第四章 《图形的相似》-解析版

一、比例线段二、比例及比例的性质三、平行线分线段成比例定理四、黄金分割五、位似六、相似三角形的判定七、相似三角形的性质八、相似三角形的判定及性质九、相似三角形的应用十、相似基本图形（一）A型（二）X型（三）射影定理一、比例线段1．（2021-2022成都九年级（上）期中·4）（3分）下列各组线段（单位：cm）中，成比例线段的是（）A．1，2，3，4 B．2，3，5，8 C．2，，3， D．1，2，3，6【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．【解答】解：A、1×4≠2×3，故选项不符合题意；B、2×8≠5×3，故选项不符合题意；C、×3≠2×，故选项不符合题意；D、1×6＝2×3，故选项符合题意．故选：D．【点评】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．2．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·2）（3分）下列长度的各组线段中，能构成比例的是（）A．2，5，6，8 B．3，6，9，18 C．1，2，3，4 D．3，6，7，9【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【解答】解：A、2×8≠5×6，故错误；B、3×18＝6×9，故正确．C、1×4≠2×3，故错误；D、3×9≠6×7，故错误．故选：B．【点评】理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．3．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·4）（3分）下列四组线段中，不是成比例线段的是（）A．c＝3，b＝6，c＝2，d＝4 B．a＝1，b＝，c＝，d＝2 C．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10 D．a＝2，b＝，c＝2，d＝【分析】只要判断四个数中最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积即可判断．【解答】解：A、6×2＝3×4，是成比例线段，故本选项不符合题意；B、1×2＝×，是成比例线段，故本选项不符合题意；C、6×5≠4×10，不是成比例线段，故本选项符合题意；D、2×＝×2，是成比例线段，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了比例线段，理解判断的方法：最大的和最小的两个数的乘积等于中间两个数的乘积是关键．4．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·12）（4分）已知四条线段，2，，6成比例，则的值为．【考点】比例线段【专题】图形的相似；应用意识【分析】由四条线段，2，，6成比例，根据成比例线段的定义解答即可．【解答】解：四条线段，2，，6成比例，，，，．故答案为：．【点评】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．二、比例及比例的性质（一）选择题1．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·1）（3分）已知，则下面结论成立的是A． B． C． D．【考点】比例的性质【分析】根据等式的性质，可得答案．【解答】解：、因为，两边都除以，得，故符合题意；、两边除以不同的整式，故不符合题意；、因为，两边都除以，得，故不符合题意；、两边除以不同的整式，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了等式的性质，利用等式的性质是解题关键．2．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·3）（3分）已知，则的值是A． B． C．3 D．【考点】比例的性质【专题】分式；运算能力【分析】根据得出，再把要求的式子化成，然后进行计算即可得出答案．【解答】解：，，．故选：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．（二）填空题1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·11）（4分）已知：，则．【考点】：比例的性质【专题】11：计算题【分析】分别设为，，进而得到用，表示的，的值，把它们代入所给代数式求解即可．【解答】解：设为，，则，．，故答案为．【点评】考查等比性质的应用：若，则．2．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·11）（4分）已知，则．【考点】：比例的性质【专题】513：分式；66：运算能力【分析】依据，即可得到，代入代数式进行计算即可．【解答】解：，，，，故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的性质，解题时注意：内项之积等于外项之积．3．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·11）（4分）（2020秋•双流区校级期中）已知，则的值为．【考点】比例的性质【专题】分式；运算能力【分析】根据，设，，，再代入要求的式子进行计算即可．【解答】解：，设，，，．故答案为：2．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·3）（3分）已知＝，则的值为（）A． B． C． D．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．【点评】此题主要考查了比例的性质，用同一未知数表示出各数是解题关键．5．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·11）（4分）若，则＝．【分析】根据比例设x＝3k，y＝2k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．【解答】解：∵＝，∴设x＝3k，y＝2k（k≠0），∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．6．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·11）（4分）已知＝，则＝．【分析】根据题意，设x＝3k，y＝4k，代入即求得的值．【解答】解：设x＝3k，y＝4k，∴＝＝﹣．【点评】已知几个量的比值时，设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现消元．7．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·11）（4分）若，则的值等于．【分析】利用已知条件，用b表示a得到a＝b，然后代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵，∴a＝b，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．8．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·11）（4分）已知，则＝．【分析】根据＝，得出＝，再把化成1+，即可得出答案．【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝1+＝1+＝．