的中点，所以，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以，平面平面．（2）取中点，连接、，记，则是中点，连接，则平面平面，因为平面，平面，所以，因为是中点，所以是中点．所以，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图，则，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则，所以，即，令，得，因为平面，所以平面的一个法向量为，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值.(四)异面直线所成角13.在长方体中，点E为的中点，，且，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，由可得或其补角即为异面直线AE与BC所成角，又面，面，则，则，同理可得，，则，，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为.14.（2022届重庆市缙云教育联盟高三下学期3月质量检测）在三棱锥中，，，异面直线PA，BC所成角为，，，则该三棱锥外接球的表面积为______．【答案】【解析】过点A作AD∥BC，过点C作CD∥AB，AD与CD相交于点D，连接PD，因为AB⊥BC，所以AD⊥CD，又，所以四边形ABCD为正方形，所以CD=AD=4，异面直线PA，BC所成角为∠PAD，所以或，因为AB⊥BC，所以AB⊥AD，又因为，，所以AB⊥平面PAD，因为平面PAD，所以AB⊥PD，故，因为PC=8，由勾股定理得：，当时，如图，在△PAD中，由余弦定理得：，解得：，则，所以，因为，所以PD⊥平面ABCD，取PB中点O，对角线AC，BD相交于点E，则E为BD中点，连接OE，则OE∥PD，所以OE⊥平面ABCD，则点O即为该三棱锥外接球的球心，其中，EB=，由勾股定理得：，即半径，外接球表面积为.当时，如图，在△PAD中，由余弦定理得：，解得：，则过点P作PN⊥AD交DA的延长线于点N，则∠PAN=，故，，因为AB⊥平面PAD，平面PAD，所以AB⊥PN，因为，所以PN⊥平面ABCD，对角线AC，BD相交于点E，根据△ABC为直角三角形，AC为斜边，故E为球心O在平面ABC的投影，即OE⊥平面ABCD，过点O作OM⊥PN于点M，连接EN，OP，OC，则OM=EN，OE=MN，OC=OP且为外接球半径，其中，由余弦定理得：，设OE=MN=h，由勾股定理得：，即，解得：，代入上式，解得，即半径，外接球表面积为.(五)直线与平面所成角15.在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（

