10.2 事件的相互独立性课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.2事件的相互独立性第十章概率课程目标

1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3.通过对实例的分析，会进行简单的应用.

前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？

我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积事件AB发生的概率一定与事件A，B发生的概率有关系，那么这种关系会是怎样的呢？

下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题。

提出问题思考1:分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“”，B=“第二枚硬币反面朝上”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)},包含4个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)},所以AB={(1,0)}.由古典概型概率计算公式，得P(A)=P(B)=0.5,P(AB)=0.25.于是P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)与P(B)的乘积.分析：因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件A发生与否不影响事件B发生的概率思考2:一个袋子中装有标号分别是1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第一次摸到球的标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”.事件A发生与否会影响事件B发生的概率吗？分析：对于试验2,因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件A发生与否也不影响事件B发生的概率.分别计算P(A),P(B),P(AB),看看它们之间有什么关系？样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}包含16个等可能的样本点.而A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)},

B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)},于是也有P(AB)=P(A)P(B).积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积.一、相互独立事件的定义:

设A,B两个事件,如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即P(AB)=P(A)P(B)),则称事件A与事件B相互独立.简称独立.即：对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立。

如果事件A1，A2，A3，…，An是相互独立的，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，

即P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)就是相互独立事件的概率乘法公式推广形式：(1)必然事件及不可能事件与任何事件A相互独立.

(2)若事件A与B相互独立,则以下三对事件也相互独立:①②③例如证①二、相互独立事件的性质:例1.一个袋子中有标号分别为1,2,3,4的4个球，除标号外没有其他差异，采用不放回方式从中任意摸球两次，设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？解：因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},共有12个样本点A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},AB={(1,2),(2,1)}所以此时P(AB)≠P(A)P(B),因此，事件A与事件B不独立.判断两个事件是否相互独立的方法 (1)定性法:

直观地判断一个事件的发生对另一个事件的发生是否有影响，若没有影响就是相互独立事件. (2)定量法:

通过古典概型等概率计算P(AB)=P(A)P(B)是否成立，可以准确判断两个事件是否相互独立.练习1.判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组有3名男生,2名女生,乙组有2名男生,3名女生,现从甲、乙两组中各选1名同学参加是演讲比赛,“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.(2)一筐内有6个苹果和3个梨，“从中任意取出1个,取出的是苹果”与“把取出的水果放回筐内,再从筐内任意取出1个,取出的是梨”.(3)一个布袋里有大小完全相同的3个白球，2个红球,不放回的从袋中随机依次取2球，“第一次取到的是白球”与“第二次取到的是红球”.(4)掷一枚骰子一次,事件A:“出现偶数点”;事件B:“出现3点或6点”.二、互斥事件与相互独立事件区别相互独立事件

互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A,B同时发生，记作AB互斥事件A,B中有一个发生，记作AUB（或A+B）计算公式P(AB)=P(A)P(B)P(AUB)=P(A)+P(B)1、概率计算公式不同2、互斥事件：同一个样本空间下两个事件或多个事件的关系，它们没有公共的样本点，彼此互斥事件之间的交集为空集。

（两个事件或多个事件事件不可能同时发生即互斥）

二、互斥事件与相互独立事件区别3、若P(A)>0，P(B)>0，

则事件牛A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立.4、只有不可能事件与任何事件A相互独立.

相互独立事件：可看待成两个或多个样本空间下，各自空间下发生的事件之间的关系，彼此之间是否发生互不影响，一个事件的发生与否对另一事件发生的概率也不影响。或同一样本空间下，一个事件的发生与否对另一事件发生的概率影响，满足P(AB)=P(A)P(B)，则两事件相互独立。（一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响即相互独立。）例2.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8,乙的中靶概率为0.9,求下列事件的概率：(1)两人都中靶；(2)恰好有一人中靶；(3)两人都脱靶；(4)至少有一人中靶.例3甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲，乙各猜一个成语,已知甲每轮猜对的概率为

，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响,求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率设A=“两轮活动'星队'猜对3个成语”，则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥，A1与B2,A2与B1分别相互独立，所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1,B2分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立性假定，得例4、三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率练习及作业：甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束.假设在1局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立.已知前两局中，甲、乙各胜1局.(1)求再赛两局结束这次比赛的概率;(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.解：记Ai表示事件“第i局甲获胜”，i=3，4，5，Bj表示事件“第j局乙获胜”，j=3，4.(1)记A表示事件“再赛两局结束比赛”，则A=A3·A4＋B3·B4.由于各局比赛结果相互独立，故P(A)=P(A3·A4＋B3·B4)=P(A3·A4)＋P(B3·B4)=P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4)=0.6×0.6＋0.4×0.4=0.52.(2)记B表示事件“甲获得这次比赛的胜利”.因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3·A4＋B3·A4·A5＋A3·B4·A5.由于各局比赛结果相互独立，故P(B)=P(A3·A4)＋P(B3·A4·A5)＋P(A3·B4·A5)=P(A3)P(A4)＋P(B3)P(A4)P(A5)＋P(A3)P(B4)P(A5)=0.6×0.6＋0.4×0.6×0.6＋0.6×0.4×0.6=0.648.

求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．常用的相互独立事件的概率

练习1.甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.解:设A={甲击中敌机},B={乙击中敌机},C={敌机被击中}

设={甲击未中敌机},={乙击未中敌机},={敌机未被击中}根据互斥事件的概率加法公式和事件独立性定义知练习2：某人有4把钥匙，其中2把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，（1）那么第二次才能打开门的概率有多大?（2）如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率有多大？练习3.有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每 一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的.(1)求这两个人在同一层离开电梯的概率.(2)求这两个人在不同层离开电梯的概率;答案:B当堂达标课堂练习2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是(

)A.0.49 B.0.42

C.0.7

D.0.91答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则产品的正品率为(

)A.1-a-b

B.1-abC.(1-a)(1-b) D.1-(1-a)(1-b)答案:C5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是

.

答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？

略解:

三个