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件得出＝．9．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·12）（4分）若，则＝．【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．【解答】解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，则．故答案为：．【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．10．（2021-2022成都九年级（上）期中·11）（4分）若，则＝．【分析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可．【解答】解：∵＝，∴3（x+y）＝5y，∴3x＝2y，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积的性质，需熟记．（三）解答题1．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·17）（8分）若＝＝，且x+2y+3z＝40，求3x+4y+5z的值．【分析】设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，所以2k+6k+12k＝40，解得k＝2，然后用k表示3x+4y+5z，从而得到3x+4y+5z的值．【解答】解：设＝＝＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∵x+2y+3z＝40，∴2k+6k+12k＝40，解得k＝2，∴3x+4y+5z＝6k+12k+20k＝38k＝38×2＝76．【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．2．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·16）（6分）已知＝＝＝6（b+d+f≠0），且k＝．（1）求k的值；（2）若x1，x2是方程x2﹣5x+k﹣5＝0的两根，求x12+x22的值．【分析】（1）由＝＝＝6（b+d+f≠0），则a＝6b，c＝6d，e＝6f，代入k＝可得结论；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1•x2＝k﹣2，然后变形x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2，再把x1+x2＝5，x1•x2＝k﹣5整体代入计算即可．【解答】解：（1）∵＝＝＝6（b+d+f≠0），∴a＝6b，c＝6d，e＝6f，∴k＝＝＝6；（2）∵x1，x2是方程x2﹣5x+k﹣5＝0的两根，∴x1+x2＝5，x1•x2＝k﹣5，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝52﹣2（k﹣5）＝25﹣2k+10＝35﹣2k＝35﹣12＝23．【点评】本题考查了比例的性质和一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1•x2＝．三、平行线分线段成比例定理1．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·4）（3分）如图，l1∥l2∥l3，且＝，则错误的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根据比例的性质、平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可．【解答】解：A、∵＝，∴＝，本选项说法正确，不符合题意；B、∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，本选项说法正确，不符合题意；C、的值无法确定，本选项说法错误，符合题意；D、∵l1∥l2∥l3，∴＝＝，本选项说法正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．2．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·9）（3分）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A． B． C． D．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵，∴；故选：A．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键．3．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·6）（3分）如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若，则的值为（）A． B． C． D．【分析】直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴，∵，∴；故选：A．【点评】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键．4．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·5）（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F．若AB：BC＝2：3，EF＝9，则DE的长是（）A．4 B．6 C．7 D．12【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AB：BC＝DE：EF，再求出答案即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC＝DE：EF．∵AB：BC＝2：3，EF＝9，∴DE＝6．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．5．（2021-2022成都九年级（上）期中·7）（3分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1，l2，l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（）A．2 B．3 C．4 D．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，∴＝，∵AB＝5，BC＝6，EF＝4，∴＝，∴DE＝，故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．6．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·3）（3分）如图，在直角三角形中，，，，点、分别为和的中点，则A．3 B．4 C．5 D．6【考点】勾股定理；三角形中位线定理【专题】计算题【分析】根据三角形的中位线定理的数量关系“三角形的中位线等于第三边的一半”，进行计算．【解答】解：直角三角形中，，，，，点、分别为、的中点，是的中位线，．故选：．【点评】此题考查了三角形的中位线定理，熟练掌握定理内容是解题的关键．7．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·7）（3分）（2020秋•双流区校级期中）如图，在中，，，，，则的长为A．2 B．