）A．45° B．90°C．正切值为2 D．正切值为【答案】A【解析】长方体中，直线平面，所以就是直线与平面所成的角，在中，，，所以，所以.故选A.16.如图，在棱长为的正方体中，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正切值为________．【答案】【解析】连接，平面，即为直线与平面所成角，在中，，，.三、最新模拟练17.（2022届广东省潮州市高三上学期期末）若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得，设该圆锥的母线与底面所成角，则，所以．故选C18.（2022届河南省安阳市重点高中高三模拟调研）在四面体ABCD中，，平面BCD，.过点B作垂直于平面ACD的平面截该四面体，若截面面积存在最大值，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】在四面体ABCD中，，平面BCD，.∵平面BCD，平面BCD，，又，,则平面，过作于点，过点作,则平面，平面，故，，则平面，平面，故平面平面ACD，设，设，在中，，，在中，，，，在△中，，则，故，故，令，，得，当时，，当时，，故函数在时单调递减，在时单调递增，即当时，有最小值，此时截面面积最大，故当，时，截面面积最大，故若截面面积存在最大值，则，故的最大值为，故选C.19.（多选）（2022届湖北省襄阳市第五中学高三下学期适应性考试）是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】对于A：由、，可得，又，所以，故A正确；对于B：由、，可得，又，则或，故B错误；对于C：由，则或，又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误；对于D：由、，可得，又，所以，故D正确；故选AD20.（2023届广东省惠州市高三上学期第一次调研）如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，，M是PC上的一动点，当点M满足___________时，平面MBD⊥平面PCD.（只要填写一个你认为正确的条件即可）【答案】（或，等都可）【极限】解：可填，由为菱形，则，∵平面，平面，所以，又，∴平面，又平面，∴，又，，所以平面MBD，又因平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.故答案为：.（或，等都可）21.（2022届福建省福州格致中学高三模拟）如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，∠ABC=，∠B1BD=，（1）求证：直线AC⊥平面BDB1；（2）求直线A1B1与平面ACC1所成角的正弦值.【解析】（1）连接交于，因为，，，所以，故又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以又四边形为菱形，故而，所以平面方法二：因为，所以点在平面内的射影在为的平分线，又四边形为菱形，故为的平分线，则直线故平面平面，而平面平面，又四边形为菱形，故所以平面（2）延长交于点，平面即为平面，平面即平面由（1）得平面平面，平面平面，所以过做，则平面，故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）因为四棱台中，所以，由菱形有，且∠ABC=，所以，作，因为，则，，所以，则，，，故.法二：延长交于点，平面即为平面，平面即平面，设直线与平面所成角为过作，垂足为，因为，所以建系，以为轴，作轴，设平面的法向量为，则，所以，所以22.（2023届湘豫名校联考高三上学期8月入学摸底）如图，在四棱锥中，平面，且.(1)证明：；(2)若点为的中点，求点到平面的距离.【解析】（1）过点作交于，连接，如图，在中，，，又，，四边形为矩形，，，，，，在中，，，，，平面，平面，.平面平面，平面.平面，.（2）过作交于，连接，如图，又平面，平面，点为的中点，三棱锥的高，，在中，，为的中点，，又点为的中点，，，在中，，平面，平面，，在中，，在中，由余弦定理得，，.设点到平面的距离为，则，解得，点到平面的距离为.四、高考真题练23.（2022新高考全国卷Ⅰ）（多选）已知正方体,则A.直线与所成的角为 B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为 D.直线与平面ABCD所成的角为【答案】ABD【解析】如图,连接、,因为,所以直线与所成的角即为直线与所成的角,因为四边形为正方形,则,故直线与所成的角为,A正确；连接,因为平面,平面,则,因为,,所以平面,又平面,所以,故B正确；连接,设,连接,因为平面,平面,则,因为,,所以平面,所以为直线与平面所成的角,设正方体棱长为,则,,,所以,直线与平面所成的角为,故C错误；因为平面,所以为直线与平面所成的角,易得,故D正确.故选ABD.24.（2022高考全国卷乙）在正方体中,E,F分别为的中点,则（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】A【解析】在正方体中,且平面,平面,所以,因为分别为的中点,所以,所以,又,所以平面,又平面,所以平面平面,故A正确；对于选项B,如图所示,设,,则为平面与平面的交线,在内,作于点,在内,作,交于点,连结,则或其补角为平面与平面所成二面角的平面角,由勾股定理可知：,,底面正方形中,为中点,则,由勾股定理可得,从而有：,据此可得,即,据此可得平面平面不成立,选项B错误；对于选项C,取的中点,则,由于与平面相交,故平面平面不成立,选项C错误；对于选项D,取的中点,很明显四边形为平行四边形,则,由于与平面相交,故平面平面不成立,选项D错误；故选A25.（2022高考全国卷乙）如图,四面体中,,E为的中点．（1）证明：平面平面；（2）设,点F在上,当的面积最小时,求与平面所成的角的正弦值．【解析】（1）因为,点E为AC中点,所以,因为,所以△ABD≌△CBD,,因为点E为AC中点,所以,因为,所以平面BED,因为平面ACE,所以平面ACE平面BED.（2）连接,由（1）知,平面,因为平面,所以,所以,当时,最小,即的面积最小.因为,所以,又因为,所以是等边三角形,因为E为的中点,所以,,因为,所以,在中,,所以.以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设,则=,因为,所以,所以,所以,设平面ABD的一个法向量,则,即,取,则,设CF与平面ABD所成角为,则.所以CF与平面ABD所成角的正弦值为.26.（2022高考全国卷甲）在四棱锥中,底面．

（1）证明：；（2）求PD与平面所成的角的正弦值．【解析】(1)在四边形中,作于,于,因为,所以四边形为等腰梯形,所以,故,,所以,所以,因为平面,平面,所以,又,所以平面,又因平面,所以.解：如图,以点为坐标原点,直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则,则,设平面的法向量,

则有,即,取,则,设PD与平面所成的角为,则,所以与平面所成角的正弦值为.五、综合提升练27.（2022届浙江省绍兴市柯桥区高三下学期5月适应性考试）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线，又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得.过A作面EFG，垂足为P，过A作，垂足为Q，连接，易得即为直线与平面所成的角，则，又面EFG，面EFG，则，又，面，，所以面，面，则，则即为平面与底面所成的锐二面角，则，又，则，同理可得，则，又由，，则，故，A，C错误；故，由可