3 C．4 D．5【考点】平行线分线段成比例【专题】图形的相似；推理能力【分析】利用平行线分线段成比例定理，利用比例性质求出即可．【解答】解：，，，，，代入得，，故选：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．8．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·7）（3分）已知线段a、b、c，若求作线段x，使a：b＝c：x，则以下作图正确的是（）A． B． C． D．【分析】利用比例式a：b＝c：x，与已知图形作对比，可以得出结论．【解答】解：A、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项A不正确；B、a：b＝x：c与已知a：b＝c：x不符合，故选项B不正确；C、a：c＝x：b与已知a：b＝c：x不符合，故选项C不正确；D、a：b＝c：x与已知a：b＝c：x符合，故选项D正确；故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、复杂作图，熟练掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．9．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·13）（4分）如图，．若，，则．【考点】平行线分线段成比例【专题】图形的相似；几何直观【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，然后根据比例性质求的长．【解答】解：，，．故答案为10．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·14）（4分）如图，直线，直线分别交，，于点，，；直线分别交，，于点，，．与相交于点，且，，，则的值为．【考点】平行线分线段成比例【分析】求出，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．【解答】解：，，，，；故答案为：．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟记平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．四、黄金分割1．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·10）（3分）已知点、点是线段的两个黄金分割点，且，那么的长为A． B． C． D．【考点】黄金分割【专题】推理能力；运算能力；图形的相似【分析】先由黄金分割的比值求出，再由进行计算即可．【解答】解：如图，点、是线段的黄金分割点，，，，故选：．【点评】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键．2．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·4）（3分）已知线段AB＝4，点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则线段AC＝（）A．2﹣1 B．2﹣2 C．6﹣ D．6﹣2【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，求出AB，再根据BC＝AB﹣AC，即可得出BC的长．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），∴AC＝AB，∵AB＝4，∴AC＝2﹣2故选：B．【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·6）（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，若AB＝2，则AC的长为（）A．﹣1 B． C．3﹣ D．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC为较长线段；则AC＝AB，代入数据即可得出AC的值．【解答】解：∵C为线段AB＝5的黄金分割点，且AC＞BC，AC为较长线段，∴AC＝＝﹣1，故选：A．【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算，难度适中．4．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·7）（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（）A．200（﹣1） B．100（﹣1） C．100（3﹣） D．50（﹣1）【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，把AB＝200代入计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB，而AB＝200，∴AC＝×200＝100（﹣1）．故选：B．【点评】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．5．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·2）（3分）已知C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB＝2，则BC＝（）A．﹣1 B． C．3﹣ D．【分析】根据黄金分割点的定义，知AC是较短线段，由黄金分割的公式：较长的线段＝原线段的倍，计算即可．【解答】解：∵线段AB＝2，点C是AB黄金分割点，AC＜BC，∴BC＝2×＝﹣1；故选：A．【点评】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，倍，较长的线段＝原线段的倍．6．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·7）（3分）若点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8cm，AC＞BC，则AC等于（）A．cm B．2（﹣1）cm C．4（﹣1）cm D．6（﹣1）cm【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC＝AB＝4（﹣1）cm．故选：C．【点评】考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值．7．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·8）（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝200，则AC的长度是（）A．200（﹣1） B．100（﹣1） C．100（3﹣） D．50（﹣1）【分析】根据黄金分割的定义得到AC＝AB，把AB＝200代入计算即可．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB，而AB＝200，∴AC＝×200＝100（﹣1）．故选：B．【点评】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中．8．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·13）（4分）如图，已知点为线段的靠近点的黄金分割点，其中线段，则线段的长度为．【考点】黄金分割【专题】图形的相似；运算能力；推理能力【分析】由黄金分割点的定义得，再求出的长，即可求解．【解答】解：点为线段的靠近点的黄金分割点，，，，，故答案为：．【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义和黄金比值．9．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·13）（4分）当人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是黄金分割比时，人们认为是“最美人体”，著名的“断臂维纳斯”雕像便是如此，该雕像的高约为2米，则此雕像的肚脐到足底的长度是米．【考点】黄金分割【专题】图形的相似；运算能力；推理能力【分析】设雕像的肚脐到足底的长度为米，由黄金分割的定义得出方程解答即可．【解答】解：设雕像的肚脐到足底的长度为米，由题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，则，即此人的肚脐到足底的长度约为1.24米．故答案为：1.24．【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．10．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·22）（4分）点C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），分别以线段AC和BC为边作等边三角形，那么这两个等边三角形的周长比为．【分析】由黄金分割点的定义得＝＝，再由等边三角形的性质求解即可．【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），∴＝＝，∵以线段AC和BC为边的两个等边三角形的周长分别为：3AC、3BC，∴这两个等边三角形的周长比为：3AC：3BC＝AC：BC＝，故答案为：．【点评】此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＜BC），且使BC是AB和AC的比例中项（即AB：BC＝BC：AC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．11．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·22）（4分）如图，在一个改良版的飞镖盘中，、是线段上的两个黄金分割点，连接、．现向区域内随机投掷一枚飞镖，投中阴影部分的概率是．【考点】黄金分割；几何概率【专题】图形的相似；应用意识【分析】根据黄金分割的概念得到，，进而求出，根据三角形面积公式、概率的概念计算即可．【解答】解：、是线段上的两个黄金分割点，，，，，投中阴影部分的概率，故答案为：．【点评】本题考查的是黄金分割的概念、概率的计算，熟记黄金比值为是解题的关键．12．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·23）（4分）同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点，若＝＝kn，则称点C为线段AB的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若＝＝k2，则称点C为线段AB的“近A，2阶黄金分割点”；若＝＝k3，则称点C为线段AB的“近A，3阶黄金分割点”．若点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”时，k6＝．【分析】由题意得＝＝k6，则BC＝k6AC，再由AB＝BC+AC＝k6AC+AC，＝k6，整理得k62+k6﹣＝0，解方程即可．【解答】解：∵点C为线段AB的“近A，6阶黄金分割点”，∴＝＝k6，∴BC＝k6AC，∵点C是线段AB上一点，∴AB＝BC+AC＝k6AC+AC，∵＝k6，∴＝k6，整理得：k62+k6﹣＝0，解得：k＝﹣或k＝，经检验，k＝﹣或k＝是原方程的解，但k＝﹣＜0（舍去），∴k＝，故答案为：k＝．【点评】本题考查了黄金分割，理解“近A，n阶黄金分割点”的定义是解题的关键．五、位似（一）选填题1．（2020-2021成都双流棠湖中学九年级（上）期中·5）（3分）在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到，则点的对应点的坐标为A． B． C．或 D．或【考点】：坐标与图形性质；：位似变换【专题】：图形的相似；68：模型思想【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．即可求得答案．【解答】解：三个顶点的坐标分别为，，，以原点为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍，得到，点的对应点的坐标为：或．故选：．【点评】此题考查了位似变换与坐标的关系，正确掌握位似图形的性质是解题关键．2.（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·8）（3分）如图，设缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点，连接，取的中点，再连接、，取它们的中点、，得到，下列说法错误的是A．与是位似图形 B．与是相似图形 C．与的周长比是 D．与的面积比是【考点】位似变换【专题】图形的相似；推理能力【分析】位似图形同时也是相似图形，位似比等于其相似比，等于其对应边的比，对应周长的比，面积比等于位似比的平方．【解答】解：由于是由缩小一半得到，所以与是位似图形，①正确；位似图形也是相似图形，②正确；将缩小为原来的一半，得到，所以与的位似比为，所以其周长比也为，③正确；所以其面积比为，④错误，符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了位似变换问题，其中涉及位似比与周长面积之间的关系问题，能够熟练掌握．3．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·8）（3分）与△是位似图形，且与△位似比是，已知的面积是20，则△的面积是A．10 B．20 C．40 D．80【考点】位似变换【专题】图形的相似；推理能力【分析】根据位似图形的概念得到△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：与△是位似图形，与△位似比是，△，且与△相似比是，与△面积比是，，，故选：．【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．4．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·8）（3分）如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝：，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（）A．： B．2：3 C．2：5 D．4：9【分析】根据两个图形是相似形，根据相似图形的性质：面积之比等于对应边之比的平方可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形，OA：OA'＝：，∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比：（）2：（）2＝2：3，故选：B．【点评】此题主要考查了位似变换，关键是掌握相似图形的性质．5．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·3）（3分）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′BC′的位似比是2：3，那么这两个相似三角形面积的比是（）A．2：3 B．： C．4：9 D．8：27【分析】先利用位似的性质得到△ABC与△A′BC′的相似比是2：3，然后根据相似三角形的性质可得到这两个相似三角形面积的比．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′BC′的位似比是2：3，∴△ABC与△A′BC′的相似比是2：3，∴这两个相似三角形面积的比为4：9．故选：C．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，也考查了相似三角形的性质．6．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·13）（4分）如图，在平面直角坐标系中，将各顶点的横、纵坐标都乘以一个相同的数得到，若，，，则点的坐标为．【考点】：坐标与图形性质；：位似变换【专题】：图形的相似【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比进而得出答案．【解答】解：将各顶点的横、纵坐标都乘以一个相同的数得到，，，对应点坐标同乘以2.5即可，故，对称点的坐标为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点坐标变化是解题关键．（二）解答题1．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·18）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，点坐标为．（1）画出将向左平移5个单位长度的△；（2）画出和以点为位似中心的位似图形△，△和位似比为，且位于点的两侧．（3）直接写出、、三个点的坐标．【考点】作图平移变换；作图位似变换【专题】作图题；几何直观【分析】（1）分别作出，，的对应点，，即可．（2）分别作出，，的对应点，，即可．（3）根据点的位置确定坐标即可．【解答】解：（1）如图，△即为所求作．（2）如图，△即为所求作．（3）由图可知：，，．【点评】本题考查作图位似变换，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·17）（6分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．（1）以原点为位似中心，画三角形，使它与位似，且相似比为；（2）内部一点的坐标为，写出点在（1）中的位似图形中对应点的坐标．【考点】作图位似变换【专题】网格型；几何直观【分析】（1）分在位似中心的同侧和异侧两种情形；（2）直接利用位似比可得出坐标．【解答】解：（1）如图，△，△即为所求；（2）若对应点在△中，对应点坐标为，若对应点在△中，对应点坐标为．故对应点坐标为：或．【点评】本题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质得出对应点的位置是解题的关键．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·17）（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）在网格内以点O为位似中心，使△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2，请画出△A2B2C2．【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；（2）根据位似中心的性质画出点A、B、C的对应点即可．【解答】解：如图所示：【点评】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，位似变换，根据轴对称和位似变换的性质，找出顶点A、B、C的对应点即可．4．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·16）（6分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，并给出了格点△ABC（顶点为网格线的交点）．（1）若△A1B1C1与△ABC以点O为对称中心对称，画出△A1B1C1．（2）若△A2B2C2，与△ABC以点O为位似中心位似，A2B2＝2AB，在第四象限，画出△A2B2C2．【分析】（1）分别作出三个顶点关于原点的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）根据位似变换的定义分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．【点评】本题主要考查作图—旋转变换和位似变换，解题的关键是掌握旋转变换和位似变换的定义和性质．5．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·17）（7分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是．（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．【分析】（1）将三个顶点分别向下平移5个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；（2）延长BA到A2，使BA2＝2BA，延长BC到C2，使BC2＝2BC，继而可得答案．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点C1的坐标是（2，﹣3），故答案为：（2，﹣3）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标是（1，0）．【点评】本题主要考查作图—平移变换和位似变换，解题的关键是掌握平移变换和位似变换的定义和性质．6．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·17）（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（1，3），B（4，1），C（1，1）．（1）画出△ABC关于x轴成轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC以点O为位似中心，位似比为1：2的△A2B2C2．并写出C2的坐标．【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1（1，﹣3），B1（4，﹣1），C1（1，﹣1），然后描点即可；（2）把点A、B、C的横纵坐标分别乘以或﹣得到A2，B2，C2的坐标，然后描点即可．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所求；（2）如图，△A2B2C2为所求；C2点的坐标为（，）或（﹣，﹣）．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了轴对称变换．7．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·17）（8分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；（3）求出△OA2B2的面积．【分析】（1）直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（3）以x轴为分割线，将△OA2B2分成两部分，即可求得△OA2B2的面积．【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1即为所求；（2）如图所示：△OA2B2即为所求；（3）△OA2B2的面积＝×5×（2+2）＝10．【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．8．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·18）（8分）如图，△ABC在平面直角坐标系内三顶点坐标分别为A（1，2），B（3，3），C（3，1）．（1）先画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）以B为位似中心，在B的下方画出△A1BC1，使△A1BC1与△ABC相似且相似比为2：1；（3）直接写出A1与C1点的坐标，△A1BC1的面积．【分析】（1）在平面直角坐标系中找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可；（3）延长BA至A1，使BA1＝2BA，延长BC至C1，使BC1＝2BC，然后顺次连接A1、B、C1即可；（4）根据平面直角坐标系写出点A1与C1点的坐标，根据三角形的面积列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）△ABC如图所示；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求作的△ABC关于y轴对称的图形；（3）如图所示，△A1BC1即为所求作的△ABC以B为位似中心，相似比为2：1的图形；（4）A1（﹣1，1），C1（3，﹣1），△A1BC1的面积＝BC1•A1C＝×4×4＝8．【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．9．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·22）（4分）如图，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（4，0），以O为位似中心，按比例尺1：2将△AOB放大后得△A1O1B1，则A1坐标为．【分析】根据位似变换的性质，结合图形，以O为位似中心，将△AOB放大2倍则点A、B的横坐标与纵坐标都扩大2倍，写出即可，再根据对称性可得结论．【解答】解：根据题意，按比例尺1：2将△AOB放大，则点A的横坐标与纵坐标都扩大2倍，∵点A的坐标为（3，4），∴A1坐标为（6，8），根据对称性可知A1坐标可以为（﹣6，﹣8），故答案为：（6，8）或（﹣6，﹣8）．【点评】本题考查了位似变换变换，把三角形的放大转换为坐标的变化是解题的关键．六、相似三角形的判定1．（2020-2021成都双流中和中学九年级（上）期中·5）（3分）如图，，则下列各式不能说明的是A． B． C． D．【考点】：相似三角形的判定【专题】1：常规题型【分析】根据，可知，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．【解答】解：和符合有两组角对应相等的两个三角形相似；、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．故选：．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．2．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·8）（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（）A． B． C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠1＝∠2∴∠DAE＝∠BAC∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．3．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·8）（3分）如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A．∠D＝∠B B．∠E＝∠C C． D．【分析】根据∠1＝∠2，可知∠DAE＝∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．【解答】解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．（2021-2022成都九年级（上）期中·8）（3分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B． C．∠C＝∠AED D．【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，∴选项A，C根据两角对应相等判定△ABC∽△ADE，选项D根据两边成比例夹角相等判定△ABC∽△ADE，选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．5．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·23）（4分）如图，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，当△QBP与△ABC相似时，运动的时间为秒．【分析】设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论，由相似三角形的性质列出方程可求解．【解答】解：设经过t秒时，△QBP与△ABC相似，则AP＝2t厘米，BP＝（8﹣2t）厘米，BQ＝4t厘米，∵∠PBQ＝∠ABC，∴当时，△BPQ∽△BAC，即，解得t＝2；当时，△BPQ∽△BCA，即，解得t＝0.8；即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似．故答案为2或0.8．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．七、相似三角形的性质1．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·5）（3分）已知两个相似三角形的相似比为，则它们的对应高的比为A． B． C． D．【考点】相似三角形的性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【解答】解：因为两个相似三角形的相似比为，所以这两个三角形的对应高的比为．故选：．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．2．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·8）（3分）如图，已知△ABC∽△A′B′C′，则图中角度α和边长x分别为（）A．40°，9 B．40°，6 C．30°，9 D．30°，6【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等解答．【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠α＝40°，x＝，故选：A．【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质，关键是根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等解答．3．（2021-2022成都七中育才九年级（上）期中·14）（4分）如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片，将它对折两次后得到一张小矩形纸片，若要使小矩形与原矩形相似，则a、b的大小关系式为．【分析】根据相似四边形的性质得出比例式，再求出答案即可．【解答】解：∵小矩形与原矩形相似，原矩形纸片的边长为a、b，∴，∴a2＝4b2，∴a＝2b（负数舍去），故答案为：a＝2b．【点评】本题考查了矩形的性质和相似多边形的性质，能根据相似得出比例式是解此题的关键．4．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·3）（3分）△ABC与△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的面积比＝（）2＝．故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．5．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·6）（3分）如图，在中，点在上，，交于，则下列结论不正确的是A． B． C． D．【考点】：平行线分线段成比例【分析】根据平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质解答即可．【解答】解：，，，，，结论正确；，，结论正确；，，结论正确；，，，结论错误，故选：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，灵活运用平行线分线段成比例定理、掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．6．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·1）（3分）已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的周长比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．1：16【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，∴它们的周长比为：1：4．故选：A．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形的性质是解题关键．7．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·8）（3分）如图，在中，点，分别是边，的中点，若．则四边形的面积为A．4 B．8 C．12 D．16【考点】三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质【专题】图形的相似；推理能力【分析】由三角形的中位线定理可得，，可证，可得，即可求解．【解答】解：点，分别是边，的中点，，，，，，四边形的面积，故选：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键．7．（2021-2022成都大邑县九年级（上）期中·12）（4分）如图，已知△ABC∽△AMN，点M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，则AN＝．【分析】根据相似三角形的性质，得，代入数据得出AN的长即可．【解答】解：∵△ABC∽△AMN，∴，∵M是AC的中点，AB＝6，AC＝8，∴AM＝MC＝4，∴，解得AN＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边的比相等．8．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·23）（4分）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．在四边形中，对角线是它的相似对角线，，平分，那么度．【考点】相似图形【专题】图形的相似；几何直观【分析】依据四边形的相似对角线的定义，即可得到，，，再根据四边形内角和为，即可得到的度数．【解答】解：如图所示，，平分，，又对角线是它的相似对角线，，，，，又，，故答案为：145．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，理解新定义“相似对角线”，利用相似三角形的性质是解题的关键．八、相似三角形的判定及性质1．（2021-2022成都锦江区嘉祥外国语学校九年级（上）期中·9）（3分）如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，EC交对角线BD于点F，则＝（）A． B．2 C． D．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EDF∽△CBF，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE，∴DE：BC＝1：2，∴＝．故选：D．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，清楚相似三角形的对应边成比例是解题关键．2．（2021-2022成都青羊区树德中学九年级（上）期中·7）（3分）如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为A．8 B．12 C．14 D．16【考点】：相似三角形的判定与性质；：三角形中位线定理【专题】1：常规题型【分析】直接利用三角形中位线定理得出，，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：在中，点、分别是、的中点，，，，，，的面积为4，的面积为：16，故选：．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出是解题关键．3．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·13）（4分）如图，在正方形ABCD中，点E在边BC上（点E不与点B重合），连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，交CD于点G．若AB＝2，G是CD的中点，AF的长为．【分析】根据正方形的性质得出∠ABE＝∠BCG＝90°，进而得出∠BAE＝∠CBG，可证△ABF∽△CBG，由相似三角形的性质可求解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABE＝∠BCG＝90°，∵∠BAE+∠ABF＝90°，∠CBG+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBG，∴△ABF∽△CBG，∴，∵AB＝2，G是CD的中点，正方形ABCD，∴BC＝2，CG＝1，∴BG＝＝，∴，解得：AF＝，故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．4．（2021-2022成都九年级（上）期中·13）（4分）如图，∠1＝∠B，AD＝5cm，AB＝10cm，则AC＝．【分析】先证明△ADC∽△ACB得出，再把AD＝5cm，AB＝10cm代入计算，即可求出AC的长．【解答】解：∵∠1＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB，∴，∵AD＝5cm，AB＝10cm，∴，∴AC＝5或﹣5（舍去），故答案为：5cm．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用两角对应相等证明两个三角形相似是解决问题的关键．5．（2021-2022成都实验外国语学校西区九年级（上）期中·23）（4分）在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝4，CD＝2，则△ABC的边长为．【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此知，即，解之可得．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，∵∠APD＝60°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC，即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD；∴，∵BP＝4，CD＝2，∴，解得AB＝8，∴△ABC的边长为8．故答案为：8．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．6．（2021-2022成都金牛区蜀西实验中学九年级（上）期中·16）（8分）如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝8，BD＝4，求CD的长．【分析】（1）根据两角对应相等证明△ABD∽△CBA；（2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可．【解答】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA；（2）解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴，∴，解得，x＝12；即CD＝12．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键．7．（2021-2022成都青羊区石室中学九年级（上）期中·18）（8分）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示；他在地面上的影子如图中线段所示，路灯灯泡在点正上方．（1）如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高．（2）在（1）的条件下当小明越过路灯到达时，发现影长和身高相等，求小明前行的路程．【考点】相似三角形的应用；中心投影【专题】应用意识；三角形；图形的相似【分析】（1）设灯泡所在位置为点，连接，证，根据线段比例关系求出即灯泡的高度；（2）设影子长为，连接，证，根据线段比例关系求出即可求出小明前进的路程．【解答】解：（1）设灯泡所在位置为点，连接，，，，，，，，解得，灯泡的高为；（2）设影子长为，连接，，，，，，，小明前行的路程为．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，利用相似三角形得比例关系是解题的关键．8．（2021-2022成都金牛区铁路中学九年级（上）期中·26）（8分）如图，一块直角三角形木板，直角边AB的长为1.5米，三角形的面积为1.5平方米，工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲同学的设计方案如图（1），乙同学的设计方案如图（2），你认为哪位同学设计的正方形面积大？请说明理由．【分析】（1）中由△CDE∽△CBA，得，即可求出（1）中正方形的边长，（2）中过点B作BH⊥AC于H，交DE于P，根据相似三角形的高之比等于相似比，可求出（2）中正方形的边长．进行比较即可解决问题．【解答】解：甲同学设计的正方形面积大，理由如下：∵AB＝1.5m，三角形的面积为1.5平方米，∴BC＝2m，设正方形边长为xm，图（1）中，∵DE∥AB，∴△CDE∽△CBA，∴，∴，解得x＝；图（2）中，由勾股定理得，AC＝＝2.5（m），过点B作BH⊥AC于H，交DE于P，由面积得×AC×BH＝×AB×BC，∴BH＝＝（m），∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，解得x＝，∵＞，∴甲同学设计的正方形面积大．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用相似三角形的高之比等于相似比是解题的关键．九、相似三角形的应用1．（2021-2022成都青羊区石室联中九年级（上）期中·5）（3分）如图，小芳和爸爸正在散步，爸爸身高1.8米，他在地面上的影长为2.1米．若小芳身高只有，则她的影长为A． B． C． D．【考点】相似三角形的应用【专题】图形的相似；应用意识【分析】设小芳的影长为，再根据同一时刻物高与影长成正比即可求出的值．【解答】解：设小芳的影长为米，同一时刻物高与影长成正比，，解得．故选：．【点评】本题考查相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．2．（2021-2022成都简阳九年级（上）期中·5）（3分）高4米的旗杆在水平地面上的影长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长24米，则该建筑物的高度为（）A．10米 B．16米 C．26米 D．36米【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．【解答】解：设建筑物的高是x米．则＝，解得：x＝16．故该建筑物的高为16米．故选：B．【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出该建筑物的高度，体现了方程的思想．3．（2020-2021成都双流中学九年级（上）期中·23）（4分）（2020秋•双流区校级期中）如图，小明周末晚上陪父母在公园绿道上散步，他由路灯下处前进4米到达处时，测得影子长为1，已知小明身高1.6米，他若从处继续往前走4米到达处，此时影子长为米．【考点】相似三角形的应用；中心投影【专题】图形的相似；推理能力【分析】依据，即可得到，再依据，即可得到长．【解答】解：如图：米，米，米，米，由已知有，，，则米，，，，．故答案为：2．【点评】此题考查了中心投影的特点和规律以及相似三角形性质的运用．解题的关键是利用中心投影的特点可知在这两组相似三角形中有一组公共边，利用其作为相等关系求出所需要的线段，再求公共边的长度．4．（2020-2021成都实验中学九年级（上）期中·14）（4分）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为的竹竿的影长是，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面的影长为，请你帮她算一下，树高是．【考点】相似三角形的应用；平行投影【专题】几何直观；图形的相似【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【解答】解：如图，设是在地面的影子，树高为，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得：，而，，树在地面的实际影子长是，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其